半离散Kuramoto-Sivashinsky方程的全局吸引子

dt

t n1 t
tn
e fdt 。
(1.4)
利用梯形面积法则知：
t
上式的估计误差为：
t n1
n
g s ds

2
g t g t ，
n 1 n
(1.5)
t
t n1
n
g s ds

g 。 g t g t 2 12
2


(1.8)
其中， e 。因为 1 ，为了得到相同的连续估计，我们用 来代替 2 。同时为了简化运算，我们用 f 1 来代替 f 。因此，有： 2
n 1 un 1 u n 1 u n 1 2 n 1 4u n u n 1 u n x u u x x 2 2 2 2
Abstract: We study the long-time behaviour with a periodical boundary condition of semi-discrete KuramotoSivashinsky equation in 1 . First, we use the Crank-Nicolson scheme to discrete this equation to prove that such a semi-discrete equation possesses a global arrtactor in H 1 R , then we also show that this global attractor is actually a compact set of L2 and H 1 . Keywords: Kuramoto-Sivashinsky Equation; Crank-Nicolson Scheme; Global Attractor



，
(1.7)

e
n 1
e n
2
f
上式乘以 e n 1 ，有：
u
1
n 1
un

1 1 u n 1 2 u n x 2 2
n 1 n 1 2 u n 1 u n 4 u u 1 f ， x x 2 2 2
半离散 Kuramoto-Sivashinsky 方程的全局吸引子
董胜楠，朱朝生
西南大学数学与统计学院，重庆 Email: ShengnanDongswu@, zcs@ 收稿日期：2013 年 3 月 27 日；修回日期：2013 年 4 月 12 日；录用日期：2013 年 4 月 21 日




1 2t t 2 4 t t u t t e t u t x e x e u t x e u t e f 。 2


2




(1.3)
对于给定的时间离散 0 ， 我们考虑定义为 n n 的时间一致子列 t n 上积分，有：
2 L
2



4
2 un
2 L
2


4
u n 1
2 L
2
，
所以：
n 1 1 u 4
2 L2
1 4
2 n u
2 L2

2

f
2 L2
。
由于 是充分小的，我们有：
1
所以：
u n 1
2
L2


摘 要：本文研究在 1 上具有周期边界条件的半离散 Kuramoto-Sivashinsky 型方程解的长时间行为。 首先利用 Crank-Nicolson 格式对其进行离散，然后证明了该方程在 L2 和 H 1 上紧的全局吸引子的存在。 关键词：Kuramoto-Sivashinsky 方程；Crank-Nicolson 格式；全局吸引子
我们对步长 作一些限制，当 足够小时，我们有下面的引理： 引理 2.2 存在一个正常数 c ，使得
2 4 1) R L L2 , H s , 0 s 4 ； c 2) x R L L1 , L2 。

n
n n 1 ， 并且将(1.3)在时间区间 t , t
2 t n1 n t n1 1 4 t t 2 u t e t u t n 1 e t u t n t n x e 2 x e u t x e u t 2
1 1， 4 4
4
1
un
2
L2


f
2
L2
。
由离散的 Growall 引理，有：
un
2 L2
n u0
2 L2
1 n

பைடு நூலகம்
4 1
2
f
2 L2
。
引理 2.1 得证。
显然满足引理 2.1，即若 u0 E 且 f L ，它满足 8 f 我们把(1.9)改写成：
Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 223-227 doi:10.12677/pm.2013.33033 Published Online May 2013 (/journal/pm.html)
Global Attractor for Semi-Discrete Kuramoto-Sivashinsky Equation
其中， 0 是耗散参数， f L2 是不依赖于时间的外力项函数， u0 x 是初始函数，T 是周期。 由于 Kuramoto-Sivashinsky 方程自身的复杂性以及其描述物理现象的能力（例如降膜朝向的稳定性以及火 焰前锋的不稳定性等），有很多学者对 Kuramoto-Sivashinsky 方程做了大量的研究，参见文[1-7]。 很多学者对于 Schrödinger 方程的全局吸引子做了大量研究，文[8,9]对非线性方程的吸引子的正则性做了一 定的研究，文[10]证明了非线性的弱耗散方程的全局吸引子的存在。文[11]证明了弱耗散的双曲方程的吸引子的 存在。但是在本文中我们采用的的不是传统的证明吸引子存在的方法，这里我们采用的是文[12]中的方法。用 Crank-Nicolson 格式对 Kuramoto-Sivashinsky 方程进行离散，再利用一致先念估计的方法证明离散全局吸引子的
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董胜楠，朱朝生 半离散 Kuramoto-Sivashinsky 方程的全局吸引子
在 H 4 上的范数有界，最后证明半群 S 在 H 3 存在并且 S 有一个紧的全局吸引子。
2. 主要结果的证明
假设 1 ，我们证明这个格式在 L2 上 是一致稳定的。 引理 2.1 设 是充分小的，那么：
1
1


2


f 。
(1.9)
现在我们陈述本文的主要结果： 定理 1.1 若 f L2 满足， 8 f
u n 1 Su n S n 1u0 是(1.9)的解。
2 L2
2 ，方程(1.9)有一个离散的半群 S n ， n 1 时满足： u0 E ， c
n 1 n 3
2
(1.6)
令子列 u n u t n ，这里 u 是(1.4)的解的连续形式。在(1.4)中使用(1.5)的法则有：
n n 1 n 1 1 n 1 n 1 n n 1 e 2 u e 2 un e u e u x 2 2 n n ( n 1) n 1 1 n 1 n 1 n n 4 e u e u 2 e u e u x x 2 2
w Ru n

2
Rf R x w2 ， 4
1

其中，
2 R 1 4 x 。 x 2 2
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董胜楠，朱朝生 半离散 Kuramoto-Sivashinsky 方程的全局吸引子
Shengnan Dong, Chaosheng Zhu
School of Mathematics and Statistic, Southwest University, Chongqing Email: ShengnanDongswu@, zcs@ Received: Mar. 27th, 2013; revised: Apr. 12th, 2013; accepted: Apr. 21st, 2013 Copyright © 2013 Shengnan Dong, Chaosheng Zhu. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
1. 引言
本文研究在 1 上具有周期边界条件的 Kuramoto-Sivashinsky 型方程解的长时间行为：
ut uu x u xx u xxxx u f ，
(1.1) (1.2)
u x , 0 u0 x , u x T u x .