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问题导言：一元函数微分回顾
例 正方形面积改变量.
x0
Δx
ΔS ( x0 Δx )2 x0 2 2 x0 Δx ( Δx )
Δx 的线性主部
高阶无穷小 o( Δx )
Δx
x0
ΔS 2 x0 Δx 微分定义 若函数改变量 Δy f ( x0 ) Δx o( Δx ),
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一、全微分的定义
定义 设二元函数 z = f (x, y) 在点(x0, y0)的某邻域内有 定义, 如果z = f (x, y) 在点(x0, y0) 的全增量
Δz f ( x0 Δx, y0 Δy ) f ( x0 , y0 )
可表示为 Δz AΔx BΔy o( ρ ),
解 因为 z 3 x 2 y 6 xy 3 , z x 3 9 x 2 y 2，
z z 2 3 3 2 2 ( 3 x y 6 xy ) d x ( x 9 x y )dy. dx dy 所以 dz x y
例2 求z
x y 的全微分.
2 2
解 因为 f x ( x , y )
所以
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x x y
2 2
, f y ( x , y )
y x2 y2
dz
x x y
2 2
dx
y x y
2 2
18
dy.
全微分的计算
例3 求z e 在点(2, 1) 处的全微分.
xy
解 由于 f x ( x , y ) ye , f y ( x, y ) xe 是连续函数.
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一、全微分的定义
(4)定理(可微的充分条件) z z 如果函数 z f ( x , y )的偏导数 、 在点 x y ( x , y ) 处存在且连续， 则该函数在点 ( x , y ) 可微,
且
z z dx, dy 称为偏微分. x y z z dx, dy 之和. 于是，全微分dz是两个偏微分 x y 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分 之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
18:09:06
13
一、全微分的定义
一元函数在某点的导数存在 微分存在 而对于二元函数，可偏导不一定可微，这正是 引进全微分的的必要性。 对于二元函数而言，f (x, y)的偏导数仅描述了 函数在一点沿着坐标轴方向的变化率。
而全微分是描述函数沿各个方向的变化状况.
对偏导数再加些条件，就可以保证函数是可微的 下面讨论函数 z = f (x, y) 可微的充分条件.
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一、全微分的定义
dz AΔx BΔy, Δz AΔx BΔy o( ρ ),
问题 (1)函数在什么条件下可微？
(2)全微分表达式中 的A、B 如何取值？
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8
二、函数可微的必要与充分条件
定理（可微的必要条件）若函数 z= f (x, y)在点(x0, y0) (x0, y0) 处可微, 则f (x, y)在 该点的两个偏导数存在, 且
例如，若三元函数 u f ( x, y, z )具有 连续偏导数， 则其全微分可表为
u u u du dx dy dz . 叠加原理 x y z
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全微分的计算
例1 求 z x 3 y 3 x 2 y 3 的全微分.
x
y
z z dz dx dy x y
因此
x 0 y 0
lim z lim ( Ax By ( )) 0.
x 0 y 0
所以 z = f (x, y) 在点(x0, y0) 处连续.
可微必连续， 不连续必不可微。
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lim Δz 0. 二元函数连续：Δ x 0
11
二元函数连续、偏导数与全微分之间关系
函数可微
偏导数连续
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23
全微分的计算
例3 求z e 在点(2, 1) 处的全微分.
xy
解 由于 f x ( x , y ) ye , f y ( x, y ) xe 是连续函数.
xy
xy
2 f ( 2 , 1 ) 2 e , 且 f x ( 2,1) e , y
2
f x (0,0) 0,
f y (0,0) 0.
但在点(0,0)处不连续, 故在(0,0)点是不可微的.
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一、全微分的定义
例 函数 f ( x , y )
x 2 y 2 , 在点(0,0)处是连续的,
故在(0,0)点是不可微的.
但在(0,0)点偏导数不存在.
可见，二元函数的各偏导数存在只是全微分 存在的必要条件，而不是充分条件。
两边同除以 Δx , 再令 Δx 0 取极限，得 AΔx o(| Δx |) f ( x0 Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim f x ( x0 , y0 ) Δ Δx 0 Δx x 0 Δx
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因为f (x, y)在点(x0, y0)处可微，则有
第三节 全微分及其应用
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1
第三节 全微分及其应用
在实际问题中，有时还需要计算二元函数 z=f(x,y) 的全增量Δz f ( x0 Δx, y0 Δy ) f ( x0 , y0 ). 鉴于这种计算的复杂性，我们仍沿用一元函数的 微分的思路，用一个即是全部自变量x与y的改变量 x与y 的线性函数， 又是 z 的主要部分的一个 式子 AΔx BΔy, 去近似代替Δz. 在数学上，人们把多元函数z的全增量 Δz的 线性主部，称为多元函数的全微分.
A= fx(x0,y0), B=fy(x0,y0).
证
dz AΔx BΔy
Δz AΔx BΔy o( ρ ) 2 2 ρ ( Δ x ) ( Δ y ) ρ 取 Δy 0, 此时 | Δx |, 则有 x z Δz f ( x0 Δx, y0 0) f ( x0 , y0 ) AΔx o(| Δx |),
dx，Δy dy, 于是全微分又可写成 dz f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy.
若函数 f (x, y)在开区域 D内每一点处都可微, 则称
f (x, y)在区域 D内可微. 且 dz f x ( x , y )dx f y ( x , y )dy.
z dz 0 lim ρ 0 ρ
分段函数在分段点 的可微性
dz f x ( x , y )dx f y ( x , y )dy
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复习
一、全微分的定义,计算
dz f x ( x , y )dx f y ( x , y )dy
二、多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
ρ ( Δx )2 ( Δy )2 , o( ρ )是比 ρ 其中A, B与 Δx , Δy 无关，
为函数 z = f (x, y)在点 高阶的无穷小, 则称 AΔx BΔy
(x0, y0) 处的 全微分, 记作dz (或df ). 即
dz AΔx BΔy ,
也称函数 z = f (x, y) 在点(x0, y0) 处 可微.
解
z cos( x 2 y ) 2 y sin( x 2 y ), y
dz ( π , π )
4
18:09:08
z y sin( x 2 y ), x
z z 2 dx dy π(4 7 π). x ( π , π ) y ( π , π ) 8
18:09:00 2
8.3 全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
返回
18:09:00
3
目的要求
1.理解多元函数全微分的概念 2.熟练掌握求全微分的方法 3.了解全微分在近似计算中的应用
重点:
1.全微分的计算 2.连续、可导与可微之间的关系
18:09:00 4
第三节 全微分及其应用
A.
dz AΔx BΔy,
且B f y ( x0 , y0 ). 同理可证f y ( x0 , y0 )存在，
且A f x ( x0 , y0 ) 这就证明了f x ( x0 , y0 )存在，
这样, 二元函数 z = f (x, y) 在点(x0, y0) 处的全微分 可以表达为 dz f x ( x0 , y0 )Δx f y ( x0 , y0 )Δy , 若规定 Δx
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可微必可偏导 不可偏导必不可微 10
一、全微分的定义
定理 如果函数 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 点可微, 则函数 z = f (x, y) 在点(x0, y0)处连续. 证 根据函数可微的定义，有
ρ ( Δx ) ( Δy )
2
2
Δz AΔx BΔy o( ρ ), 当Δx 0, Δy 0时, ρ 0, 于是o( ρ) 0.
dz e 2dx 2e 2dy.
作业： P317 习题8-3
1（单）,2
下节课内容
8.4 多元复合函数的求导法则
18:09:07
20
第三节 全微分及其应用 第四节 多元复合函数的 求导法则
18:09:07
21
复习
一、全微分的定义,计算
Δz AΔx BΔy o( ρ ),
dz AΔx BΔy ,
xy
xy
2 f ( 2 , 1 ) 2 e , 且 f x ( 2,1) e , y
