山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学

2013年高考理数真题试卷（山东卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数z¯为（）A.2+iB.2﹣iC.5+iD.5﹣i2.已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A.1B.3C.5D.93.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为√3的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A.5π12B.π3C.π4D.π64.函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A.3π4B.π4C.0D.- π45.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组{2x−y−2≥0x+2y−1≥03x+y−8≤0所表示的区域上一动点，则答案第2页，总12页………装…………○…………订…………○…………线请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………装…………○…………订…………○…………线A.2 B.1 C.- 13 D.- 126.函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）A.B.C.D.7.用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A.243 B.252 C.261 D.279第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）………○…………订…………○…………线…………○…_________班级：___________考号：___________………○…………订…………○…………线…………○…8.执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n 值为 ．9.在区间[﹣3，3]上随机取一个数x 使得|x+1|﹣|x ﹣2|≥1的概率为 ． 10.定义“正对数”：ln +x= {0,0＜x ＜1lnx,x ≥1，现有四个命题： ①若a ＞0，b ＞0，则ln +（a b ）=bln +a ；②若a ＞0，b ＞0，则ln +（ab ）=ln +a+ln +b ； ③若a ＞0，b ＞0，则 ln +(ab )≥ln +a −ln +b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln +（a+b ）≤ln +a+ln +b+ln2． 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三、解答题（题型注释）11.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a+c=6，b=2， cosB =79．（1）求a ，c 的值；（2）求sin （A ﹣B ）的值．12.如图所示，在三棱锥P ﹣ABQ 中，PB⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ．答案第4页，总12页……○…………线…………○题※※……○…………线…………○（1）求证：AB∥GH；（2）求二面角D ﹣GH ﹣E 的余弦值．13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 且S 4=4S 2 ， a 2n =2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为T n 且 T n +a n +12n=λ （λ为常数）．令c n =b 2n （n∈N *）求数列{c n }的前n 项和R n ．………外…………○…………装……………○…………线……学校:___________姓名：______________………内…………○…………装……………○…………线……参数答案1.D【解析】1.解：∵（z ﹣3）（2﹣i ）=5， ∴z﹣3= 52−i =2+i ∴z=5+i， ∴ z ¯=5﹣i ． 故选D ．【考点精析】掌握复数的定义是解答本题的根本，需要知道形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部．2.C【解析】2.解：∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C ． 3.B【解析】3.解：如图所示，∵AA 1⊥底面A 1B 1C 1 ， ∴∠APA 1为PA 与平面A 1B 1C 1所成角， ∵平面ABC∥平面A 1B 1C 1 ， ∴∠APA 1为PA 与平面ABC 所成角． ∵==3√34． ∴V 三棱柱ABC ﹣A1B1C1= =，解得 AA 1=√3 ． 又P 为底面正三角形A 1B 1C 1的中心，∴==1，在Rt△AA 1P 中， ，∴ ∠APA 1=π3 ．故选B ．答案第6页，总12页○…………外…………○…………装…………○………订…………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○………订…………○…………线…………○【考点精析】通过灵活运用空间角的异面直线所成的角，掌握已知为两异面直线，A ，C与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．4.B【解析】4.解：令y=f （x ）=sin （2x+φ），则f （x+ π8 ）=sin[2（x+ π8 ）+φ]=sin（2x+ π4 +φ）， ∵f（x+ π8 ）为偶函数， ∴ π4 +φ=kπ+ π2 ， ∴φ=kπ+ π4 ，k∈Z， ∴当k=0时，φ= π4 ． 故φ的一个可能的值为 π4 ．故选B ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．…………装………○…………订…………○…………线…………校:___________姓名：_______班级：___________考号：___________…………装………○…………订…………○…………线………… 5.C【解析】5.解：不等式组 {2x −y −2≥0x +2y −1≥03x +y −8≤0表示的区域如图，当M 取得点A （3，﹣1）时，z 直线OM 斜率取得最小，最小值为 k= −13 =﹣ 13 ． 故选C ．6.D【解析】6.解：因为函数y=xcosx+sinx 为奇函数，所以排除选项B ， 由当x= π2 时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项A 和选项C ． 故正确的选项为D ． 故选D ． 7.B【解析】7.解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252． 故选B ． 8.3【解析】8.解：循环前，F 0=1，F 1=2，n=1， 第一次循环，F 0=1，F 1=3，n=2， 第二次循环，F 0=2，F 1=4，n=3，答案第8页，总12页此时 1F 1=14=0.25 ，满足条件 1F 1≤0.25 ，退出循环，输出n=3，所以答案是：3．【考点精析】解答此题的关键在于理解程序框图的相关知识，掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明． 9.13【解析】9.解：利用几何概型，其测度为线段的长度． 由不等式|x+1|﹣|x ﹣2|≥1 可得 ① {x ＜1(−x −1)−(2−x)≥1，或②{−1≤x ＜2(x +1)−(2−x)≥1 ，③ {x ≥2(x +1)−(x −2)≥1．解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2． 故原不等式的解集为{x|x≥1}，∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x 使得|x+1|﹣|x ﹣2|≥1的概率为P= 3−13−(−3) = 13 ． 所以答案是： 13【考点精析】通过灵活运用几何概型和绝对值不等式的解法，掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等；含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题． 10.①③④【解析】10.解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，a b ≥1，故ln +（a b ）=ln （a b ）=blna ，又bln +a=blna ，故有ln +（a b ）=bln +a ；当a ＜1时，a b ＜1，故ln +（a b ）=0，又a ＜1时bln +a=0，所以此时亦有ln +（a b ）=bln +a ，故①正确；（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b= 13 ，则ab= 23 ，由定义ln +（ab ）=0，ln +a+ln +b=ln2，所以ln +（ab ）≠ln +a+ln +b ，故②错误； （3）对于③，i ． ab ≥1时，此时 ln +(ab )≥ln(ab ) ≥0，当a≥b≥1时，ln +a ﹣ln +b=lna ﹣lnb= ln(ab ) ，此时则 ln +(ab )≥ln +a −ln +b ，命题成立；当a ＞1＞b ＞0时，ln +a ﹣ln +b=lna ，此时 a b ＞a ， ln(ab) ＞lna ，则 ln +(a b )≥ln +a −ln +b ，命题成立；当1＞a≥b＞0时，ln +a ﹣ln +b=0， ln +(a b )≥ln +a −ln +b 成立； ii ． ab ＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；（4）对于④，当a≥1，b≥1时，ln +（a+b ）=ln （a+b ），ln +a+ln +b+ln2=lna+lnb+ln2=ln （2ab ）， ∵a+b﹣2ab=a ﹣ab+b ﹣ab=a （1﹣b ）+b （1﹣a ）≤0， ∴a+b≤2ab，∴ln（a+b ）＜ln （2ab ）， ∴ln +（a+b ）≤ln +a+ln +b+ln2．当a ＞1，0＜b ＜1时，ln +（a+b ）=ln （a+b ），ln +a+ln +b+ln2=lna+ln2=ln （2a ）， ∵a+b﹣2a=b ﹣a≤0， ∴a+b≤2a，∴ln（a+b ）＜ln （2a ），∴ln +（a+b ）≤ln +a+ln +b+ln2．当b ＞1，0＜a ＜1时，同理可证ln +（a+b ）≤ln +a+ln +b+ln2．当0＜a ＜1，0＜b ＜1时，可分a+b≥1和a+b ＜1两种情况，均有ln +（a+b ）≤ln +a+ln +b+ln2． 故④正确．所以答案是①③④．【考点精析】关于本题考查的命题的真假判断与应用，需要了解两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能得出正确答案． 11.（1）解：∵a+c=6①，b=2，cosB= 79，∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2﹣2accosB=（a+c ）2﹣2ac ﹣ 149 ac=36﹣ 329 ac=4， 整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）解：∵cosB= 79 ，B 为三角形的内角，∴sinB= √1−(79)2 = 4√29 ，∵b=2，a=3，sinB=4√29， ∴由正弦定理得：sinA= asinBb = 3×4√292 =2√23， ∵a=c，即A=C ，∴A 为锐角，∴cosA= √1−sin 2A = 13 ，则sin （A ﹣B ）=sinAcosB ﹣cosAsinB= 2√23 × 79 ﹣ 13 × 4√29 = 10√227答案第10页，总12页………○…………订………○…………线…………○在※※装※※订※※线※※内※※答※※题………○…………订………○…………线…………○【解析】11.（1）利用余弦定理列出关系式，将b 与cosB 的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb 的值，与a+c 的值联立即可求出a 与c 的值即可；（2）先由cosB 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，再由a ，b 及sinB 的值，利用正弦定理求出sinA 的值，进而求出cosA 的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式和正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握两角和与差的正弦公式：；正弦定理:才能正确解答此题．12.（1）证明：如图，∵C，D 为AQ ，BQ 的中点，∴CD∥AB， 又E ，F 分别AP ，BP 的中点，∴EF∥AB，则EF∥CD．又EF ⊂平面EFQ ，∴CD∥平面EFQ ．又CD ⊂平面PCD ，且平面PCD∩平面EFQ=GH ，∴CD∥GH． 又AB∥CD，∴AB∥GH（2）解：由AQ=2BD ，D 为AQ 的中点可得，三角形ABQ 为直角三角形，以B 为坐标原点，分别以BA 、BQ 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设AB=BP=BQ=2，则D （1，1，0），C （0，1，0），E （1，0，1），F （0，0，1）， 因为H 为三角形PBQ 的重心，所以H （0， 23 ， 23 ）． 则 DC →=(−1,0,0) ， CH →=(0,−13,23)EF →=(−1,0,0) ， FH →=(0,23,−13) ．设平面GCD 的一个法向量为 m →=(x 1,y 1,z 1)第11页，总12页由 {m →⋅DC →=0m →⋅CH →=0，得 {−x 1=0−13y 1+23z 1=0 ，取z 1=1，得y 1=2．所以 m →=(0,2,1) ．设平面EFG 的一个法向量为 n →=(x 2,y 2,z 2)由 {n →⋅EF →=0n →⋅FH →=0，得 {−x 2=023y 2+13z 2=0 ，取z 2=2，得y 2=1．所以 n →=(0,1,2) ． 所以 cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=55= 45 ．则二面角D ﹣GH ﹣E 的余弦值等于- 45【解析】12.（1）由给出的D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC 平行于EF ，再利用线面平行的判定和性质得到DC 平行于GH ，从而得到AB∥GH；（2）由题意可知BA 、BQ 、BP 两两相互垂直，以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA 、BQ 、BP 的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D ﹣GH ﹣E 的余弦值．【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的性质的相关知识，掌握一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行． 13.（1）解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 2n =2a n +1，取n=1，得a 2=2a 1+1，即a 1﹣d+1=0①再由S 4=4S 2，得 4a 1+4×3d 2=4(a 1+a 1+d) ，即d=2a 1②联立①、②得a 1=1，d=2．所以a n =a 1+（n ﹣1）d=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1（2）解：把a n =2n ﹣1代入 T n +a n +12n=λ ，得 T n +2n 2n =λ ，则 T n =λ−2n2n ．所以b 1=T 1=λ﹣1，当n≥2时， b n =T n −T n−1=(λ−2n2n )−(λ−2(n−1)2n−1) =n−22n−1．所以 b n =n−22n−1 ， c n=b 2n =2n−222n−1=n−14n−1．R n =c 1+c 2+…+c n = 0+141+242+⋯+n−14n−1③14R n=142+243+⋯+n−14n④答案第12页，总12页………订…………○……※※线※※内※※答※※题※※………订…………○……③﹣④得： 34R n =14+142+⋯+14n −n−14n = 14(1−14n−1)1−14−n−14n所以 R n =49(1−3n+14n) ； 所以数列{c n }的前n 项和 R n =49(1−3n+14n)【解析】13.（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{a n }的通项公式；（2）把{a n }的通项公式代入 T n +a n +12n=λ ，求出当n≥2时的通项公式，然后由c n =b 2n 得数列{c n }的通项公式，最后利用错位相减法求其前n 项和．【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n 项和的相关知识点，需要掌握通项公式：或；数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系才能正确解答此题．。

2013·山东卷(理科数学)1． 复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i1．D [解析] 设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈)，由题意得(a ＋bi －3)(2－i)＝(2a ＋b －6)＋(2b －a＋3)i ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －6＝5，2b －a ＋3＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴z ＝5－i.2． 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．92．C [解析] ∵x ，y ∈{}0，1，2，∴x －y 值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，∴集合B 中元素的个数是5.3． 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．A [解析] ∵f ()x 为奇函数，∴f ()－1＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎫12＋11＝－2.4． 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π64．B [解析] 设侧棱长为a ，△ABC 的中心为Q ，联结PQ ，由于侧棱与底面垂直，∴PQ ⊥平面ABC ，即∠PAQ 为PA 与平面ABC 所成的角．又∵V ABC －A 1B 1C 1＝34×()32×a ＝94，解得a ＝3，∴tan ∠PAQ ＝PQ AQ ＝332×3×23＝3，故∠PAQ ＝π3.5． 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π45．B [解析] 方法一：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，若f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，必有π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，当k ＝0时，φ＝π4.方法二：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，其对称轴所在直线满足2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，又∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，∴y 轴为其中一条对称轴，即π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，当k ＝0时，φ＝π4.6． 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－126．C [解析] 不等式组表示的可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，解得P ()3，－1，当M 与P 重合时，直线OM 斜率最小，此时k OM ＝－1－03－0＝－13.图1－17． 给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．A [解析] ∵⌝p 是q 的必要不充分条件，∴q 是⌝p 的充分而不必要条件，又“若p ，则⌝q ”与“若q ，则⌝p ”互为逆否命题，∴p 是⌝q 的充分而不必要条件．8． 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )图1－28．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x ＝π2时，y ＝1>0，排除选项C ；x ＝π，y ＝－π<0，排除选项A ；故选D.9． 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝09．A [解析] 方法一：设点P(3，1)，圆心为C ，设过点P 的圆C 的切线方程为y －1＝k ()x －3，由题意得|2k －1|1＋k 2＝1，解之得k ＝0或43，即切线方程为y ＝1或4x －3y －9＝0.联立⎩⎨⎧y ＝1，()x －12＋y 2＝1，得一切点为()1，1，又∵k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－1k PC ＝－2，即弦AB 所在直线方程为y －1＝－2()x －1，整理得2x ＋y －3＝0.方法二：设点P(3，1)，圆心为C ，以PC 为直径的圆的方程为()x －3()x －1＋y ()y －1＝0，整理得x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0，联立⎩⎨⎧x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0①，()x －12＋y 2＝1②，①，②两式相减得2x ＋y－3＝0.10． 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．27910．B [解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.11．、 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.2 33 D.4 3311．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为()2，0，连线的方程为y ＝－p4()x －2，联立⎩⎨⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12px 2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．12． 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．312．B [解析] 由题意得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤12 x y ·4yx－3＝1， 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时，等号成立，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －24y 2－6y 2＋4y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.13．图1－3执行如图1－3所示的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．13．3 [解析] 第一次执行循环体时，F 1＝3，F 0＝2，n ＝1＋1＝2，1F 1＝13>0.25；第二次执行循环体时，F 1＝2＋3＝5，F 0＝3，n ＝2＋1＝3，1F 1＝15<0.25，满足条件，输出n ＝3.14．、 在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 14.13[解析] 当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x ≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x ≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝13.15． 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．15.712 [解析] ∵AP →⊥BC →， ∴AP →·BC →＝()λAB →＋AC →·()AC →－AB→＝－λAB →2＋AC →2＋()λ－1AC →·AB →＝0， 即－λ×9＋4＋()λ－1×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解之得λ＝712. 16．、 定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ；②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④ [解析] ①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a ≥1，ln ＋(a b )＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b <1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋(a b )＝bln ＋a ＝0，∴①正确；②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立；③中，当a b ≤1，即a ≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b ≤0，左边≥右边成立；当a b >1时，左边＝ln ab＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确；④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b ≥1，ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln(a ＋b 2)，又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b ，a ，b 至少有1个大于1，∴ln(a ＋b 2)≤ln a 或ln(a ＋b 2)≤ln b ，即有ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln(a ＋b 2)≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．17．、 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B)的值．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝4 29.由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝2 23.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2 A ＝13.因此sin(A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ＝10 227.图1－418．、 如图1－4所示，在三棱锥P －ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，联结GH.(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D －GH －E 的余弦值．18．解：(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC.又EF 平面PCD ，DC 平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD.又EF 平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH. 又EF ∥AB ，所以AB ∥GH.(2)方法一：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ.因为PB ⊥平面ABQ ，所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ，图1－5所以AB ⊥平面PBQ.由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ.又FH 平面PBQ ，所以GH ⊥FH.同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角．设BA ＝BQ ＝BP ＝2.联结FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC ＝2，在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC ＝ 5.又H为△PBQ 的重心，所以HC ＝13PC ＝53.同理FH ＝53.在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝59＋59－22×59＝－45.即二面角D －GH －E 的余弦值为－45.方法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)．所以EQ →＝(－1，2，－1)，FQ →＝(0，2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1，2)．设平面EFQ 的一个法向量为＝(x 1，y 1，z 1)， 由·EQ →＝0，·FQ →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得＝(0，1，2)． 设平面PDC 的一个法向量为＝(x 2，y 2，z 2)， 由·DP →＝0，·CP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0， 取z 2＝1，得＝(0，2，1)．所以cos 〈，〉＝m·n |m||n |＝45.因为二面角D －GH －E 为钝角，所以二面角D －GH －E 的余弦值为－45.图1－519．、 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A 1)＝(23)3＝827，P(A 2)＝C 23(23)2(1－23)×23＝827， P(A 3)＝C 24(23)2(1－23)2×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A 4)＝C 24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427， 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 根据事件的互斥性得 P(X ＝0)＝P(A 1＋A 2)＝P(A 1)＋P(A 2)＝1627.又P(X ＝1)＝P(A 3)＝427.P(X ＝2)＝P(A 4)＝427，P(X ＝3)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝327，故X 的分布列为X 0 1 2 3P 1627 427 427 327所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.20．、 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈)，求数列{c n }的前n 项和R n .20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1 得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1， 解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n ∈*.(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈*.所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1， 则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ，两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n 1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ， 整理得R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．21．、 设函数f(x)＝xe2x ＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数．21．解：(1)f′(x)＝(1－2x)e －2x .由f′(x)＝0，解得x ＝12，当x<12时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，12)，单调递减区间是(12，＋∞)，最大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝12e －1＋c. (2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe －2x －c ，x ∈(0，＋∞)．①当x ∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx －xe－2x－c ，所以g′(x)＝e－2x(e 2xx＋2x －1)．因为2x －1>0，e 2xx>0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx －xe －2x －c ，所以g′(x)＝e －2x(－e 2x x＋2x －1)．因为e 2x ∈(1，e 2)，e 2x >1>x>0，所以－e 2xx<－1.又2x －1<1，所以－e 2xx＋2x －1<0，即g′(x)<0.因此g(x)在(0，1)上单调递减．综合①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e －2－c.当g(1)＝－e －2－c>0，即c<－e －2时，g(x)没有零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当g(1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g(x)只有一个零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当g(1)＝－e －2－c<0，即c>－e －2时，(ⅰ)当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g(x)＝lnx －xe －2x －c ≥lnx －(12e －1＋c)>lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需使lnx －1－c>0，即x ∈(e 1＋c ，＋∞)；(ⅱ)当x ∈(0，1)时，由(1)知g(x)＝－lnx －xe －2x －c ≥－lnx －(12e －1＋c)>－lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需－lnx －1－c>0，即x ∈(0，e －1－c)；所以c>－e －2时，g(x)有两个零点， 故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2. 综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.22． 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，联结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．22．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0. 由题意知||my 0＋3y 0y 20＋（x 0＋3）2＝||my 0－3y 0y 20＋（x 0－3）2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1， 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22 . 因为－3<m<3，－2<x 0<2，可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0. 所以m ＝34x 0. 因此－32<m<32. 方法二：设P(x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P(3，12)或P ⎝⎛⎭⎫3，－12. 若P ⎝⎛⎭⎫3，12，则直线PF 1的方程为x －4 3y ＋3＝0. 由题意得|m ＋3|7＝3－m ， 因为－3<m<3，所以m ＝3 34. 若P ⎝⎛⎭⎫3，－12，同理可得m ＝3 34. ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)．由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22， 所以（m ＋3）2（m －3）2＝1＋1k 211＋1k 22. 因为x 204＋y 20＝1， 并且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3， 所以（m ＋3）2（m －3）2＝4（x 0＋3）2＋4－x 204（x 0－3）2＋4－x 20＝3x 20＋8 3x 0＋163x 20－8 3x 0＋16＝（3x 0＋4）2（3x 0－4）2， 即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|.因为－3<m<3，0≤x 0＜2且x 0≠3， 所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0. 整理得m ＝3x 04， 故0≤m ＜32且m ≠3 34. 综合①②可得0≤m ＜32. 当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，32. (3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k （x －x 0），整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0， 所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8， 因此为定值，这个定值为－8.。

一、选择题 1 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设zx y =+,其中实数x,y 满足200,0x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为6,则z 的最小值为 （ ）A ．—3B ．—2C ．—1D ．0【答案】A由z x y =+得y x z =-+,作出20,0x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的区域BCD,平移直线y x z =-+,由图象可知当直线经过C 时,直线的截距最大,此时6z =,由6y x y x =⎧⎨=-+⎩解得33x y =⎧⎨=⎩,所以3k =,解得(6,3)B -代入z x y =+的最小值为633z =-+=-,选（ ）A ．2 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）若实数x y 、满足2400x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则21y z x +=-的取值范围为 （ ）A ．2(,4][,)3-∞-⋃+∞B ．2(,2][,)3-∞-⋃+∞C ．2[2,]3- D ．[【答案】A【解析】做出不等式组对应的平面区域OBC .因为21y z x +=-,所以z 的几何意义是区域内任意一点(,)x y 与点(1,2)P -两点直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点时,斜率最小,经过点,P B 时,直线斜率最大.由题意知(0,2),(4,0)B C ,所以22410PB k --==--,202143PC k --==-,所以21y z x +=-的取值范围为23z ≥或4z ≤-,即2(,4][,)3-∞-⋃+∞,选 （ ）A ．由40x y x y +=⎧⎨-=⎩,得22x y =⎧⎨=⎩,即(2,2)A ,此时321523AM k -==-,所以35n z m -=-的最小值是13,选 D ．3 ．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ,若目标函数z ax by =+(a .>0,b >0),最大值为12,则b a 32+ 的最小值为 （ ）A ．724 B ．625 C ．5 D ．4【答案】B【解析】做出可行域,由z ax by =+得a zy x b b=-+,因为0,0a b >>,所以直线斜率0a b -<,直线截距越大,z 越大,做出直线a zy x b b=-+,,由图象可知当直线a zy x b b =-+经过点B 时,截距做大,此时12z =,由36020x y x y --=⎧⎨-+=⎩得46x y =⎧⎨=⎩,代入直线z ax by =+得4612a b +=,即132a b+=.所以2323232325()()23232326a b a b a b a b b a +=++=+++≥++=,当且仅当a bb a=,即a b =时取等号,所以选B ．4 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）若不等式231x x k -+->-对任意的x R ∈恒成恒成立,则实数k 的取值范围 （ ）A ．(-2,4)B ．(0,2)C ．[2,4]D ．[0,2]【答案】B 因为23x x -+-的最小值是1,所以要使不等式231x x k -+->-对任意的x R ∈恒成恒成立,则有11k >-,即111k -<-<,所以02k <<,即实数k 的取值范围(0,2),选 B ．5 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知不等式2x x ++≤a 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是（ ）A ．a <2B ．a ≤2C ．a >2D ．a ≥2【答案】D 因为2x x ++的最小值为2,所以要使不等式的解集不是空集,则有2a ≥,选 D ．6 ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y =+（ ）A ．有最小值2,最大值3B ．有最小值2,无最大值C ．有最大值3,无最大值D ．既无最小值,也无最大值【答案】B【解析】做出可行域如图(阴影部分).由z x y =+得y x z =-+,做直线y x =-,平移直线y x =-由图可知当直线经过点C(2,0)时,直线y x z =-+的截距最小,此时z 最小为2,没有最大值,选 B ．7 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知()(2)(3),()22x f x a x a x a g x -=+--=-,同时满足以下两个条件:①,()0()0x R f x g x ∀∈<<或; ②(1,)()()0x f x g x ∃∈+∞⋅<，成立,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1(4,)2-B ．1(,4)(,0)2-∞--C ．(4,1)(1,0)---D ．11(4,2)(,)22---【答案】C 解:由()0g x <⇒1x >-,要使对于任意x ∈R ,()0f x <或()0g x <成立,则1x ≤-时,()(2)(3)0f x a x a x a =+--<恒成立,故0a <,且两根2a -与3a +均比1-大,得40a -<<①.因为(1,)x ∈+∞)时,()0g x <,故应存在0(1,)x ∈+∞,使f (x 0)>0, 只要12a >-或13a >+即可,所以12a >-或2a <-②,由①、②求交,得14202a a -<<--<<或,即实数a 的取值范围是1(4,2)(,0)2--- ,选C ． 8 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知变量x 、y,满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则41(24)z og x y =++的最大值为 （ ）A ．23B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】设2t x y =+,则2y x t =-+.做出不等式组对应的可行域如图为三角形OBC 内.做直线2y x =-,平移直线2y x =-,当直线2y x t =-+经过点C 时,直线2y x t =-+的截距最大,此时t 最大,对应的z 也最大,由20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩,得1,2x y ==.即(1,2)C 代入2t x y =+得4t =,所以41(24)z og x y =++的最大值为44431(24)(44)82z og x y log log =++=+==,选 C ．9 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））如果不等式57|1|x x ->+和不等式220ax bx +->有相同的解集,则 （ ）A ．8,10a b =-=-B ．1,9a b =-=C ．4,9a b =-=-D ．1,2a b =-=【答案】C【解析】由不等式57|1|x x ->+可知50x ->,两边平方得22(5)49(1)x x ->+,整理得24920x x ++<,即24920x x --->.又两不等式的解集相同,所以可得4,9a b =-=-,选 C ．10．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设实数,x y 满足不等式组1103300x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩,则 2z x y =+的最大值为 （ ）A ．13B ．19C ．24D ．29【答案】A【 解析】由2z x y =+,得2y x z =-+.做出不等式组对应的平面区域BC D ．A ．11．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）设0.533,log 2,cos 2a b c ===,则（ ）A ．c <b a <B ．c a b <<C ．a <b c <D ．b <c a <【答案】A【解析】0.531=>,,30log 21<<,,cos 20<,所以c b a <<,选（ ）A ．12．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是（ ）A ．(一∞,-2)U(7,+co)B ．[1,4]C ．[-2,1】U 【4,7】D ．(2,1][4,7)-【答案】D【解析】由3|52|9x ≤-<得3259x ≤-<,或9253x -<-≤-,即47x ≤<或21x -<≤,所以不等式的解集为(2,1][4,7)- ,选D ．13．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩,则目标函数y x z -=的最小值为 （ ）A ．2-B ．5C ．6D ．7【答案】A由z x y =-得y x z =-.作出不等式对应的平面区域BCD,平移直线y x z =-,由平移可知,当直线y x z =-经过点C 时,直线的截距最大,此时z 最小.由218y x x y =-⎧⎨+=⎩,解得35x y =⎧⎨=⎩,即(3,5)C ,代入z x y =-得最小值为352z =-=-,选 （ ）A ．14．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）设x ,y 满足约束条件231+1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数=+(>0,>0)z ax by a b 的最小值为2,则ab 的最大值为 （ ）A ．1B ．12C ．14D ．16【答案】D【解析】由=+(>0,>0)z ax by a b 得a z y x b b =-+,可知斜率为0ab-<,作出可行域如图,由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点D 时,直线a zy x b b =-+的截距最小,此时z 最小为2.由 21x y x =⎧⎨=+⎩得23x y =⎧⎨=⎩,即(2,3)D ,代入直线+2ax by =得232a b +=,又223a b =+≥,所以16ab ≤,当且仅当231a b ==,即11,23a b ==时取等号,所以ab 的最大值为16,选D ．15．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知第一象限的点(a,b)在直线2x+3y -1=0上,则代数式23a b+的最小值为 （ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】B【解析】因为第一象限的点(a,b)在直线2x+3y -1=0上,所以有2310,0,0a b a b +-=>>,即231a b +=,所以232366()(23)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=,当且仅当66b a a b =,即15a b ==取等号,所以23a b+的最小值为25,选 B ． 16．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知x,y 满足条件020x y xx y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(k 为常数),若目标函数3z x y =+的最大值为8,则k= （ ）A ．16-B ．6-C ．83-D ．6【答案】 B 由3z x y =+得133zy x =-+.先作出0x y x ≥⎧⎨≤⎩的图象,,因为目标函数3z x y =+的最大值为8,所以38x y +=与直线y x =的交点为C,解得(2,2)C ,代入直线20x y k ++=,得6k =-,选B ．17．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于14的三角形,则实数k 的值为 （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】D【解析】由图象知0k >.当0y =时,1B x k =.2C x =.,所以12k <,即12k >由21y x y kx =-+⎧⎨=-⎩,得211A k y k -=+,所以11211(2)214ABC k S k k ∆-=-⨯=+,解得1k =或2172k =<(舍去),所以1k =,选 D ．18．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）定义区间(, )a b ,[, )a b ,(, ]a b ,[, ]a b 的长度均为d b a =-,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如, (1, 2)[3, 5) 的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数,记{}[]x x x =-,其中R x ∈.设()[]{}f x x x =⋅,()1gx x =-,当0x k ≤≤时,不等式()()f x gx <解集区间的长度为5,则k 的值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9网【答案】B2()[]{}[]([])[][]f x x x x x x x x x =⋅=⋅-=-,由()()f x g x <,得2[][]1x x x x -<-,即2([]1)[]1x x x -<-.当[0,1)x ∈,[]0x =,不等式的解为1x >,不合题意.当[1,2)x ∈,[]1x =,不等式为00<,无解,不合题意.当2x ≥时,[]1x >,所以不等式2([]1)[]1x x x -<-等价为[]1x x <+,此时恒成立,所以此时不等式的解为2x k ≤≤,因为不等式()()f x gx <解集区间的长度为5,所以2=5k -,即7k =,选 B ．19．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x ,则目标函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为 （ ）A ．-6,11B ．2,11C ．-11,6D ．-11,2【答案】A【 解析】由y x z 34-=得433zy x =-.做出可行域如图阴影部分,平移直线433z y x =-,由图象可知当直线433z y x =-经过点C 时,直线433zy x =-的截距最小,此时z 最大,当433z y x =-经过点B 时,直线433zy x =-的截距最大,此时z 最小.由510080x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得53x y =⎧⎨=⎩,即(5,3)C ,又(0,2)B ,把(5,3)C 代入y x z 34-=得43209=11z x y =-=-,把(0,2)B 代入y x z 34-=得4332=6z x y =-=-⨯-,所以函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为6,11-,选 （ ）A ．20．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设奇函数()[]1,1f x -在上是增函数,且()11f -=-,若函数,()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立,则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是 （ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．202t t t ≤-=≥或或D ．11022t t t ≤-=≥或或【答案】C因为奇函数()[]1,1f x -在上是增函数,且()11f -=-,所以最大值为(1)1f =,要使()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立,则2121t at ≤-+,即220t at -≥,即(2)0t t a -≥,当0t =时,不等式成立.当01a ≤≤时,不等式的解为22t a ≥≥.当10a -≤≤时,不等式的解为22t a ≤≤-.综上选C ．。

2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．（5分）（2013•山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题．3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P ，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）（2013•山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A．2B．1C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．8．（5分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A ．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．9．（5分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答：解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．10．（5分）（2013•山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．11．（5分）（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分）（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．二、填空题13．（4分）（2013•山东）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为 3 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值．解答：解：循环前，F0=1，F1=2，n=1，第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，此时，满足条件，退出循环，输出n=3，故答案为：3．点评：本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．（4分）（2013•山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=∙P AB P A P B 。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为(A)(B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)(B)(C)(D)12、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z取得最大值时，212+-的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2014年1月高三教学质量调研考试数学（理科）试题答案一、选择题（共60分）BCDCA ADABA DC二、填空题（共16分）13. 1007 14. 1215．1(,1)4-16．2m n +≥+三、解答题（共74分）17. （本小题满分12分）解：(1)∵()f x m n =⋅ =(2sin ,sin cos ),sin cos )x x x x x -⋅+x=2cos sin cos 2x x x +-x ------------------------------------3分 2sin(26x π=- 故函数()f x 的解析式为()2sin(26f x x π=-------------------------------------6分 (2)∵(2sin()226Af A π=-= 即sin(16A π-= 所以 23A π= -------------------8分又1sin 22bc A =，可得： ------------------------------------10分 2c =所以,得2222cos 1427a b c bc A =+-=++=a =分18. （本小题满分12分） 解：（1）由函数()f x 是奇函数可知：(0)1+0f m ==， ------------------------------2分解得. ------------------------------------4分1m =-（2）函数()f x 与的图象至少有一个公共点()g x 即方程412x x -12x a +=-至少有一个实根 - -----------------------------------6分 即方程至少有一个实根 ------------------------------------8分 421x x a -⋅+=00令，则方程至少有一个正根2x t =>210t at -+=方法一：由于12a t t=+≥∴a 的取值范围为[2. ------------------------------------12分,)+∞方法二：令h t ，由于2()1t at =-+(0)10h >，所以只须002a ∆≥⎧⎪⎨>⎪⎩， =解得.2a ≥∴a 的取值范围为[2.,)+∞19. （本小题满分12分）解：(1)设在等比数列{}n a 中，公比为,q 因为成等差数列.2354,,a a a a +所以 ------------------------------2分352()a a +2a a =+43242()q q q q +=+解得 12q = ------------------------------4分 所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ------------------------------6分(Ⅱ)11(21)2n n b n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.n n b b b b T ++++= 321211111135(21)222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭① 2311111135(21)22222n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ② ------------------------------8分 ①—②,得21111112(21)2222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12 111212n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1(21)2n n ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭ =2332n n +- ------------------------------10分 所以12362n n n T -+=- ------------------------------12分 20. （本小题满分12分） （1）证明：取1DD 的中点N ，连结MN 、AN 、ME ， ------------------------------1分MN ∥CD 21，AE ∥CD 21， ------------------------------3分 ∴ 四边形MNAE 为平行四边形，可知 ME ∥AN ------------------------------4分11AN ADD A ⊂平面11ME ADD ⊄平面A∴ME ∥平面. ------------------------------6分1AD （2）解：设 AE m =，如图建立空间直角坐标系---------------------------7分1(1,0,0),(1,,0),(0,2,0),(0,0,2)A E m C D ，11(1,0,2),(0,,0),(0,2,2),(1,2,0),AD AE m D C EC m =-==-=--1AD E 1111(,,)n x y z = 1n 平面的法向量为，由⋅ 10AD =1n ⋅ 0AE = 1(2,0,1)=及得n ------------------------------9分 平面的法向量为，由1D EC 2(,,)n x y z = 2n ⋅ 10D C = 及2n ⋅ 0EC =得 ------------------------------11分2n(2,1,1m =-)1212cos 15n n n n θ=== ，即2201161290m m +=，解得343(210m m ==或舍-） 所以32AE =------------------------------12分 21．（本小题满分12分）解：(1)()f x 的定义域为. ------------------------------1分(0,)+∞2'11(1)(()a x ax a x x f x x a x x x--+--+-=-+==1)a ------------------------------3分 （i ）若a 即,则11-=2a =2'(1)()x f x x-=故()f x 在(0,)+∞单调增加. ------------------------------4分(ii)若,而,故12,则当11a -<1a >a <<(1,1x a )∈-时，'()0f x <; 当或时，；(0,1)x a ∈-(1,)x ∈+∞'()0f x >故()f x 在单调减少，在单调增加. -----------------------------5分 (1,1a -)(0,1),(1,)a -+∞ (iii)若,即,11a ->2a >同理可得()f x 在单调减少，在(1,1)a -(0,1),(1,)a -+∞单调递增. ------------------------------6分（2） 由题意得21()()ln 202f xg x x a x x -=+-≥恒成立. 设21F()()()ln 22x f x g x x a x x =-=+-， ------------------------------8分则'F ()220ax x x=+-≥> 所以F()x 在区间上是增函数， - -----------------------------10分 +∞[e,）只需21F(e)202e a e =+-≥即2122a e e ≥- ------------------------------12分 22．（本小题满分14分）解:(1) 由已知可得2222212c a b a a -==，所以 ① -----------------------------1分 22a b =2又点M 在椭圆上，所以C 22211a b += ② -----------------------------2分 由①②解之，得.224,2a b == 故椭圆C 的方程为12422=+y x . -----------------------------4分(2)【解法一】①当直线的斜率为0时,则l 12k k ⋅=33424243⨯=-+; ----------------5分 ②当直线的斜率不为0时,设,l 11(,)A x y 22(,)B x y ,直线l 的方程为1x my =+,将1x my =+代入22142x y +=,整理得22(2)23m y my 0++-=.------------------------7分 则12222m y y m -+=+,12232y y m -=+ -----------------------------9分 又,, 111x my =+221x my =+所以,112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y my my --=-- 1212212193()93()2y y y y m y y m y y -++=-++22222239322=239322m m m m m m m m ---⨯+++---+++2232546m m m ++=+23414812m m +=++ -----------------------------11分 令,则4t m =+11223242tk k t t ⋅=+-+25 当时即0t =14m =-时，1234k k ⋅=；当t 时，0≠1224232tk k t t ⋅=+-+2532254()t t=+2+-1273124k k ≤⋅< 或12314k k <⋅≤ 当且仅当,即时, 取得最大值. -----------------------------13分 5=t 1=m 12k k ⋅由①②得,直线的方程为.-----------------------------14分l 10x y --=【解法二】①当直线垂直于x 轴时,则l 12k k ⋅=33+522=41416--- ; ②当直线与x 轴不垂直时,设,l 11(,)A x y 22(,)B x y ,直线l 的方程为(1y k x )=-,将代入(1y k x =-)22142x y +=,整理得2222(12)4240k x k x k +-+-=.则2212122242,1212k k x x x x k k -+==++4) 又,,11(1y k x =-)22(1y k x =-所以,112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅- 222121212129(3)164()k k k x x k x x x x x x +-++=-++22325,46k k k ++=+ 令22325(),46k k h k k++=+由得()0h k '=1k =或23k =- 所以当且仅当时最大，所以直线的方程为1k =12k k ⋅l 10x y --=.。

绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共4页，满分150分。

考试用时150分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

注意事项：1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)；如果事件A，B独立，那么P（AB）=P(A)*P(B)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x) =x2+ ,则f(-1)= ()（A）-2（B）0 （C）1（D）2（4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面积是边长为的正三棱柱,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )（A）（B）（C）（D）（5）将函数y=sin（2x +φ）的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为（A）（B）（C）0 （D）（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（A）2 （B）1 （C）（D）（7）给定两个命题p，q。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导 /wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：2013年1月高三教学质量调研考试理 科 数 学本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟。

满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1. 设全集U R =，集合2{|230}M x x x =+-≤，{|14}N x x =-≤≤，则M N 等于A ．{|14}x x ≤≤B ．}31|{≤≤-x xC ．{|34}x x -≤≤D ．{|11}x x -≤≤【答案】D 【解析】2{|230}{31}M x x x x x =+-≤=-≤≤,所以{11}M N x x =-≤≤ ，选D. 2. 复数12ii +-表示复平面内的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】1(1)(2)13132(2)(2)555ii i ii i i i ++++===+--+,对应点的坐标为13()55，，所以位于第一。

绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共8页。

满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求怍答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P(A ）•P （B ）。

第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 若复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为(A ） 2+i （B ） 2-i （C ） 5+i (D ） 5-i(2) 已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A}中元素的个数是(A ） 1 (B ） 3 (C ） 5 (D ） 9(3）已知函数f(x) 为函数设且x ＞0时， f(x)= x 2+x1，则f(-1)= (A ） -2 (B ） 0 (C ） 1 (D ） 2（4）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为(A ）125π （B ）3π （C ）4π (D ）6π （5）将函数y=sin(2x+Φ)的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则Φ的一个可能取值为(A ）43π （B ）4π （C ）0 (D ）-4π（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为(A ）2 （B ）1 （C ）31-(D ）21- (7) 给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的(A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D ）既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx+sinx 的图象大致为(9)过点（3,1）作圆(x-1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）032=-+y x（B ）032=--y x（C ）034=--y x （D ）034=-+y x（10）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A ）243 (B)252 (C)261 (D)279（11）抛物线C 1：y= 12px 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2： 2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=(A ）163 （B ）83（C ）(D ）334 (12)设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当zxy取得最大值时，z y x 212-+的最大值为(A ）0 （B ）1 （C ）49(D ）3第Ⅱ卷（共90分）(D)二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。