05-06第二学期微积分试卷A

2005-2006学年第二学期〈微积分(B)II 〉期末考试试卷(A)答案一、简答题（ 每小题5分,共55分）判分标准：（1）答案正确时，一般不扣分，除非有明显的作弊倾向。

（2）答案不正确时，可按步骤给分。

1．.2dz z y z x 的全微分求，已知= 解：dy xydx y y dz x x)2()ln 2(122-+=评分：dy dx dz )()(+=（+1分）；一个“（ ）”+2分2．设．设 z=f (x , y x , y ) ) 为二元函数. 在下图所示的方框中, 用”“Þ将 f (x , y x , y ) ) 在 (x , y )处的连续性,可微性等关系表示出来. 解：解：连续f连续y x f f ¢¢,存在y x f f ¢¢,存在df评分：缺一个或多一个箭头扣一分。

不给负分。

3．设),(2x yy x f z =, 其中其中 f 具有二阶连续的偏导数, 求.,2yx z x z ¶¶¶¶¶ 解：分）2.(2221+¢-¢=¶¶x y f xy f xz.2123]1[1]1[2222312113221222212221221112f xy f y f y x f x f x x f x f x y f x x f x f xy f x y x z¢¢-¢¢+¢¢+¢-¢=+¢¢+¢¢-¢-¢¢+¢¢+¢=¶¶¶分）（4．求曲面．求曲面 ），，在点（0210)1ln(23=+--z ye x z处的切平面方程.33¶ ò--2242x x x ò-----22224411y y y y +,22y xp 222122y x y x dxdy z z +¢+¢+p 22rdr 满足条件满足条件 时满足条件满足条件 1| 时p p p ÷（).0,3(),3,0(),1,2(),(=y x 得嫌疑点:值的计算所有嫌疑点z )46(22y y x x z -+-= .11)1,2(,3)3,0(,4)2,0(,9)0,3(,0)0,0(-=-=-=-==z z z z z所以,11)1,2(m in-==z z.0)0,0(m ax==z z 评分：解2：求D 内嫌疑点3分，求y=0，x=0，x+y=3 上嫌疑点分别为1、1、3分. 结论1分. 13．计算òòS +++dxdy y x z yzdzdx zxdydz 22， 其中其中所确定的立体是由2222222,4y x z a z y x a +³£++£S 的表面的外侧(a>0).解:原式原式==òòòW+++dxdydz y x z z )(22 (用球坐标) òòò+=aadr r r r d d 224/020sin )sin cos 2(f f f f qp pòò+=4/023sin )sin cos 2(2p f f f f p d dr r a a4/0224)2s i n 21(21s i n 42p f f f p úûùêëé-+úûùêëé=aa r)2(1615)00()214(2121415244p p p p +=úûùêëé+--+úûùêëé=a a 评分:得第一行3分, 得第二行再加4分(每对积分限各1分,被积函数1分),最后结果再加2分14．求幂级数å¥=++11)1(n n n n x 的收敛区间(不考虑区间端点),以及这个幂级数在收敛区间上的和函数.并利用所得结果计算数项级数å¥=++-112)1()1(n n nn n 的和.解:显然收敛区间为: | x |<1 或 (-1,1) 记å¥=++=11)1()(n n n n x x S ,则xx x S n n -==¢¢å¥=-11)(11. 故 )1l n (11)0()(0x dx x S x S x--=-+¢=¢ò. xxdx xxx x dx x S x S 00)11)1ln((0)1ln()0()(òò-----=--+=x x x dx xx x x x +--=---+--=ò)1ln()1()111()1ln(0. 显然所求数项级数=2123ln 32123ln 2322122)1()1(111-=÷øöçèæ-=÷øöçèæ-=+-å¥=++S n n n n n 评分: 收敛区间2分; “xx x S n n -==¢¢å¥=-11)(11” +3分(前2后1) “)1ln()(x x S --=¢” +1分; “x x x x S +--=)1ln()1()(” +1分 数项级数+2分 (如含÷øöçèæ-21S 且结果不对,可加1分). 15．一曲线为连接O (0,0)和A (1,1)的一段凸曲线的一段凸曲线, 曲线曲线 OA 上任一P (x ,y x,y )满足: 曲线曲线 O P与直线与直线 OP 所围图形的面积为2x ,求曲线求曲线 OA 的方程. 解:设所求设所求 y=y (x ) 由题意由题意dt t x x y t y dt dx x xx x ])()([)()(0002òòò-=-=-=下线上线下线上线 )]()([21)(2)()()()(2/2/00x y x x y x y x x x y x y tdt x x y dt t y x x x x x +¢-=÷÷øöççèæ-=÷÷øöççèæ-=òò 得 414-=-¢Þ¢-=y xy y x y xB D E A L C 故]ln 4[14)4(11c x x C dx x x C dx e ey dxx dx x +-=úûùêëé+-=úûùêëé+ò-ò=òò---最后将x=1,y=1代入得代入得 C=1. 所以所求为所以所求为: : y=x [-4ln x +1] 评分: “dt t xx y t y dx x xx])()([)(02òò-=-=下线上线”4分(前2后2);求导得微分方程,+2分;得通解+2分;得特解+1分(给出y(1)=1也可加1分). 16．计算曲线积分ò+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 是抛物线是抛物线 y= - (x +x+1)(x -3) 上由点上由点 A (3,0) 到 点 B (-1,0) 的一段弧. 解1:因为022222222/22/22=+--+-=úûùêëé+--úûùêëé+=¢-¢y x x y y x x y y x y y x x P Q yx y x 所以在不含(0,0)的单连域内积分与路径无关.如图如图 取路径DBC AE L ++=1,其中AE 是直线线段;C 是心在原点,半径为r(r 较小)的上半圆,从E 到D; DB 是直线线段.故òòòò++=+-DBCLAEyx ydx xdy 22其中其中003=====òòy rx x AE ; 001===-=-=òòy x r x DB-cos sin sin cos t tdr r t tdr r òGBHG AHarctan òGB òx kdx HG13úù-=ò(1) 证明: 级数å¥=+-11||n n n x x收敛. (2) 证明: n nx ¥®lim存在. 解: (1)因为因为 :||||||||||1213232111x x k x x k x x kk x x k x x n n n n n n n n n -£-£-£-£-------+而:||1211x x kn n -å¥=-收敛(因为q=k<1), 所以所以级数级数 å¥=+-11||n n n x x 收敛. (2) (2) 由(1) 级数å¥=+-11)(n n n x x收敛, 而å¥=+-11)(n n n x x收敛n x Û收敛, 即n n nx ¥®lim 存在. {因为”左边” Û][lim )]()()[(lim lim 1112312x xx xx x x x s n n nnn n n -=-++-+-=+¥®+¥®¥® 存在Ûn n x ¥®lim 存在.}评分:(1)6分,其中不等式3分,比较法推理3分. 用极限比值判别法要扣3分. (2)4分.第一句话2分, 第二句话2分(无“{ }”中的内容，可不扣分).附2．求极限4/2/)(2/00221lim xx tduu t x x e edt ---®-òò+ .解1:分子=2202)(xu t x t D dtdu eDu t ££££òò--，：其中由二重积分中值定理由二重积分中值定理分子=D x e D e Î÷øöçèæ=´----),(,221(2)()(22h x hx hx 的面积） ），（），），故（，（时，整个区域注意00000®®®+h x D x .因此因此()()11221221ee x x x x x x ex e )4/(2124/24/0022÷øöçèæûë=úûêë-=-òò++x x --==========-÷øöçèæ2/0)22221212=÷ö-s x。

浙江工商大学05/06微积分(下)课程考试试卷答案及评分标准一、填空题（共 10 小题，每题 2 分，共计 20 分） 1. 必要。

2. ∑∞=1n n u3.)(2a f a 。

4.41-。

5.32。

6. [-2,6] 。

7.⎰⎰xxdyy x f dx 2),(1。

8.29。

9. -1 。

10.Cx y x +=+2tan。

二、单项选择题（共 5 小题，每题 2 分，共计 10 分） 1.C. 2.D 3.D 4.C 5.D三、计算题（共 4 小题，每题 6 分，共计 24 分）1.解:2)1(d1ln23++=⎰x x 原式---------------------------- 2分x x x x x d )1(212)1(1ln 2)1(302302++-++=⎰------------------- 4分8152ln 8)1(811ln)1(2132302-=+-++=x x x ---------------- 6分2.解:作变量代换t x sec =，则tdt t dx tan sec =---------------------- 1分tdt t tt dx xx tan sec sec tan 1342142⎰⎰=-π----------------------------- 3分tdtt cos sin 32⎰=π303sin 31πt=------------------------------------- 5分83=---------------------------------------- 6分3.解:方程两边微分得 0)(d )cos(d )(d =-+xy xy z xyz e xyz -------------- 1分即 0]d d )[cos(d ]d d [yzd =+-+++y x x y xy z z xy y xz x e xyz -----------5分 故yxyexzexy x x xyeyzexy y z xyzxyzxyzxyzd 1)cos(d 1)cos(d +-++-=------ 6分4.解:rdr r d dxdy y x D⎰⎰⎰⎰-=---θππθcos 302222299--------------------- 4分θθππd rr r cos 3023222)9(31==-⎰--=θθππd ⎰--=223)sin 1(9------------------------ 5分π9=-12 ----------------------------- 6分四、计算题（共 4 小题，每题 6 分，共计 24 分）5. 解:dx xedy dxdy xe yyDy ⎰⎰⎰⎰=122--------------------------------- 2分dye x y x x y]21[122⎰===-------------------------------3分dyyey⎰=10221-------------------------------------4分)1(41-=e ---------------------------------------6分6. 解:记0ln 1>-=nn u n 。

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。

3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。

0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。

=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。

)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。

=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. 。

='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。

Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。

11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。

=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。

当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

广州大学2005-2006学年第二学期考试卷高等数学（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分20分）1. 设y x xy z sin -=, 则=∂∂x zy x y cos -，=∂∂∂y x z 22cos 1yx +. 2. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的法向量=n)2,4,2(,切平面方程为62=++z y x . 3. =⎰⎰x dy y x dx 02110=⎰145dx x 1.4. 幂级数∑∞=+0)1(2n n nn x 的收敛半径=R 2, 收敛域∈x )2,2[-.5. 微分方程065=+'-''y y y 的通解为=y x xe C eC 3221+，微分方程xxe y y y 265=+'-''的待定特解形式为=*y xeb ax x 2)(+.学院专业 班级姓名二．选择题 (每小题2分, 本大题满分10分)1. ),(y x f 在点),(00y x 连续是偏导数),(00y x f x 和),(00y x f y 存在的( D ). (A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.2. =→→x xyy x sin lim20( B ).(A) 1; (B) 2; (C) 21; (D) ∞.3. 设L 为曲线2x y =上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧, 则⎰=Lds y ( C ).(A) ⎰+10241dx x; (B)⎰+141dy y ; (C) ⎰+1241dx x x ; (D)⎰+11dy y ;4. 下列级数条件收敛的是( A ). (A)∑∞=-1)1(n nn ; (B) ∑∞=-12)1(n n n; (C) ∑∞=-12)1(n nn ; (D) ∑∞=-1)2(n nn .5. 方程0)(223=++dy x y xydx 是( D ).(A) 可分离变量的微分方程; (B) 一阶齐次微分方程; (C) 一阶线性微分方程; (D) 全微分方程.三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1. 求)2,(2y x xy f z +=的偏导数和全微分(其中(,)f u v 具有连续偏导数).解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212f f y '+'=.............................................................3分 yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212f y f x '+'=……………………………………...5分 dy f y f x dx f f y dy yzdx x z dz )2()2(2121'+'+'+'=∂∂+∂∂=……………….…7分2. 已知),(y x f z =是由方程y x z e z2sin =+确定的隐函数, 求x z ∂∂和22x z∂∂.解 记y x z e F z 2sin -+=，则xy F x 2-=，z e F zz cos +=……………2分ze xy F F x z z z x cos 2+=-=∂∂…………………………………………………….4分 22x z ∂∂2)c o s ()s i n (2)c o s(2z e z z e xy z e y z x z z +--+=…………………………….…6分 3222)cos ()sin (4)cos (2z e z e y x z e y z z z +--+=……………………………...7分3. 求2(,)32ln 2y f x y x xy x =+--的极值. 解 令 2300xy f y xf y x ⎧=--=⎪⎨⎪=-=⎩， 得驻点 (1,1),(2,2)……………………………………………………………...3分 22xx A f x==，1xy B f ==-，1yy C f ==1222-=-=xB ACD ……………………………………………………4分在点(1,1)处，01>=D ，且20A =>，5(1,1)2f =为极小值………………6分在点(2,2)处，021<-=D ，(2,2)f 不是极值………………………………..7分四．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1. 设二次积分⎰⎰-=22021),(x x dy y x f dx I . 1) 画出二次积分I 中的积分区域D ;2) 改换二次积分I 的积分次序; 3) 将二次积分I 化为极坐标形式的二次积分. 解 1）作图从略…………………………………………………………………2分 2） ⎰⎰-+=21111),(y dx y x f dy I ………………………………………………..4分 3） ⎰⎰=θθπρρθρθρθcos 2sec 4)sin ,cos (d f d I ………………………………..7分2. 计算22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的有界闭区域. 解22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰=⎰⎰⎰Ωθρρdz d d 3……………………………………..2分⎰⎰⎰=22320202ρπρρθdz d d ………………………………………………………4分⎰-=253)22(2ρρρπd …………………………………………………….….6分π316=………………………………………………………………………….7分3. 计算曲线积分=I ⎰+-Ldy x dx y xy 22)2(, 其中L 是由曲线21x y -=与x轴所围区域D 的正向边界曲线. 解 由格林公式得 ⎰⎰=D ydxdy I 2………………………………………………………………..3分⎰⎰--=210112x y d ydx …………………………………………………………5分 ⎰--=112)1(dx x ……………………………………………………………..6分34=…………………………………………………………………………..7分五．解答下列各题（本大题满分14分）1. (本题6分)1）判别级数∑∞=12n nn的敛散性； 2）判别级数∑∞=12cos 2n n nn 是绝对收敛, 条件收敛, 还是发散?解 1） 记n n nu 2=，因 121l i m 1<=+∞→nn n u u …………………………………...2分所以级数∑∞=1n nu收敛……………………………………………………………….3分2） 因n nn u nn v ≤=|2cos 2|……………………………………………………....4分 而级数∑∞=1n nu收敛，由比较审敛法知级数∑∞=1n nv收敛…………………………...5分原级数绝对收敛……………………………………..…………………………......6分2. (本题8分)将函数x xx f -+=11ln )(展开成x 的幂级数, 并求级数∑∞=-1)12(41n n n 的和.解 +-+++-=+-nn x n x x x x 132)1(32)1l n (，（11≤<-x ）………..2分------=-n x n x x x x 132)1l n (32，（11<≤-x ）…………….3分xxx f -+=11ln )()1l n ()1l n (x x --+=…………………………………….4分)1213(2123 +-+++=-n x n x x ，（11<<-x ）…………..…5分∑∞=-1)12(41n nn 12121)12(121-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑n n n ……………………………………………………..6分 3ln 41)21(41==f ……………………………………………………………8分六．解答下列各题（本大题满分14分）1. (本题6分) 求微分方程2)2(221-=--x y x dx dy 的通解. 解 通解为⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=C dx dx x x dx x y )21exp()2(2)21exp(2……………...3分 ⎰+--=])2(2)[2(C dx x x ……………………………………………...5分 )2()2(3-+-=x C x …………………………………………………….6分2. (本题8分)设L 是一条平面曲线, 其上任意一点)0)(,(>x y x P 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距, 且L 过点)0,21(. 求曲线L 的方程. 解 设曲线L 上点),(y x P 处的切线方程为)(x X y y Y -'=-.................................................1分令0=X 得该切线在y 轴上的截距为y x y '-………………………………….2分由题设知 y x y y x '-=+22……………………………..3分令x yu =, 方程化为 xdxu du -=+21…………………………………..4分 解得 C y x y =++22………………………………6分由L 过点)0,21(, 求得21=C ……………………………………………………7分 于是曲线L 的方程为 2122=++y x y即 y x -=41………………………………………..8分。

第1页（共3页）潍坊学院2005-2006学年第二学期期末考试《高等数学A 》（下）试卷（A 卷）适用专业年级：05级物理、计算机、机电、信控、现教、化工等专业一、填空题（共36分，每小题3分）1． 已知k j k i3,3+=+=，则OAB ∆的面积是 。

2．过点(2,0,3)A - ，(1,1,3)B - 的直线方程是。

3．曲线⎩⎨⎧==02z x y 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为 。

4．设xye xy z +=3，则dz = 。

5．二元函数225y x z --=的极大值点是 。

6．交换积分序⎰⎰⎰⎰-+2220211),(x x dy y x f dx dy f(x,y)dx =7．三重积分⎰⎰⎰≤++1222),,(z y x dv z y x f 表示成球面坐标下的三次积分为 8．若曲线L 是抛物线2x y =上点)0,0(O 与点)1,1(B 之间的一段弧，L 上任意点),(y x 处的线密度是y （g/cm ），则L 的总质量是 (g)。

9．在函数x x f =)( ]),[(ππ-∈x 的傅立叶系数中=1b 。

10．级数=+∑+∞=1)1(1n n n 。

11．微分方程0)2()2(=+++dy y x dx y x 是否是全微分方程？ 。

12．当p 满足条件 时级数∑+∞=-1)1(n pnn条件收敛。

二、解答题（共64分，除最后一小题4分外，其余每小题6分） 13．设022=-++xyz z y x ，求x z ∂∂及yz ∂∂14．求曲线2,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线及法平面方程。

此线第2页（共3页）15．求函数xy z = 在适合附加条件1=+y x 下的极值。

16．计算 ⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。

17．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域。

一．填空题（本题总计30分，每小题3分）1. 02. 2π 3. 充分4. y x +25.41 6. ⎰⎰2010)sin ,cos (πθθθrdr r r f d 7. 432 8. 收敛9. 310. 312x x y C e C e -=+ （12,C C 为任意常数）二．（本题总计6分）计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。

dy y y s )24(422⎰--+=4232)642(--+=y y y 18= 三．求下列函数的偏导数（本题总计10分，每小题5分）1．xy y x z cos)sin(2+= 2．dt e y z x y t ⎰-=2 1．x y x y y x xy x z sin )cos(222+=∂∂x y x y x x y z sin 1)cos(22-=∂∂ 2．2x ye xz -=∂∂ 22y x yt ye dt e y z ---=∂∂⎰四．计算下列二重积分（本题总计12分，每小题6分）1．⎰⎰+D22σd y x :D y y x 222=+围成的区域解：原式dr r d ⎰⎰=πθθ0sin 202θθπd r sin 20033⎰= ⎰=πθθ03sin 38d θθπcos )cos 1(3802d ⎰--= πθθ03)cos 3cos (38-=932= 2．dy y x dx x ⎰⎰101332)sin( 解：原式dx y x dy y ⎰⎰=10033)sin( dy x y y041034)sin(⎰=dy y y )sin(413102⎰= 3103)s i n (121dy y ⎰= 103)c o s (121y -=)1c o s 1(121-= 五．（本题总计6分）判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性 ，并说明原因。

解： 221)!()!2()!22(])!1[(lim lim n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ )22)(12()1(lim 2+++=∞→n n n n 41=<1 原级数收敛 六．（本题总计6分）级数∑∞=12sin n n n α是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛，并说明原因。

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

浙江工商大学05/06学年第二学期《高等数学》试卷参考答案与评分标准一、 填空（每小题3分，满分15分） 1.dz zdy y dx x 321++ 2.144492/143/2-=--=-z y x 3. )2121(2)1(33131≤<--∑∞=-x xn n nn n 4. x (ax +b )x e 2- 5. 4R π二、 单项选择（每小题3分，满分15分） 1. B. 2. D. 3. C. 4. C. 5. B. 三、 计算题（每小题7分，满分28分）1. 解、两边同时对x 求导得,2z z zxz z x x =- (4分) z x zz x += （7分） 2. 解、.'2'1yf f z x += (4分) '2"22"21"12''11)(f xf f y xf f z xy ++-++-= (7分)3. 解、原式 =⎰⎰--+-aax a a x a y y x 22222d 2d (3分)=⎰--aax x a a d 222(5分) =32)21(2a a a ππ= (7分)4. 解、,!)1()(n x n x u n n += 0)1()2(lim )()(lim 221=++=∞→+∞→n x n x u x u n n n n ， (3分) 故级数的收敛域为),(∞+-∞ (4分)x x n n n n xe e n x x n x x s +-=-+=∑∑∞=-∞=1)!1(!)(111 (7分)四、计算题（每小题7分，满分21分）5. 解、设p y p y '=''=',，则原方程为p p x -=' (2分)⎰⎰-=dx x dp p 11， xC p C x p 11,ln ln ln =+-= (5分)211ln C x C dx xC y +==⎰（C 1,C 2为任意常数） (7分) 6. 解、设球面上一点为),,(000z y x ，则(*)9202020=++z y x (1分) 令9),,(222-++=z y x z y x F ，则 ),,//()2,2,2(000000z y x z y x n =(3分) 切平面为 0)()()(000000=-+-+-z z z y y y x x x ，因与022=-+z y x 平行, 故)2/(1/2/000-==z y x , 即 00002,2y z y x -== (5分) 代入(*)得10±=y , 所求切点为 )2,1,2(-± (7分)7. 解、原式 =σσd d 11⎰⎰⎰-zze z (3分)=z z e z e z z zd )1(d 21111-=⎰⎰--πσ (5分) = eez z ππ4)1)(1(112=--- (7分) 五、计算下列各题（每小题8分，满分16分）1. 解、将xe y =代入方程得 )1()(-=-xe x x P (2分)解线性齐次方程 0)1('=-+-y e y x的通解为 xe x Ce y -+= (4分)令 1)1('=-+-y ey x的解为xe x e x C y -+=)(，得 C e x C xe +=--)(, 因此xe x x Ce e y -++= (5分)将 0)2(ln =y 代入得 2/1--=e C , 故 2/1-+-+=x e x xee y (8分)2. 解、设长方体的边平行于坐标轴，其顶点在锥面的坐标是（x ,y , z ）, 其体积 V = 4xy ( 1－z ) =4)1(22y x xy +-(3分)=∂∂x V 222222)2(4y x y x y x y +--+, 222222)2(4yx y x y x x y V +--+=∂∂, (6分)由0,0=∂∂=∂∂y V x V ，得唯一驻点：,32==y x 32=z ，最大体积278=V .(8分)六、证、⎰⎰⎰⎰=101100)()()()(xy dx y f x f dy dy y f x f dx (2分)⎰⎰=10)()(x dy y f x f dx (3分)⎰⎰101)()(xdy y f x f dx +⎰⎰1)()(xdy y f x f dx =⎰⎰11)()(dy y f x f dx=⎰⎰⎰=121010])([)()(dx x f dy y f dx x f (4分)故⎰⎰101)()(xdy y f x f dx =210])([21⎰dx x f （5分）。

《微积分（2）》2005—2006学年第二学期期末考试试卷（A ）考核对象：经贸、工管、商英类各专业 考试时间：90分钟 班级： 学号： 姓名： 成绩：一．单项选择题（每小题3分，共27分）1．下列等式正确的有（ ）。

A ．()()x f dx x f dxd x=⎰30B ．()()x f dxx f dxd xa=⎰C ．()()x f dx x f dxd ax=⎰D ．()01=⎰dttx f dxd2．函数()221ln 1yx z --=的定义域是（ ）A ．(){}1,22<+y x y xB ．(){}1,22≥+y x y x C ．(){}10,22<+<y x y x D ．(){}1,22≤+y x y x 3．二元函数34622-+-+=y x y x z 的极值点是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,0D ．()2,3- 4．曲线x y =与2y x =所围平面图形绕y 轴旋转而得旋转体的体积是（ ） A ．()dy y y ⎰-122πB ．()dy y y⎰-142πC ．()dx x x ⎰-12π D ．()dx x x ⎰-12π5．),(y x f z =在),(00y x 处偏导数存在与可微的关系是（ ） A ．偏导数存在必可微； B ．可微偏导数必存在； C ．可微不一定偏导数存在； D ．以上都不对； 6．微分方程0222=+y k dty d 的通解是（ ）A ．kt C y sin =B ．ktC y cos =C ．kt C kt y sin cos +=D ．kt C kt C y sin cos 21+= 7．下列极限不存在的有（ ）A ．220limyx xy y x +→→ B ． ()222201s i nlim yx yx y x ++→→C ．yxy y x sin lim2→→ D ． 22101limyx xy y x +-→→8．微分方程0324322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x dx dy dxy d x阶数是（ ）A ． 5B ． 4C ． 2D ． 3 9. 设),(y x xy f z -=, 则=∂∂yz （ ）A ． 21f f x '-'B ． 21f f x '+'C ． 21f f y '+'D ．21f f y '-'二．填空：（每小格3分，共21分）1．=+⎰-dx xx x 2222sin 02．yye x z 2=，则=∂∂xz ，=∂∂∂yx z 23．改变⎰⎰-xdy y x f dx 101),(的积分次序，得4．D 是由4122≤+≤y x 所围成的平面区域， 则⎰⎰Dd xy σ化为极坐标形式的二次积分是 （6分）5. 微分方程xy dxdy-=的通解为三．计算题：（共38分)1． dx x x )sin1(cos 32+⎰π（6分）5/42．2arcsin limxdt t xx ⎰→ （6分） 3．dxxex⎰∞-02 （6分）1/2 -1/44．计算⎰⎰-+Dd x y x σ)(22， 其中D 是由x y y ==,2及x y 2=所围成的闭区域。

暨 南 大 学 考 试 试 卷一、填空题(每小题满分3分, 共15分)1. 设,3),(22y x y x y x f +=+− 则=),(y x f .2. 22)(4),(y x y x y x f −−−=的极大值是 .3. 设=≤+∫∫+D y xe y x D σd ,4:2222则 .4. 当p 时, 级数.绝对收敛)1(1∑∞=−n p nn5. 微分方程x e y y''x cos +=+的通解是 . 二、选择题(每小题满分3分, 共15分)1. 设空间3点的坐标分别为),1,1,3(),1,1,2(),4,3,1(−−−−−P N M 则 =∠MNP .A. π;B. π43;C. 2π;D. 4π.2. 函数33),(yx yx y x f ++=的间断点集合为 . A. }0),{(=x y x ; B. }0),{(=y y x ; C. }0,0),{(==y x y x ; D. }),{(x y y x −=.课程类别必修[∨] 选修[ ]考试方式 开卷[ ] 闭卷[∨] 教师填 写2005–2006学年第二学期 高等数学Ⅱ 试题授课教师 考试时间3006年7月11日 姓 名 苏保河 等 试卷类别(A、B、…)[ A ] 共 6 页 考 生 填 写学院(校) 专业 级姓名 学号 内招[∨] 外招[ ]试题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分成 绩3. 设D 由2坐标轴和直线1=+y x 围成, 则=∫∫Dxy σd .A.21; B. 121; C. 241; D. 361.4. 下列级数中发散的是 .A. ∑∞=1!2n n n n n ; B. ∑∞=+1)]1[ln(1n nn ; C. ∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1213n n n ; D. ∑∞=123n n n . 5. 方程 是一阶非齐次线性微分方程.A. x y yy'=+;B. 0sin =++y'y x ; C. 0cos =++y'y xy ; D. 0d )1(d )1(=+++y x x y . 三、计算题(每小题满分7分, 共49分)1. 试求经过点)0,3,2(−M , 平行于平面042:=+−−Πz y x , 并且与直线:L21331z y x =−=+相交的直线方程.2. 设)(y x e u xy +=, 求u yux u d ,及∂∂∂∂.3. 设),(y x z z =由方程03222=−++xyz z y x 所确定, 又32z xy u =, 求)1,1,1(xu ∂∂.4. 计算二重积分∫∫Dxy y x ye d d , D 是由直线2,2,1===y x x 及双曲线1=xy 所围成的区域.5. 将xx f 1)(=展开成)3(−x 的幂级数.6. 判别级数∑∞=+132)3(3cos n n n n π的敛散性.7. 已知曲线过原点, 且在点),(y x P 处的切线斜率为y x +2, 求该曲线的方程.四、应用题(每小题满分7分, 共14分)1. 求抛物线px y 22=及其在点),2(p p处的法线所围成的图形的面积.2. 某工厂要用铁板做一个体积为32m 的有盖长方体水箱, 问长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?五、(本题满分7分) 设)(,d )]()([)(,0)0(0x f x t t 'tf t f x 'f f x++==∫二阶可导,求)(x f .。

江西财经大学05-06学年第二学期期末考试试卷试卷代码：03034A 卷 课时：64课程名称：微积分II 适用对象：2005级一、 填空题(3×5=15分)1．已知)(x f 的一个原函数为x ln ，则=')(x f .2．=⎰dt t x dx d b a )sin (2 .3．=⎰∞+-dx e x 0λλ .4．{}30,20),(≤≤≤≤=y x y x D 时⎰⎰=D xydxdy .5．差分方程013=++∆x x Y Y 的阶数是 .二、单项选择题(3×5=15分)1．⎰=+'dx x f x f )(1)(2 . A ．c x f ++)(1lnB ． c x f ++)](1ln[212C ．()c x f +arctan 21D ．()c x f +arctan .2．函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续是该函数在[]b a ,上可积的 . A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．无关条件. 3．设 222:a y x D ≤+，当=a __⎰⎰=--D dxdy y x a π222时. A ．1 B ．323C ．343D ．321. 4．下列方程中不是微分方程.A ．032=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dyB ．2=+ydx dyC ．x y y sin =+''D ．1cos sin =+x y x e x .5．若级数e n n =∑∞=0!1，则∑∞==+1!13n n n .A ．eB ．e 3C ．14-eD ．e 4.三、(10×1=10分)求⎰++dx x 211 四、(10×1=10分)求dx x x ⎰2022cos π.五、(10×1=10分)求dxdy e D y ⎰⎰2，其中D 由直线1,==y x y 及y 轴所围成.六、(10×1=10分)求微分方程065=+'-''y y y 通解.七、(10×1=10分)判定级数∑∞=+113n n n 的敛散性. 八、(10×1=10分) 求幂级数∑∞=-12)3(n n n x 的收敛区间.九、经济应用题(10×1=10分)已知生产某产品x 百台的边际成本函数和边际收益函数分别为百台）万元（百台）万元/(7)/(313)(x x R x x C -='+='（1）当产量从1百台增加到5百台时，求总成本与总收益的增量.（2）若固定成本1)0(=C （万元），求总成本函数，总收益函数和总利润函数.（3）产量多少时，总利润最大？最大利润为多少？十、(10×1=10分)设()x f y =是第一象限内连接点A （0，1），B （1，0）的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点。

中南财经政法大学2005–2006学年第二学期期末考试试卷标准答案及评分标准 课程名称：《 微积分 》 （B ）卷 课程代号：__09156020_____考试形式：闭卷、笔试使用对象：全校各经济、管理专业一．填空题（每题2分）1.1e θ-=2. ,x t3. 1n n u ∞=∑的部分和数列有界4. 05.4π 6. z x z+ 7. 15π 8. 21101(,)y y dy f x y dx +-⎰⎰ 9. 3412x y c e c e -=+二．判断正误并说明理由 1．对。

（2分）反证法。

若不然，存在[]0,x a b ∈，使得0()0f x ≠ 由()f x 在[],a b 上连续，20()0f x >。

因此存在[][],,a b αβ⊆，使得()()2200(),,(),2f x x f x x αβαβ∈>∈（4分）于是2220()()()()02ba f x f x dx f x dx βαβα≥>->⎰⎰ 这与假设矛盾。

（5分） 2．错。

（2分）如22222220()00x y x y f x x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩（4分） 在原点连续但不可微分。

（5分）3．错。

（2分）反例111(1)nn n n u n ∞∞===-∑∑收敛。

其偶数项组成的级数112n n ∞=∑发散。

（5分） 4．错。

（2分）令u xy v x y=⎧⎨=-⎩ 得 2(,)2f x y x y =+（4分）所以 (,)(,)2(1)x y f x y f x y y ''+=+（5分）三．计算题1. 原式442001tan (3)2cos 2x dx xd x x ππ==⎰⎰分440011sin tan |(4)22cos x x x dx xππ=-⎰分 4011cos (5)82cos d x x ππ=+⎰分1ln )822π=+分 2．原式11arctan ()xd x +∞=-⎰0011arctan (arctan )x d x x x +∞+∞⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰(3分) 211(01)(5)4(1)dx x x π+∞=-+⨯++⎰分221111()ln ln(1)(6)4142x x x x x ππ+∞+∞⎡⎤=+-=+-+⎢⎥+⎣⎦⎰分1ln 242π=+(8分) 3．1()(),z f x x y y f y x y y xϕϕϕϕ∂''''=+++=+++∂ （4分） 2()()()z xf xy x y y x y x yϕϕ∂'''''=++++∂∂（8分） 4．211200sin sin sin (4)()(7)y y Dy y y dxdy dy dx y y dy y y y ==-⎰⎰⎰⎰⎰分分 1sin1(8)=-分5．将方程 2(sin cot )1y x y y '+=变形为2cot sin dx y x y dy-= （3分） 所以cot cot 2sin (6)sin (cos (8)ydy ydy x e ye dy C y y C ---⎡⎤⎰⎰=+=-+⎢⎥⎣⎦⎰分分 四．1．解：设切点的横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点()00,ln x x 处的切线方程是0001ln ()y x x x x -=-(3分） 由该切线过原点知0ln 1x =，从而0x e = (4分)所以切线方程为x y e=（6分） 10()12y e A e ey dy =-=-⎰（8分） 2．解：总利润函数为2212(25)(18)(12)(225)216105L R C p x p y z x x y y x y x y x y =-=+-+=-+--++=--++-（3分）41602100x y L x L y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩40x y =⎧⇒⎨=⎩（6分） 则1210(7(p p =⎧⎨=⎩万元/t)万元/t)（7分） 所以52L =（万元）（8分）五．证明：1230n u u u u <≤≤≤≤≤ 且{}n u 有界所以{}n u 收敛且有 1111101n n n n n n n n n u u u u u v w u u u ++++--<=-=≤=（3分） 考察nw ∑ 因为11111111111()()N N n n N n n N n n u u S u u u u u u u +++==-==-=-∑∑ ，lim N N S →∞存在（5分） 所以n w ∑收敛所以n v ∑收敛。

经济数学基础（一） 微积分统考试题（A ）（120分钟）一、填空（2×10=20分）1.)(x f 的定义域是[]4,1，则)()1(x f x f +-的定义域是 。

2.=∞→n n n x2sin2lim 。

3.当=k 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=001)(1x kx e xx f x 在0=x 处连续。

4.若)(x f 可导，且2)1()1(lim=--+→hh f h f h ，则=')1(f 。

5.设需求函数p e Q 5.0100-=，则在价格2=p 时的需求弹性=)(p η 。

6.设)0(>=x x y x ，则='y 。

7.设)(ln x f y =，则=dy 。

8.='=-'=-)1(,3)1(),()(f f x f x f 则且若 。

9.设某商品的需求函数为,2100P Q -=则当50=Q 时其边际收益为 。

10.xxx y )1(+=的水平渐近线为=y 。

二、单项选择（2×5=10分）1.当0→x 时，与x 等价的无穷小量是（ ）。

A.x x +3C.x cos 1-D.)sin(sin x 2.若21)(lim=→x ax f x ，则=→xbx f x )(lim 0（ ）。

A.a b 2 B.b a 2 C.ab21 D.2ab3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）。

A.不连续B.极限不存在C.连续且可导D.连续但不可导 4.下列函数中（ ）满足罗尔定理。

A.2()1x f x x =+ []1,1- B.()ln sin f x x = 5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.()sin f x x = []1,1- D.21()1f x x =+ []2,2- 5.下列极限为e 的是（ ）A 、lim-∞→x x x )11(- B 、lim -∞→x x x 1)1(-- C 、lim 0-→x x x 1)1(- D 、lim ∞→x 2)11(2x x +三、计算题（一）（5×3=15分）1.求lim x →+∞。