2019届高三数学文一轮复习：第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练13含解析

第二章函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第七节函数的图象A级·基础过关｜固根基｜1。

(2019届沈阳市质量监测）函数f(x)＝错误!的图象大致为()解析：选C因为y＝x2－1与y＝e｜x|都是偶函数，所以f(x）＝错误!为偶函数，排除A、B；又f（2)＝错误!＜1,排除D，故选C。

2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是()解析:选C小明匀速运动时，所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D;后来为了赶时间加快速度行驶，排除B。

3．(一题多解)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（)A．y＝ln（1－x）B．y＝ln(2－x）C．y＝ln（1＋x) D．y＝ln(2＋x）解析:选B解法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x,y），由对称性知点(2－x，y）在函数f(x）＝ln x的图象上,所以y＝ln(2－x），故选B.解法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A、C、D，故选B.4．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为（）A．y＝f(｜x|) B．y＝f(－｜x|)C．y＝｜f（x）| D．y＝－f（｜x｜)解析:选B观察函数图象，图②是由图①保留y轴左侧部分图象，并将左侧图象翻折到右侧所得．因此,图②中对应的函数解析式为y＝f(－|x|）．5．函数y＝错误!的图象大致为（)解析：选B函数y＝错误!的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，排除A 项；∵f(－x)＝错误!＝－f(x)，f(x)是奇函数，排除C项;当x＝2时，y＝错误!＞0，排除D项．6．已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（e－x）的大致图象是(）解析：选B令g(x）＝f(e－x)，则g(x）＝错误!化简得g（x)＝错误!因此g(x)在(0，＋∞)，（－∞，0）上都是减函数,A、C、D不成立．7．已知函数f(2x＋1）是奇函数，则函数y＝f(2x）的图象的对称中心为(）A．(1,0) B．(－1，0）C.错误!D.错误!解析：选C f(2x＋1）是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f（2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移12个单位长度得到的,故关于点错误!成中心对称．8．已知函数f(x）＝dax2＋bx＋c(a，b，c,d∈R）的图象如图所示，则（）A．a＞0，b＞0,c＜0，d＜0 B．a＜0，b＞0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＞0，c＞0，d＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0解析：选B由题图可知，x≠1且x≠5，则ax2＋bx＋c＝0的两根为1,5，由根与系数的关系,得－错误!＝6，错误!＝5，∴a，b异号，a，c同号，排除A、C；又∵f(0）＝错误!＜0，∴c，d异号，排除D，只有B项适合．9．(2019届石家庄模拟)在同一平面直角坐标系中,函数y＝g （x）的图象与y＝e x的图象关于直线y＝x对称．而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x）的图象关于y轴对称，若f(m）＝－1，则m ＝________．解析:由题意知g（x)＝ln x，则f（x)＝ln(－x），若f（m）＝－1,则ln（－m)＝－1，解得m＝－1 e.答案:－错误! 10。

课后跟踪训练(十二)基础巩固练一、选择题1．若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定[解析] 若函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则f (－2)·f (2)<0，否则， f (－2)·f (2)>0，故选D.[答案] D2．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝3x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 由题意知f (x )单调递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝3＋1－2＝2>0，即f (0)·f (1)<0且函数f (x )在(0,1)内连续不断，所以f (x )在区间(0,1)内有一个零点．故选B.[答案] B3．(2018·吉林省实验中学段考)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103[解析] 解法一：当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (3)<0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有且仅有一个零点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－a 2(10－3a )<0， 解得52<a <103；当⎩⎪⎨⎪⎧12<a2<3，Δ＝a 2－4≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f (3)>0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有一个或两个零点，解得2≤a <52； 当a ＝52时，函数的零点为12和2，符合题意； 当a ＝103时，函数的零点为13或3，不符合题意． 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.故选D.解法二：令f (x )＝0，则a ＝x 2＋1x .令g (x )＝x 2＋1x ， 而g ′(x )＝1－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，g ′(x )<0；当x ∈(1,3)时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.故选D. [答案] D[解析] g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点等价于f (x )＝m 有三个不同的根，等价于函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的公共点．在同一直角坐标系中画出函数y ＝f (x )，y ＝m 的图象(如图所示)，观察其交点个数，显然当－14<m <0时，两个函数图象有三个不同的公共点．故选C.[答案] C5.(2018·安徽安庆二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x )的周期是2，画出函数f (x )和g (x )的部分图象，如图所示，由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点，故F (x )有2个零点．故选B.[答案] B 二、填空题6．函数f (x )＝ln(2x )－1的零点为________． [解析] 由ln(2x )－1＝0，得2x ＝e ，所以x ＝e2. 故f (x )＝ln(2x )－1的零点为e2. [答案] e27．(2019·四川绵阳模拟)函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎨⎧f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎨⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故填(0,3)．[答案] (0,3)8．(2019·山东济宁高三期末)设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为________．[解析] 方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，因为函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4.[答案] 4 三、解答题9．(2019·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ， (1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为{a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<a <34.10．(2019·贵州调研)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． [解] (1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．能力提升练11．(2019·云南昆明一模)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若函数f (x )，g (x )的零点分别为a ，b ，则有( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0[解析] 易知函数f (x )，g (x )在定义域上都是单调递增函数，且f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2＋1>0，所以a ，b 存在且唯一，且a ∈(0,1)，b ∈(1,2)，从而f (1)<f (b )<f (2)，g (0)<g (a )<g (1)，于是f (b )>0，g (a )<0，即g (a )<0<f (b )．[答案] A12．(2019·昆明市高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋a ，x <1，ln x ＋1，x ≥1，若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－∞，5)D ．(－∞，5][解析] 解法一：当x ≥1时，由ln x ＋1＝2，得x ＝e ，由方程f (x )＝2有两个解知，当x <1时，方程x 2－4x ＋a ＝2有唯一解．令g (x )＝x 2－4x ＋a －2＝(x －2)2＋a －6，则g (x )在(－∞，1)上单调递减，所以当x <1时，g (x )＝0有唯一解，则g (1)<0，得a <5，故选C.解法二：随着a 的变化引起y ＝f (x )(x <1)的图象上下平移，作出函数y ＝f (x )的大致图象，如图，由图象知，要使f (x )＝2有两个解．则a －3<2，得a <5，故选C.[答案] C13．(2019·河南名校联考)已知函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一的零点，则实数m 的值为________．[解析] 由题意，函数f (x )为偶函数，在x ＝0处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为0，则02－m cos0＋m 2＋3m －8＝0，解得m ＝－4或m ＝2.将m ＝－4代入解析式，得f (x )＝x 2＋4cos x －4，分离得两个函数y ＝－x 2＋4，y ＝4cos x ，如图知f (x )存在3个零点，不符合题意，仅m ＝2时f (x )存在唯一零点．[答案] 214．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．[解] (1)作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图(1)．图(1)可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图(2)．图(2)∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．拓展延伸练15．(2019·山西质量检测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，则方程f [f (x )]＝3的根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2(x －1)|，1<x ≤3，12x 2－92x ＋10，x >3，若方程f (x )＝m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m x 1＋m x 2(x 3＋x 4)的取值范围为________．[解析] 方程f (x )＝m 有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4可转化为函数f (x )的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4，作出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象得0<m <1，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)．由f (x 1)＝f (x 2)可得，|log 2(x 1－1)|＝|log 2(x 2－1)|，又1<x 1<2<x 2，所以log 2(x 1－1)＋log 2(x 2－1)＝0，得(x 1－1)(x 2－1)＝1，整理得x 1x 2＝x 1＋x 2，所以1x 1＋1x 2＝1. 由f (x 3)＝f (x 4)及二次函数图象的对称性，得x 3＋x 4＝9，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m x 1＋m x 2(x 3＋x 4)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2(x 3＋x 4)＝9m ∈(0,9)．[答案](0,9)。

课时追踪训练 (十二 )[基础稳固 ]一、选择题1．若函数 f(x)在区间 [ －2,2]上的图象是连续不停的曲线，且 f(x)在(－2,2)内有一个零点，则 f(－2) ·f(2)的值 ()A ．大于 0B ．小于 0C ．等于 0D ．不可以确立[分析 ] 若函数 f(x)在(－2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则 f(－2) ·f(2)<0，不然， f(－2) ·f(2)>0，应选 D.[答案 ] D．若函数 f(x) ＝ 2－x －1 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值为 ()2ax1A ．0B ．－ 4C ．0 或－ 1D ．24[分析 ] 当 a ＝0 时，函数 f(x)＝－ x －1 为一次函数，则－ 1 是函数的零点， 即函数仅有一个零点；当 a ≠0 时，函数 f(x)＝ax 2－x －1 为二次函数，而且仅有一个零点，则一元二次方程 ax 2－x －1＝0 有两个相等实根．1∴Δ＝1＋4a ＝0，解得 a ＝－ 4.1综上，当 a ＝0 或 a ＝－ 4时，函数仅有一个零点．[答案 ] C ． (2017 ·湖北襄阳四校联考 ) 函数 f(x) ＝ 3 x ＋x 3 －2 在区间 (0,1)内的零点个数 3是()A ．0B ．1C ．2D ．3[分析 ] 由题意知 f(x)单一递加，且 f(0)＝1＋0－2＝－ 1<0，f(1)＝3＋1－2＝ 2>0，即 f(0) ·f(1)<0 且函数 f(x)在(0,1)内连续不停，因此 f(x)在区间 (0,1)内有一个零点．[答案 ] B． (2018 ·长沙模拟 ) 已知函数 f(x) ＝ － 1x－2的零点为 x ，则 x 所在的区4lnx 2间是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[分析]∵ f(1)＝－ 1 －1 112＝－ 2<0，f(2)＝ ln2－2 0＝ln2－ 1<0.f(3)＝ln3－ ＝211ln3－lne 2 ，∵ 3>e 2，∴ f(3)>0，故 x 0∈(2,3)，选 C.[答案 ] C． (2017 ·辽宁大连二模 ) 已知偶函数 ＝ ∈ R ) 知足 f(x) ＝ 2－3x(x ≥0)， 5 y f(x)(x xlog 2x ，x>0，若函数 g(x)＝ 1则 y ＝f(x)－g(x)的零点个数为 ()－x ，x<0，A ．1B ．3C ．2D ．4[分析 ] 作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有 3 个不一样交点，因此函数 y ＝f(x)－g(x)有 3 个零点，应选 B.[答案] B2x－2a ，x ≤0，6．(2017 河·北承德模拟 )若函数 f(x)＝ 2有三个不一样的零点，x －4ax ＋a ，x>0则实数 a 的取值范围是 ()1 B ． 11 A. 2，＋∞4，2C ．(－∞， 0)∪ 1，1D ．(－∞， 0)∪ 1，＋∞4 24[ 分析]由题意知，当 ≤0 时，函数f(x) 有1 个零点，即2 x －2a ＝0 在 x ≤0x1上有根，因此 0<2a ≤1 解得 0<a ≤2；当 x>0 时函数 f(x)有 2 个零点，只要16a 2－4a>0， 1 114a>0，解得 a>4，综上可得实数 a 的取值范围是 4<a ≤2. a>0，[答案 ]B二、填空题7．已知函数 f(x)＝3x ＋3x －8，用二分法求方程 3x ＋3x －8＝0 在(1,3)内近似解的过程中，取区间中点 x 0＝2，那么下一个有根区间为 ________．[ 分析 ] f(1)＝31＋3－8＝－ 2<0，f(2)＝32 ＋6－ 8＝7>0，f(3)＝ 33＋ 9－8＝28>0，故下一个有根区间为 (1,2)．[答案 ] (1,2)． ·四川绵阳模拟 ) 函数 f(x) ＝ 2 x－2－a 的一个零点在区间 (1,2)内，则 8 (2017x实数 a 的取值范围是 ________．[分析 ] 由题意，知函数 f(x)在(1,2)上单一递加，又函数一个零点在区间 (1,2)， －a<0，f 1 <0解得 0<a<3，故填 (0,3)．内，因此即4－1－a>0，f 2 >0，[答案 ] (0,3)ax 2＋2x ＋1，x ≤0，9．已知函数f(x)＝ 有 3 个零点，则实数 a 的取值范ax －3，x>0，围是 ________．[分析 ] 由于函数 f(x)有 3 个零点，因此当 x>0 时，方程 ax －3＝0 有解，故2，因此当 ≤ 时，需知足－2a <0，a>0 即 0<a<1.综上， a 的取值范围是x 0＝4－4a>0，(0,1)．[答案 ] (0,1)三、解答题210．已知函数 f(x)＝－ x2＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋ex (x>0)．(1)若 y ＝g(x)－ m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确立 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根．图(1)e2[解 ] (1)作出 g(x)＝x ＋ x (x>0)的大概图象如图 (1)．可知若使 y ＝g(x)－m 有零点，则只要 m ≥2e.(2)若 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两个不一样的交点，图(2)e2作出 g(x)＝x ＋ x (x>0)的大概图象如图 (2)．∵ f (x)＝－ x 2＋2ex ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为 x ＝e ，张口向下，最大值为 m －1＋e 2.故当 m －1＋e 2>2e ，即 m>－e 2＋2e ＋1 时， g(x)与 f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根．∴m 的取值范围是 (－e 2＋2e ＋1，＋∞ )．[能力提高 ]11． (2017 ·云南昆明一模 )设函数f(x)＝e x ＋x －2，g(x)＝lnx ＋ x 2－3.若函数f(x)，g(x)的零点分别为 a ，b ，则有 ()A ．g(a)<0<f(b)B ．f(b)<0<g(a)C ．0<g(a)<f(b)D ．f(b)<g(a)<0[分析 ] 易知函数 f(x)，g(x)在定义域上都是单一递加函数， 且 f(0)＝－ 1<0，f(1)＝e －1>0，g(1)＝－ 2<0，g(2)＝ln2＋1>0，因此 a ，b 存在且独一，且 a ∈(0,1)，b ∈(1,2)，进而 f(1)<f(b)<f(2)，g(0)<g(a)<g(1)，于是 f(b)>0，g(a)<0，即 g(a)<0<f(b)．[答案]A12．(2017 ·甘肃省兰州市高三诊疗 )设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对随意的 x ∈R ，都有 f(x ＋2)＝f(x)．当 0≤x ≤1数 y ＝f(x)的图象有两个不一样的公共点，则实数时， f(x)＝x 2.若直线a 的值是 ()y ＝x ＋a 与函A ．n(n ∈Z )B ．2n(n ∈Z )C ．2n或12n －4(n ∈Z )D ．n或1n －4(n ∈Z )[分析 ] 依题意得，函数 y ＝f(x)是周期为 2 的偶函数，在[0,2)上，由图象 (图1略)易得，当 a ＝0 或－ 4时，直线 y ＝x ＋a 与函数 y ＝f(x)的图象有两个不一样的公1共点，∵函数 f(x)的周期为 2，∴ a 的值为 2n 或 2n －4(n ∈Z )．[答案 ] C． ·陕西省宝鸡市高三一检 ) 设函数 f(x) 2－x ，x<1，若函数 y ＝＝13 (2017log 2x ，x ≥1，f(x)－k 有且只有两个零点，则实数 k 的取值范围是 ________．[分析 ]－ x1∵当 x<1 时， 2 > ；当 x ≥1 时， log 2x ≥0，依题意函数 y ＝f(x)的21 图象和直线 y ＝k 的交点有两个，∴ k>2.1[答案 ]2，＋ ∞14． (2017 ·云南省高三一致检测 )已知 y ＝f(x)是 R 上的偶函数，对于随意的x ∈R ，均有 f(x)＝f(2－x)，当 x ∈[0,1] 时，f(x)＝(x －1)2，则函数 g(x)＝f(x)－log 2017|x－ 1|的全部零点之和为 ________．[分析 ] 由于函数 f(x)是偶函数， f(x)＝f(2－ x)，因此 f(x)＝f(－x)＝f(x ＋2)，因此函数 f(x)的周期为 2，又当 x ∈ [0,1] 时， f(x)＝(x －1)2，将偶函数 y ＝log 2017|x|的图象向右平移一个单位长度获得函数 y ＝log 2017|x － 1|的图象，由此可在同一平面直角坐标系下作函数 y ＝f(x)与 y ＝log 2017|x －1|的图象 (图略 )，函数 g(x)的零点，即为函数 y ＝f(x)与 y ＝log 2017|x －1|图象的交点的横坐标，当 x>2018 时，两函数图象无交点，又两函数图象在 [1,2018]上有 2016 个交点，由对称性知两函数图象在[ －2016,1]上也有 2016 个交点，且它们对于直线 x ＝1 对称，因此函数 g(x)的全部零点之和为4032.[答案 ] 403215． (2018 ·烟台模拟 )已知二次函数 f(x)＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于随意的 a ∈R ，方程 f(x)＝1 必有实数根”的真假，并 写出判断过程；(2) 若 y ＝ f(x) 在区间 － 及 0，1内各有一个零点，务实数 a 的取值范围．(1,0) 2[解 ] (1)“对于随意的 a ∈R ，方程 f(x)＝1 必有实数根 ”是真命题．依题意， f(x)＝1 有实根，即 x 2＋(2a －1)x －2a ＝0 有实根，由于＝(2a －1)2＋ 8a ＝(2a ＋1)2≥0 对于随意的 a ∈ R 恒建立，即 x 2＋(2a －1)x －2a ＝0 必有实根，进而 f(x)＝1 必有实根．1(2)依题意，要使 y ＝f(x)在区间 (－1,0)及 0，2 内各有一个零点，f －1 >0，3－4a>0， 只要 f 0 <0，即 1－2a<0，13f 2 >0，4－a>0，1 3解得 2<a<4.1 3故实数 a 的取值范围为 {a 2<a<4 .16．已知二次函数 f(x)的最小值为－ 4，且对于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{ x|－1≤x≤3， x∈R} ．(1)求函数 f(x)的分析式；f x(2)求函数 g(x)＝x－4lnx 的零点个数．[ 解 ] (1) ∵ f(x) 是二次函数，且对于x 的不等式f(x)≤0 的解集为 { x|－1≤x≤3，x∈R} ，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且 a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－ 4a＝－ 4，a＝1.故函数 f(x)的分析式为 f(x)＝x2－2x－3.x2－2x－3(2)∵g(x)＝x －4lnx＝x－3－4lnx－2(x>0)，x∴g′(x)＝1＋32－4＝x－ 1 x－32. x x x令 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝3.当 x 变化时， g′(x)，g(x)的取值变化状况以下：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞ ) g′(x) ＋0 －0 ＋g(x) 极大值极小值当 0<x≤3 时， g(x)≤g(1)＝－ 4<0.又由于 g(x)在 (3，＋∞)上单一递加，因此g(x)在(3，＋∞)上只有 1 个零点．故 g(x)在(0，＋∞)上仅有 1 个零点．[延长拓展 ](2017 ·郑州市高三一测 )对于函数 f(x)与 g(x)，若存在λ∈{ x∈R|f(x)＝0} ，μ∈{ x∈R|g(x)＝0} ，使得 |λ－μ|≤1，则称函数 f(x)与 g(x)互为“零点亲密函数”，现已知函数 f(x)＝e x－2＋x－3 与 g(x)＝x2－ax－x＋4 互为“零点亲密函数”，则实数 a 的取值范围是 ________．[分析 ]易知函数f(x)为增函数，且f(2)＝e2－2＋2－3＝0，因此函数f(x)＝e x －2＋x－3 只有一个零点 x＝2，则取λ＝2，由|2－μ|≤1，知 1≤μ≤3.由 f(x)与 g(x)互为“零点亲密函数”知函数 g(x)＝ x2－ax－ x＋4 在区间 [1,3]内有零点，即方程2x－ax－x＋4＝0 在[1,3] 内有解，因此4a＝x＋x－1，而函数4a＝x＋x－1 在[1,2]上单一递减，在 [2,3] 上单一递加，因此当x＝2 时，a 取最小值 3，又当 x＝1 时，10a＝4，当 x＝3 时， a＝3，因此 a max＝4，因此实数 a 的取值范围是[3,4] ．[答案 ] [3,4]。

课时跟踪检测（十一） 函数与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：个．解析：依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个． 答案：32．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－123．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是______．解析：设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)<0，即4＋2m －6<0，解得m <1.答案：(－∞，1)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x2＋bx ＋c ，x≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为______．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋x ＝0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.答案：35．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x －2，x≤0，－1＋ln x ，x>0的零点个数为________．解析：法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．答案：26．(2018·苏州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________．解析：作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (－1)·f (1)<0，即(1－a )(1＋a )<0，解得a <－1或a >1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．(2018·上海七校联考)设x 0为函数f (x )＝2x＋x －2的零点，且x 0∈(m ，n )，其中m ，n 为相邻的整数，则m ＋n ＝________.解析：函数f (x )＝2x＋x －2为R 上的单调增函数，又f (0)＝1＋0－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，所以f (0)·f (1)＜0，故函数f (x )＝2x＋x －2的零点在区间(0,1)内，故m＝0，n ＝1，m ＋n ＝1.答案：13．(2018·镇江中学检测)已知函数f (x )＝2x＋2x －6的零点为x 0，不等式x －4＞x 0的最小的整数解为k ，则k ＝________.。

【课时训练】指数与指数函数一、选择题1．(2019某某某某调研)函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )A B C D 【答案】B【解析】由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．故选B.2．(2018某某某某一中月考)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A【解析】由题意可知a >1, f (－4)＝a 3,f (1)＝a 2，由y ＝a t(a >1)的单调性知a 3>a 2，所以 f (－4)>f (1)．3．(2018某某某某调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．4．(2018某某某某一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x【答案】D【解析】由题图可知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x.故选D.5．(2018某某省实验中学分校月考)函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C【解析】函数y ＝16－2x中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝∈[0,4)．故选C.6．(2018某某某某第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )·(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4【答案】D【解析】由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．(2018某某某某联考)已知函数f (x )＝e x，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则下列关于f (x )的性质：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②y ＝f (x )不存在反函数；③f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22；④方程f (x )＝x 2在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④【答案】B8．(2018某某某某联考)若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1【答案】B【解析】∵函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a ，∴函数f (x )的定义域为[a ，＋∞)． ∵函数f (x )的定义域与值域相同， ∴函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又∵函数f (x )在[a ，＋∞)上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.故选B.二、填空题9．(2018某某某某一模)已知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________. 【答案】12【解析】∵f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 10．(2018某某一中月考)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.【答案】 3【解析】当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.11．(2018某某十校联考)已知max (a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max {e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．【答案】e【解析】由于f (x )＝max {e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.12．(2018某某某某海阳一中期中)已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值X 围为________．【答案】[2,4] 【解析】函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．三、解答题13．(2018某某余姚中学月考)已知定义在R 上的函数 f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，某某数m 的取值X 围． 【解】(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值X 围是[－5，＋∞)．。

课时跟踪训练(五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (5)＝( )A ．32B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C. [答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. [答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x .[答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x ＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12 8．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1. [答案] [0,1]三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1； (4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524. (3)当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号， 所以x ＋1x ＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋1x ＋1≤－1. 故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2 ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22，故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x 2 1<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.[答案] －x (x ＋1)215．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．[解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1. 综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511. ②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意． 当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0. 又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>0，f 2(x )，f (x )≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。

课时跟踪训练(九)[基础巩固]一、选择题1、已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (x )的值域为( )A 、[9,81]B 、[3,9]C 、[1,9]D 、[1,＋∞)[解析] 由题得32－b ＝1,∴b ＝2,∴f (x )＝3x －2,又x ∈[2,4],∴f (x )∈[1,9],选C.[答案] C2、(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,则f (x )( )A 、是奇函数,且在R 上是增函数B 、是偶函数,且在R 上是增函数C 、是奇函数,且在R 上是减函数D 、是偶函数,且在R 上是减函数[解析] 因为f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,且定义域为R ,所以f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x ),即函数f (x )是奇函数、又y ＝3x 在R 上是增函数,y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数,所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数、故选A.[答案] AA 、－2a 3bB 、－8a bC 、－6a bD 、－6ab[解析] ＝－6ab ,故选C.[答案] C 4、设a ＝40.8,b ＝80.46,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2,则a ,b ,c 的大小关系为( )A 、a >b >cB 、b >a >cC 、c >a >bD 、c >b >a[解析] ∵a ＝40.8＝21.6,b ＝80.46＝21.38,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2＝21.2,1.6>1.38>1.2,y ＝2x 为R 上的增函数,∴a >b >c . [答案] A5、函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B 、(－∞,－1]C 、[2,＋∞)D 、⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2[解析] 由－x 2＋x ＋2≥0,解得－1≤x ≤2,故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的定义域为[－1,2]、根据复合函数“同增异减”原则,得所求增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. [答案] D6、(2017·山东潍坊三模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－43 ,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－ 25 ,c ＝⎝⎛⎭⎪⎫125－13 ,则( )A 、a <b <cB 、b <c <aC 、c <b <aD 、b <a <c[解析] 因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－43 ＝2 43 ,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－ 25 ＝245,c ＝⎝⎛⎭⎪⎫125－13 ＝5 23 ,显然有b <a ,又a ＝423 <5 23＝c ,故b <a <c .[答案] D 二、填空题 7、不等式2－x 2＋2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________、 [解析] 2－x 2＋2x>2－x －4,∴－x 2＋2x >－x －4,即x 2－3x －4<0,∴－1<x <4.[答案] {x |－1<x <4}8、已知函数f (x )＝a －x (a >0,且a ≠1),且f (－2)>f (－3),则a 的取值范围是________、[解析] 因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x,且f (－2)>f (－3),所以函数f (x )在定义域上单调递增, 所以1a >1,解得0<a <1. [答案] (0,1)三、解答题9、若函数f (x )＝a x －1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a ＝________.[解析] 当a >1时,f (x )为增函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0a 2－1＝2,∴a ＝3； 当0<a <1时,f (x )为减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0无解,故a ＝ 3. [答案]310、化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23 －3π0＋3748；[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912 ＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.[能力提升]11、(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0,且a ≠1),满足f (1)＝19,则f (x )的单调递减区间是( )A 、(－∞,2]B 、[2,＋∞)C 、[－2,＋∞)D 、(－∞,－2][解析] 由f (1)＝19,得a 2＝19,解得a ＝13或a ＝－13(舍去),即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞,2]上递减,在[2,＋∞)上递增,所以f (x )在(－∞,2]上递增,在[2,＋∞)上递减、[答案] B12、(2017·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0,且a ≠1),如果以P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上,那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A 、1B 、aC 、2D 、a 2[解析] ∵以P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上, ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ,∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1. [答案] A13、(2017·四川巴中检测)定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ,给出如下结论：①f (x )＝e x －e －x2且0<f (1)<g (2)；②∀x ∈R ,总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1；③∀x ∈R ,总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0；④∃x 0∈R ,使得f (2x 0)>2f (x 0)g (x 0)、其中所有正确结论的序号是( )A 、①②③B 、②③C 、①③④D 、①②③④[解析] 由题意得,⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋g (x )＝e x，f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝e －x ⇒ ⎩⎨⎧f (x )＝e x －e －x2，g (x )＝e x＋e －x2.①：0<f (1)＝e －e －12<e 2<e 2＋e －22＝g (2),故①正确；②：[g (x )]2－[f (x )]2＝⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋e －x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫e x－e －x 22＝1,故②正确； ③：f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝－f (x )g (x )＋f (x )g (x )＝0,故③正确；④2f (x 0)g (x 0)＝2·＝f (2x 0),故④错误,即正确的结论为①②③,故选A.[答案] A14、(2018·河北保定联考)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a >0且a ≠1)对应的图象如图所示,那么g (x )＝__________.[解析] 函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1，12,所以a ＝12.当x <0时,g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x .[答案] －2x15、(2017·陕西西安二模)若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0,a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13,则函数f (x )在[0,3]上的最小值等于________、[解析] 令x －2＝0得x ＝2,且f (2)＝1－2a ,所以函数f (x )的图象恒过定点(2,1－2a ),因此x 0＝2,a ＝13,于是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2－23,f (x )在R 上单调递减,故函数f (x )在[0,3]上的最小值为f (3)＝－13.[答案] －1316、(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ,且e 为自然对数的底数)、(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ,使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在,求出t ；若不存在,请说明理由、[解] (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ,∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x,∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立, ∴f (x )在R 上是增函数、又∵f (x )的定义域为R ,且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x ), ∴f (x )是奇函数、(2)存在、由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数,则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立,⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立, ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立,⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立,⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0,又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0,∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12,使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立、[延伸拓展]设[x ]表示不超过实数x 的最大整数,如[2.6]＝2,[－2.6]＝－3.设g (x )＝a xa x ＋1(a >0,且a ≠1),那么函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (x )－12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (－x )－12的值域为( )A 、{－1,0,1}B 、{0,1}C 、{1,－1}D 、{－1,0}[解析] ∵g (x )＝a x a x ＋1,∴g (－x )＝1a x ＋1,∴0<g (x )<1,0<g (－x )<1,g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时,0<g (－x )<12,∴f (x )＝－1. 当0<g (x )<12时,12<g (－x )<1,∴f (x )＝－1. 当g (x )＝12时,g (－x )＝12,∴f (x )＝0. 综上,f (x )的值域为{－1,0},故选D. [答案] D。

（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测（六）函数的奇偶性及周期性文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测（六）函数的奇偶性及周期性文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测（六）函数的奇偶性及周期性文的全部内容。

课时跟踪检测(六）函数的奇偶性及周期性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2）＝________。

解析：因为f（x）为R上的奇函数,所以f(0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f（－2)＝－f(2）＝－（22－1)＝－3。

答案:－32．(2017·南京三模）已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时，f(x）＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是________．解析:偶函数f(x)在[0，＋∞）上单调递增，且f（2)＝2.所以f（x－1）≤2,即f（｜x－1｜)≤f(2），即|x－1｜≤2，所以－1≤x≤3。

答案：［－1,3]3．函数f（x）＝x＋错误!＋1，f(a)＝3，则f（－a）＝________。

解析:由题意得f（a)＋f(－a）＝a＋错误!＋1＋(－a）＋错误!＋1＝2。

所以f(－a)＝2－f（a）＝－1.答案：－14．函数f（x）在R上为奇函数，且x〉0时，f（x）＝x＋1，则当x<0时，f(x）＝________.解析:因为f（x）为奇函数，x>0时,f(x)＝错误!＋1，所以当x〈0时,－x〉0，f(x）＝－f(－x）＝－（错误!＋1)，即x<0时，f(x）＝－（错误!＋1)＝－错误!－1。

第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。

课时跟踪检测（十二） 函数模型及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x ，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0＜x ＜10)．所以当x ＝4时，y max ＝340.即单价为10元/件，利润最大．答案：102．(2018·郑集中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝R －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a 表示)解析：D ＝R －A ＝a A －A ，令t ＝A(t ＞0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．答案：14a 2 3．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x≤3，8＋－＋1，3＜x≤8，8＋2.15×5＋－＋1，x ＞8， 由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：9 4．(2018·苏州调研)世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是________．(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)解析：设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.答案：1.7%5．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________．解析：设这个广场的长为x 米，则宽为40 000x 米．所以其周长为l ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x ≥800， 当且仅当x ＝200时取等号．答案：8006．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函数解析式，得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24二保高考，全练题型做到高考达标1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，所以100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．答案：102．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(100＋x )－80×1 000＝－5x 2＋500x ＋20 000＝－5(x －50)2＋32 500，故当x ＝50时，y max ＝32 500，此时售价为每件150元．。