[推荐学习]高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义知

2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________． 答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法 剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0， 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ． 反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二 向量在解析几何中的应用 【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x－2y＋4＝0.反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.所以CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大． 正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________． 答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰 8．如图所示，已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2－|AB |2＝0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角互动课堂疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底{e 1,e 2},已知a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =(a 1e 1+a 2e 2)(b 1e 1+b 2e 2)=a 1b 1e 12+(a 1b 2+a 2b 1)·e 1·e 2+a 2b 2e 22.因为e 1·e 1=e 2·e 2=1,e 1·e 2=e 2·e 1=0,故a ·b =a 1b 1+a 2b 2. 疑难疏引(1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是在正交基底{e 1,e 2}下实现的.(2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件,设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),如果a ⊥b ,则a 1b 1+a 2b 2=0,反之,若a 1b 1+a 2b 2=0,则a ⊥b .当a ⊥b 时,若b 1b 2≠0,则向量(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,这是因为a ⊥b ,a 1b 1+a 2b 2=0,即a 1b 1=-a 2b 2,1221b ab a =-.两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,特别地,向量k(-b 2,b 1)与向量(b 1,b 2)垂直,k 为任意实数.例如向量(3,4)与向量(-4,3)、(-8,6)、(12,-9)、…都垂直. 疑难疏引设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),a 1b 1+a 2b 2=0⇒a ⊥b 且a ⊥b ⇒a 1b 1+a 2b 2=0. 3.向量的长度、距离和夹角公式(1)已知a =(a 1,a 2),则|a |2=a 2=a 12+a 22,即|a |=2221a a +.语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB |=212212)()(y y x x -+-. 此式可视为A 、B 两点的距离公式.(2)设向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),故cos 〈a ,b 〉=222122212211||||b b a a b a b a b a ba +++=•.特别提示:该处夹角公式是非零向量的夹角公式. 活学巧用1.设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值. 解析：利用a ·b =|a |·|b |·cosθ建立方程,解方程即可. a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3), (a +t b )·b =(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5, |a +t b |=20)1(52++t ,由(a +t b )·b =|a +t b |·|b |·cos45°得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验t=-3不合题意,舍去,只取t=1.2.已知点A(2,3),若把向量OA 绕原点O 按逆时针旋转90°得向量OB ,求点B 的坐标.解析：要求点B 的坐标,可设为B(x,y),利用⊥,| |=||列方程解决之. 设点B 坐标为(x,y),因为⊥,| |=||,所以⎩⎨⎧=+=+.13,03222y x y x 解得⎩⎨⎧=-=2,3y x 或⎩⎨⎧-==2,3y x (舍去). 所以B 点坐标为(-3,2).3.已知a =(2,32-4),b =(1,1),求a 与b 的夹角θ. 解析：向量坐标已知,可利用夹角坐标公式解决. a ·b =(2,32-4)·(1,1)=2+32-4=32-2,|a |·|b |=).13(42)32(1611)432(22222-=•-=+•-+ ∴cosθ=21)13(4232=--. 又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.4.已知a +b +c =0,|a |=3,|b |=5,|c |=7,求〈a ,b 〉的值. 解析：∵a +b +c =0,∴a +b =-c .∴|a +b |=|c |.∴(a +b )2=c 2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2.∴a ·b =2152925492||||||2222222=--=--=--b a c b a c . ∴cos〈a ,b 〉=215||||=•b a b a ÷(3×5)= 21.∴〈a ,b 〉=3π.。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：1.平面向量的数量积．(重点)2.平面向量数量积的几何意义．(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)[自主预习·探新知]1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cos θ；②a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[基础自测]1．思考辨析(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( )(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0.( )(3)|a·b |≤a·b .( ) (4)(a·b )2＝a 2·b 2.( )[解析] (1)×.因向量的夹角包括180°，直线的倾斜角不包括180°. (2)√.由数量积的定义可知． (3)×.|a ·b |≥a·b ，(4)×.(a·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，且a 与b 的夹角为60°，那么a·b 等于________． 3 [a·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝ 3.]3．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a·b 为________．2 [设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝23，所以a ·b ＝|b ||a |cos θ＝3×23＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)已知单位向量e 1，e 2的夹角为3，a ＝2e 1－e 2，则a 在e 1上的投影是________．(2)给出下列结论：①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝0，其中正确结论的序号是________．(3)已知向量a 与b 满足|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°.求： ①(a －b )·(a －b )； ②(2a ＋b )·(a －b ).[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1)32 (2)④ [(1)设a 与e 1的夹角为θ，则a 在e 1上的投影为|a |cos θ＝a ·e 1|e 1|＝a ·e 1＝(2e 1－e 2)·e 1＝2e 21－e 1·e 2＝2－1×1×cos π3＝32.(2)因为两个非零向量a ，b 垂直时，a ·b ＝0，故①不正确； 当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ， 故②不正确；向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0，故④正确． (3)①(a －b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝100－9＝91.②因为|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°， 所以a·b ＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a·b －b 2＝200＋15－9＝206.][规律方法] 求平面向量数量积的步骤是：求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；分别求|a |和|b |；求数量积，即a·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：b 在a 方向上的投影为|b |cos θθ为a ，b 的夹角，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.b 在a 方向上的投影为a·b |a |，a 在b 方向上的投影为a·b|a |. [跟踪训练]1．(1)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．311[设AB →＝a ，AC →＝b ，由已知得|a |＝3，|b |＝2，a·b ＝|a ||b |cos 60°＝3， 因为BD →＝2DC →，所以AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， 所以AD →＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b ，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ·(λb －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－23a·b －13a 2＋2λ3b 2＝(λ－2)－13×9＋2λ3×4＝－4，解得λ＝311.](2)设非零向量a 和b ，它们的夹角为θ.①若|a |＝5，θ＝150°，求a 在b 方向上的投影； ②若a·b ＝9，|a |＝6，求b 在a 方向上的投影． [解] ①|a |·cos θ＝5×cos 150°＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－532，∴a 与b 方向上的投影为－532. ②a·b |a |＝96＝32， ∴b 在a 方向上的投影为32.(1)2b |＝_______. (2)已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，求|b |. [思路探究] 灵活应用a 2＝|a |2求向量的模．(1)23 [(1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2·|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a ＋2b |＝12＝2 3. (2)因为|2a ＋b |＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1， 所以4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0， 解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)．] [规律方法] 求向量的模的常见思路及方法求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方.a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化一些常见的等式应熟记，如a ±b2＝a 2±2a·b ＋b 2，a ＋b a －b ＝a 2－b 2等.[跟踪训练]2．已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |. [解] 由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a·b ＋b 2＝16.(*) ∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9， 代入(*)式得4＋2a·b ＋9＝16，即2a ·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝4－3＋9＝10， ∴|a －b |＝10.[1．设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a ·b 等于多少？反之成立吗？ 提示：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．|a ·b |与|a ||b |的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？ 提示：|a ·b |≤|a ||b |，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ. 两边取绝对值得：|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |. 当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”， 所以|a ·b |≤|a ||b |，cos θ＝a ·b|a ||b |.(1)已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角.[思路探究] (1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同． (2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a |与|b |的关系，再求a 与b 的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞) [(1)∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k ＞0，∴k ＞0.当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k ＞0且k ≠1. (2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a·b ＝0， ∴2a·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.]母题探究：1.将例3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”其他条件不变，求k 的取值范围．[解] ∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为钝角，∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k ＜0， ∴k ＜0.当k ＝－1时e 1＋k e 2与k e 1＋e 2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围是k ＜0且k ≠－1.2．将例3(1)中的条件“锐角”改为“π3”，求k 的值．[解] 由已知得|e 1＋k e 2|＝e 21＋2k e 1·e 2＋k 2e 22＝1＋k 2， |k e 1＋e 2|＝k 2e 21＋2k e 1·e 2＋e 22＝k 2＋1，(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2＝2k ， 则cos π3＝e 1＋k e 2k e 1＋e 2|e 1＋k e 2||k e 1＋e 2|＝2k 1＋k 2，即2k 1＋k 2＝12整理得k 2－4k ＋1＝0 解得k ＝4±122＝2± 3.[规律方法] 1.求向量夹角的方法：(1)求出a·b ，|a |，|b |，代入公式cos θ＝a·b|a ||b |求解．(2)用同一个量表示a·b ，|a |，|b |代入公式求解． (3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2；当cos θ＜0时，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当cos θ＝0时，θ＝π2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0B [因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a·b ＝2×12－(－1)＝3，故选B.]2．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a·b 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2B [因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，所以a·b ＝(3e 1＋2e 2)·(－3e 1＋4e 2)＝－9|e 1|2＋8|e 2|2＋6e 1·e 2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.]3．已知|a |＝3，|b |＝5，且a·b ＝12，则向量a 在向量b 的方向上的投影为________. 125[设a 与b 的夹角为θ， 因为a·b ＝|a ||b |cos θ＝12， 又|b |＝5，所以|a |cos θ＝125， 即a 在b 方向上的投影为125.]4．若a·b ＜0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [因为a·b ＝|a ||b |cos θ＜0， 所以cos θ＜0，又θ∈[0，π]，所以θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.]5．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.[解] a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝a ＋b2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.。