2013山东高考数学试卷理科及答案详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）（A ）2i + （B ）2i - （C ）5i + （D ）5i -2．设集合{}0,1,2A =，则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）93） （A ）4 三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）6．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，（D 8．函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）9．过点()3,1作圆()2211x y -+=的切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为（ ）（A ）230x y +-= （B ）230x y --= （C ）430x y --= （D ）430x y +-=10．用0,1,2,,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）（A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）27911于第一象限的点M 。

若1C在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ）（A（B（C） （D ）1215．已知向量AB 与AC 夹角为0120，且||3AB =，||2AC =，若,AP AB AC λ=+且AP BC ⊥，则实数λ的值为________。

16．定义“正对数”：()()001ln ln 1x x x x +<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则()ln ln b a b a ++=；②若0,0a b >>，则()ln ln ln ab a b +++=+；③若0,0a b >>，则()ln ln ln a b a b +++≥-；④若0,0a b >>，则()ln ln ln ln 2a b a b ++++≤++。

数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则2(i)a b += ( )A .54i -B .54i +C .34i -D .34i + 2.设集合{||1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}x B y y x ==∈,则A B =( ) A .[0,2] B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 3.函数()f x( )A .1(0,)2B .(2,)+∞C .1(0,)(2,)2+∞D .1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A .方程30x ax b ++=没有实根B .方程30x ax b ++=至多有一个实根C .方程30x ax b ++=至多有两个实根D .方程30x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数x ,y 满足x y a a <（01a <<）,则下列关系式恒成立的是( )A .221111x y >++ B .22ln(1)ln(1)x y +>+ C .sin sin x y >D .33x y >6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B.C .2D .47.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( )A .6B .8C .12D .188.已知函数()|2|1f x x =-+,()g x kx =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A .1(0,)2B .1(,1)2C .(1,2)D .(2,)+∞9.已知x ,y 满足约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩≤≥当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值时,22a b +的最小值为( )A .5B .4CD .210.已知>0a b >,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C 的则2C 的渐近线方程为 ( )A.0x = B0y ±= C .20x y ±= D .20x y ±=第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .12.在ABC △中,已知t a n A B A C A = ,当π6A =时,ABC △的面积为 .13.三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,P ABC -的体积为2V ,则12V V = . 14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20,则22a b +的最小值为 .15.已知函数()()y f x x =∈R .对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈,()y h x =满足：对任意x I ∈,两个点(,())x h x ,(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”,且()()h x g x >恒成立,则实数b 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.16.（本小题满分12分）已知向量a (,cos2)m x =,b (sin 2,)x n =,函数()f x =a b ,且()y f x =的图象过点π(12和点2π(,2)3-. （Ⅰ）求m ,n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ(0π)ϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图象,若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.17.（本小题满分12分）姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,60DAB ∠= ,AB =22CD =,M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：1C M 平面11A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其它情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）设函数2e 2()(ln )x f x k x x x =-+（k 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF △为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1l l ,且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明：直线AE 过定点,并求出定点坐标；（ⅱ）ABE △的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.3 / 15数学试卷 第10页（共45页） 数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）5 / 15数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）7 / 15数学试卷第22页（共45页）数学试卷第23页（共45页）数学试卷第24页（共45页）59 / 15数学试卷第28页（共45页）数学试卷第29页（共45页）数学试卷第30页（共45页）。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013山东，理1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )．A ．2＋iB ．2－IC ．5＋iD ．5－i2．(2013山东，理2)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )．A ．1B ．3C ．5D ．9 3．(2013山东，理3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝21x x+，则f (－1)＝( )． A ．－2 B ．0 C ．1 D ．24．(2013山东，理4)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )．A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π65．(2013山东，理5)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )．A ．3π4B ．π4C ．0D ．π4-6．(2013山东，理6)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )．A ．2B ．1C ．13-D ．12-7．(2013山东，理7)给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2013山东，理8)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．9．(2013山东，理9)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝010．(2013山东，理10)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )．A ．243B ．252C ．261D ．27911．(2013山东，理11)抛物线C 1：y ＝212x p(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．A． B． C． D．12．(2013山东，理12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为( )．A ．0B ．1C ．94 D ．3第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(2013山东，理13)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为__________．14．(2013山东，理14)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为__________．15．(2013山东，理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC，则实数λ的值为__________．16．(2013山东，理16)定义“正对数”：ln ＋x ＝0,01,ln ,1,x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a ＞0，b ＞0，则ln ＋a b ⎛⎫⎪⎝⎭≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．(2013山东，理17)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．18．(2013山东，理18)(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值．19．(2013山东，理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．20．(2013山东，理20)(本小题满分12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的前n项和为T n，且12nn naTλ++=(λ为常数)．令c n＝b2n(n∈N*)．求数列{c n}的前n项和R n.21．(2013山东，理21)(本小题满分13分)设函数f (x )＝2e xx＋c (e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R )．(1)求f (x )的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数．22．(2013山东，理22)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷) 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 答案：D解析：由题意得z －3＝52i-＝2＋i ，所以z ＝5＋i.故z ＝5－i ，应选D. 2． 答案：C解析：当x ，y 取相同的数时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时，x －y ＝1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；其他则重复．故集合B 中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C. 3． 答案：A解析：因为f (x )是奇函数，故f (－1)＝－f (1)＝2111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－2，应选A. 4． 答案：B解析：如图所示，由棱柱体积为94.设P 在平面ABC上射影为O ，则可求得AO 长为1，故AP 2=故∠PAO ＝π3，即PA 与平面ABC 所成的角为π3. 5． 答案：B解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin 28y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝πsin 24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，又πsin 24y x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝为偶函数，故πππ42k ϕ+=+，k ∈Z ，∴ππ4k ϕ=+，k ∈Z .若k ＝0，则π4ϕ=.故选B. 6． 答案：C解析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M 位于C 点时OM 斜率最小，且为13-，故选C.7． 答案：A解析：由题意：q ⇒⌝p ，⌝pq ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．故选A. 8． 答案：D解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y ＞0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D. 9． 答案：A解析：该切线方程为y ＝k (x －3)＋1，即kx －y －3k ＋1＝0＝1，得k ＝0或43，切线方程分别与圆方程联立，求得切点坐标分别为(1,1)，93,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故所求直线的方程为2x ＋y －3＝0.故选A.10． 答案：B解析：构成所有的三位数的个数为11191010C C C ＝900，而无重复数字的三位数的个数为111998C C C ＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B. 11． 答案：D解析：设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21''2x y x p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故在M点处的切线的斜率为03x p =，故M 1,6p p ⎫⎪⎪⎝⎭.由题意又可知抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线右焦点为(2,0)，且1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)三点共线，可求得pD.12． 答案：B解析：由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得2234x xy y z-+，即xy z≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立，又x ，y 为正实数，故x ＝2y .此时将x ＝2y 代入x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得z ＝2y 2，所以222121211+1x y z y y y ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭，当1=1y ，即y ＝1时，212x y z+-取得最大值为1，故选B. 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．答案：3解析：第1次运行将F 0＋F 1赋值给F 1，即将3赋值给F 1，然后将F 1－F 0赋值给F 0，即将3－1＝2赋值给F 0，n 增加1变成2，此时1113F =比ε大，故循环，新F 1为2＋3＝5，新F 0为5－2＝3，n 增加1变成3，此时1115F =≤ε，故退出循环，输出n ＝3. 14．答案：13解析：设y ＝|x ＋1|－|x －2|＝3,2,21,12,3,1,x x x x ≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩利用函数图象(图略)可知|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[1，＋∞)．而在[－3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3]，故所求概率为311333-=-(-).15．答案：712解析：∵AP ＝λAB ＋AC ，AP ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ，∴(AC －AB )·(AC ＋λAB)＝0.∴AC 2＋λAB ·AC －AB ·AC －λAB 2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝712.16．答案：①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B9=. 由正弦定理得sin A＝sin 3a Bb =因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A13=. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B＝27. 18．(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF 平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)解法一：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ .因为PB ⊥平面ABQ ， 所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ， 所以AB ⊥平面PBQ .由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ . 又FH ⊂平面PBQ ，所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC又H 为△PBQ 的重心，所以HC＝13PC =同理FH.在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝5524995529+-=-⨯.故二面角D －GH －E 的余弦值为45-.解法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ ＝(－1,2，－1)，FQ＝(0,2，－1)，DP＝(－1，－1,2)，CP ＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ ＝0，m ·FQ＝0，得1111120,20,x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·DP＝0，n ·CP ＝0， 得2222220,20,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝4||||5=·m n m n .因为二面角D －GH －E 为钝角， 所以二面角D －GH －E 的余弦值为45-. 19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝328327⎛⎫= ⎪⎝⎭，P (A 2)＝2232228C 133327⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， P (A 3)＝22242214C 133227⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝22242214C 1133227⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， 又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427， P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×27＝9.20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知，T n ＝12n nλ--， 所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12112222n n n n n n ------+=. 故c n ＝b 2n ＝21222n n --＝11(1)4n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭，n ∈N *.所以R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭0＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋3×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1，则14R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －2)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ， 两式相减得34R n ＝14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1－(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ＝11144(1)1414nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭--⨯ ⎪⎝⎭-＝1131334nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 整理得R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以数列{c n }的前n 项和R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．解：(1)f ′(x )＝(1－2x )e －2x， 由f ′(x )＝0，解得x ＝12. 当x ＜12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以，函数f (x )的单调递增区间是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，最大值为111e 22f c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)令g (x )＝|ln x |－f (x )＝|ln x |－x e －2x－c ，x ∈(0，＋∞)．①当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＞0，则g (x )＝ln x －x e －2x－c ， 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 因为2x －1＞0，2e xx＞0，所以g ′(x )＞0.因此g (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0,1)时，ln x ＜0，则g (x )＝－ln x －x e －2x－c . 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫-+- ⎪⎝⎭. 因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x＞1＞x ＞0，所以2e xx -＜－1.又2x －1＜1，所以2e xx-＋2x －1＜0，即g ′(x )＜0.因此g (x )在(0,1)上单调递减．综合①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－e －2－c .当g (1)＝－e －2－c ＞0，即c ＜－e －2时，g (x )没有零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当g (1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g (x )只有一个零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当g (1)＝－e －2－c ＜0，即c ＞－e －2时， 当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g (x )＝ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需使ln x －1－c ＞0，即x ∈(e 1＋c，＋∞)；当x ∈(0,1)时，由(1)知g (x )＝－ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＞－ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需－ln x －1－c ＞0，即x ∈(0，e －1－c)；所以c ＞－e －2时，g (x )有两个零点，故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 综上所述，当c ＜－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当c ＞－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 22．(1)解：由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程2222=1x y a b+，得2b y a =±，由题意知22=1b a ，即a ＝2b 2.又2c e a ==，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)解法一：设P (x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(0)，F 2，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0y0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0y0＝0..由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=，=.因为m2＜x 0＜2，=. 所以m ＝034x .因此3322m -<<.解法二：设P (x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当0x =时，直线PF 2的斜率不存在，易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭.若P 12⎫⎪⎭，则直线PF 1的方程为0x -=.m =，因为m所以m =. 若P 12⎫-⎪⎭，同理可得m =.②当x 0时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x，y ＝k 2(x)．=，2122111k k +=+.因为220014x y +=， 并且k 1k 2==，=.因为为m，0≤x 0＜2且x 0=.整理得m ＝34x ， 故0≤m ＜32且m≠4综合①②可得0≤m ＜32.当－2＜x 0＜0时，同理可得32-＜m ＜0. 综上所述，m 的取值范围是33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=(-)⎩整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(20y －2kx 0y 0＋220k x －1)＝0. 由题意Δ＝0，即220(4)x k -＋2x 0y 0k ＋1－20y ＝0.又220014x y +=， 所以22016y k ＋8x 0y 0k ＋20x ＝0，故k ＝004xy -.由(2)知12000211x k k y +=+=， 所以121211111kk kk k k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ＝000042=8y xx y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭， 因此1211kk kk +为定值，这个定值为－8.。

2013年山东卷理 【选择题】【1】．复数z 满足(3)(2i)5z --=（z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 A. 2i + B.2i - C. 5i + D. 5i -【2】．已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是 A.1 B. 3 C. 5 D. 9【3】．已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f A. -2 B. 0 C. 1 D.2【4】．已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A.512π B. 3π C. 4π D. 6π【5】．将函数sin(2)ϕ=+y x 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 A.34π B. 4π C. 0 D. 4π- 【6】．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为A. 2B. 1C. 13-D. 12- 【7】．给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【8】．函数cos sin =+y x x x 的图像大致为【9】．过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为A. 230+-=x yB.230--=x yC.430--=x yD.430+-=x y【10】．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243 B.252 C. 261 D.279【11】．抛物线211:(0)2=>C y x p p的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M 若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p【12】．设正实数,,x y z 满足22340.-+-=xxy y z 则当xy z 取得最大值时，212+-x y z的最大值为 A. 0 B. 1 C. 94D.3 【填空题】【13】．执行下图所示的程序框图，若输入ε的值为0.25，则输出的n 的值为_______.【14】．在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为______.【15】．已知向量AB 与AC 的夹角为0120，且||3,|| 2.AB AC ==若λ=+AP AB AC ，且⊥AP BC ，则实数λ的值为____________.【16】．定义“正对数”：0,01,lnln ,1.+<<⎧=⎨≥⎩x x x x 现有四个命题：①若0,0>>a b ，则ln ()ln ++=b a b a ； ②若0,0>>a b ，则ln()ln ln +++=+ab a b ；③若0,0>>a b ，则ln ()ln ln +++≥-a a b b； ④若0,0>>a b ，则ln()ln ln ln 2++++≤++a b a b .其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号） 【解答题】【17】． (本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且76,2,cos .9+===a c b B . （1）求,a c 的值； （2）求sin()-A B 的值.【18】． (本小题满分12分)如下图所示，在三棱锥-P ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，==BA BP BQ ，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点，2=AQ BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .（1）求证：//AB GH ；（2）求二面角--D GH E 的余弦值。

2013年山东高考数学理试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 【答案】D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得55(2)5(2)3332352(2)(2)5i i z i i i i i ++=+=+=+=++=+--+，所以5z i =-，选D.（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，选C.（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)= ( ) （A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.（4）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )（A ）512π （B ）3π （C ） 4π （D ） 6π 【答案】B【解析】取正三角形ABC 的中心，连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角。

因为底面边长为3，所以33322AD =⨯=,2231332AO AD ==⨯=.三棱柱的体积为21139(3)224AA ⨯⨯=,解得13AA =，即13OP AA ==,所以tan 3OPPAO OA ∠==，即3PAO π∠=，选B.（5）将函数y=sin （2x +ϕ）的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（A ）34π （B ） 4π （C ）0 （D ） 4π- 【答案】B【解析】将函数y=sin （2x +ϕ）的图像沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数sin[2()]sin(2)84y x xππϕϕ=++=++，因为此时函数为偶函数，所以,42k k Zππϕπ+=+∈，即,4k k Zπϕπ=+∈，所以选B.（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：2x y20x2y103x y80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（A）2 （B）1 （C）13-（D）12-【答案】 C【解析】作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。

2013年山东卷高考理数真题（解析版）理 科 数 学注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所胡题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷与答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+I B.2-I C. 5+I D.5-i【答案】D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得55(2)5(2)3332352(2)(2)5i i z i i i i i ++=+=+=+=++=+--+，所以5z i =-，选D.2.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，选C.3.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)= ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.4.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( ) A. 512πB.3πC. 4πD. 6π【答案】B【解析】取正三角形ABC 的中心，连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角。

普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题（山东卷）1．复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i答案 D解析 由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i. 2．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．5D ．9答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.4．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 B解析 如图所示：S ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VADC -A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1， ∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4. 6．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为：－13.7．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈p .8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.9．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为：y－1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.10．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279答案 B解析 不重复的三位数字有：A 39＋A 12A 29＝648个．则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．11．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433答案 D解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 第Ⅱ卷二、填空题13．执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________． 答案 3解析 第一次循环：F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；第二次循环：F 1＝5，F 0＝3，n ＝3. 14．在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 答案 13解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝13.15．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． 答案712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 16．定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ； ②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a >0，b >0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①③④解析 ①0<a b <1时(0<a <1)，ln ＋(a b )＝0＝b ln ＋a ； ab >1时(a >1)，ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a ；正确． ②设a ＝15，b ＝3，则0＝0＋ln 3不成立，不正确；③(a >b )ln ab ⎩⎪⎨⎪⎧≥ln a －ln b (a ，b ≥1)，≥ln a (0<b <1≤a )，≥0(0<a ，b <1).(a <b )0⎩⎪⎨⎪⎧≥ln a －ln b (a ，b ≥1)，≥－ln b (0<a <1≤b )，≥0(0<a ，b <1).④(1)a ＋b >1，a ，b >1：ln(a ＋b )≤ln a ＋ln b ＋ln 2＝ln 2ab 成立； (2)a ＋b >1，a >1,0<b <1：ln(a ＋b )≤ln a ＋ln 2＝ln 2a 成立； (3)a ＋b >1,0<a ，b <1：ln(a ＋b )≤ln 2成立； (4)0<a ＋b <1,0<a ，b <1：0≤ln 2成立．三、解答题17．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值． 解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a ＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A <π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.18．如图所示，在三棱锥P -ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D -GH -E 的余弦值．(1)证明 因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB . 所以EF ∥DC .又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)解 方法一 在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ . 因为PB ⊥平面ABQ ，所以AB ⊥PB .又BP ∩BQ ＝B ，所以AB ⊥平面PBQ . 由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ .又FH ⊂平面PBQ ，所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D -GH -E 的平面角．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC ＝2，在Rt △PBC 中，由勾股定理PC ＝ 5.又H 为△PBQ 的重心，所以HC ＝13PC ＝53.同理FH ＝53.在FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝59＋59－22×59＝－45.即二面角D -GH -E 的余弦值为－45.方法二 在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90° 又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)， C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ →＝(－1,2，－1)，FQ →＝(0,2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1,2)． 设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ →＝0，m ·FQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·DP →＝0，n ·CP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 1＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝45.因为二面角D -GH -E 为钝角，所以二面角D -GH -E 的余弦值为－45.19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C 则P (A )＝23×23×23＝827P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827 P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427(2)X 的可能的取值为0,1,2,3 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627P (X ＝1)＝P (C )＝427P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫132＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19 ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.20．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)．令C n ＝b 2n ，(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设公差为d ，令n ＝1，则a 2＝2a 1＋1，a 1＝d －1① 又S 4＝4S 2，即2a 1＝d ②由①②得：a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由题意知，T n ＝λ－n 2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝λ－n 2n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－n －12n －2＝n －22n －1.∴C n＝b 2n ＝n －14n －1(n ∈N *)．∴R n ＝C 1＋C 2＋…＋C n －1＋C n ＝0＋14＋242＋…＋n －14n －1①14R n ＝142＋243＋…＋n －24n －1＋n －14n ② ①－②得：34R n ＝14＋142＋…＋14n －1－n －14n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n －11－14－n －14n＝13⎝⎛⎭⎫1－14n －1－n －14n ＝13⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ∴R n ＝49⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.21．设函数f (x )＝xe 2x ＋c (e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R .(1)求f (x )的单调区间、最大值．(2)讨论关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数． 解 (1)f ′(x )＝e 2x －2x e 2x (e 2x )2＝1－2xe 2x ，由f ′(x )>0得x <12，由f ′(x )<0得x >12.所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12，递减区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12e＋c .(2)由已知|ln x |＝f (x )得|ln x |－xe 2x＝c ，x ∈(0，＋∞)， 令g (x )＝|ln x |－xe 2x，y ＝c . ①当x ∈(1，＋∞)时，ln x >0，则g (x )＝ln x －xe 2x .所以g ′(x )＝1x ＋2x －1e 2x >0.所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0,1)时，ln x <0，则g (x )＝－ln x －xe 2x .所以g ′(x )＝－1x －1－2x e 2x ＝1e 2x ⎣⎡⎦⎤－e 2xx ＋(2x －1). 因为e 2x ∈(1，e 2)，e 2x >1>x >0，所以－e 2xx<－1，而2x －1<1.所以g ′(x )<0，即g (x )在(0,1)上单调递减．由①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－1e 2.由数形结合知，当c <－1e 2时，方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当c ＝－1e 2时，方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当c >－1e2时，方程|ln x |＝f (x )根的个数为2.22．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解 (1)由已知e ＝c a ＝32，b 2a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)方法一 如图，由题意知|F 1M ||MF 2|＝|PF 1||PF 2|即|PF 1|4－|PF 1|＝c ＋m c －m ＝3＋m 3－m，整理得：m ＝32(|PF 1|－2)． 又a －c <|PF 1|<a ＋c ，即2－3<|PF 1|<2＋ 3.∴－32<m <32.故m 的取值范围为m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. 方法二 由题意知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|，即PF 1→·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM →|PF 2→|. 设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0.所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 所以Δ＝64(ky 0－k 2x 0)2－16(1＋4k 2)(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0. 故k ＝－x 04y 0，又1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0. 所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·⎝⎛⎭⎫2x 0y 0＝－8. 所以1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z满足()()325z i--=（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）（A）2i+（B）2i-（C）5i+（D）5i-2．设集合{}0,1,2A=，则集合{}|,B x y x A y A=-∈∈中元素的个数是（）（A）1（B）3（C）5（D）93．已知函数()f x为奇函数，且当0x>时，()21f x xx=+，则()1f-=（）（A）4．已知三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面垂直，体积为94，底面积是边长为3的正三角形，若P为底面111A B C的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）（A）512π（B）3π（C）4π（D）6π5．将函数()sin2y xϕ=+的图像沿x轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（）（A）34π（B）4π（C）0（D）4π-6．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组220210380x yx yx y--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）（A）2（B）1（C）13-（D）12-7．给定两个命题p、q，若p⌝是q的必要而不充分条件，则p是q⌝的（（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8．函数cos siny x x x=+的图象大致为（）9．过点()3,1作圆()2211x y-+=的切线，切点分别为,A B，则直线AB的方程为（）（A ）230x y +-= （B ）230x y --= （C ）430x y --= （D ）430x y +-=10．用0,1,2,,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） （A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）27911．抛物线1C ：()2102y x p p =>的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。

2013年山东省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( ) A.2＋i B.2－i C.5＋i D.5－i2.(5分)已知集合A ＝{0,1,2},则集合B ＝{x －y|x ∈A,y ∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.93.(5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x ＞0时,,则f(－1)＝( )A.－2B.0C.1D.24.(5分)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面A 1B 1C 1所成角的大小为( )A.B.C.D.5.(5分)函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )A.B.C.0D.6.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )A.2B.1C.D.7.(5分)给定两个命题p,q.若￢p 是q 的必要而不充分条件,则p 是￢q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.(5分)函数y ＝xcosx ＋sinx 的图象大致为( )A. B. C. D.9.(5分)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( )A.2x ＋y －3＝0B.2x －y －3＝0C.4x －y －3＝0D.4x ＋y －3＝010.(5分)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.27911.(5分)抛物线C 1:的焦点与双曲线C 2:的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p＝( )A. B. C. D.12.(5分)设正实数x,y,z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时,的最大值为( )A.0B.1C.D.3二、填空题13.(4分)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0.25,则输出的n值为.14.(4分)在区间[－3,3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1的概率为.15.(4分)已知向量与的夹角为120°,且||＝3,||＝2.若＝λ＋,且⊥,则实数λ的值为.16.(4分)定义“正对数”:ln＋x＝,现有四个命题:①若a＞0,b＞0,则ln＋(a b)＝bln＋a；②若a＞0,b＞0,则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；③若a＞0,b＞0,则；④若a＞0,b＞0,则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有(写出所有真命题的序号)三、解答题17.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a＋c＝6,b＝2,cosB＝.(1)求a,c的值；(2)求sin(A－B)的值.18.(12分)如图所示,在三棱锥P－ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA＝BP＝BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ＝2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值.19.(12分)甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率；(2)若比赛结果3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分；若比赛结果为3:2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.20.(12分)设等差数列{an }的前n项和为Sn,且S4＝4S2,a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn }的前n项和为Tn且(λ为常数).令cn＝b2n(n∈N*)求数列{cn}的前n项和Rn.21.(13分)设函数.(1)求f(x)的单调区间及最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数.22.(13分)椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围；(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.2013年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A.2＋iB.2－iC.5＋iD.5－i【分析】利用复数的运算法则求得z,即可求得z的共轭复数.【解答】解:∵(z－3)(2－i)＝5,∴z－3＝＝2＋i∴z＝5＋i,∴＝5－i.故选:D.【点评】本题考查复数的基本概念与基本运算,求得复数z是关键,属于基础题.2.(5分)已知集合A＝{0,1,2},则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9【分析】依题意,可求得集合B＝{－2,－1,0,1,2},从而可得答案.【解答】解:∵A＝{0,1,2},B＝{x－y|x∈A,y∈A},∴当x＝0,y分别取0,1,2时,x－y的值分别为0,－1,－2；当x＝1,y分别取0,1,2时,x－y的值分别为1,0,－1；当x＝2,y分别取0,1,2时,x－y的值分别为2,1,0；∴B＝{－2,－1,0,1,2},∴集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5个.故选:C.【点评】本题考查集合中元素个数的最值,理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题.3.(5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x＞0时,,则f(－1)＝( )A.－2B.0C.1D.2【分析】利用奇函数的性质,f(－1)＝－f(1),即可求得答案.【解答】解:∵函数f(x)为奇函数,x＞0时,f(x)＝x2＋,∴f(－1)＝－f(1)＝－2,故选:A.【点评】本题考查奇函数的性质,考查函数的求值,属于基础题.4.(5分)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面A1B1C1所成角的大小为( )A. B. C. D.【分析】利用三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1为PA与平面A 1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得AA1,再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中,利用tan∠APA1＝即可得出.【解答】解:如图所示,∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面ABC所成角.∵＝＝.∴V三棱柱ABC－A1B1C1＝＝,解得.又P为底面正三角形A1B1C1的中心,∴＝＝1,在Rt△AA1P中,,∴.故选:B.【点评】熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键.5.(5分)函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )A. B. C.0 D.【分析】利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换可得函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.【解答】解:令y＝f(x)＝sin(2x＋φ),则f(x＋)＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin(2x＋＋φ),∵f(x＋)为偶函数,∴＋φ＝kπ＋,∴φ＝kπ＋,k∈Z,∴当k＝0时,φ＝.故φ的一个可能的值为.故选:B.【点评】本题考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换,考查三角函数的奇偶性,属于中档题.6.(5分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( )A.2B.1C.D.【分析】本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与原点(0,0)构成的直线的斜率的最小值即可.【解答】解:不等式组表示的区域如图,当M取得点A(3,－1)时,z直线OM斜率取得最小,最小值为k＝＝－.故选:C.【点评】本题利用直线斜率的几何意义,求可行域中的点与原点的斜率.本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.7.(5分)给定两个命题p,q.若￢p是q的必要而不充分条件,则p是￢q的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件,进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案.【解答】解:∵¬p是q的必要而不充分条件,∴q是¬p的充分不必要条件,即q⇒¬p,但¬p不能⇒q,其逆否命题为p⇒¬q,但¬q不能⇒p,则p是¬q的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键.8.(5分)函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为( )A. B. C. D.【分析】给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除B,然后利用区特值排除A和C,则答案可求.【解答】解:因为函数y＝xcosx＋sinx为奇函数,所以排除选项B,由当x＝时,,当x＝π时,y＝π×cosπ＋sinπ＝－π＜0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.故选:D.【点评】本题考查了函数的图象,考查了函数的性质,考查了函数的值,是基础题.9.(5分)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x＋y－3＝0B.2x－y－3＝0C.4x－y－3＝0D.4x＋y－3＝0【分析】由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得到选项即可.【解答】解:因为过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y＝1,切点之一为(1,1),显然B、D选项不过(1,1),B、D不满足题意；另一个切点的坐标在(1,－1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,A满足.故选:A.【点评】本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是间接法,值得同学学习.10.(5分)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279【分析】求出所有三位数的个数,减去没有重复数字的三位数个数即可. 【解答】解:用0,1,2,…,9十个数字,所有三位数个数为:900,其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位,十位数从余下的9个数字中选一个,个位数再从余下的8个中选一个,所以共有:9×9×8＝648, 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:900－648＝252. 故选:B.【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键,考查计算能力.11.(5分)抛物线C 1:的焦点与双曲线C 2:的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p ＝( )A.B.C.D.【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程,求出函数在x 取直线与抛物线交点M 的横坐标时的导数值,由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p 的关系,把M 点的坐标代入直线方程即可求得p 的值. 【解答】解:由,得x 2＝2py(p ＞0), 所以抛物线的焦点坐标为F().由,得,.所以双曲线的右焦点为(2,0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,即①.设该直线交抛物线于M(),则C 1在点M 处的切线的斜率为.由题意可知,得,代入M 点得M()把M 点代入①得:.解得p ＝.故选:D.【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数,是中档题.12.(5分)设正实数x,y,z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时,的最大值为( )A.0B.1C.D.3【分析】依题意,当取得最大值时x＝2y,代入所求关系式f(y)＝＋－,利用配方法即可求得其最大值.【解答】解:∵x2－3xy＋4y2－z＝0,∴z＝x2－3xy＋4y2,又x,y,z均为正实数,∴＝＝≤＝1(当且仅当x＝2y时取“＝”),∴＝1,此时,x＝2y.∴z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3×2y×y＋4y2＝2y2,∴＋－＝＋－＝－＋1≤1,当且仅当y＝1时取得“＝”,满足题意.∴的最大值为1.故选:B.【点评】本题考查基本不等式,由取得最大值时得到x＝2y是关键,考查配方法求最值,属于中档题.二、填空题13.(4分)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0.25,则输出的n值为 3 .【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出n的值.【解答】解:循环前,F0＝1,F1＝2,n＝1,第一次循环,F0＝1,F1＝3,n＝2,第二次循环,F0＝2,F1＝4,n＝3,此时,满足条件,退出循环,输出n＝3,故答案为:3.【点评】本题主要考查了直到循环结构,根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,属于基础题.14.(4分)在区间[－3,3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1的概率为.【分析】本题利用几何概型求概率.先解绝对值不等式,再利用解得的区间长度与区间[－3,3]的长度求比值即得.【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度.由不等式|x＋1|－|x－2|≥1 可得①,或②,③.解①可得x∈∅,解②可得1≤x＜2,解③可得 x≥2.故原不等式的解集为{x|x≥1},∴|在区间[－3,3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1的概率为P＝＝.故答案为:【点评】本题主要考查了几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.15.(4分)已知向量与的夹角为120°,且||＝3,||＝2.若＝λ＋,且⊥,则实数λ的值为.【分析】利用,,表示向量,通过数量积为0,求出λ的值即可.【解答】解:由题意可知:,因为,所以,所以＝＝＝－12λ＋7＝0解得λ＝.故答案为:.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直,考查转化数学与计算能力.16.(4分)定义“正对数”:ln＋x＝,现有四个命题:①若a＞0,b＞0,则ln＋(a b)＝bln＋a；②若a＞0,b＞0,则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；③若a＞0,b＞0,则；④若a＞0,b＞0,则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有①③④(写出所有真命题的序号)【分析】由题意,根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断,由于在不同的定义域中函数的解析式不一样,故需要对a,b分类讨论,判断出每个命题的真假.【解答】解:(1)对于①,由定义,当a≥1时,a b≥1,故ln＋(a b)＝ln(a b)＝blna,又bln＋a＝blna,故有ln＋(a b)＝bln＋a；当a＜1时,a b＜1,故ln＋(a b)＝0,又a＜1时bln＋a＝0,所以此时亦有ln＋(a b)＝bln＋a,故①正确；(2)对于②,此命题不成立,可令a＝2,b＝,则ab＝,由定义ln＋(ab)＝0,ln＋a＋ln＋b＝ln2,所以ln＋(ab)≠ln＋a＋ln＋b,故②错误；(3)对于③,i.≥1时,此时≥0,当a≥b≥1时,ln＋a－ln＋b＝lna－lnb＝,此时则,命题成立；当a＞1＞b＞0时,ln＋a－ln＋b＝lna,此时,＞lna,则,命题成立；当1＞a≥b＞0时,ln＋a－ln＋b＝0,成立；ii.＜1时,同理可验证是正确的,故③正确；(4)对于④,当a≥1,b≥1时,ln＋(a＋b)＝ln(a＋b),ln＋a＋ln＋b＋ln2＝lna＋lnb＋ln2＝ln(2ab),∵a＋b－2ab＝a－ab＋b－ab＝a(1－b)＋b(1－a)≤0,∴a＋b≤2ab,∴ln(a＋b)＜ln(2ab),∴ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.当a＞1,0＜b＜1时,ln＋(a＋b)＝ln(a＋b),ln＋a＋ln＋b＋ln2＝lna＋ln2＝ln(2a),∵a＋b－2a＝b－a≤0,∴a＋b≤2a,∴ln(a＋b)＜ln(2a),∴ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.当b＞1,0＜a＜1时,同理可证ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.当0＜a＜1,0＜b＜1时,可分a＋b≥1和a＋b＜1两种情况,均有ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.故④正确.故答案为①③④.【点评】本题考查新定义及对数的运算性质,理解定义所给的运算规则是解题的关键,本题考查了分类讨论的思想,逻辑判断的能力,综合性较强,探究性强.易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错.三、解答题17.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a＋c＝6,b＝2,cosB＝.(1)求a,c的值；(2)求sin(A－B)的值.【分析】(1)利用余弦定理列出关系式,将b与cosB的值代入,利用完全平方公式变形,求出acb的值,与a＋c的值联立即可求出a与c的值即可；(2)先由cosB的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,再由a,b及sinB的值,利用正弦定理求出sinA的值,进而求出cosA的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解:(1)∵a＋c＝6①,b＝2,cosB＝,∴由余弦定理得:b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－ac＝36－ac＝4,整理得:ac＝9②,联立①②解得:a＝c＝3；(2)∵cosB＝,B为三角形的内角,∴sinB＝＝,∵b＝2,a＝3,sinB＝,∴由正弦定理得:sinA＝＝＝,∵a＝c,即A＝C,∴A为锐角,∴cosA＝＝,则sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝×－×＝.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.(12分)如图所示,在三棱锥P－ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA＝BP＝BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ＝2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值.【分析】(1)由给出的D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF,再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH,从而得到AB∥GH；(2)由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直,以B为坐标原点建立空间直角坐标系,设出BA、BQ、BP的长度,标出点的坐标,求出一些向量的坐标,利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D－GH－E的余弦值.【解答】(1)证明:如图,∵C,D为AQ,BQ的中点,∴CD∥AB,又E,F分别AP,BP的中点,∴EF∥AB,则EF∥CD.又EF⊂平面EFQ,∴CD∥平面EFQ.又CD⊂平面PCD,且平面PCD∩平面EFQ＝GH,∴CD∥GH.又AB∥CD,∴AB∥GH；(2)由AQ＝2BD,D为AQ的中点可得,三角形ABQ为直角三角形,以B为坐标原点,分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系, 设AB＝BP＝BQ＝2,则D(1,1,0),C(0,1,0),E(1,0,1),F(0,0,1),因为H为三角形PBQ的重心,所以H(0,,).则,,.设平面GCD的一个法向量为由,得,取z1＝1,得y1＝2.所以.设平面EFG的一个法向量为由,得,取z2＝2,得y2＝1.所以.所以＝.则二面角D－GH－E的余弦值等于.【点评】本题考查了直线与平面平行的性质,考查了二面角的平面角及其求法,考查了学生的空间想象能力和思维能力,考查了计算能力,解答此题的关键是正确求出H点的坐标,是中档题.19.(12分)甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率；(2)若比赛结果3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分；若比赛结果为3:2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.【分析】(1)甲队获胜有三种情形,①3:0,②3:1,③3:2,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜,分别求出相应的概率,最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)X的取值可能为0,1,2,3,然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率,列出分布列,最后根据数学期望公式解之即可.【解答】解:(1)甲队获胜有三种情形,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜①3:0,概率为P1＝()3＝；②3:1,概率为P2＝C()2×(1－)×＝；③3:2,概率为P3＝C()2×(1－)2×＝∴甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率:.(2)乙队得分X,则X的取值可能为0,1,2,3.由(1)知P(X＝0)＝P1＋P2＝；P(X＝1)＝P3＝；P(X＝2)＝C(1－)2×()2×＝；P(X＝3)＝(1－)3＋C(1－)2×()×＝；E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝.【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式,以及离散型随机变量的期望与分布列,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.20.(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4＝4S 2,a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n 且(λ为常数).令c n ＝b 2n (n ∈N *)求数列{c n }的前n 项和R n . 【分析】(1)设出等差数列的首项和公差,由已知条件列关于首项和公差的方程组,解出首项和公差后可得数列{a n }的通项公式；(2)把{a n }的通项公式代入,求出当n ≥2时的通项公式,然后由c n ＝b 2n 得数列{c n }的通项公式,最后利用错位相减法求其前n 项和.【解答】解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由a 2n ＝2a n ＋1,取n ＝1,得a 2＝2a 1＋1,即a 1－d ＋1＝0①再由S 4＝4S 2,得,即d ＝2a 1② 联立①、②得a 1＝1,d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1；(2)把a n ＝2n －1代入,得,则.所以b 1＝T 1＝λ－1, 当n ≥2时,＝.所以,.R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝③④③－④得:＝所以；所以数列{c n }的前n 项和.【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了数列的求和,训练了错位相减法,考查了学生的计算能力,属中档题.21.(13分)设函数.(1)求f(x)的单调区间及最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数.【分析】(1)利用导数的运算法则求出f′(x),分别解出f′(x)＞0与f′(x)＜0即可得出单调区间及极值与最值；(2)分类讨论:①当0＜x≤1时,令u(x)＝－lnx－－c,②当x≥1时,令v(x)＝lnx－.利用导数分别求出c的取值范围,即可得出结论.【解答】解:(1)∵＝,解f′(x)＞0,得；解f′(x)＜0,得.∴函数f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为.故f(x)在x＝取得最大值,且.(2)函数y＝|lnx|,当x＞0时的值域为[0,＋∞).如图所示:①当0＜x≤1时,令u(x)＝－lnx－－c,c＝＝g(x),则＝.令h(x)＝e2x＋x－2x2,则h′(x)＝2e2x＋1－4x＞0,∴h(x)在x∈(0,1]单调递增,∴1＝h(0)＜h(x)≤h(1)＝e2－1.∴g′(x)＜0,∴g(x)在x∈(0,1]单调递减.∴c.②当x≥1时,令v(x)＝lnx－,得到c＝lnx－＝m(x),则＝＞0,故m(x)在[1,＋∞)上单调递增,∴c≥m(1)＝.综上①②可知:当时,方程|lnx|＝f(x)无实数根；当时,方程|lnx|＝f(x)有一个实数根；当时,方程|lnx|＝f(x)有两个实数根.【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能,考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法.22.(13分)椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围；(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.【分析】(1)把－c代入椭圆方程得,解得,由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,可得.再利用,及a2＝b2＋c2即可得出；(2)设|PF1|＝t,|PF2|＝n,由角平分线的性质可得,利用椭圆的定义可得t＋n＝2a＝4,消去t得到,化为,再根据a－c＜n＜a＋c,即可得到m的取值范围；(3)设P(x0,y),不妨设y＞0,由椭圆方程,取,利用导数即可得到切线的斜率,再利用斜率计算公式即可得到k1,k2,代入即可证明结论.【解答】解:(1)把－c代入椭圆方程得,解得,∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,∴.又,联立得解得,∴椭圆C的方程为.(2)如图所示,设|PF1|＝t,|PF2|＝n,由角平分线的性质可得,又t＋n＝2a＝4,消去t得到,化为,∵a－c＜n＜a＋c,即,也即,解得. ∴m的取值范围；.(3)证明:设P(x0,y),不妨设y＞0,由椭圆方程,取,则＝, ∴k＝＝.∵,,∴＝,.∴＝＝－8为定值【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识,考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力.第21页，共21页。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()P AB P A P B = 。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满组(3)(2i)5z --=（z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 （ ） A. 2i + B. 2i - C.5i + D. 5i - 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的等式，求它的共轭复数. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】由(3)(2i)5z --=，得5(2i)35i,5i.(2i)(2i)z z +=+=+∴=--+故选D.2.已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是 （ ） A. 1 B.3 C.5 D. 9【测量目标】集合的含义.【考查方式】给出集合的关系，求集合的元素. 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】当x =0，y =0时，0x y -=；当x =0，y =1时，1x y -=-；当x =0，y =2时，2x y -=-；x =1，y =0时，1x y -=；当x =1，y =1时，0x y -=；当x =1，y =2时，1x y -=-；当x =2，y =0时，2x y -=，当x =2，y =1时，1x y -=；当x =2，y =2时，0x y -=.根据集合中元素的互异性知，B 中点的元素有0，1,2,1,2,--共5个.3.已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f （ ） A.-2 B.0 C. 1 D.2【测量目标】函数的奇偶性.【考查方式】利用函数的奇偶性质求函数值. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】当x >0时，21(),(1) 2.f x x f x=+∴=而f （x ）为奇函数，(1)(1) 2.f f ∴-=-=-4.已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 （ ）A.5π12 B. π3 C. π4 D. π6【测量目标】二面角的大小和柱的体积.【考查方式】给出几何体的相关性质，求二面角的大小. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】如图所示，P 为正三角形111A B C 的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ,ABC ⊥平面连接OA ，则PAO ∠即为P A 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中，AB BC AC ==则2S ==,1119,4ABC A B C V S PO PO -=⨯=∴=又1,tan POAO PAO AO==∴∠==π.3PAO =故选B ．第4题图Twj825.将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 （ ）A.3π4 B.π4 C. 0 D. π4-【测量目标】三角函数的平移问题.【考查方式】通过得到是偶函数求平移的距离. 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】A 选项得到sin 2y x =-为奇函数；B 选项得到cos 2y x =为偶函数.C 选项得到πsin(2)4y x =+为非奇非偶函数.D 选项得到sin 2y x =为奇函数.故选B.6.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩，………所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为 （ ） A. 2 B. 1 C. 13-D.12-【测量目标】二元线性规划求最值.【考查方式】给出限制条件方程，求最小斜率. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】画出如图可行域可知，由210,380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得(3,1)C -当M 与C 重合时，OM 的斜率最小，13OM k =-.第6题图Twj847.给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【测量目标】充分必要条件.【考查方式】推测命题之间的关系. 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】p 是q 的必要不充分条件,则q 是p 充分不必要条件.8.函数cos sin =+y x x x 的图象大致为Twj77 Twj78 Twj79 Twj80第8题图A B C D【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】给出函数解析式判断函数的图象. 【难易程度】中等. 【参考答案】D 【试题解析】当π2x =时，y =1，排除C,当π2x =-时，1y =-，排除B ，当πx =时，π<0,A,y =-排除故选D.9.过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为 （ ）A. 230+-=x yB. 230--=x yC. 430--=x yD. 430+-=x y【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线和圆的位置关系，求直线的方程. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】设(3,1),P 圆心(1,0)C ，切点为A,B ,则P ,A,C,B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ABC 的外接圆的方程为2215(2)+()24x y --=，圆C:22(1)1x y -+=,相减的230x y +-=，即为直线的方程.10.用0，1，⋅⋅⋅，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )A. 243B. 252C. 261D. 279【测量目标】排列组合的应用.【考查方式】用数字的组合来考查排列组合. 【难易程度】较难. 【参考答案】B【试题解析】9位数一共可以组成900个数，其中无重复的三位数为998648⨯⨯=（个），∴有重复数字的三位数有900648=252-（个）.11.抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p ( )A.B. C.D.【测量目标】圆锥曲线的综合问题.【考查方式】通过限制条件求曲线基本要素. 【难易程度】较难. 【参考答案】D【试题解析】 双曲线222:1,3x C y -=∴又焦点为(2,0),F渐近线方程为y x =.抛物线方程1C ：21(0),2y x p p=>焦点为(0)2p F '，.设00(,),M x y 则22001201122.24o px p p y x k k p x -==∴=-又0011,,33x x y x y x p pp =''=∴===联立解的.12.设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z 取得最大值时，212+-x y z的最大值为 ( ) A. 0 B. 1 C.94D. 3 【测量目标】基本不等式最值.【考查方式】给出关系式，求不等式的最大值. 【难易程度】较难. 【参考答案】B【试题解析】2234(0,0,0),x x xy y x y z =-+>>>22111434433xy xy x y z x xy y y x∴===-+-+-=?,当且仅当42x y x y y x==时，即时等号成立，此时222222122121342,+(1)1,22z x xy y y x y z y y y y =-+=∴-=+-=--+∴当y =1时，211x y z+-的最大值为1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2013年山东理科数学（解析版）本777试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共4页，满分150分。

考试用时150分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

注意事项：1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立， 那么P （AB ）=P(A)*P(B) 第Ⅰ卷 （共60分） 一、选择题(1)复数z 满足(3)(2)5(z i i --=为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 (A) 2i + (B) 2i - (C) 5i + (D)5i - 答案：D.解析：由(3)(2)5z i --=得，532z i=+-，化简得5z i =+,5z i =-. (2)已知集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D)9 答案：C.解析：000,011,022,101,110,121,202,211,220-=-=--=--=-=-=--=-=-=，所以{}2,1,0,1,2B =--. (3) 已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, 21()f x x x=+,则(1)f -= (A) 2- (B)0 (C)1 (D)2 答案：A.解析：已知函数()f x 为奇函数,所以，(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-.(4) 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,,若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π答案：B.解析：设侧棱长为h ，则9,44h ==32，1,tan 3PA A PA A PA π'''=∠=∠=.(5) 将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 （A ）34π （B ）4π （C ）0 （D ）4π-答案：B.解析：将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位得sin(2)4y x πϕ=++,得到一个偶函数的图像,42k k Z ππϕπ+=+∈,ϕ=4π.(6) 在平面直角坐标系xoy中，M为不等式组220,210,380.x yx yx y--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(A)2(B) 1(C)13-(D)12-（A）2 （B）1 （C ）（D ）答案：C.解析：画出可行域，由斜率的定义可得直线OM 斜率的最小值为.（7）给定两个命题,p q 若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：A解析：因为p ⌝是q 的必要而不充分条件,不妨令1p x ⌝>：,:2q x >,则1p x ≤：,:2q x ⌝≤,则p 是q ⌝的充分而不必条件。

2013年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i2．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．93．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A． B．C．D．5．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=010．（5分）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．27911．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3二、填空题13．（4分）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为．14．（4分）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．15．（4分）已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ的值为．16．（4分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三、解答题17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（1）求证：AB∥GH；（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．19．（12分）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．20．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．21．（13分）设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．22．（13分）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i【分析】利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选：C．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）A． B．C．D．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．【解答】解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V==，解得．三棱柱ABC﹣A1B1C1又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选：B．【点评】熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A． B．C．0 D．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A．2 B．1 C．D．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．【解答】解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选：C．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．8．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．9．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．10．（5分）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．279【分析】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．【解答】解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选：B．【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选：B．【点评】本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．二、填空题13．（4分）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为3．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值．【解答】解：循环前，F0=1，F1=2，n=1，第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，此时，满足条件，退出循环，输出n=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．（4分）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得①，或②，③．解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得x≥2．故原不等式的解集为{x|x≥1}，∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P==．故答案为：【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．15．（4分）已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ的值为．【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．【解答】解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．16．（4分）定义“正对数”：ln +x=，现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln +（a b ）=bln +a ； ②若a ＞0，b ＞0，则ln +（ab ）=ln +a +ln +b ； ③若a ＞0，b ＞0，则；④若a ＞0，b ＞0，则ln +（a +b ）≤ln +a +ln +b +ln2． 其中的真命题有 ①③④ （写出所有真命题的序号）【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a ，b 分类讨论，判断出每个命题的真假．【解答】解：（1）对于①，由定义，当a ≥1时，a b ≥1，故ln +（a b ）=ln （a b ）=blna ，又bln +a=blna ，故有ln +（a b ）=bln +a ；当a ＜1时，a b ＜1，故ln +（a b ）=0，又a ＜1时bln +a=0，所以此时亦有ln +（a b ）=bln +a ，故①正确；（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln +（ab ）=0，ln +a +ln +b=ln2，所以ln +（ab ）≠ln +a +ln +b ，故②错误； （3）对于③， i ．≥1时，此时≥0，当a ≥b ≥1时，ln +a ﹣ln +b=lna ﹣lnb=，此时则，命题成立；当a ＞1＞b ＞0时，ln +a ﹣ln +b=lna ，此时，＞lna ，则，命题成立；当1＞a ≥b ＞0时，ln +a ﹣ln +b=0，成立；ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；（4）对于④，当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，∴a+b≤2ab，∴ln（a+b）＜ln（2ab），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，∴a+b≤2a，∴ln（a+b）＜ln（2a），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错．三、解答题17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（1）求证：AB∥GH；（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．【分析】（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：如图，∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．又AB∥CD，∴AB∥GH；（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．则，，．设平面GCD的一个法向量为由，得，取z1=1，得y1=2．所以．设平面EFG的一个法向量为由，得，取z2=2，得y2=1．所以．所以=．则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．【点评】本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H点的坐标，是中档题．19．（12分）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．【分析】（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．【解答】解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜①3：0，概率为P1=（）3=；②3：1，概率为P2=C（）2×（1﹣）×=；③3：2，概率为P3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：．（2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；则X的分布列为E（X）=3×+2×+1×+0×=．【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{a n}的通项公式；（2）把{a n}的通项公式代入，求出当n≥2时的通项公式，然后由c n=b2n得数列{c n}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得：=所以；所以数列{c n}的前n项和．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题．21．（13分）设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．【分析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．故f（x）在x=取得最大值，且．（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，c==g（x），则=．令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．∴c．②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），则=＞0，故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．22．（13分）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．【分析】（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得．再利用，及a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到，化为，再根据a﹣c ＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．又，联立得解得，∴椭圆C的方程为．（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，又t+n=2a=4，消去t得到，化为，∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．∴m的取值范围；．（3）证明：设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，则=，∴k==．∵，，∴=，∴==﹣8为定值．【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=∙P AB P A P B 。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为(A)(B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)(B)(C)(D)12、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z取得最大值时，212+-的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2013年山东高考数学理试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 【答案】D（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.OP PAO OA∠==即3PAO π∠=，选B.,42k k Z ϕπ+=+∈，即,4k k Z ϕπ=+∈，所以选B.（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动【解析】作出可行域如图，由图象可知当M 位于点D 处时，OM 的斜率最小。

由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，即(3,1)D -,此时OM 的斜率为1133-=-，选C.（7）给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为﹁p 是q 的必要而不充分条件，所以﹁q 是p 的必要而不充分条件，即p 是﹁q 的充分而不必要条件，选A.（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B ，C.当x π=时，()0f ππ=-<,排除A,选D.（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 【答案】A【解析】由图象可知，(1,1)A 是一个切点，所以代入选项知，,B D 不成立，排除。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。

第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 若复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 （A ） 2+i （B ） 2-i （C ） 5+i （D ） 5-i(2) 已知集合A ={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A}中元素的个数是 (A ） 1 (B ） 3 (C ） 5 (D ） 9(3）已知函数f(x) 为函数设且x ＞0时， f(x)= x 2+x1，则f(-1)= (A ） -2 (B ） 0 (C ） 1 (D ） 2（4）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 （A ）125π （B ）3π （C ）4π （D ）6π （5）将函数y=sin(2x+Φ)的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则Φ的一个可能取值为 （A ）43π （B ）4π （C ）0 （D ）-4π（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（ ） （A ）2（B ）1（C ）31-（D ）21- (7)给定两个命题p,q.若﹃p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹃q 的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx+sinx 的图象大致为(9过点（3,1）作圆(x-1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．032=-+y xB ． 032=--y xC ．034=--y x D ．034=-+y x(D)（A ）243 (B)252 (C)261 (D)279（11）抛物线C1：221x py =(p ＞0)的焦点与双曲线C2：1322=-y x 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M 。

2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位)，则z的共轭复数为(）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答:解：∵(z﹣3）(2﹣i)=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评:本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．(5分）（2013•山东）已知集合A=｛0,1，2｝，则集合B=｛x﹣y｜x∈A，y∈A｝中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0,1，2｝,从而可得答案．解答：解:∵A={0，1，2｝,B={x﹣y|x∈A，y∈A｝，∴当x=0,y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1,﹣2;当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0,1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2｝，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题．3．（5分）（2013•山东)已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f(﹣1）=（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点: 函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f(﹣1）=﹣f（1）,即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f(x)=x2+,∴f（﹣1）=﹣f(1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．考点: 直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解:如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==,解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）（2013•山东）函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析:利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f(x）=sin（2x+φ)，则f(x+）=sin［2(x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f(x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为（）A．2B．1C．D．考点: 简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点(0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解:不等式组表示的区域如图，当M取得点A(3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键．8．（5分)（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（)A．B．C．D．考点：函数的图象．专题: 函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质,考查了函数的值，是基础题．9．(5分）(2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程;直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析:由题意判断出切点（1，1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答:解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过（1，1）,B、D不满足题意;另一个切点的坐标在（1,﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．点评:本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．10．（5分)（2013•山东)用0，1，2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…,9十个数字,所有三位数个数为:900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有:9×9×8=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．11．（5分)（2013•山东)抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M(）,则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得,代入M点得M（）把M点代入①得:．解得p=．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分)(2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2，又x,y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“="），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键,考查配方法求最值，属于中档题．二、填空题13．（4分）（2013•山东)执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z满足()()325z i--=（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）（A）2i+（B）2i-（C）5i+（D）5i-2．设集合{}0,1,2A=，则集合{}|,B x y x A y A=-∈∈中元素的个数是（）（A）1（B）3（C）5（D）9 3．已知函数()f x为奇函数，且当0x>时，()21f x xx=+，则()1f-=（）（A）（B）0（C）1（D）24．已知三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面垂直，体积为94，底面积是边长为3的正三角形，若P为底面111A B C的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）（A）512π（B）3π（C）4π（D）6π5．将函数()sin2y xϕ=+的图像沿x轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（）（A）34π（B）4π（C）0（D）4π-6．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组220210380x yx yx y--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）（A）2（B）1（C）13-（D）12-7．给定两个命题p、q，若p⌝是q的必要而不充分条件，则p是q⌝的（（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8．函数cos siny x x x=+的图象大致为（）9．过点()3,1作圆()2211x y-+=的切线，切点分别为,A B，则直线AB的方程为（）（A）230x y+-=（B）230x y--=（C）430x y--=（D）430x y+-=10．用0,1,2,,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） （A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）27911．抛物线1C ：()2102y x p p =>的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷) 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 答案：D解析：由题意得z －3＝52i-＝2＋i ，所以z ＝5＋i.故z ＝5－i ，应选D. 2． 答案：C解析：当x ，y 取相同的数时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时，x －y ＝1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；其他则重复．故集合B 中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C. 3． 答案：A解析：因为f (x )是奇函数，故f (－1)＝－f (1)＝2111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－2，应选A. 4． 答案：B解析：如图所示，由棱柱体积为94.设P 在平面ABC上射影为O ，则可求得AO 长为1，故AP 2=故∠PAO ＝π3，即PA 与平面ABC 所成的角为π3. 5． 答案：B解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin 28y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝πsin 24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，又πsin 24y x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝为偶函数，故πππ42k ϕ+=+，k ∈Z ，∴ππ4k ϕ=+，k ∈Z .若k ＝0，则π4ϕ=.故选B. 6． 答案：C解析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M 位于C 点时OM 斜率最小，且为13-，故选C.7． 答案：A解析：由题意：q ⇒⌝p ，⌝pq ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．故选A. 8． 答案：D解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y ＞0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D. 9． 答案：A解析：该切线方程为y ＝k (x －3)＋1，即kx －y －3k ＋1＝0＝1，得k ＝0或43，切线方程分别与圆方程联立，求得切点坐标分别为(1,1)，93,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故所求直线的方程为2x ＋y －3＝0.故选A.10． 答案：B解析：构成所有的三位数的个数为11191010C C C ＝900，而无重复数字的三位数的个数为111998C C C ＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B. 11． 答案：D解析：设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21''2x y x p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故在M点处的切线的斜率为0x p =故M 1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.由题意又可知抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线右焦点为(2,0)，且1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)三点共线，可求得pD. 12． 答案：B解析：由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得2234x xy y z -+即xy z≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立，又x ，y 为正实数，故x ＝2y .此时将x ＝2y 代入x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得z ＝2y 2，所以222121211+1x y z y y y ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭，当1=1y ，即y ＝1时，212x y z+-取得最大值为1，故选B. 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．答案：3解析：第1次运行将F 0＋F 1赋值给F 1，即将3赋值给F 1，然后将F 1－F 0赋值给F 0，即将3－1＝2赋值给F 0，n 增加1变成2，此时1113F =比ε大，故循环，新F 1为2＋3＝5，新F 0为5－2＝3，n 增加1变成3，此时1115F =≤ε，故退出循环，输出n ＝3. 14．答案：13解析：设y ＝|x ＋1|－|x －2|＝3,2,21,12,3,1,x x x x ≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩利用函数图象(图略)可知|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[1，＋∞)．而在[－3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3]，故所求概率为311333-=-(-).15．答案：712解析：∵AP ＝λAB ＋AC ，AP ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ，∴(AC －AB )·(AC ＋λAB )＝0.∴AC 2＋λAB ·AC －AB ·AC －λAB 2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝712.16．答案：①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B9=. 由正弦定理得sin A＝sin 3a Bb =. 因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A13=. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B＝27. 18．(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF 平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)解法一：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ .因为PB ⊥平面ABQ ， 所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ， 所以AB ⊥平面PBQ .由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ . 又FH ⊂平面PBQ ，所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC， 在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC又H 为△PBQ 的重心，所以HC＝133PC =. 同理FH＝3.在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝5524995529+-=-⨯.故二面角D －GH －E 的余弦值为45-.解法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)． 所以EQ ＝(－1,2，－1)，FQ ＝(0,2，－1)，DP ＝(－1，－1,2)，CP ＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由m ·EQ ＝0，m ·FQ ＝0， 得1111120,20,x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP ＝0，n ·CP ＝0， 得2222220,20,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝4||||5=·m n m n .因为二面角D －GH －E 为钝角， 所以二面角D －GH －E 的余弦值为45-. 19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝328327⎛⎫= ⎪⎝⎭，P (A 2)＝2232228C 133327⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P (A 3)＝22242214C 133227⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝22242214C 1133227⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， 又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427， P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×27＝9.20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知，T n ＝12n nλ--， 所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12112222n n n n n n ------+=. 故c n ＝b 2n ＝21222n n --＝11(1)4n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭，n ∈N *.所以R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭0＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋3×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1，则14R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －2)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ， 两式相减得34R n ＝14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1－(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ＝11144(1)1414nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭--⨯ ⎪⎝⎭- ＝1131334nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 整理得R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以数列{c n }的前n 项和R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．解：(1)f ′(x )＝(1－2x )e －2x， 由f ′(x )＝0，解得x ＝12. 当x ＜12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以，函数f (x )的单调递增区间是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，最大值为111e 22f c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)令g (x )＝|ln x |－f (x )＝|ln x |－x e －2x－c ，x ∈(0，＋∞)．①当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＞0，则g (x )＝ln x －x e －2x－c ， 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 因为2x －1＞0，2e xx＞0，所以g ′(x )＞0.因此g (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0,1)时，ln x ＜0，则g (x )＝－ln x －x e －2x－c . 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫-+- ⎪⎝⎭. 因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x＞1＞x ＞0，所以2e xx -＜－1.又2x －1＜1，所以2e xx-＋2x －1＜0，即g ′(x )＜0.因此g (x )在(0,1)上单调递减．综合①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－e －2－c .当g (1)＝－e －2－c ＞0，即c ＜－e －2时，g (x )没有零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当g (1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g (x )只有一个零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当g (1)＝－e －2－c ＜0，即c ＞－e －2时， 当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g (x )＝ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需使ln x －1－c ＞0，即x ∈(e 1＋c，＋∞)；当x ∈(0,1)时，由(1)知g (x )＝－ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＞－ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需－ln x －1－c ＞0，即x ∈(0，e －1－c)；所以c ＞－e －2时，g (x )有两个零点，故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 综上所述，当c ＜－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当c ＞－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 22．(1)解：由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程2222=1x y a b+，得2b y a =±，由题意知22=1b a ，即a ＝2b 2.又c e a ==，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)解法一：设P (x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(，0)，F 2，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0yy 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0yy 0＝0.由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=，=.因为m2＜x 0＜2，=所以m ＝034x .因此3322m -<<.解法二：设P (x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当0x =时，直线PF 2的斜率不存在，易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭. 若P 12⎫⎪⎭，则直线PF 1的方程为0x -=.m =，因为m所以m =若P 12⎫-⎪⎭，同理可得m =.②当x 0时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x)，y ＝k 2(x)．=，221221111k k +=+. 因为220014x y +=， 并且k 1，k 2，222=22==.因为为m，0≤x 0＜2且x 0=.整理得m ＝34x ， 故0≤m ＜32且m综合①②可得0≤m ＜32.当－2＜x 0＜0时，同理可得32-＜m ＜0. 综上所述，m 的取值范围是33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=(-)⎩整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(20y －2kx 0y 0＋220k x －1)＝0.由题意Δ＝0，即220(4)x k -＋2x 0y 0k ＋1－20y ＝0.又220014x y +=， 所以22016y k ＋8x 0y 0k ＋20x ＝0，故k ＝004xy -.由(2)知00012000211x x x k k y y y +=+=， 所以121211111kk kk k k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ＝000042=8y xx y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭， 因此1211kk kk +为定值，这个定值为－8.。