二元函数微积分——偏导数和全微分 PPT
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二元函数微积分偏导数和全微分(课堂PPT)
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
.
16
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
.
1
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
.
2
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，ຫໍສະໝຸດ y 通常记作D。边界·
01
闭开区域
x
.
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
.
13
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
.
8
定义： 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
§7.3 方向导数、偏导数与全微分
1
西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下)
当P(x, y)沿着直线 l 变动时, 二元函数f(x, y)可表示为与 f(x, y)= f(x0+tv1, y0+tv2) 此时f(x, y)表示为t 的一元函数. 令 g(t)= f(x0+tv1, y0+tv2)，则 g(0)= f(x0, y0).
x0
O
y0
西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下)
9
xy 2 2 , x y 0 例5 讨论函数 f ( x, y ) x 2 y 2 2 2 0, x y 0 在点(0,0)处的偏 导数与连续性的关系.
解 由偏导数的定义知道 f ( x ,0) f (0,0) (0, 0) lim fx 0 x 0 x f (0, y ) f (0, 0) f y (0, 0) lim 0 y 0 y 函数f (x,y)在点(0,0)处的两个偏 导数均存在. 但是函数f (x,y)在点(0,0)处是不连续的.
dz z xdx z y dy
( y 3x y)dx (3xy x )dy;
3 2 2 3
西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下)
15
(2) u ( x 2 y ) .
z
解
u , uy 2z( x 2 y) , x z( x 2 y )
梯度 f 是一个向量 , 其长度为 ( x , y )]2 [ f y ( x , y )]2 f [ f x
当 f 0 时, 称 f 的方向为梯度方向.
几何意义: 梯度方向是函数变化率最大的方向.
西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下)
当P(x, y)沿着直线 l 变动时, 二元函数f(x, y)可表示为与 f(x, y)= f(x0+tv1, y0+tv2) 此时f(x, y)表示为t 的一元函数. 令 g(t)= f(x0+tv1, y0+tv2)，则 g(0)= f(x0, y0).
x0
O
y0
西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下)
9
xy 2 2 , x y 0 例5 讨论函数 f ( x, y ) x 2 y 2 2 2 0, x y 0 在点(0,0)处的偏 导数与连续性的关系.
解 由偏导数的定义知道 f ( x ,0) f (0,0) (0, 0) lim fx 0 x 0 x f (0, y ) f (0, 0) f y (0, 0) lim 0 y 0 y 函数f (x,y)在点(0,0)处的两个偏 导数均存在. 但是函数f (x,y)在点(0,0)处是不连续的.
dz z xdx z y dy
( y 3x y)dx (3xy x )dy;
3 2 2 3
西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下)
15
(2) u ( x 2 y ) .
z
解
u , uy 2z( x 2 y) , x z( x 2 y )
梯度 f 是一个向量 , 其长度为 ( x , y )]2 [ f y ( x , y )]2 f [ f x
当 f 0 时, 称 f 的方向为梯度方向.
几何意义: 梯度方向是函数变化率最大的方向.
多元函数微积分学 6.3偏导数与全微分
=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为
数学分析 第十六章偏导数与全微分
第十六章 偏导数与全微分§1偏导数与全微分概念这部分要掌握的1、 连续、偏导数、可微三个概念的定义；2、 连续、偏导数、可微三个概念之间的关系；二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切勿混淆。
考虑函数),(y x f 在),(00y x 点的情形，则它们分别为：),(y x f 在点),(00y x 连续定义为： ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为： 000000),(),(lim),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 x y x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000000000),(),(lim),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 yy x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000),(y x f 在点),(00y x 可微定义为：0),(),(),(),(lim22000000000=∆+∆∆-∆--∆+∆+→∆→∆yx yy x f x y x f y x f y y x x f y x y x因此，要讨论),(y x f 点),(00y x 的可微性，首先要求),(00y x f x ，),(00y x f y 。
这三个概念之间的关系可以用下图表示（在),(00y x 点）在上述关系中，反方向均不成立。
下面以)0,0(),(00=y x 点为例，逐一讨论。
4⇒2 ，4⇒3 例1：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,00 ,),(222222y x y x y x xy y x f这是教材中的典型例题，0)0,0()0,0(==y x f f 均存在，但),(y x f 在)0,0(点不可微，且),(lim 0y x f y x →→不存在，即),(y x f 在)0,0(点不连续。
高等数学教学： 偏导数与全微分
轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设
f(x,y)=
xy
x2 x2
y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形： 即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设
f(x,y)=
xy
x2 x2
y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形： 即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u
二元函数微积分——偏导数和全微分解读
z f , , z y , f ( x, y ) , f ( x, y ) y 2 y y
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
r2
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先求后代（把其他 变量视为常数）
利用定义
逐次求导法
练 习
1、求二元函数 z x ye 的各二阶偏导数。
2 y
3 3 2
2、 求二元函数 z x y 3 xy 的各二阶偏导数。
定义： 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内 极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f ( x , y ) lim x 0 0 x 0 x
例3. 求 的偏导数 . 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
8.3偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
同理可定义关于y的偏导数
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim f y ( x0 , y0 ) y 0 y
记为： f y ( x0 , y0 )
Q1 ：Q1对 自 身 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q1 ：Q1对 相 关 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q2 ：Q2 对 相 关 价 格1的 边 际 需 求 p ; p1 Q2 ：Q2 对 自 身 价 格2的 边 际 需 求 p ; p2
Q1 的经济意义：相关价格不变时,自身价格达到p1时, p1 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量; Q1 的经济意义：自身价格不变时,相关价格达到p2时, p2 价格再增加一个单位所增加或减少的需求量;
的改变量为
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
全改变量
1.全微分的定义 设长方形边长为x, y, 则它的面积为S=x y,如果边长有
改变量x, y, 则面积的改变量为
S f ( x x, y y ) f ( x, y ) ( x x )( y y ) xy yx xy x y dS : S在点( x, y )处的全微分.
注： 1.z f ( x, y)在( x0 , y0 )处的偏导数，可理解为 该函数
在( x0 , y0 )处沿x轴和y轴方向的变化率，即
d f x ( x0 , y0 ) f ( x , y0 ) | x x 0 dx d ( x 0 , y0 ) fy f ( x 0 , y ) | y y0 dx
偏导数和全微分的概念
2 2
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则 称这函数在 D 内可微分.
21
几个基本问题
1. f ( x, y)满足什么条件才能保证 可微？
2. 若可微，全微分表达式 中的A, B是什么？
3. 二元函数连续、可微、 可偏导之间 存在什么关系？与一元 函数有何异同？
22
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
2 2
?
连续但偏导数不存在
多元函数连续和可偏导没有必然联 系，与一元函数具有显著差别
16
二元函数偏导数的几何意义:
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点, z f d M0 f ( x, y 0 ) x x0 x x0 x y y 0 dx Tx Ty z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 y0 y O M 0Tx 对 x 轴的斜率. x0 ( x0 , y0 ) f d f ( x0 , y) x x0 x y y0 y y y0 d y
第一节 偏导数和全微分的概念
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
偏微分
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则 称这函数在 D 内可微分.
21
几个基本问题
1. f ( x, y)满足什么条件才能保证 可微？
2. 若可微，全微分表达式 中的A, B是什么？
3. 二元函数连续、可微、 可偏导之间 存在什么关系？与一元 函数有何异同？
22
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
2 2
?
连续但偏导数不存在
多元函数连续和可偏导没有必然联 系，与一元函数具有显著差别
16
二元函数偏导数的几何意义:
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点, z f d M0 f ( x, y 0 ) x x0 x x0 x y y 0 dx Tx Ty z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 y0 y O M 0Tx 对 x 轴的斜率. x0 ( x0 , y0 ) f d f ( x0 , y) x x0 x y y0 y y y0 d y
第一节 偏导数和全微分的概念
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
偏微分
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
5.2 二元函数的偏导数与全微分ppt课件
z ， f ， x x x0 x x x0
f
x
(
x0
,
y0
)
或Байду номын сангаас
Z
x
(
x0
,
y0
)
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，
x x0
f
y
(
x0
定理 3（可微的必要条件） 如果函数z f (x, y) 在点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 z 、 z 必存在，且函数z f (x, y)在点(x, y)的全 x y 微分为
dz z x z y． x y
最新课件
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例3 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解 r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , y r
r z .
z r最新课件
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例4 已知理想气体的状态方程 pVRT
(R 为常数) , 求证:
p V T 1 V T p
证 p RT , V
y 2u 2(x2( x2 y 2)y 2)y2 2y(x x 2 2 y y2 2 )2.
2u 2u x2 y2 最0新. 课件
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例8 证明函数 u1,r x2y2z2满足 r
全微分及其运用ppt课件
《微积分》A
1
第八章 多 元 函 数 微 分 学
3
教学内容和基本要求
理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。 理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌 握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的 求法。会求隐函数的偏导数和全导数。 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的 概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法 求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会 解一些简单应用题。
( 0 1 1, 0 2 1 )
证 由拉格朗日中值定理, 我们知，
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
[ f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 y)]
[ f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )]
f x ( x0 1x, y0 y) x f y ( x0 , y0 2y) y
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函 数在 D 内可微分.
下面我们讨论函数z f ( x, y)在P ( x , y )点的 000
可微性、可导性和连续性的关系.
定理d1z(可微f的x (必x要0 ,条y件0 ))x f y ( x0 , y0 )y .
如果函数 z f ( x, y) 在 P ( x , y )点可微分，则 000
z A o(| x |)
x
x
fx (x0 ,
y0 )
z
lim
x0 x
A.
同理, f y ( x0 , y0 ) B,进而
dz f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y.
1
第八章 多 元 函 数 微 分 学
3
教学内容和基本要求
理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。 理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必 要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌 握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的 求法。会求隐函数的偏导数和全导数。 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的 概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法 求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会 解一些简单应用题。
( 0 1 1, 0 2 1 )
证 由拉格朗日中值定理, 我们知，
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
[ f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 y)]
[ f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )]
f x ( x0 1x, y0 y) x f y ( x0 , y0 2y) y
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函 数在 D 内可微分.
下面我们讨论函数z f ( x, y)在P ( x , y )点的 000
可微性、可导性和连续性的关系.
定理d1z(可微f的x (必x要0 ,条y件0 ))x f y ( x0 , y0 )y .
如果函数 z f ( x, y) 在 P ( x , y )点可微分，则 000
z A o(| x |)
x
x
fx (x0 ,
y0 )
z
lim
x0 x
A.
同理, f y ( x0 , y0 ) B,进而
dz f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y.
偏导数与全微分ppt课件
③ 二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个， n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个； 等等。
24
7. 偏导数的经济意义
边际需求: 两种商品，价格分别为 p1 和 p2
偏弹性:
需求函数： Q1( p1, p2 ) Q2 ( p1, p2 )
Q1 , Q1 , Q2 , Q2 称为边际需求 p1 p2 p1 p2
p2 0
2Q1 / Q1 p2 / p2
p2Q1 Q1p2
ln Q1 ln p2
E22
lim 2Q2 / Q2 p10 p2 / p2
p2Q2 Q2p2
ln Q2 ln p2
其中：2Q1 Q1( p1, p2 p2 ) Q1( p1, p2 )
格E1偏1 称弹为性1；商E品12需称求为量1商Q品1 需对求自量身价Q1格对相p1关的价直格接p价2
dz z dx z dy x y
32
证明：
由条件 当(x+△x,y+△y)∈∪((x,y))时
△z=A△x +B△y+o()
特别地(x+△x,y)∈∪((x,y)) ，有
△z=A△x + o()=A△x + o( △x )
z f (x x, y) f (x, y) A o( x )
r
y
y x2 y2 z2
r
z
z x2 y2 z2
15
5. 偏导数的几何意义
z
z=f(x,y0)
M0
Ty
Tx
z=f(x0,y)
o
y0
y
x0
P0
x
—— z
x xx0 y y0
切线M0Tx对x轴的斜率
8.4 偏导数与全微分
z
2 x 6x 4 y 2
先代后求
z x (1, 2)
z
2 1 3 y y x 1
《微积分》(第三版) 教学课件
z y (1, 2)
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偏导数的求法 根据偏导数的定义 求多元函数对一个自变量的偏导数 只需将其他自变量看成常数 用一元函数求导法即可求得
§8.4 偏导数与全微分
一、偏导数
二、高阶偏导数
三、全微分
《微积分》(第三版) 教学课件
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结束
一、偏导数
回顾
一元函数y=f (x)在x0处的导数
f ( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
多元函数的变化率如何研究? 将y看作常量，研究z对x的变化率
混合偏导数
《微积分》(第三版) 教学课件
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结束
例6 求zx3y33xy2的各二阶偏导数
2 2 2 解 z 3 y 6 xy 3 x 3 y z y x
6x z 6 y zyx 6 y zyy 6 y 6x z xx xy
f y( x0 , y0 ) lim
《微积分》(第三版) 教学课件
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
y
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y 0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
(x, y) f yx (x, y) 但这个等 在上面两个例题中 都有 f xy
大学高数第四章1-2节_多元函数-偏导数与全微分
则称E是有界点集 一个集合如果不是有界点集，则称为无界集
(x, y)1 x2 y2 4 是有界闭区域
(x, y) x y 1是无界开区域
30
例1 求 f ( x, y) ln(x y) 的定义域
解 所求定义域为
x y0
D {( x, y) | x y 0}.
例2 求 f ( x, y) arcsin(x2 y2 ) 的定义域。
O
x
以点P0 (x0, y0 )为中心、
以为半径的圆的内部所有点
24
邻域
o
点P0(x0, y0)的去心邻域 记作U (P0, )
o
U (P0 , ) (x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
y
当不需要强调邻域半径时，
P0 (x0, y0 )
P的邻域和去心邻域
可分别简记为
P 则称P为E的边界点
E的边界点全体称为E的边界27
例：平面点集E
E (x, y)1 x2 y2 2
满足1 x2 y2 2的点(x, y)是E的内点 满足x2 y2 1的点(x, y)是E的边界点
这些边界点不属于E
满足x2 y2 2的点(x, y)是E的边界点 这些边界点属于E
只含x, z而缺y的方程F(x, z) 0 表示平行于y轴的柱面 只含y, z而缺x的方程F( y, z) 0 表示平行于x轴的柱面
15
平面方程
Ax By Cz D 0 (A, B,C不同时为零) D 0, Ax By Cz 0 过原点的平面 C 0, Ax By D 0 平行于z轴的平面
于p0 (x0, y0 )时,函数f (x, y)都无限趋近于一个常数A,则称
f (x, y)当p(x, y) p0 (x0, y0 )时,以A为极限, 记作
(x, y)1 x2 y2 4 是有界闭区域
(x, y) x y 1是无界开区域
30
例1 求 f ( x, y) ln(x y) 的定义域
解 所求定义域为
x y0
D {( x, y) | x y 0}.
例2 求 f ( x, y) arcsin(x2 y2 ) 的定义域。
O
x
以点P0 (x0, y0 )为中心、
以为半径的圆的内部所有点
24
邻域
o
点P0(x0, y0)的去心邻域 记作U (P0, )
o
U (P0 , ) (x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
y
当不需要强调邻域半径时，
P0 (x0, y0 )
P的邻域和去心邻域
可分别简记为
P 则称P为E的边界点
E的边界点全体称为E的边界27
例：平面点集E
E (x, y)1 x2 y2 2
满足1 x2 y2 2的点(x, y)是E的内点 满足x2 y2 1的点(x, y)是E的边界点
这些边界点不属于E
满足x2 y2 2的点(x, y)是E的边界点 这些边界点属于E
只含x, z而缺y的方程F(x, z) 0 表示平行于y轴的柱面 只含y, z而缺x的方程F( y, z) 0 表示平行于x轴的柱面
15
平面方程
Ax By Cz D 0 (A, B,C不同时为零) D 0, Ax By Cz 0 过原点的平面 C 0, Ax By D 0 平行于z轴的平面
于p0 (x0, y0 )时,函数f (x, y)都无限趋近于一个常数A,则称
f (x, y)当p(x, y) p0 (x0, y0 )时,以A为极限, 记作
应用数学第八章第八章第一节 二元函数-PPT精选文档
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
z z f x , y ,x , y D M= 一元函数的自变量只有一个，其定义域是一个或几个区间. 二元函数有两个自变量，其定义域通常为平面区域.
由一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性（如果一块部分 平面内任意两点均可用完全属于此部分平面的折线段连接起来， 这样的部分平面称为具有连通性）的部分平面，称为平面区域， 简称区域.二元函数的定义域通常为平面区域.
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
1．二元函数的定义 引例1 矩形面积 s 与长 x，宽 y 有下列依赖关系
s = xy (x> 0, y > 0)
其中长 x和宽 y是两个独立的变量，在它们变化范围内，当 x ,y 的值取定后，矩形面积 s有一个确定的值与之对应. 引例 2 一定量的理想气体的压强 p，体积 v 和绝对温度 t之 间具有关系
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
rt p v
其中 r 为常数.这里，当 v，t 在集合｛（v，t） v＞０，t＞t0｝ 内任取一对值（v，t）时，p 的对应值就随之确定. 引例3 在医学上，研究机体对某种药物的反应时，某种反 2 2 x ( a x ) t e1 应w 与药量 x (单位)和时间 t (小时)之间的关系为 w
第八章 二元函数微分
第一节 二元函数
一、二元函数的概念及几何意义
围成区域的曲线称为区域的边界. 包括边界在内的区域称为闭域. 不包括边界在内的区域称为开域. 如果区域延伸到无穷远处，则称为无界区域，否则称为 有界区域.
[理学]第13章 偏导数与全微分
![[理学]第13章 偏导数与全微分](https://img.taocdn.com/s1/m/e8450b31ff00bed5b9f31dcc.png)
453第十三章 偏导数与全微分引言：从本章开始引入多元函数的微分理论。
即将一元函数 的导数和微分的概念推广到多元函数，形成多元函数的偏导数和微分，并进一步研究多元函数的微分性质及其在几何上的应用。
§1 偏导数和全微分的基本概念1、 偏导数一元函数导数引入背景和意义：切线、速度――－函数的变 化率。
以二元函数为例引入多元函数的相关概念。
在区域D 上给定 二元函数f(x,y)，任取点p(x,y),考察在此点自变量的改变所引起的函数的变化。
先考虑一种最简单的情形：单个变量的变化所引起的函数的改变。
不妨仅考虑只在x 方向上发生改变，设改变量为x ∆，即变量由点p(x,y)变到点q(,x x y +∆),，则引起的函数的改变量为),(),(y x f y x x f u x -∆+=∆，由于这一改变量是仅由一个变量x 而不是所有变量的变化所引起的，因而称为偏增量或关于x 的偏增量。
类似，可以定义关于y 的偏增量),(),(y x f y y x f u y -∆+=∆。
现在，考虑这些偏增量关于相应变量的变化率，类似一元函数的导数的概念，给出如下定义。
定义1.1 若 x u x x ∆∆→∆0lim ＝0(,)(,)lim x u x x y u x y x∆→+∆-∆存在，称此极限为),(y x f 在点p(x,y)关于x 的偏导数， 记为x u ∂∂|p 或 x f ∂∂|p。
454注： 由定义可知，注意到极限的唯一性，),(y x f 在点p(x,y)关于x 的偏导数是点p(x,y)的函数，因此，也记为 x u (p)=(,)x u x y 或x f (p)=(,)x f x y .简写为x u 、x f 。
类似可以定义关于y 的偏导数y u ，y f 。
注：偏导数的含义：仅考虑一个变量的改变对函数增量的变化率。
如对三元函数u=f(x,y,z),可以定义三个偏导数，即0(,,)(,,)(,,)lim x x u x x y z u x y z u x y z x∆→+∆-=∆ 0(,,)(,,)(,,)limy x u x y y z u x y z u x y z y ∆→+∆-=∆ 0(,,)(,,)(,,)lim z x u x y z z u x y z u x y z z∆→+∆-=∆ 类似，可以推广至任意n 元函数。
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方程 u x2u2 y2u2 z2u2 0
证： u x
1 r2
r x
1 r2
x r
r2
2u x2
1 r3
3x r4
பைடு நூலகம்
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
二元函数微积分——偏导数和全微分
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，
y 通常记作D。
边界
·
01
闭开区域
x
常见区域
y
y2(x)
0 a y1(x) b x
X 型区域
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
fx(x,
y,
z)
lim f(xx, y,z)f(x,y,z)
x 0
x
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
由偏导数的定义可以看出，要求二元函
函数 z 也称为因变量，x, y 的变化范围 D 称为函数的定
义域。 类似的，可以定义三元函数 u f (x, y, z) 及三元以上的函数。
自变量个数
定义域
x 一元函数 一个：
在数轴上讨论
（区间）
二元函数 两个：x, y 在平面上讨论
（区域）
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
由 xa xb
y2(x) y1(x)
四条曲线围成
y
d
x2(y)
c x1(y)
0
x
Y 型区域
由 yc y d
x1(y) x2(y)
四条曲线围成
邻域:
平面上以点 P0 (x0 , y0 ) 为圆心， 0 为半径的圆内部构成
的有界开区域 D (x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 , 0 称
xz 1 z2z yx lnxy
证: z yx y1, z xy lnx
x
y
xz 1 z xyxy 2z yx lnxy
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
y 0
y
d dy
f
(x0,
y)
yy0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , x
f , x
zx ,
fx(x,y), f1(x,y)
z , y
f , y
zy ,
fy(x,y), f2(x,y)
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
T pV , T V R p R
分子与分母的商 !
pVT V T p
RT pV
1
练习
1、 求二元函数 z exy 的一阶偏导数。 2、 求二元函数 z arctan y 的一阶偏导数。
f x
(x0,
y0)
;
zx (x0, y0) ;
fx (x0,y0);f1(x0,y0)
注意: fx(x0, y0) lx i0m f(x0 x,y 0 x )f(x0,y0)
d dx
f
(x,
y0)
xx0
同样可定义对 y 的偏导数
fy(x0, y0) limf(x0,y0y) f(x0,y 0 )
为点 P0 (x0 , y0 ) 的 邻域。
y
•
P0(x0, y0)
·
01
x
二元函数的概念
定义：设有三个变量 x, y 和 z ，如果当变量 x, y 在某平面区域 D 内任取一组值时，变量 z 按照一定的规 律 f ，总有唯一确定的数值与之对应，则称 z 为 x, y 的
二元函数，记作 z f (x, y) ，其中 x, y 称为自变量，
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
解： xzexy(xy)xexy yzexy(xy)y exy
2z x2
x
(z) x
exy(xy)xexy
z2 xy
y
( z ) x
exy(xy)yexy
z2 (z) yx x y
exy(xy)x exy
2z z
y2
y
() y
exy(xy)yexy
例6. 证明函数 u1,r x2y2z2满足拉普拉斯 r
偏导数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
定义： 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
的偏导数，记为
z x
(x0,
y0
);
x
3、 求二元函数 z esin x cos y 的一阶偏导数。 4、 求二元函数 z y ln( x 2 y 2 ) 的一阶偏导数。
5、 已知二元函数 z ln( x y ) ，证明：关系式
x z y z 1 x y 2
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
x
(x22z)
3z x3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
y
(
n
x
1 n
z
1
)
nz x n1 y
例 5． 求二元函数 z e xy 的二阶偏导数。
数对某个自变量的偏导数，只需将另一个 自变量看做常量，然后利用一元函数求导 公式和求导法则即可。
例1 . 求 zx23xyy2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解： z
x
z x
(1, 2)
2x3y,
z y
3x2y
2 1 3 2 8 ,
z y
(1, 2)
31227
例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证
证： u x
1 r2
r x
1 r2
x r
r2
2u x2
1 r3
3x r4
பைடு நூலகம்
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
r13
3ry52
,
2u z2
r13
3rz52
二元函数微积分——偏导数和全微分
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，
y 通常记作D。
边界
·
01
闭开区域
x
常见区域
y
y2(x)
0 a y1(x) b x
X 型区域
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
fx(x,
y,
z)
lim f(xx, y,z)f(x,y,z)
x 0
x
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
由偏导数的定义可以看出，要求二元函
函数 z 也称为因变量，x, y 的变化范围 D 称为函数的定
义域。 类似的，可以定义三元函数 u f (x, y, z) 及三元以上的函数。
自变量个数
定义域
x 一元函数 一个：
在数轴上讨论
（区间）
二元函数 两个：x, y 在平面上讨论
（区域）
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
由 xa xb
y2(x) y1(x)
四条曲线围成
y
d
x2(y)
c x1(y)
0
x
Y 型区域
由 yc y d
x1(y) x2(y)
四条曲线围成
邻域:
平面上以点 P0 (x0 , y0 ) 为圆心， 0 为半径的圆内部构成
的有界开区域 D (x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 , 0 称
xz 1 z2z yx lnxy
证: z yx y1, z xy lnx
x
y
xz 1 z xyxy 2z yx lnxy
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
y 0
y
d dy
f
(x0,
y)
yy0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , x
f , x
zx ,
fx(x,y), f1(x,y)
z , y
f , y
zy ,
fy(x,y), f2(x,y)
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
T pV , T V R p R
分子与分母的商 !
pVT V T p
RT pV
1
练习
1、 求二元函数 z exy 的一阶偏导数。 2、 求二元函数 z arctan y 的一阶偏导数。
f x
(x0,
y0)
;
zx (x0, y0) ;
fx (x0,y0);f1(x0,y0)
注意: fx(x0, y0) lx i0m f(x0 x,y 0 x )f(x0,y0)
d dx
f
(x,
y0)
xx0
同样可定义对 y 的偏导数
fy(x0, y0) limf(x0,y0y) f(x0,y 0 )
为点 P0 (x0 , y0 ) 的 邻域。
y
•
P0(x0, y0)
·
01
x
二元函数的概念
定义：设有三个变量 x, y 和 z ，如果当变量 x, y 在某平面区域 D 内任取一组值时，变量 z 按照一定的规 律 f ，总有唯一确定的数值与之对应，则称 z 为 x, y 的
二元函数，记作 z f (x, y) ，其中 x, y 称为自变量，
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
解： xzexy(xy)xexy yzexy(xy)y exy
2z x2
x
(z) x
exy(xy)xexy
z2 xy
y
( z ) x
exy(xy)yexy
z2 (z) yx x y
exy(xy)x exy
2z z
y2
y
() y
exy(xy)yexy
例6. 证明函数 u1,r x2y2z2满足拉普拉斯 r
偏导数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
定义： 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
的偏导数，记为
z x
(x0,
y0
);
x
3、 求二元函数 z esin x cos y 的一阶偏导数。 4、 求二元函数 z y ln( x 2 y 2 ) 的一阶偏导数。
5、 已知二元函数 z ln( x y ) ，证明：关系式
x z y z 1 x y 2
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
x
(x22z)
3z x3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
y
(
n
x
1 n
z
1
)
nz x n1 y
例 5． 求二元函数 z e xy 的二阶偏导数。
数对某个自变量的偏导数，只需将另一个 自变量看做常量，然后利用一元函数求导 公式和求导法则即可。
例1 . 求 zx23xyy2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解： z
x
z x
(1, 2)
2x3y,
z y
3x2y
2 1 3 2 8 ,
z y
(1, 2)
31227
例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证