下载文档原格式
![周建方版材料力学习题解答[第十章]](https://img.taocdn.com/s1/m/f2c2ec320b4e767f5acfceb1.png)
10-1 题10-1图所示木制短柱的四角用四个40mm ⨯40mm ⨯4mm 的等边角钢加固。
已知角钢的许用应力G P a E M P a 200,160][==钢钢σ；木材的许用应力GPa E MPa 10,12][==木木σ。
试求许可载荷。
解：由静力平衡条件：F F F =+钢木 （1）变形协调条件：钢钢钢木木木l E l F l E l F l ==∆ （2）20625.025.025.0m A =⨯=木[]241016.12036.004.0004.04m A -⨯=+⨯⨯=钢代入（2）式可得钢钢木F F F 57.21016.2102000625.01010499=⨯⨯⨯⨯⨯=- （3） 题10-1图由于：[][]kN A F 7500625.010126=⨯⨯==木木木σ[][]kN A F 4.4911016.121016046=⨯⨯⨯==-钢钢钢σ从（3）是可知，当角钢达到一定的许用载荷时（194.4kN ），而木材未达到2.57⨯194.4kN=499.6kN 的许用载荷[][][]kN F F F 6944.19457.24.194=⨯+=+=∴木钢10-2 受予拉力10kN 拉紧的缆索如题10-2图所示。
若在C 点再作用向下的载荷15kN ，并设缆索不能承受压力，试求在5lh =和54l h =两种情况下，AC 和BC 两段内的内力。
解：已知预拉力kN F y 10=，图a 所示，再在C 处加F=15kN 载荷，缆索中所产生的轴力如图所示，然后叠加起来。
平衡条件： F F F NB NA =+ （1） 变形协调条件： 0=∆+∆BC AC l l （2） 即()0=--EAhF EA h l F NA NB （3）由1)、3)式得 F l h l F F lhF NA NB ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==,于是缆索AC,BC 所受轴力分别为 题10-2图F l hF F F F y NB y NBC +=+= （4） F lhl F F F F y NA y NAC --=-= （5）当l h 51=时02<-=--=⋅kN F lhl F F Y AC N 由于缆索不能承受压力，所以 0=NAC F 即kN F NA 10= 代入（1） 式kN F NB 5= 则kN F F F NB y NBC 15=+= 当 l h 54=时 kN F l h l F F y NAC 7155110=⨯-=--= kN F l h F F y NBC 22155410=⨯+=+=10-3 在题10-3图所示结构中，设横梁AB 的变形可以忽略，杆1、2的横截面面积相等，材料相同。
材料力学常用公式1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同一材料制成的圆轴各段的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料；脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,29.平面应力状态的三个主应力, ,30.主平面方位的计算公式31.面最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力,34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式，39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.568.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得。
轴向拉压杆横截面上的应力：正应力：σ=N/A；应力单位N/m2，即Pa。
轴向拉压杆斜截面上的应力：总应力：pα=N/Aα=σcosα；正应力：σα=σcos2α；剪应力：τα= =(σsin2α)/2。
α：由横截面外法线转至斜截面外法线的转角，以逆时针转动为正；Aα：斜截面的面积；σα：拉应力为正，压应力为负；τα：以其对脱离体内一点产生顺时针转动为正，反之为负。
最大剪应力发生在α=±45°处的斜截面上。
轴向拉伸的变形：轴向变形△L=L’-L；ε=△L /L；横向变形：△a=a’-a；ε’=△a/a；虎克定律：应力不超过材料比例极限时，应力与应变成正比。
即：σ= Eε；△L= NL/ EA；EA为杆件的抗压（拉）刚度，表示杆件抵抗拉、压弹性变形的能力。
泊松比ν：应力不超过材料的比例极限时，ν=|ε’/ε|，ν是材料的弹性常数之一，无量纲。
变形能：杆件在外力作用下因变形而存储的能量。
轴向抗压杆的弹性变形能：U=N△L/2。
比能：单位体积存储的变形能。
u=σε/2。
单位：J/m3。
名义剪应力：假定剪应力沿剪切面均匀分布的。
则：τ=V/A V。
A V：剪切面面积。
纯剪切：单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力称为纯剪切。
纯剪应力引起剪应变γ，即相互垂直的两线段间角度的改变。
单位为rad。
规定以单元体左下直角增大时，γ为正，反之为负。
剪应力互等定律：在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线。
τ=τ’。
剪切虎克定律：剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力τ与剪应变γ成正比，即τ=Gγ；G：剪切模量。
对各向同性材料，G=E/2(1+ν)。
扭转：杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反，作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。
变形特征：杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。
扭转角φ：杆件任意两横截面间相对转动的角度。
扭矩M T：受扭截面上的内力，是一个在截面平面内的的力偶，其力偶称为力偶矩。
浙江⼯业⼤学材料⼒学第10章答案10.1 ⼀端固定⼀端铰⽀的⼯字形截⾯细长压杆，已知弹性模量GPa 208=E ，截⾯尺⼨200mm×100mm ×7mm ，杆长m l10=，试确定压杆的临界压⼒。
解：4337.16796532121869312200100mm I x =?-?=4332.11719831271861210072mm I y =?+?=因为x y I I <，故y I I =()()kN N l EI F cr 1.49101.49100007.02.117198310208323222=?===πµπ10.2 两端固定的圆截⾯钢质压杆，直径为50mm ，受轴向压⼒F 作⽤。
已知GPa 210=E 和MPa 200=p σ，试确定能够使⽤欧拉公式的最短压杆长度l 。
解：8.10120010210505.044322=??==≥??===πσπλµµλp p E l d l i l可得：mm l 2545≥10.3 截⾯为矩形h b ?的压杆，两端⽤柱销联接（在y x -平⾯内弯曲时，可视为两端铰⽀；在zx -平⾯内弯曲时，可视为两端固定）。
已知GPa 200=E ，MPa 200=p σ，试求：（1）当mm 30=b ，mm50=h 时，压杆的临界压⼒；（2）若使压杆在两个平⾯（y x -和z x -⾯）内失稳的可能性相同时，求b 和h 的⽐值。
解：43331250012503012mm bh I z =?==，1=z µ，故()()kNN l EI F z z cr 1171011723001312500102003232221=?===πµπ43311250012305012mm hb I y =?==，5.0=y µ，故()()kN N l EI F y y cr 1681016823005.0112500102003232222=?===πµπ故kN F cr 117=。
作业参考答案（7-10章）7-１ (a )已知：045201030=-===ατσσMPa MPaMPaxy y xMPa MPa xy yx xy yx yx 1045220452210302224045220452210302103022224545=︒⨯-︒⨯-=+-==︒⨯+︒⨯-++=--++=cos sin cos sin sin cos sin cos ατασστατασσσσσ (b )已知：05.67203010-=-=-==ατσσMPaMPa MPaxy y x567220567223010222343856722056722(-30)102(-30)102222=︒⨯--+︒⨯-+=+-=-=︒⨯-+︒⨯--++=--++=).cos()().sin(cos sin .).sin().cos(sin cos ατασστατασσσσσααxy y x xy yx y x MPa(d )已知：012003050-====ατσσxy y x MPaMPaMPa MPa xy yx xy yx yx 668240230502223524023050230502222..)sin(cos sin )cos(sin cos -=︒--=+-==︒--++=--++=ατασστατασσσσσαα7-2 (a )已知：MPa MPaMPaxy y x 202040===τσσ︒-=︒︒-=-=-⨯-=--====⎩⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎩⎨⎧3587316116463222040202220647365264736522022040220402200003212222....tan ....min max αασστασσστσσσσσσyx xyxy y x y x xMPa MPa MPa MPa(a )7-3(a )解：MPaMPa MPaMPaMPa 6527060260703060311321=+=-===-===σστσσσσσmax max(b )解：给定应力状态中有一个主应力是已知的，即σz =30MPa 。
计算题
10-1、图示矩形截面杆h=200mm ，b=100mm ，P=20KN ，试计算最大正应力。
（cl-xtzj11） 10-2 人字架及承受的载荷如图所示。
试求截面I I -上的最大正应力和a 点的正应力。
10-3 悬臂吊如图所示，起重量（包括电葫芦）G =30kN ，横梁BC 为工字钢，许用应力
[σ]=140MPa ，试选择工字钢的型号（可近似按G 行至梁中点位置计算）。
10-4 图示悬臂梁自由端受一与z 轴成ϕ角的横向力
P 作用，
该力可分解为垂直分力ϕcos P P z =和水平分力ϕsin P P y =。
试据叠加法写出任一截面上任一
点K 的正应力计算式，并确定该梁危险点的位置及
其应力的计算式。
10-5 斜杆AB 的横截面为100×
100mm 2的正方形，若P =3kN ，试
求其最大拉应力和最大压应力。
10-6 砖砌烟囱高H =30m ，底截面I I -的外径d 1=3m ，内
径d 2=2m ，自重G 1=2000kN ，受q =1kN/m 的风力作用。
试
求：
（a ）烟囱底截面上的最大压应力。
（b ）若烟囱的基础埋深h =4m ，基础及填土自重按
G 2=1000kN 计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？
注：计算风力时，可省去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。
10-7 图示一矩形截面杆，用应变片测得杆件上、下表面的
轴向应变分别为a ε=1×10-3，
b ε=0.4×10-3,材料的弹性模量E =210GPa 。
试绘制横截面的正应力分布图；并求拉力P 及
其偏心距e 的数值。
10-8 一矩形截面短柱，受图示偏心压力P 作用，已知许用拉应力
[t σ]=30MPa ，许用压应力[c σ]=90MPa ，求许可压力[P ]。
10-9 材料为灰铸铁ＨＴ15-33的压力机
框架如图所示。
许用拉应力为
[]30=t σMPa ，许用压应力为
[]80=c σMPa 。
试校核框架立柱的强度。
10-10 一手摇绞车如图所示。
已知轴的直
径d =25mm ，材料为Q235钢，其许用应力MPa 80][=σ。
试按第四强度理论求绞车的最大起吊重量W 。
10-11 图示短柱受载荷P 和H 的作用，试求固定端截面上角点A 、B 、C 及D 的正应力，并确定其中性轴的位置。
10-12 短柱的截面形状如图所示，
试确定截面核心。
10-13 已知一牙轮钻机的钻杆为
无缝钢管，外直径D =152mm ，内直径d=120mm ，许用应力[σ]=100MPa 。
钻杆的最大推进压力P =180kN ，扭矩m kN 3.17⋅=T ，试按第三强度理论
校核钻杆的强度。
10-14 一轴上装有两个圆轮如图所示，P 、Q 两力分别
作用于两轮上并处于平衡状态。
圆轴直径d=110mm ，
[σ]=60MPa ，试分别按第三、第四强度理论确定许用
载荷。
10-15 某型水轮机主轴的示意图如图所示。
水轮机组的输出功率为
N =37500kW ，转速n =150r/min 。
已知轴向推力P z =4800kN ，转轮重
W 1=390kN ；主轴的内径d =340mm ，外径D =750mm ，自重W =285kN ，主
轴材料为45钢，其许用应力为[]MPa 80=σ。
试按第四强度理论校核主轴的强度。
10-16 图示皮带轮传动轴，传递功率N =7kW ，
转速n =200r/min 。
皮带轮重量Q =1.8kN 。
左端
齿轮上啮合力P n 与齿轮节圆切线的夹角（压力
角）为20°。
轴的材料为A5，其许用应力
[]MPa 80=σ。
试分别在忽略和考虑皮带轮重
量的两种情况下，按第三强度理论估算轴的直
径。
10-17 飞机起落架的折轴为管状截面，内径d =70mm ，外径
D =80mm 。
材料的许用应力[]MPa 100=σ，试按第三强度
理论校核折轴的强度。
若P =1kN ，Q =4kN 。
10-18 截面为正方形4×4mm 的弹簧垫圈，若两个P 力可视为作用在同
一直线上，垫圈材料的许用应力[]MPa 600=σ，试按第三强度理论求
许可载荷P 。
10-19 铸钢曲柄如图所示。
已知材料的许用
应力[]MPa 120=σ，kN 30=P 。
试用第
四强度理论校核曲柄I I -截面的强度。
10-20、一矩形截面折杆如图所示，已知
KN P P P 25321===，其中1P 沿杆CD 的轴线X ，2P 和3P 分别沿截面D 的两个对称轴（Z 、Y 轴），0
30=α，m 5.0= ，m b a 2.02==，折杆的[]MPa 80=σ，试校核其强度。
（cl-xtzj12）
*10-20宜放在超大型能立一章：
*10-20 两根直径为d 的立柱，上下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，
并在两端受矩为m 的外加扭转力偶作用，如图所示。
试分析杆的受力情
况，绘出内力图，并写出相关应力的表达式。
思改题
10-1、如何判断构件的变形类型？试分析图10-1所示杆件各段杆的变形类型。
10-2、悬臂梁的横截面图形如图所示，若梁的自由端作用有垂直于梁轴的横向载荷P ，其作用方向以图中虚线表示，试指出该梁会发生哪些变形形式，为什么？
（cl-xtzj07）
（cl-xtzj08）
10-3、若10-2所述悬臂梁横截面为图示Z 字形，试运用主轴概念用虚线大致描出能使该梁产生平面弯曲的可能加载方向。
（cl-xtzj10）
10-4、杆件横截面作用的内力分量如图所示，试用相应内力分量及几何尺寸，按第三强度理论写出相应的强度条件。
（cl-xtzj09）。
