【新学案】数学苏教版选修学案：空间向量的数量积含解析_1

苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标1.理解向量数量积的概念和特点；2.掌握向量数量积的计算方法；3.运用向量数量积解决几何问题。

2. 教学难点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握；3.运用向量数量积解决几何问题的能力。

3. 教学重点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握。

4. 教学方法1.探究法；2.演示法；3.练习法；4.归纳法。

5. 教学内容1.向量数量积的概念；2.向量数量积的计算方法；3.向量数量积的性质；4.向量数量积在几何问题中的应用。

6. 教学过程(1) 导入新课教师将一张图片放在黑板上，上面画有一只猎人和一只飞禽。

请学生思考以下问题：1.猎人用什么手段来抓飞禽？2.飞禽飞行时用什么力量来行进？3.猎人与飞禽之间有什么关系？经过学生讨论，引出向量的概念，并简要介绍向量的加减和数量积。

(2) 学习新课1.向量数量积的定义：$ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $，其中 $\\mathbf{a}$ 和 $\\mathbf{b}$ 分别为向量$\\boldsymbol{OA}$ 和 $\\boldsymbol{OB}$，$\\theta$ 为 $\\boldsymbol{OA}$ 和$\\boldsymbol{OB}$ 的夹角。

2.向量数量积的性质：交换律、分配律、数量积为0的充要条件是 $\\boldsymbol{OA}$ 与$\\boldsymbol{OB}$ 垂直。

3.向量数量积的应用。

(3) 练习1.根据上述内容，让学生完成以下例题：例题：已知向量 $\\mathbf{a} = \\boldsymbol{OA}$，$\\mathbf{b} = \\boldsymbol{OB}$，$\\mathbf{c} =\\boldsymbol{OC}$，$\\boldsymbol{OA} = 2\\boldsymbol{i} + \\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OB} = \\boldsymbol{i} + 3\\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OC} =3\\boldsymbol{i} + 4\\boldsymbol{j}$，求$\\boldsymbol{OA} \\cdot \\boldsymbol{OB}$ 和$\\boldsymbol{AB}$ 的夹角。

空间向量的数量积（2）一．学习目标：掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题。

二．重点、难点：理解空间向量的坐标运算规律及规律的应用 三、知识链接平面向量的数量积的坐标表示——见必修错误!第78、79页1若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a •=2若),(11y x A ，),(22y x B ，如何用向量的方法证明221221)(y y x x AB -+-=）（？3已知)12(-=，a ，)23(-=，b ，求）b a b a 2()3(-•-4已知直线021=-y x l ：和032=+y x l ：，求直线1l 和2l 的夹角5设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围。

四、学习过程（一）自主学习、合作探究阅读课本第82页到第83页，完成以下问题1 若),,(111z y x a =，),,(222z y x b =，求证：b a ⋅=212121z z y y x x ++（这就是数量积的坐标形式）2距离的坐标形式：错误!若向量),,(z y x a =，则向量a 的长度（模）公式： 错误!空间两点的距离公式 ：3向量夹角的坐标表示：4思考：当0><<<b a ,cos 1及-1><<<b a ,cos 0时，夹角分别在什么范围内？（二）知识应用、思维训练例1、已知)1,3,3(A 、)5,0,1(B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；高二数学 选修2-1 编写人： 使用日期（2）到A 、B 两点距离相等的点的),,(z y x P 坐标z y x ,,满足的条件。

例2、在正方体1111D C B A ABCD -中， F E ,分别为DC BB ,1的中点1求AE 与F D 1所成的角;2证明：⊥AE 面F D A 11反思总结：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。

3．1.5空间向量的数量积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1) 掌握空间向量的定义及数量积公式．(2)掌握空间向量的数量积的坐标运算．(3)掌握向量垂直的充要条件．(4)掌握向量模长及夹角公式．2．过程与方法(1)通过比较平面向量、空间向量的数量积运算，培养学生观察、分析、类比转化的能力．(2) 通过向量数量积的运算过程，培养学生基本的运算能力．(3)通过向量数量积的应用，学会向量法探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式．(2)通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学的魅力，激发学生学数学、用数学的热情．●重点难点重点：空间向量数量积公式及其应用．难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题．(教师用书独具)●教学建议向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用．利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题．通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．本节课围绕“提出问题——分析问题——解决问题——应用拓展”的教学模式，让学生从几何体直观感知空间直线所成的角度，在熟练掌握平面向量数量积的基础上理解空间向量数量积的计算公式．这样在教师的引导下学生很容易得知空间向量也是在组成新的平面后进行运算．顺势直接对比分析与前面所学的平面内数量积运算的异同点，并在后续通过学生的自主探究使学生获得知识、形成能力．●教学流程回顾平面向量数量积的定义及公式，类比得出空间向量的夹角定义，得出空间向量的数量积的定义、运算公式．要注意类比思维的应用，注意平面向量与空间向量的数量积定义的区别与联系．⇒回顾平面向量数量积的运算性质及运算律，类比得出空间向量的运算性质及运算律．注意向量运算与实数运算的区别，注意数量积运算与数乘运算的区别．数量积的运算性质中蕴含了模与夹角的计算方法，应得出相应公式．⇒空间向量的数量积的坐标表示．在空间直角坐标系中，得出空间向量数量积的坐标公式，从而得出向量垂直的坐标条件，向量夹角与模的坐标公式，从而简化相应计算，⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求空间向量数量积的方法与步骤，掌握基向量法与坐标法两种形式的运算规律，比较两种运算方法的优劣．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握空间两向量夹角的求法，一是利用基向量，二是利用坐标法，坐标法更接近实数运算，更易操作．⇒通过例3及变式训练，使学生会利用数量积运算求空间两点间的距离，及求向量的模，关键是用基向量或坐标表示向量．⇒通过例4及变式训练，使学生会利用向量垂直的两个充要条件证明两条直线垂直，从而利用向量法证明空间垂直．⇒通过易错易误辨析，体会向量夹角与数量积的关系，向量夹角的大小决定数量积的正负，向量夹角是共起点时两射线的夹角，弄错就会导致数量积反号．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.空间向量的夹角【问题导思】a ，b 与b ，a 相等吗？a ，b 与a ，－b 呢？【提示】a ，b ＝b ，a ，a ，b ＝π－a ，－b ．a ，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角．记法：向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，a ，b 的范围是[0，π]，如果〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .空间向量的数量积设a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．我们规定：零向量与任一向量的数量积为0. cos a ，b ＝a·b |a ||b |(a ，b 是两个非零向量)．a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 是两个非零向量)． |a |2＝a·a ＝a 2.与平面向量一样，空间向量的数量积也满足如下的运算律： (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )(λ∈R )； (3)a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .若111222(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0(a ≠0，b ≠0)．(3)|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21＋z 21.(4)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21·x 22＋y 22＋z 22(a ≠0，b ≠0)．设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.【思路探究】 思路一，按基向量法，利用定义计算数量积；思路二，按坐标法，利用坐标运算求数量积．【自主解答】 法一 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a ) ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.法二 以A 为原点，AB ，AD ，AA 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1)∵B (2,0,0)，C (2,4,0)，E (1,0,1)，D 1(0,4,2) ∴BC →＝(0,4,0)，ED 1→＝(－1,4,1)， ∴BC →·ED 1→＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16. (2)∵B (2,0,0)，F (0,2,2)，A (0,0,0)，B 1(2,0,2)， ∴BF →＝(－2,2,2)，AB 1→＝(2,0,2)， ∴BF →·AB 1→＝－2×2＋2×0＋2×2＝0. (3)∵E (1,0,1)，F (0,2,2)，C 1(2,4,2)， ∴EF →＝(－1,2,1)，FC 1→＝(2,2,0)， ∴EF →·FC 1→＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.1．利用定义求向量数量积的步骤：(1)选定基底，用基向量表示要求数量积的两个向量；(2)利用数量积运算法则，进行数量积运算．2．利用坐标法求向量数量积的步骤：(1)恰当建立坐标系，求点的坐标；(2)求向量坐标；(3)利用数量积的坐标运算求数量积．图3－1－16已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于a ，如图3－1－16所示，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，求下列向量的数量积：(1)AB →·AC →；(2)AD →·BC →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos AB →，AC →＝a ×a ×12＝a 22.(2)∵BC →＝AC →－AB →， ∴AD →·BC →＝AD →·(AC →－AB →) ＝AD →·AC →－AD →·AB →. 又∵|AD →|＝|BC →|＝a ，AD →，AC →＝AD →，AB →＝60°，∴AD →·BC →＝a 22－a 22＝0.(3)∵G ，F 分别为CD ，AD 的中点， ∴GF →＝12CA →＝－12AC →.∴GF →·AC →＝－12AC 2→.∵AC 2→＝a 2，∴GF →·AC →＝－12a 2.(4)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF →＝12BD →.∴EF →·BC →＝12BD →·BC →＝12×a ×a ×12＝a 24.如图3－1－17，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求向量BC 1→与AC →的夹角的大小．图3－1－17【思路探究】 思路一，利用基向量；思路二，利用坐标法．【自主解答】 法一 基向量法 设正方体的棱长为1.BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋|AD →|2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝0＋|AD →|2＋0＋0 ＝|AD →|2＝1，又|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∴cos BC 1→，AC →＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12·2＝12.∵BC 1→，AC →∈[0°，180°]， ∴BC 1→，AC →＝60°，即向量BC 1→与AC →的夹角的大小为60°. 法二 坐标法如图，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，∵A (0,0,0)，C (1,1,0)，B (1,0,0)，C 1(1,1,1)， ∴AC →＝(1,1,0)，BC 1→＝(0,1,1)，∴cos BC 1→，AC →＝(1，1，0)·(0，1，1)2×2＝12.∴BC 1→，AC →＝60°.1．通过以上两法可以看出，如果较易建立空间直角坐标系，坐标法优于基向量法，计算更快捷，叙述过程更简洁．2．两向量夹角的范围是[0，π]，利用夹角公式求出余弦值为正值时(不为1)，夹角为锐角；余弦值为负值时(不为－1)，夹角为钝角；余弦值为－1时，夹角为180°；余弦值为1时，夹角为0°.图3－1－18如图3－1－18所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 1，F 1分别是A 1B 1，C 1D 1的一个四等分点，求BE 1→，DF 1→夹角的余弦值．【解】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0,0)，B (1,1,0)，E 1(1，34，1)，F 1(0，14，1)．所以BE 1→＝(1，34，1)－(1,1,0)＝(0，－14，1)，DF 1→＝(0，14，1)－(0,0,0)＝(0，14，1)，则|BE 1→|＝02＋(－14)2＋12＝174，|DF 1→|＝02＋(14)2＋12＝174，BE 1→·DF 1→＝(0，－14，1)·(0，14，1)＝0×0－14×14＋1×1＝1516.所以cos BE 1→，DF 1→＝BE 1→·DF 1→|BE 1→||DF 1→|＝1516174×174＝1517. 因此，BE 1→与DF 1→夹角的余弦值是1517.利用数量积求距离如图3－1－19所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．图3－1－19【思路探究】 求B ，D 间的距离可以转化为求向量BD →的模，但向量BD →的模直接求解较难，可以转化为其他向量，注意到折起后AB 与AC ，CD 与AC 的垂直关系没有发生改变，从而可以充分利用这种关系求解．【自主解答】 ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD →＝0.同理可得AC →·BA →＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴BA →，CD →＝60°或BA →，CD →＝120°，又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos BA →，CD →．∴当BA →，CD →＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2； 当BA →，CD →＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.1．应注意BA →，CD →应有两种取值60°或120°，不应只误为60°，而不进行分类讨论． 2．利用空间向量求线段的长度或两点间的距离的步骤如下：(1)结合图形将所求线段用相应向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a |＝a 2求出|a |，即得所求线段的长度或两点间的距离．如图3－1－20，已知平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝6，求PC 的长．图3－1－20【解】 ∵PC →＝P A →＋AD →＋DC →， ∴|PC →|2＝PC →2＝(P A →＋AD →＋DC →)2＝|P A →|2＋|AD →|2＋|DC →|2＋2P A →·AD →＋2P A →·DC →＋2AD →·DC → ＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos 120°＝61－12＝49， ∴PC ＝7.图3－1－21如图3－1－21所示，在直三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．求证：A 1B ⊥C 1M .【思路探究】 结合直三棱柱的特点建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，表示出A 1B →，C 1M →，进行数量积的坐标运算即可．【自主解答】 如图所示，以CA →，CB →，CC 1→为正交基底，建立空间直角坐标系C －xyz . 依题意得B (0,1,0)，A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，则M (12，12，2)，于是A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝(12，12，0)，∴A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，故A 1B ⊥C 1M .1．本例也可以CA →，CB →，CC 1→为基向量证明结论，不妨一试，证明从略． 2．利用数量积证明空间垂直，以算代证，较为方便．图3－1－22如图3－1－22，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB.【证明】以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵P A⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与底面ABCD所成的角，∵∠PBA＝30°，∴P A＝233a.∴A(0,0,0)，B(2a,0,0)，D (0，a,0)，P (0,0，233a )．∴AD →＝(0，a,0)，PB →＝(2a,0，－233a )．∵AD →·PB →＝(0，a,0)·(2a,0，－233a )＝0，∴PB →⊥AD →.又PB →⊥AE →，∴PB →⊥平面ADE ，∴PB ⊥DE .弄错向量的夹角而致错图3－1－23如图3－1－23所示，在空间四边形ABCD 中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，求MN →·DC →.【错解】 MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos BD →，DC →＝12cos 60°＝14. 【错因分析】 本题错误的原因是误认为BD →，DC →＝60°，而实际上BD →，DC →＝120°.【防范措施】 求两个向量的夹角时，要注意向量夹角的顶点必须是向量的共同的起点，如果没有公共起点，要把其中一个向量平移，使其有公共起点，然后再求．【正解】 MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos BD →，DC → ＝12cos 120°＝－14.1．两向量的数量积是一个实数，而非向量，计算时有两种方式：(1)定义法．(2)坐标法．利用定义法时，注意向量的夹角不要弄错．2．利用向量的数量积运算可以计算向量的模及夹角，即|a|＝a·a＝a2，cos a，b＝a·b|a||b|，从而求空间线段的长及空间角的大小．3．两向量垂直的充要条件应用广泛，应注意该条件的双向应用，以此论证空间垂直问题.1．下列各命题中，正确的命题有________．①a·a＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m、λ∈R)；③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ； ④a 2b ＝b 2a ； ⑤a 2＝|a |2.【解析】 根据向量数量积定义可推得①②③⑤均正确，而④中，左边＝a 2b ＝|a |2·b ，右边＝|b |2·a ，显然当a ，b 不同向时一定不会相等，故④错．【答案】 ①②③⑤2．若a ＝(0,2，－2)，b ＝(1，－1,1)，则a·b ＝________.【解析】 a·b ＝(0,2，－2)·(1，－1,1)＝0×1＋2×(－1)＋(－2)×1＝－4. 【答案】 －43．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦值为89，则λ＝________.【解析】 ∵a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ， 又∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝5＋λ2×9×89＝85＋λ23，∴85＋λ23＝6－λ，解得λ＝－2或255.【答案】 －2或2554．已知向量a ＝(1，－2,4)，向量b 满足以下三个条件： (1)a ·b ＝0； (2)|b |＝10；(3)b 与向量c ＝(1,0,0)垂直． 试求向量b .【解】 设b ＝(x ，y ，z )， ∵a ·b ＝0，∴x －2y ＋4z ＝0，① ∵|b |＝10，∴x 2＋y 2＋z 2＝100.② ∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0，∴x ＝0.③联立①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝45z ＝25或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－45z ＝－25∴b ＝(0,45，25)或b ＝(0，－45，－25).一、填空题1．下列结论中正确的序号是________． ①a·b ＝a·c (a ≠0)⇒b ＝c ； ②a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0； ③(a·b )·c ＝a ·(b·c )； ④a ·(λb )＝λ(a·b )；⑤若a·b <0，则a ，b 的夹角为钝角．【解析】 根据数量积的运算律可知④正确．①任取与a 垂直的两个向量作为b ，c ，都能保证此等式成立，所以b ＝c 不一定成立；②只要a ⊥b ，a ＝0，b ＝0有一个成立时，就有a·b ＝0，所以a ＝0或b ＝0不一定成立；③当a ，c 不共线时，此结论不成立；⑤当a ，b 反向共线时，a ，b 的夹角为π，a·b <0也成立，故不正确．【答案】 ④2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a·a ＋a·b ＝________. 【解析】 a·a ＋a·b ＝|a |2＋|a ||b |cos a ，b ＝1＋1×1×cos 120°＝12.【答案】 123．(2013·哈师大附中高二检测)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是________．【解析】 ∵(k a ＋b )⊥(2a －b )，∴(k a＋b)·(2a－b)＝0，∴2k a2＋(2－k)a·b－b2＝0，∴2k×2＋(2－k)(－1)－5＝0，∴k＝75.【答案】7 54．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.【解析】∵p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.【答案】－15．|a|＝2，|b|＝3，a，b＝60°，则|2a－3b|＝________.【解析】a·b＝2×3·cos 60°＝3，∴|2a－3b|＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×3＋9×32＝61.【答案】616．(2013·广州高二检测)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．【解析】∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)∴a·b＋b·c＋c·a＝a·b＋(a＋b)·c＝a·b－c2＝a·b－16∵c＝－(a＋b)，∴|c|2＝a2＋2a·b＋b2，∴a·b＝3，∴原式＝3－16＝－13.【答案】－137．已知|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ＝________.【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，又(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝12λ－18＝0，解得λ＝32.【答案】 328．(2013·潍坊高二检测)设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是________三角形(填“钝角”、“锐角”或“直角”)【解析】 ∵BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，∴BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cosBC →，BD→＝BC →·BD →|BC →||BD →|>0，则∠CBD 为锐角．同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形． 【答案】 锐角 二、解答题9．如图3－1－24所示，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，求：(1)AC ′→·DB ′→，cos AC ′→，DB ′→； (2)BD ′→·AD →.图3－1－24【解】 (1)由题意知AC ′→·DB ′→＝(a ＋b ＋c )·(a －b ＋c )＝a 2＋c 2＋2a·c －b 2＝1，易得|AC ′→|＝3，|DB ′→|＝3，故cos AC ′→，DB ′→＝AC ′→·DB ′→|AC ′→||DB ′→|＝13.(2)BD ′→·AD →＝(b ＋c －a )·b ＝b 2＋b ·c －b·a ＝1.10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AB ，BC 上的动点，且AM ＝BN . 求证：A 1N ⊥C 1M .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，不妨设正方体的棱长为1，设AM ＝BN ＝x (0≤x ≤1)，则M (1，x,0)，N (1－x,1,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．∴A 1N →＝(－x,1，－1)，C 1M →＝(1，x －1，－1)，∴A 1N →·C 1M →＝(－x,1，－1)·(1，x －1，－1)＝－x ＋x －1＋1＝0， ∴A 1N →⊥C 1M →，即A 1N ⊥C 1M .11．已知向量a ＝(cos 32x ，sin 32x,0)，b ＝(cos x 2，－sin x 2，0)，且x ∈[0，π2]，求：(1)a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求实数λ.【解】 (1)a ·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a＋b|＝(cos 32x＋cosx2)2＋(sin 32x－sin x2)2＝2＋2cos 2x＝4cos2x＝2cos x.(2)由(1)知，f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－2λ·2cos x＝2cos2x－4λcos x－1＝2(cos x－λ)2－2λ2－1.∵x∈[0，π2]，∴cos x∈[0,1]，则当λ≤0时，f(x)min＝－1，与题意矛盾，舍去；当0＜λ＜1时，f(x)min＝－2λ2－1＝－32，∴λ＝12；当λ≥1时，f(x)min＝1－4λ＝－32，解得λ＝58，不满足λ≥1，舍去．综上，实数λ的值为12.(教师用书独具)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．【思路探究】 (1)利用向量夹角公式较易求解；(2)逆用两向量垂直的充要条件，列出关于k 的方程．【自主解答】 (1)∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，∴AB →＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，AC →＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．cos θ＝a·b |a ||b |＝1×(－1)＋1×0＋0×212＋12＋02·(－1)2＋02＋22 ＝－110＝－1010. ∴a 和b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝k (1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k ＋2，k ，－4)，又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或k ＝2.1．要熟记向量夹角公式及向量的垂直的坐标表示形式，第(2)问也可以按向量数量积的运算律求解，即(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝0，解得k ＝－52或k ＝2. 2．向量数量积的应用很多，尤其是向量的垂直可以用来证明空间两直线的垂直，也可以利用垂直反求待定系数的值．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →、AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a .【解】 (1)AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12， ∴sin A ＝32.∴S 平行四边形＝|AB →||AC →|sin A ＝7 3. ∴以AB →、AC →为边的平行四边形的面积为7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1).。

3．1.5 空间向量的数量积[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．知识点一 空间向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律(3)题型一 空间向量的数量积运算例1 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →；(4)BF →·CE →. 解 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →|·|BA →|·cos 〈BD →，BA →〉 ＝12×1×1×cos60°＝14， 所以EF →·BA →＝14.(2)EF →·BD →＝12|BD →|·|BD →|·cos 〈BD →，BD →〉＝12×1×1×cos0°＝12，所以EF →·BD →＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|·cos 〈BD →，DC →〉＝12×1×1×cos120°＝－14，所以EF →·DC →＝－14.(4)BF →·CE →＝12(BD →＋BA →)·12(CB →＋CA →)＝14[BD →·(－BC →)＋BA →·(－BC →)＋BD →·CA →＋BA →·CA →] ＝14[－BD →·BC →－BA →·BC →＋(CD →－CB →)·CA →＋AB →·AC →] ＝14(－12－12＋12－12＋12)＝－18. 反思与感悟 由向量数量积的定义知，要求a 与b 的数量积，需已知|a |，|b |和〈a ，b 〉，a 与b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a ·b 计算准确． 跟踪训练1 已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________． 答案 －13解析 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c)2＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a)＝0， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.题型二 利用数量积求夹角例2如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值． 解 因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.反思与感悟 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD . 证明 MN →·AB →＝(MB →＋BC →＋CN →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12CD →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12AD →－12AC →)·AB →＝12a 2＋a 2cos120°＋12a 2cos60°－12a 2cos60°＝0， 所以MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . 题型三 利用数量积求距离例3 正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，求EF 的长．解 如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2， 且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F → ＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以EF 2＝|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b·c －12a·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos60° ＝1＋1＋4－1＝5， 所以EF ＝ 5.反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．跟踪训练3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是在这两个面内且垂直于AB 的线段．又知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长． 解 ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴〈CA →，BD →〉＝120°. ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，且CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0， ∴|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)(CA →＋AB →＋BD →) ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD →＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos 〈CA →，BD →〉 ＝62＋42＋82＋2×6×8×(－12)＝68，∴|CD →|＝217，故CD 的长为217.1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的________条件． 答案 充分不必要解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －3b |＝________. 答案7解析 ∵|a －3b |2＝(a －3b )2＝a 2－6a ·b ＋9b 2 ＝1－6×cos60°＋9＝7.∴|a －3b |＝7.3．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是________．(填序号) ①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0； ③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c . 答案 ②解析 对于①，可举反例：当a ⊥b 时，a ·b ＝0； 对于③，a 2＝b 2，只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b ； 对于④，a ·b ＝a ·c 可以移项整理得a ·(b －c )＝0.4．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，将上面两式左、右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.5．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝________. 答案2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b )·a ＝0，(2a ＋b )·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0， ①2a ·b ＋b 2＝0，② 将①×2－②得，2a 2－b 2＝0， ∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2， 故|b |＝ 2.求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模．。

3.1.5空间向量的数量积(1)教学过程一、问题情境1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积(内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为零.2.两个向量的夹角对于两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(图1)当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.3.向量数量积的运算律设向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.问题1我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义,那么类比平面向量知识,空间向量的夹角和数量积又是怎么定义的?二、数学建构问题2任意两个空间向量都是共面向量吗?解是的.由于此性质,两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义.问题3类比平面向量夹角的定义,如何定义空间向量的夹角及其表示?解如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a 与b的夹角,记作<a,b>;范围:0≤<a,b>≤π.在这种规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且有<a,b>=<b,a>.(图2)若<a,b>=0,则向量a与b同向; 若<a,b>=π,则向量a与b反向;若<a,b>=,则向量a与b互相垂直,记作a⊥b.问题4类比平面向量数量积的定义,空间向量的数量积是怎样定义的?解已知a,b是空间两个非零向量,则|a|·|b|·cos<a,b>叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a|·|b|·cos<a,b>.规定:0向量与任何向量的数量积为0.概念理解①两个向量的数量积是数量,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.②由空间向量数量积定义可知,空间两个非零向量a·b的夹角<a,b>可以由cos<a,b>=求得.问题5空间向量数量积有哪些性质?解(1)a⊥b⇔a·b=0(a,b是两个非零向量);(2)|a|2=a·a=a2.性质理解①性质(1)是证明两向量垂直的依据;②性质(2)是求向量的长度(模)的依据.问题6空间向量数量积运算律是什么?如何验证?解(1)交换律:a·b=b·a.证明设a,b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|·cosθ,b·a=|b|·|a|·cosθ, 所以a·b=b·a.(2)与实数相乘的结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).证明若λ>0,(λa)·b=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a·(λb)=λ|a||b|cosθ;若λ<0,(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|·(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,所以(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.问题7数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c),为什么?问题80·a是零向量吗?0a是零向量吗?解0·a表示零向量与向量a的数量积,它的值为0,而不是零向量;0a表示实数0与向量a的积,其结果是零向量.三、数学运用【例1】(教材第92页例1)已知|a|=4,|b|=3,a·b=12,求a与b的夹角<a,b>.解cos<a,b>====,因为0≤<a,b>≤π,所以<a·b>=.变式1已知|a|=4,|b|=3,a·b=-12,则a与b的夹角<a,b>= π.提示cos<a,b>=-,由<a,b>的范围得<a,b>的值为.变式2已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为.紧扣数量积定义及其运算律、向量的夹角公式是解决此类问题的关键,注意由<a,b>的范围得<a,b>的值.【例2】(教材第92页例2)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长. (见学生用书P57)(例2)引导学生用向量的思想方法解决此类几何问题.要求AC1的长就是要求||,再根据已知条件求解.解由题意可得·=0,·=4×5×cos60°=10,·=3×5×cos60°=7.5.因为=++=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=42+32+52+2×(0+10+7.5)=85,从而得到AC 1的长为.变式已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1与BD所成角的余弦值为.用向量解几何问题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量计算或证明.【例3】如图(1),正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点N在BB1上,且=,求证:D1N⊥AC. (见学生用书P58)(例3(1))可建立适当的空间直角坐标系,用与的数量积为0来证明垂直.证明如图(2),以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),N.∴=1,1,-,=(-1,1,0),∴·=·(-1,1,0)=-1+1+0=0,∴⊥,即D1N⊥AC.(例3(2))对于求立体几何的线段长、垂直与夹角等有关问题,可通过建立适当的空间直角坐标系,运用向量数量积的坐标运算及数量积的性质求解.这是解立体几何问题的一种重要方法.【例4】(教材第98页习题3.1第19题)在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.引导学生用向量的方法即a⊥b⇔a·b=0(a,b是两个非零向量)进行证明,巩固本节知识的应用.证法一·=(+)·(-)=·+·--·=·(--)=·(-)=·=0,所以AD⊥BC.证法二选取一组基底,设=a,=b,=c.因为AB⊥CD,所以a·(c-b)=0,即a·c=b·a.同理a·b=b·c.所以a·c=b·c,所以c·(b-a)=0,所以·=0,即AD⊥BC.向量a,b的数量积a·b=0表示a⊥b,这是向量中的一个最重要的应用,而且我们还可以利用这一结论证明线面、面面垂直.这类问题也可以通过选择一组适当的基底求解.四、课堂练习1.判断下列命题是否正确:①若a·b=a·c,则b=c;②若a·b=0,则a⊥b;③(a·b)·c=a·(b·c);④0·a=0.解①②③④均不正确.2.已知a⊥b,<a,c>=,<b,c>=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c的模.解|a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=17+6,所以|a+b+c|=.3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,E,F分别是AB,A1C1上的点,且AE=AB,A1F=A1C1,求线段EF的长.解|==,所以||=.五、课堂小结1.由平面向量类比出空间的两个向量的数量积的定义、性质及其运算律.2.会用向量的方法求线段的长度,求两异面直线所成的角,以及求证空间中的两条直线垂直.。

3.1.5 空间向量的数量积中一些简单的问题. 1．空间向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA ＝a ，OB＝b ，则______叫做向量a ，b 的夹角，记作________，向量夹角的取值范围是__________．如果〈a ，b 〉＝______________，那么向量a ，b 垂直，记作__________． 预习交流1(1)〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉吗？〈a ，b 〉与〈－a ，b 〉，〈a ，－b 〉，〈－a ，－b 〉有什么关系？(2)如果a ，b 分别是直线a ，b 上的方向向量，则〈a ，b 〉就是直线a ，b 的夹角吗？ 2．空间向量的数量积的定义与性质(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则____________叫做a ，b 的数量积，记作a ·b . (2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度______与b 在a 方向上的投影______的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上的投影______的乘积．(3)数量积的运算律： (λa )·b ＝______；a ·b ＝______(交换律)； a ·(b ＋c )＝__________(分配律)． (4)数量积的运算性质①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔________. ②若a 与b 同向，则a ·b ＝________； 若反向，则a ·b ＝________. 特别地：a ·a ＝______或|a |＝__________.③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝____________. ④|a ·b |≤________. 预习交流2给出下列各式：①|a ·b |＝|a ||b |；②(a ·b )c ＝a (b ·c )；③m ·(a －b )＝m ·a －m ·b ；④m·a ＝m·b⇒a ＝b ；⑤若a·b ＝3，则a ＝3b.其中正确的式子是__________．3．空间向量数量积的坐标运算 (1)a·b ＝______________； (2)|a |＝a·a ＝________________；(3)cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝____________________；(4)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔__________________. 预习交流3(1)已知a ＝(1,2，－3)，b ＝(2,0,4)，则(a ＋b )·(a －b )＝________.(2)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1与b ＝(1,2，x )垂直，则x 的值为________．一、空间向量数量积的计算如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：(1)OA ·OB ；(2)EF ·BC；(3)(OA +OB )·(CA +CB)．思路分析：根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．已知a ＝(－2,0，－5)，b ＝(3,2，－1)，求下列各式的值． (1)a·a ； (2)|b |； (3)a·b ； (4)(3a ＋2b )·(a －b )； (5)a·(a －2b )．(1)在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．在解题过程中要注意两向量的夹角，正确运用两向量夹角的定义．(2)有关数量积的运算应注意的问题：①与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，数量积的结果为数量． ②书写规范：不能写成a ×b ，也不能写成ab .③数量积运算不满足结合律，也不满足消去律，即(a·b )·c ≠a·(b·c )，a·b ＝a·c b ＝c.二、利用空间向量求距离正四面体ABCD 的棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且MB ＝2AM ，CN ＝12ND ，求MN .思路分析：要求MN ，可以先构造向量，转化为求|MN|.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为__________．求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离．三、利用空间向量求夹角如图，BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B =90°的等腰直角三角形，ABB 1A 1，BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB =a ，求异面直线BA 1与AC 所成的角．思路分析：求异面直线BA 1与AC 所成的角可通过向量1BA 与AC的夹角获得，而要求〈1BA ，AC 〉，可通过夹角公式，求出1BA ·AC，|1BA |，|AC |的值代入计算即可．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB 与AC的夹角等于__________．(1)空间两直线所成角的求法有两种途径：一是转化为平面几何中的对应角，利用解三角形求解；二是利用数量积求解．(2)异面直线所成的角为锐角或直角，若求出两异面直线所在的向量的夹角为钝角时，一定要求出它的补角，才是两异面直线的夹角．四、利用向量解决垂直问题如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证A 1O ⊥平面GBD .思路分析：设法证明A 1O 与平面GBD 内的两条相交直线垂直．已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为__________．证明空间两条直线垂直的向量方法：1．若|a|＝|b|＝4，〈a ，b 〉＝60°，则|a －b|等于__________．2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是__________．3．下列各命题中，正确的命题是__________． ①a ·a ＝|a |； ②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R )； ③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ； ④a 2b ＝b 2a .4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦值等于89，则λ的值等于__________．5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则1A B ·B 1C ＝________，1A B ·1AD＝________.答案：课前预习导学1．∠AOB 〈a ，b 〉 [0，π] π2a ⊥b预习交流1：(1)提示：〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉，〈－a ，b 〉＝〈a ，－b 〉＝π－〈a ，b 〉，〈－a ，－b 〉＝〈a ，b 〉．(2)提示：不一定．空间向量夹角的取值范围是[0，π]，而直线的夹角在⎝⎛⎦⎤0，π2内．两条直线的夹角θ满足θ＝〈a ，b 〉或π－〈a ，b 〉，也可写成cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.2．(1)|a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)|a | |b |cos θ |a |cos θ (3)λ(a ·b ) b ·a a ·b ＋a ·c (4)①a ·b ＝0 ②|a ||b |－|a ||b | |a |2 a ·a ③a ·b|a ||b |④|a ||b |预习交流2：提示：只有③式是正确的，其余各式均错．3．(1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (2)a 21＋a 22＋a 23(3)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 (4)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 预习交流3：(1)提示：(a ＋b )·(a －b )＝(3,2,1)·(－1,2，－7)＝－3＋4－7＝－6. (2)提示：由a ·b ＝0得－1＋1＋x ＝0，所以x ＝0. 课堂合作探究活动与探究1：解：(1)正四面体的棱长为1，则|OA |＝|OB|＝1.△OAB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：OA ·OB ＝|OA ||OB |cos 〈OA ，OB 〉 ＝|OA ||OB cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12；(2)由于E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以EF 12AC ，于是EF ·BC ＝|EF ||BC |cos 〈EF ，BC〉＝12|CA ||BC |cos 〈AC ，BC 〉 ＝12×1×1×cos 〈CA ，CB 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14； (3)(OA ＋OB )·(CA ＋CB )＝(OA ＋OB )·(OA －OC ＋OB －OC )＝(OA＋OB )·(OA ＋OB－2OC ) ＝2OA ＋OA ·OB －2OA ·OC ＋OB ·OA ＋2OB －2OB ·OC＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.迁移与应用：解：(1)a·a ＝a 2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29. (2)|b|＝b 2＝32＋22＋(－1)2＝14. (3)a·b ＝(－2)×3＋0×2＋(－5)×(－1)＝－1. (4)(3a ＋2b )·(a －b )＝3a 2－a·b －2b 2＝3×29－(－1)－2×14＝60. (5)a·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝29－2×(－1)＝31. 活动与探究2：解：如图所示，选取AB ，AC ，AD 作为基向量，则|AB|＝|AC |＝|AD|＝a ，于是MN ＝MB ＋BC ＋CN ＝23AB ＋(AC －AB )＋13(AD －AC )＝－13AB ＋13AD ＋23AC.从而MN ·MN ＝112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ·112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭＝192AB －29AD ·AB －49AB ·AC ＋49AC ·AD ＋192AD ＋492AC ＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN |＝53a .即MN ＝53a .迁移与应用：23 解析：∵1AC ＝AB＋AD ＋1AA ，∴|1AC|＝ ∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，∴〈AB ，AD 〉＝90°，〈AB ，1AA 〉＝〈AD ，1AA 〉＝60°. ∴|1AC |＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.活动与探究3：解：1BA ·AC＝(BA ＋1BB )·(BC －BA )＝BA ·BC －2BA ＋1BB ·BC －1BB ·BA ＝0－a 2＋0－0＝－a 2，又|1BA|＝2a ，|AC |＝2a ，于是cos 〈1BA ，AC 〉＝11BA AC BA AC⋅ ＝－a 22a ·2a ＝－12. 所以向量1BA 与AC的夹角是120°，故异面直线BA 1与AC 所成的角等于60°.迁移与应用：60° 解析：AB ＝(0,3,3)，AC ＝(－1,1,0)，于是cos 〈AB ，AC 〉＝AB AC AB AC ⋅ ＝332·2＝12， 故AB 与AC 的夹角为60°.活动与探究4：解：设11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则a·b ＝0，b·c ＝0，a·c ＝0，1AO ＝1A A ＋AO ＝1A A ＋12(AB＋AD )＝c ＋12(a ＋b )，BD ＝AD －AB＝b －a ，OG ＝OC ＋CG ＝12(AB ＋AD )＋121CC＝12(a ＋b )－12c ， ∴1AO ·BD＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c·b －c·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b|2－|a|2)＝0，∴1AO ⊥BD，∴A 1O ⊥BD .同理可证1AO ⊥OG，∴A 1O ⊥OG . 又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄面BDG ，∴A 1O ⊥面GBD .迁移与应用：1或－3 解析：由已知可得⎩⎨⎧22＋42＋x 2＝6，4＋4y ＋2x ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1，于是x ＋y ＝1或－3.当堂检测1．4 解析：本题考查利用向量的数量积公式求向量的模．∵a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝4×4×cos 60°＝4×4×12＝8，∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝42－2×8＋42＝4. 2．75解析：由已知得|a |2＝2，|b |2＝5，a·b ＝－1，而(k a ＋b )与(2a －b )垂直，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝2k |a |2－k a ·b ＋2a ·b －|b |2＝4k ＋k －2－5＝0，解得k ＝75.3．①②③ 解析：a 2b 是与b 共线的向量，b 2a 是与a 共线的向量，从而当a 与b 不共线时，a 2b 与b 2a 就不可能相等，故④不正确，其余命题均正确．4．－2或255 解析：依题意可得cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝6－λ3λ2＋5，所以6－λ3λ2＋5＝89，解得λ＝－2或255.5．a 2－a 2解析：如图，1A B ·1BC ＝2a ×2a ×cos 60°＝a 2. 1A B ·1AD ＝2a ×2a ×cos 120°＝－a 2.。

2.4向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1 •理解平面向量数量积的概念；2 .掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0,兀];3 •掌握两向量共线及垂直的充要条件；4 •掌握向量数量积的性质。

三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。

四、教学过程：（一）引入：物理课中，，物体所做的功的计算方法：斗W =| F ||s|cosd （其中二是F与s的夹角）.（二）新课讲解：向量的夹角：已知两个向量AOB "当“ -0时，当V -180时，.a与b反向；当v -90时，a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作a _ b . 向量数量积的定义：* 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为二，则数量| a| | b | co^叫做a与b的数量4 -J 4 4（或内积），记作a b，即a b =|a | |b| cos^ .说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；③规定，零向量与任一向量的数量积是0.3•数量积的几何意义：（1）投影的概念：彳斗如图，OA =a ,,过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1 =|b | cos日.|b|cos^叫做向量b在a方向上的投影，当二为锐角时，它是正值；当二为钝角时，它dR.,,*,b EleB4oa 和b （如图2）,作OA / , fB = b ,（f：吁乞180°）叫做向量a与b的夹角。

a与b同向；4 42.O O是一负值；当v -90：时，它是0 ;当v - 0时，它是|b.| ；当二-180时，它是_|b| .(2) a b 的几何意义：数量积a b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos, 的乘积。

【练习】：①已知 |a|=5, ②已知 |b| = 4, |a|=5, (3 )数量积的性质： 设a 、b 都是非零向量，二是a 与b 的夹角，则 a b ① COST& Ja||b| ② 当a 与b 同向时， ③已知 活|=4 , 1 与 b 的夹角 v -120：，则一 10 ； 1 a 在b 上的投影是—|b|，贝y a b = 8 ； 2_ |b|=4 , a b - -3,. 2，则 a 与 b 的夹角 v - 135 .4 4 ^4 4 ■+ 4 a b =|a ||b |；当 a 与b 反向时，a b = - |a ||b | ；特别地：a a =| a |2或|a 卜a a ； ③|a b ' ③ |a 电吗a | bJ ； ④ a_b 亍 a b=0 ； 若e 是与b 方向相同的单位向量，则 ⑤ e a a e =| a | cos v . 4 •例题分析： — 例1已知正ABC 的边长为2 ,设BC 解：如图，a 与b 、、b 与c 、a 与$夹角 •原式=|a | |b| cos120「|b | |c | cos120 ■ |a| |c| cos120:1=2 2 ( - )3 = .-6 2 ,I1i! 11 11 1I=a , CA = b , AB = c ，求 a b b c c a . 为120 , 」 A _ , |b \= 3, | c | = 2 J3，且 a b c 0 ,求 a b b c c a . BC" - C例2已知］a | - J3 解：作AB 『C , ••• jb c =J 耳 CA.^b ，斗 2 2 2 •••||a|-|b|卜:|c 卜：|a| |b| 且 |c|2=|a|2 |b|2,A••• ABC 中，C =90〃,二 tan ，二 A =30“ , - B =60” , 呻呻 片* 呻彳 _3所以，ab be ca=3 2、.3cos150； r3 2.3 cos120；=-9-3 =-12 . 六、课堂小结： 1.向量数量积的概念；2 .向量数量积的几何意义；五、课后练习： 补充：1•若非零向量a 与b 满足|a ，b|=|a-b|，则a b 二03．向量数量积的性质。

新教材高中数学学案含解析新人教A版必修第二册：9.2.3 向量的数量积学习任务核心素养1．了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念．(易错点)2．理解平面向量数量积的含义．(重点)3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点) 1．通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过数量积的应用，培养数学运算素养．我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||cos θ．(1)显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？(2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由．知识点1向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．1．(1)两个向量的数量积是向量吗？(2)数量积的大小和符号与哪些量有关？[提示](1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．1．已知|a|＝3，|b|＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________．(1)18(2)9(3)0[(1)a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18．(2)a·b ＝|a||b |cos 60°＝3×6×12＝182＝9．(3)a·b ＝|a||b |cos 90°＝3×6×0＝0．] 知识点2 两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称为向量a 与b 的夹角．(2)范围：0°≤θ≤180°．(3)当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向． (4)当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ． (5)两个非零向量a 和b 的夹角θ，可以由cos θ＝a·b |a||b|求得．2．试指出图中向量的夹角．图①中向量OA →与OB →的夹角________； 图②中向量OA →与OB →的夹角________； 图③中向量OA →与OB →的夹角________； 图④中向量OA →与AB →的夹角________．[答案] θ 0° 180° θ 知识点3 投影向量设a ，b 是两个非零向量，如图，OA →表示向量a ，OB →表示向量b ，过点A 作OB →所在直线的垂线，垂足为点A 1，我们将上述由向量a 得到向量OA 1→的变换称为向量a 向向量b 投影，向量OA 1→称为向量a 在向量b 上的投影向量．(1) (2)所以OA 1→＝ (|a |cos θ)b |b |，a·b ＝OA 1→·b ．投影向量与向量数量积的关系：向量a 和向量b 的数量积就是向量a 在向量b 上的投影向量与向量b 的数量积．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a 与b 的夹角为45°，则a 在b 上的投影向量为______；b在a 上的投影向量为______．3210b 526a [a 在b 上的投影向量为(|a |cos θ)b |b |＝(3cos 45°)b 5＝3210b ；b 在a 投影向量为(|b |cos θ)a |a |＝(5cos 45°)a 3＝526a ．]知识点4 向量的数量积的运算律及性质(1)向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ． ①a ·b ＝b ·a ；②(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b ； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (2)数量积的性质： ①a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ；②|a·b |≤|a||b |，当且仅当向量a ，b 为共线向量时取“＝”号； ③a ⊥b ⇔a·b ＝0．(向量a ，b 均为非零向量)2．向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？[提示] 向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．4．(多选题)对于向量a ，b ，c ，下列命题错误的是( )A ．若a·b ＝0且a ≠0，则b ＝0B ．若|a |2＝|b |2≠0，则a ＝b 或a ＝－bC ．若a·b ＝b·c 且a ，b ，c 均为非零向量，则a ＝cD ．若a ，b ，c 均为非零向量，则(a·b )c －a (b·c )＝0ABCD [若a·b ＝0，则a ，b 至少有一个为零向量，或者a ⊥b ，故A 错；若|a |2＝|b |2≠0，则a ，b 均为非零向量且a ，b 的模相等，不能推出a ，b 方向相同或相反，故B 错；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a·b ＝b·c ＝0，此时a ，c 均与b 垂直，无法推出a ＝c ，故C 错；(a·b )c 是与c 共线的向量，a (b·c )是与a 共线的向量，(a·b )c －a (b·c )＝0不一定成立，故D 错．]类型1 向量数量积的运算【例1】 (对接教材P 20例1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a·b ；(2)a 2－b 2；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．[解] (1)a·b ＝|a||b |cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3． (2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5．(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a||b |cos 120°－3|b |2 ＝8－15－27 ＝－34．1．求平面向量数量积的步骤：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ．要特别注意书写时，a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．[跟进训练]1．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →． [解] (1)∵AB →与AC →的夹角为60°， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12．(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12． (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12．类型2 求向量的模【例2】 已知向量OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4．求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |．[解] ∵a·b ＝|a|·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8，∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋16＋16＝43，|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝16－16＋16＝4， |3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝9×16＋48＋16＝413．1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a ·a ＝|a |2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．[跟进训练]2．已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． 2 [因为|2a ＋b |＝10，所以(2a ＋b )2＝10，所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10， 又因为向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，所以4|a |2＋4|a ||b |cos 45°＋|b |2＝10，故4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10，整理得|b |2＋22|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)，故|b |＝2．] 类型3 求向量的夹角【例3】 已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．由两组向量分别垂直可得出|a |，|b |同a·b 的关系，由此可借助公式cos θ＝a·b |a ||b |求a 与b的夹角.[解] 由已知，得(a ＋3b )·(7a －5b )＝0， 即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，①(a －4b )·(7a －2b )＝0，即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ②①②两式相减，得2a ·b ＝b 2，∴a ·b ＝12b 2，代入①②中任一式，得a 2＝b 2，设a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°．求a 与b 夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值． (2)在个别含有|a |，|b |及a·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 提醒：注意两向量的夹角θ∈[0，π]．[跟进训练]3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角θ． [解] ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12．∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a·b|a||b |＝－32×13×3＝－12．又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为60°，则a·b ＝( ) A ．3 3 B ．6 C ．6 3 D ．12B [∵a ，b 的夹角为60°，且|a |＝3，|b |＝4， ∴a·b ＝3×4cos 60°＝12×12＝6，故选B ．]2．(多选题)下面给出的关系式中正确的是( ) A ．0·a ＝0 B ．a 2＝|a |2 C ．a·b ≤|a||b |D ．(a·b )2＝a 2·b 2ABC [(a·b )2＝a 2·b 2·cos 2θ，故D 错误，其余均正确．]3．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6B [设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3．故选B ．]4．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影向量为________．1225b[cos θ＝a·b|a||b|＝45，向量a在b方向上的投影向量为(|a|cos θ)b|b|＝⎝⎛⎭⎫3×45b5＝1225b．]5．若向量a⊥b，且|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝________．10[∵a⊥b，∴a·b＝0，又|a|＝1，|b|＝3，∴|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1＋9＝10．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．向量的数量积与实数运算有何区别？[提示](1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b．(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos θ|，而|cos θ|≤1．(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a．在向量数量积的运算中，若a·b ＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c．(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．2．两个非零向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0吗？[提示]两个非零向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a·b≠|a||b|．3．如何借助数量积求|a＋b|?[提示]|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．。

空间向量的数量积（1）教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：重点：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题；深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！”教学过程（一） 问题引入，提出概念G2021向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻！设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直？构成建筑的部件长度多少？彼此成多少角度比较合适等等。

怎么样才能解决这些问题呢，必须要有强大的数学工具！问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题？问题2: 在《必修4》中已经学习了平面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用。

我们还学习了空间向量的加减法、数乘运算，那么空间向量中，怎么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题？追问：空间向量有数量积吗？为什么？是怎么样的？（二）新课讲解：1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>； 若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥；2．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a ；3．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．4．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．5．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．（三）例题分析：例1．例1 已知||4a ＝，||32b ＝，12a b ⋅＝．求a 与b 的夹角a b <>，．例2 如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．思考．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。