高中数学 二项式系数的性质

二项式系数的性质(1)【教学目标】1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2．初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力.【教学重点】二项式系数的性质及其对性质的理解和应用． 【教学难点】二项式系数的性质及其对性质的理解和应用． 【教学过程】 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n nn n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈； （2）1(1)1n r rn nn x C x C x x +=+++++； 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=． 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1．二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n nn x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n n C C C C C =++++++．三、讲解范例：例1．()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r rn nn nn n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n nn C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=．例3．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数．解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为711C ．例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++，∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，∴此展开式中x 的系数为240．例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=，∴3n(n -1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10． 设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r 510=⇒=-，.180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180．四、课堂练习：（1）()2025x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项；（2）1)n x的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．（3）0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++=（ ）A ．63 B.64 C.31 D.32（4）已知：5025001250(2)a a x a x a x =++++，求：2202501349()()a a a a a a +++-+++的值 答案：（1）202，203，11；（2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴10n =， 3734101()T C x==（3）A ． 五、小结 ：1．性质1是组合数公式r n r n n C C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学后记：求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-， 展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a较小时(1)1n+≈+．a na。

二项式定理常用推论二项式定理是高中数学中的重要定理之一，它描述了一个二次多项式的展开形式。

在二项式定理的基础上，还有一些常用的推论，这些推论在数学中具有广泛的应用。

本文将介绍几个常用的二项式定理推论。

一、二项式定理的推论一：二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k) * b^k的形式，其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

根据组合数的性质，我们可以得到二项式系数的一些重要性质：1. C(n, k) = C(n, n-k)：这是组合数的对称性质，表示从n个元素中选择k个元素和选择n-k个元素的组合数是相等的。

2. C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)：这是组合数的递推关系，表示从n个元素中选择k个元素的组合数等于从n-1个元素中选择k个元素的组合数加上从n-1个元素中选择k-1个元素的组合数。

这些性质在概率论、组合数学等领域中具有广泛的应用，可以简化计算过程，提高效率。

二、二项式定理的推论二：二项式系数的和根据二项式定理，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k)* b^k的形式。

如果我们将这些项的系数相加，可以得到以下结果：1. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n2. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n + C(n, 1) * a^(n-1) * b + ... + C(n, n) * b^n这个结果表明，如果将两个数a和b相加后再求幂，然后将展开式的系数相加，结果就等于将a和b分别求幂后再相加。

这个推论在代数运算中经常被使用，可以简化计算过程。

三、二项式定理的推论三：二项式系数的对称性在二项式定理的展开式中，每一项的系数都是由组合数C(n, k)给出的。

二项式定理二项式定理是高中数学中的重要内容。

它表示了一个二元多项式的n次幂的展开式。

其中，二项式系数是展开式中每一项的系数，可以用组合数来表示。

具体来说，二项式定理可以表示为：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$。

其中，$\binom{n}{k}$表示从n个元素中选取k个元素的组合数。

二项式定理有很多应用，例如近似计算和估计，证明不等式等。

在使用二项式定理时，我们可以利用它的性质来简化计算。

其中，二项式系数具有对称性、增减性和最大值等性质。

此外，所有二项式系数的和等于$2^n$，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等。

需要注意的是，展开式共有n+1项，而二项式系数$\binom{n}{r}$是展开式中第r+1项的系数。

此外，展开式中的通项$T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$。

在使用二项式定理时，我们可以将一般情况转化为特殊情况，或者使用赋值法等思维方式来简化计算。

1.问题讨论1.1 例1求解C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。

+ 3^(n-1)*C(n,n)]，以及当n为奇数时，7+C(n,7)+C(n,14)+。

+C(n,7+(n-1)/2)的余数。

解。

1.1.1 求解C(n)设S(n) = C(n)。

则有：S(n) + 3S(n) = 3*C(n,1) + 3*C(n,2) +。

+ 3^n-1*C(n,n)将上式两边相减，得：S(n) = (1/4) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。

+ 3^(n-1)*C(n,n)]所以，C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。

+ 3^(n-1)*C(n,n)]。

1.1.2 求解余数XXX(n,7)+C(n,14)+。

+C(n,7+(n-1)/2)的余数等于8^(n-1)的余数，因为：XXX(n,7)+C(n,14)+。

《二项式系数的性质》教学设计一、教学内容解析1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。

以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。

这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。

2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。

4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。

故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。

二、教学目标设置教学目标：1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法；2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。

1.5.2 二项式系数的性质及应用学案（苏教版高中数学选修2-3）1.5.2二项式系数的性质及应用二项式系数的性质及应用学习目标1.了解二项式系数的性质.2.理解二项式系数性质的应用.3.掌握应用“赋值法”知识点二项式系数的性质abn的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式思考1从上面的表示形式可以直观地看出什么规律答案在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和思考2计算每一行的系数和，你又能看出什么规律答案2,4,8,16,32,64，，其系数和为2n.思考3二项式系数的最大值有何规律答案当n2,4,6，时，中间一项最大，当n3,5，时，中间两项最大梳理1二项式系数表的特点在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2二项式系数的性质一般地，abn展开式的二项式系数C0n，C1n，，Cnn有如下性质CmnCnmn；CmnCm1nCmn1；当rn12时，CrnCr1n；当rn12时，Cr1nCrn；C0nC1nC2nCnn2n.1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列2二项式展开式的二项式系数和为C1nC2nCnn.3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同类型一与二项式系数表有关的问题例1如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列1,2,3,3,6,4,10,5，，记其前n项和为Sn，求S16的值解由题意及杨辉三角的特点可得S16123364105369C02C12C23C13C24C14C29C19C22C23C24C29239C31 08292164.反思与感悟对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论跟踪训练1请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是________考点题点答案70类型二“赋值法”的应用例2设23x100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值1a0；2a1a2a3a4a100；3a1a3a5a99；4a0a2a1002a1a3a992；5|a0||a1||a100|.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解1令x0，则展开式为a02 100.2令x1，可得a0a1a2a10023100，a1a2a100231002100.3令x1，可得a0a1a2a3a10023100.与联立相减，得a1a3a9923100231002.4原式a0a2a100a1a3a99a0a2a100a1a3a99a0a1a2a100a0a1a2a3a98a99a10 0232310011001.5Tr11rCr1002100r3rxr，a2k10kN*|a0||a1||a2||a100|a0a1a2a3a10023100.反思与感悟二项展开式中系数和的求法1对形如axbn，ax2bxcma，b，cR，m，nN*的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对axbyna，bR，nN*的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2一般地，若fxa0a1xa2x2anxn，则fx展开式中各项系数之和为f1，奇数项系数之和为a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为a1a3a5f1f12.跟踪训练2在二项式2x3y9的展开式中，求1二项式系数之和；2各项系数之和；3所有奇数项系数之和考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解设2x3y9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.1二项式系数之和为C09C19C29C9929.2各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a92391.3令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a85912，即所有奇数项系数之和为5912.类型三求二项式系数或系数最大的项例3已知fx3x23x2n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.1求展开式中二项式系数最大的项；2求展开式中系数最大的项考点展开式中系数最大小的项问题题点求展开式中系数最大小的项解令x1，则二项式各项系数的和为f113n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.2n22n9920，2n312n320，2n31舍去或2n32，n5.1由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3C2532x33x2290x6，T4C3532x23x23270223x.2展开式的通项公式为Tr1Cr53r2523rx，假设Tr1项系数最大，则有Cr53rCr153r1，Cr53rCr153r1，55rr356rr1，55rr54rr13，即3r16r，15r3r1，72r92，rN，r4，展开式中系数最大的项为T5C4523x3x24405263x.反思与感悟1二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对abn中的n进行讨论当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正.负变化情况进行分析如求abxna，bR的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，，An，且第k1项最大，应用AkAk1，AkAk1，解出k，即得出系数的最大项跟踪训练3已知二项式122xn.1若展开式中第5项.第6项.第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；2若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解1由题意，得C4nC6n2C5n，所以n221n980，所以n7或n14.当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C3712423352，T5的系数为C471232470.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，所以T8的系数为C714127273432.故展开式中二项式系数最大的项的系数为3432.2由题意知C0nC1nC2n79，解得n12或n13舍去设展开式中第r1项的系数最大，由于122x12121214x12，则Cr124rCr1124r1，Cr124rCr1124r1，所以9.4r10.4.又r0,1,2，，12，所以r10，所以系数最大的项为T11，且T111212C10124x1016896x10.类型四整除或余数问题例4求证122225n1能被31整除nN*证明122225n125n12125n132n1311n1C0n31nC1n31n1Cn1n31Cnn131C0n31 n1C1n31n2Cn1n显然上式括号内的数为整数，所以原式能被31整除反思与感悟在利用二项式定理证明整除问题或求余数问题时，要进行合理的变形，常用的变形方法是拆数，往往是将幂底数写成两数和或差的形式，其中的一个数是除数或其正整数倍跟踪训练4如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n，经过23n37n5天后的那一天是星期几解因为23n37n58n17n571n17n57n1C1n17nC2n17n1Cnn17Cn1n17n577nC1n17 n1C2n17n2Cnn1n6，显然上式括号内的数是正整数所以23n37n5被7除所得的余数为6.所以对于任意自然数n，经过23n37n5天后的那一天是星期日.1在2x1x4的展开式中，各项的二项式系数的和为________考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案16解析各项的二项式系数之和为2416.2若x3yn的展开式中所有项的系数之和等于7ab10的展开式的二项式系数之和，则n的值为________考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案5解析令xy1，得x3yn的展开式中所有项的系数和为4n，7ab10的展开式中所有项的二项式系数之和为210，故4n210，即n5.32x3y8中的各项二项式系数的最大值是________答案70解析因为8为偶数，所以展开式共有9项，中间一项的二项式系数最大，即第5项，C488765432170.4观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案6解析由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得a6.5设2x34a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为________考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案15解析令x1，得a0a1a2a3a41.又Tr1Cr42x4r1r3r，当r0时，x4的系数a416.由得a0a1a2a315.1用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和.差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定2用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数或与除数密切关联的数与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面或者前面一.二项就可以了.。

二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。

本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。

一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。

排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。

1. 排列排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。

主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。

有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。

而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。

2. 组合组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。

同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。

二、二项式定理的概念和公式二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。

它表述了如下公式：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。

C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。

具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式定理与排列组合的关系二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二项式展开式中各项系数的求解方法。

1. 二项式系数的性质二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。

这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。

2. 应用举例利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。

比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总数等等。

四、应用示例在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、统计和计算问题。