2014-2015年黑龙江省哈师大附中高一上学期期中数学试卷带答案

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题第1卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12个小题，每一小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.全集U ＝{0，1，2}且A C U ＝{2}，如此集合A 的真子集共有( ) A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2. 函数1()2x f x a -=+〔0a >且1a ≠〕的图象一定经过点〔 〕A.(0，1)B.(0，3)C.(1，2)D.(1，3)3. 函数 21,(2)()(3),(2)x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，如此(1)(3)f f -=〔 〕A. B. C.7 D.4. 设1{1,1,2,,3}2α∈-，如此使函数αx y =为奇函数且在(0,)+∞为增函数的所有α的值为〔 〕A.1,3B.-1,1，2C.12,1，3D.-1,1,35. 设1,01x y a >><<，如此如下关系正确的答案是( )A.a a x y -->B.ax ay <C.x y a a <D.log log a a x y >6.为了得到函数2()log (22)f x x =-+的图象，只需把函数2()log (2)f x x =-图象上所有的点〔 〕 A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度7. 如果lg2,lg3,m n ==如此lg12lg15等于〔 〕A.21m n m n +++ B. 21m nm n+++ C. 21m n m n +-+ D. 21m n m n +-+8.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象关于直线y x =对称的图象大致是( )9. 函数24)2(x x f -=-，如此函数)(x f 的定义域为〔 〕A.[)0,+∞B.[]0,16C.[]0,4D.[]0,210.关于x 的方程||1()103x a --=有解，如此a 的取值范围是〔 〕A. 01a <≤B. 10a -<≤C. 1a ≥D. 0a > 11. 定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(1)0f =，且在),0(+∞上单调递增，如此0)(>x xf 的解集为〔 〕A.{|1x x <-或1}x >B.{|01x x <<或10}x -<<C.{|01x x <<或1}x <-D.{|10x x -<<或1}x >12. 函数2()log )f x x =的最小值为( )A.0B.12-C. 14- D. 12第2卷〔非选择题 共90分〕二、填空题：本大题共4个小题，每一小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.幂函数()a f x k x =⋅的图象过点1(,22，如此k a +=________________.14.化简22lg5lg2lg 2lg2++-的结果为___________________.15.函数2()log (2)f x ax =-在[1,)-+∞为单调增函数，如此a 的取值范围是______________． 16.由方程2||1x x y -=所确定的,x y 的函数关系记为()y f x =，给出如下结论： 〔1〕()f x 是R 上的单调递增函数； 〔2〕()f x 的图象关于直线0x =对称；〔3〕对于任意x R ∈，()()2f x f x +-=-恒成立.其中正确的结论为__________________〔写出所有正确结论的序号〕.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题卡的对应位置. 17.〔此题总分为10分〕假设2222{|190},{|560},{|280}A x x ax a B x x x C x x x =-+-==-+==+-=. 〔1〕假设A B ⊆，求a的取值范围；〔2〕假设∅,,A B A C =∅求a 的值.18．〔此题总分为12分〕有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p 万元和q 万元，它们与投入资金x 万元的关系为：1,5p x q ==，今有3万元资金投入经营这两种商品，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获得最大利润？最大利润为多少？19.〔此题总分为12分〕函数2()||21(f x ax x a a =-+-为实常数〕 〔1〕判断()f x 的奇偶性，并给出证明；〔2〕假设0,a >设()f x 在区间[1,2]上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.20.〔此题总分为12分〕函数24()log (23)f x ax x =++． (1) 假设(1)1f =，写出()f x 的单调区间；(2)是否存在实数a ，使()f x 的最小值为0？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由．⊂ ≠21.〔此题总分为12分〕定义在R 上的函数1()22xx f x =-.〔1〕假设3()2f x =，求x的值；〔2〕假设2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.22.〔此题总分为12分〕函数9()log (91)()xf x kx k R =++∈为偶函数．〔1〕求k 的值；〔2〕解关于x 的不等式91()log ()0(0)f x a a a-+>>.数学期中考试考答案一、选择题1.A2.D3.C4.A5.C6.D7.C8.A9.B 10.B 11.A 12.C二、填空题13.3214.25 15.〔-2,0〕 16.①③三、解答题17.解：〔1〕{}2,3B =由A B ⊆可得A =∅或{}2或{}3或{}2,3()I 假设A =∅⇒()224190a a a --<⇒>a ()II 假设{}2,3A =23a ⇒=+5a ⇒=21923a -=⨯{}{}2,3A =不成立 …………5分〔2〕{}4,2C =-由A B A B ∅⊄⇒≠∅又A C =∅2393190A a a ⇒∈⇒-+-=2a ⇒=-或5假设5a =如此A C ≠∅∴舍掉综上2a =- …………10分18.解：设对乙商品投入资金x 万元，如此对甲投入资金为()3x -万元，此时获取利润为y 万元，如此由题意知：()1133555y p q x x =+=--()03x ≤≤ …………5分,t 如此233555t y t -=++(0t ≤ 当32t =时， max 2120y =3924x ⇒=时 max 2120y = …………11分 答：对甲投入资金34万元，对乙投入资金94万元，获取最大利润2120万元。

黑龙江省哈师大附中高一数学上学期第一次月考试卷（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4}2．（5分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为（）A．{x|0＜x≤4} B．{x|0≤x≤4}C．{x|0≤x＜1} D．{x|0≤x≤1} 3．（5分）已知集合A到B的映射f：x→y=2x2+1，那么集合B中象3在A中对应的原象是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±14．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x+1=0有两个实根，则k的取值范围为（）A．[﹣1，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）5．（5分）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，] C．[，+∞）D．ϕ6．（5分）下列函数与y=﹣x是同一函数的是（）A．B． C．D．7．（5分）f（x）=|x﹣1|的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）已知f（x）的图象关于原点对称，且x＞0时，f（x）=﹣x2+1，则x＜0时，f （x）=（）A．﹣x2+1 B．﹣x2﹣1 C．x2+1 D．x2﹣19．（5分）函数的单调增区间是（）A．[0，1] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞）D．[1，2]10．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有”，则a=f（﹣2）与b=f（3）的大小关系为（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不确定11．（5分）函数的最大值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．312．（5分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1•x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B的真子集个数为（）A．15 B．16 C．31 D．32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）已知M={1，t}，N={t2﹣t+1}，若N⊆M，则t的值为．14．（5分）函数，则函数f（x）=．15．（5分）函数y=x+的值域是．16．（5分）若函数f（x）=的定义域为R，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设全集U=R，集合A={x|x≤﹣2或x≥5}，B={x|x≤2}．求（Ⅰ）∁U（A∪B）；（Ⅱ）记∁U（A∪B）=D，C={x|2a﹣3≤x≤﹣a}，且C∩D=C，求a的取值范围．18．（12分）用单调性定义证明：函数f（x）=3x+x3在（﹣∞，+∞）上是增函数（参考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2））19．（12分）解下列关于x的不等式：．20．（12分）已知二次函数f（x）满足条件：f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x（Ⅰ）求f（x）；（Ⅱ）讨论二次函数f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=（x∈R）是奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．22．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（2）=﹣1（Ⅰ）求f（1）和的值；（Ⅱ）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）求满足f（4x3﹣12x2）+2＞f（18x）的x的取值集合．黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；集合．分析：图中阴影部分所表示了在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合．解答：解：图中阴影部分所表示了在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是{4}，故选A．点评：本题考查了集合的图示运算，属于基础题．2．（5分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为（）A．{x|0＜x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|0≤x＜1} D．{x|0≤x≤1}考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的定义域，得到0≤2x≤2，解出即可．解答：解：∵函数f（x）的定义域为[0，2]，∴0≤2x≤2，∴0≤x≤1，故选：D．点评：本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．3．（5分）已知集合A到B的映射f：x→y=2x2+1，那么集合B中象3在A中对应的原象是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1考点：映射．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，令2x2+1=3可解得x=1或x=﹣1．解答：解：令2x2+1=3解得，x=1或x=﹣1，故选D．点评：本题考查了映射的概念，属于基础题．4．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x+1=0有两个实根，则k的取值范围为（）A．[﹣1，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据一元二次方程根与判别式△之间的关系即可得到结论．解答：解：∵一元二次方程x2﹣（k﹣1）x+1=0有两个实根，∴判别式△=（k﹣1）2﹣4≥0，即△=（k﹣1）2≥4，则k﹣1≥2或k﹣1≤﹣2，解得k≥3或k≤﹣1，故k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），故选：B点评：本题主要考查一元二次方程根与判别式△之间的关系和应用，利用一二次不等式的解法是解决本题的关键．5．（5分）已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，] C．[，+∞）D．ϕ考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意求出集合M与集合N，然后求出M∩N．解答：解：集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，对于，2﹣x2≥0，解得，N={x|}，则M∩N=[﹣1，+∞）∩[]=．故选B．点评：本题考查集合的基本运算，函数的值域与函数的定义域的求法，考查集合的交集的求法．6．（5分）下列函数与y=﹣x是同一函数的是（）A．B． C．D．考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：对于A，可利用三次方根的定义求解；对于B，考虑两函数定义域是否相同；对于C，可以根据二次根式的定义将函数进行化简，或考虑其值域；对于D，可以根据两函数的定义域进行判断．解答：解：函数y=﹣x的定义域为R，值域为R．在选项A中，根据方根的定义，，且定义域为R，所以与y=﹣x是同一函数．在选项B中，y=（x≠1），与y=﹣x的定义域不同，所以与y=﹣x不是同一函数．在选项C中，|x|≤0，与y=﹣x的值域不同，对应关系不完全相同，所以与y=﹣x不是同一函数．在选项D中，=﹣=﹣|x|=﹣x≤0（x≥0），与y=﹣x的值域不同，定义域不同，所以与y=﹣x不是同一函数．故答案为A．点评：本题考查了函数的定义域，值域，对应法则等．1．两函数相等的条件是：（1）定义域相同，（2）对应法则相同，（3）值域相同，三者缺一不可．事实上，只要两函数定义域相同，且对应法则相同，由函数的定义知，两函数的值域一定相同，所以只需满足第（1）、（2）两个条件即可断定两函数相同（相等）．2．若两函数的定义域、对应法则、值域这三项中，有一项不同，则两函数不同．7．（5分）f（x）=|x﹣1|的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：将函数解析式写成分段函数，分别作出函数在区间[1，+∞）和（﹣∞，1）上的图象．解答：解：f（x）=|x﹣1|=分别作出函数在区间[1，+∞）和（﹣∞，1）上的图象：故选B．点评：本题为分段函数图象问题，作出函数图象即可得到结果．还可以利用函数图象的平移解答，函数f（x）=|x|的图象是学生所熟悉的，将其图象向右平移一个单位，即可得到函数f（x）=|x﹣1|的图象．8．（5分）已知f（x）的图象关于原点对称，且x＞0时，f（x）=﹣x2+1，则x＜0时，f（x）=（）A．﹣x2+1 B．﹣x2﹣1 C．x2+1 D．x2﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可知f（x）是奇函数，又由x＞0时，f（x）=﹣x2+1，可得x＜0时，f（x）=x2﹣1．解答：解：∵f（x）的图象关于原点对称，∴f（x）是奇函数，又∵当x＞0时，f（x）=﹣x2+1，∴x＜0时，f（x）=x2﹣1，故选D．点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，本题表达式是多项式，可以直接写出即可，属于基础题．9．（5分）函数的单调增区间是（）A．[0，1] B．（﹣∞，1] C．[1，+∞）D．[1，2]考点：复合函数的单调性；函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：设t=﹣x2+2x，则函数等价为y=．由t=﹣x2+2x≥0，即x2﹣2x≤0，解得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，∵y=为增函数，∴要求函数的单调增区间，即求函数t=﹣x2+2x的增区间，则∵函数t=﹣x2+2x的对称性为x=1，∴当0≤x≤1时，函数t=﹣x2+2x单调递增，即此时函数单调递增，故函数的单调递增区间[0，1]，故选：A点评：本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．注意先求函数的定义域．10．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有”，则a=f（﹣2）与b=f（3）的大小关系为（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不确定考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有，可知f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又由f（x）是R上的偶函数可得f（3）=f（﹣3），从而判断二者的大小关系．解答：解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又∵f（x）是R上的偶函数，则f（3）=f（﹣3），∵﹣3＜﹣2，∴f（﹣3）＞f（﹣2），故选C．点评：本题考查了函数的性质的综合应用，特别要注意的是对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有，表达了f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，属于基础题．11．（5分）函数的最大值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．3考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2，则t∈[0，+∞），因此，再求函数的导数，通过单调性探求函数的最大值．解答：解：令t=x2，则t∈[0，+∞），∴，＜0，∴在t∈[0，+∞）上单调递减，∴当t=0时，函数取最大值，即故选：D点评：本题主要考查函数的最值求法，如果函数的解析式较复杂，通常利用换元法使函数的解析式变得简单后再求最值．12．（5分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1•x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B的真子集个数为（）A．15 B．16 C．31 D．32考点：交、并、补集的混合运算．专题：新定义；集合．分析：根据A*B运算的定义和条件求出集合A*B，再由集合中元素的个数得到它的真子集的个数．解答：解：由题意得，A={1，2，3}，B={1，2}，所以A*B={x|x=x1•x2，x1∈A，x2∈B}={1，2，3，4，6}，则集合A*B的真子集个数为：25﹣1=31，故选：C．点评：本题考查了集合中一个结论：集合A有n个元素则真子集的个数是2n﹣1个，以及新定义的应用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）已知M={1，t}，N={t2﹣t+1}，若N⊆M，则t的值为0．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：本题考查集合间的包含关系，分t2﹣t+1=1和t2﹣t+1=t两种情况讨论，然后验证元素的互异性，由M={1，t}得t≠1．解答：解：由元素的互异性得M={1，t}则t≠1；由N⊆M得，t2﹣t+1=1和t2﹣t+1=t；当t2﹣t+1=1时，t=0，或t=1（舍去），当t2﹣t+1=t时，t=1，舍去；综上，t=0．点评：本题易错点为忽略元素的互异性t≠1．14．（5分）函数，则函数f（x）=（x﹣1）2（x≥1）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，利用换元法，令+1=t（t≥1），则x=（t﹣1）2，从而求解析式．解答：解：令+1=t（t≥1），则x=（t﹣1）2，则可化为f（t）=（t﹣1）2，故答案为：（x﹣1）2（x≥1）．点评：本题考查了函数的解析式的求解，用到了换元法，属于基础题．15．（5分）函数y=x+的值域是（﹣∞，]．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：求该函数的值域，可以利用换元法，变为二次函数，然后运用配方法求值域．解答：解析：令=t（t≥0），则x=1﹣t2，此时y=1﹣t2+t，（t≥0），所以y=﹣t2+t+1=﹣（t﹣）2+≤，所以原函数的值域为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．点评：本题考查了函数值域的求法，考查了换元法，解答此题的关键是变无理函数为有理函数．16．（5分）若函数f（x）=的定义域为R，则a的取值范围是[0，4]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，转化为不等式ax2﹣3ax+a+5≥0恒成立，对a讨论，即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）的定义域为R，则等价为不等式ax2﹣3ax+a+5≥0恒成立，若a=0，不等式等价为5＞0，满足条件，若a≠0，则不等式满足条件，解得0＜a≤4，综上0≤a≤4，即a的取值范围是[0，4]．故答案为：[0，4]．点评：本题主要考查函数的定义域的应用，根据条件转化为不等式恒成立是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设全集U=R，集合A={x|x≤﹣2或x≥5}，B={x|x≤2}．求（Ⅰ）∁U（A∪B）；（Ⅱ）记∁U（A∪B）=D，C={x|2a﹣3≤x≤﹣a}，且C∩D=C，求a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（Ⅰ）根据题意和并集的运算求出A∪B，再由补集的运算求出∁U（A∪B）；（Ⅱ）由（Ⅰ）的集合D，由C∩D=C得C⊆D，根据子集的定义对C分类讨论，分别列出不等式求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）由题意知，A={x|x≤﹣2或x≥5}，B={x|x≤2}则A∪B={x|x≤2或x≥5}…（2分）又全集U=R，∁U（A∪B）={x|2＜x＜5}…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得D={x|2＜x＜5}，由C∩D=C得C⊆D…（5分）①当C=∅时，有﹣a＜2a﹣3…（6分）解得a＞1，…（7分）②当C≠∅时．有…（8分）解得a无解…（9分）综上：a的取值范围为（1，+∞）…（10分）点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，以及利用子集的关系求出参数的范围，注意空集是任何集合的子集．18．（12分）用单调性定义证明：函数f（x）=3x+x3在（﹣∞，+∞）上是增函数（参考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2））考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：设∀x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，根据单调性的定义证明即可．解答：解：设∀x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，∴====，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．点评：本题考查了函数的单调性的证明问题，是一道基础题．19．（12分）解下列关于x的不等式：．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，将分工不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法求解．解答：解：原不等式⇔（x﹣a2）（x+a）＜0，a2﹣（﹣a）=a（a+1）（1）当a＞0或a＜﹣1时，解集为（﹣a，a2）…（4分）（2）当﹣1＜a＜0时，解集为（a2，﹣a）…（8分）（3）当a=﹣1或0时，解集为∅…（12分）点评：其它不等式的解法，一般要转化为解法规律已知的形式，分式不等式的求解转化为一元二次不等式求解．20．（12分）已知二次函数f（x）满足条件：f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x（Ⅰ）求f（x）；（Ⅱ）讨论二次函数f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值．考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设f（x）=ax2+bx+1，根据f（x+1）=f（x）+2x，解得a，b的值，即可求出f（x）的解析式；（2）分情况讨论当，，时，分别求出f（x）的最小值即可．解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+1根据已知则有a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+bx+1+2x即有2ax+a+b=2x解得a=1，b=﹣1∴f（x）=x2﹣x+1（2）解：①当时，f（x）在[t，t+1]上是增函数∴f（x）min=f（t）②当，即时，f（x）在[t，t+1]上是减函数∴③当时，点评：本题主要考察了二次函数的性质，函数解析式的求解及常用方法，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x∈R）是奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．考点：函数奇偶性的性质；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由于f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），计算化简即可得到a=0，进而得到解析式；（Ⅱ）将函数整理成二次方程，先讨论二次项系数为0，再考虑不为0，再由判别式大于0，解得即可得到值域．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又，∴；（Ⅱ），当y=0时，x=0∴y=0成立，当．．点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和运用，以及函数的值域的求法：判别式法，考查运算能力，属于中档题．22．（12分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（2）=﹣1（Ⅰ）求f（1）和的值；（Ⅱ）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）求满足f（4x3﹣12x2）+2＞f（18x）的x的取值集合．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）求f（1），f（）的值只需令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）；同理求出f（9），令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；（Ⅱ）证明f（x）在R+是减函数；取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2然后根据关系式f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x1）＞f（x2）即可；（Ⅲ）由（1）的结果可将不等式f（4x3﹣12x2）+2＞f（18x）转化成f（x3﹣3x2）＞f（18x），再根据单调性，列出不等式，解出取值范围即可．解答：解：（Ⅰ）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0，而f（4）=f（2）+f（2）=﹣1﹣1=﹣2，且f（4）+f（）=f（1）=0，则f（）=2；（Ⅱ）取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2，∴＞1，当x＞1时，f（x）＜0，∴f（）＜0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1•）﹣f（x1）=f（x1）+f（）﹣f（x1）=f（）＜0，∴f（x）在R+上为减函数．（Ⅲ）由条件①及（Ⅰ）的结果得，∵f（4x3﹣12x2）+2＞f（18x），∴f（4x3﹣12x2）+f（）＞f（18x），∴f（x3﹣3x2）＞f（18x），∴解得3＜x＜6，故x的取值集合为（3，6）点评：本题主要考查抽象函数的一系列问题．其中涉及到函数单调性的证明，函数值的求解问题，属于综合性问题，涵盖知识点较多，属于中档题．。

黑龙江哈师大附中2011级高三上学期期中考试数学试题（理科）审题人：高三数学备课组本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<,则A B ⋂等于（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}0,12．在ABC ∆中，""a b =是"cos cos "a A b B =的 ( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知向量,a b 满足：2a b +与54a b -垂直，且||1,||1a b ==，则a 与b 的夹角为（ ） A ．34π B ．4πC ．3πD ．23π4．已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ）A ．B ．C ．D ．5．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )A ．2(20cm +B ．212cmC ． 2(24cm +D ．242cm 6．曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．. 2ln 2 B ．2ln 2- C ． 4ln 2- D ．42ln 2-7．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是( )A ． 2个B ． 3个C ．4个D ．多于4个 8．将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到俯视左视图原来的21倍，所得图像关于直线(,0)8π对称，则ϕ的最小正值为（ ）A ．8πB ．83π C ．43π D ．2π9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 ( )A ．0个B ． 1个C ．2个D ．3个10．给出下列三个命题：①函数11cos ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数(2)y f x =与1()2y g x =的图像也关于直线y x =对称； ③如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为311． 其中真命题是A ．①②B ．①③C ．②③D ．②11．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A ．14 B ．14或23C ．23 D ． 23或3412．已知O 是△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若cos cos 2sin sin B C AB AC m AO C B+=⋅，则m 的值为 （ ） A ． 1 B ． A s i n C ． A cos D ． A tan第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．设,x yR ∈，向量(,1)a x =r，(1,)b y →=，(2,4)c →=-，且a c →→⊥，//b c →→，则||a b →→+=_____________.14．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.15．在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB 的中点，若2,AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为____________.16．正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为________．三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17. （本题满分10分）已知向量(sin cos ,sin )a x x x ωωω→=+(sin cos )b x x x ωωω→=-，设函数()f x a b →→=⋅()x R ∈的图象关于直线3x π=对称，其中常数(0,2)ω∈ (Ⅰ)求()f x 的最小正周期； (Ⅱ)将函数()f x 的图像向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图像，用五点法作出函数()g x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像. 18．（本题满分12分）已知ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集．（Ⅰ）求角C 的最大值；（Ⅱ）若72c =，ABC ∆的面积S =，求当角C 取最大值时a b +的值．(2)求二面角C AS B --的平面角的余弦．20．（本题满分12分）如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中 的侧视图、俯视图.在直观图中，M 是BD 的中点.又已知侧视图是 直角梯形，俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (1)求证:EM ∥平面ABC ;(2)试问在棱DC 上是否存在点N,使NM⊥平面BDE ? 若存在,确定 点N 的位置;若不存在,请说明理由.21．（本题满分12分）已知函数2()ln (1)xf x a x x x a =+-> （1）求函数)(x f 单调递增区间；（2）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()xe cx d +,若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+． (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值；(Ⅱ)若2x ≥-时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围．哈师大附中2011级高三上学期期中考试数学试题（理科）答案一、选择题【例1】【例2】【例3】【例4】【例5】【例6】【例7】【例8】【例9】【例10】【例11】【例12】【例13】【例14】【例15】【例16】【例17】【例18】【例19】【例20】【例21】【例22】【例23】【例24】【例25】【例26】二、填空题 1314．15．2316 1617．（Ⅰ）22()sin cos cos f x x x x x ωωωω=-+2cos 22sin(2)6x x x πωωω=-=-()23f π=±231(0,2)3622k k ωππππω⇒-=+⇒=+∈ 0,1k ω==，()2sin(2)6f x x π=-，T π=. …………………………………………5分（Ⅱ）()()2sin 212g x f x x π=+= 【x【例28】2π-【例29】4π-4π2π【2x【例34】π-【例35】2π-02ππ02……………………………………7分………………………………………10分18．（1）()()2282sin 3cos 82cos 3cos 20cos 0C C C C C ⎧=-=-+-≤⎪⎨>⎪⎩1cos 2C ⇒≥max 3C π⇒= （2）1sin 62S ab C ab ===⇒= 2222cos c a b ab C =+-，即2271()122622a b ⎛⎫=+--⋅⋅ ⎪⎝⎭112a b ⇒+=19．（1）在△SAB 中，∵OE ∥AS ，∠ASC=90°∴OE ⊥SC ∵平面SAC ⊥平面ABC ，∠BCA=90° ∴BC ⊥平面ASC ，OE ⊂平面ASC ∴BC ⊥OE ∴OE ⊥平面BSC ∵SF ⊂平面BSC∴OE ⊥SF 所以无论F 在BC 的何处，都有OE ⊥SF …（6分） （2）由（1）BC ⊥平面ASC ∴BC ⊥AS 又∵∠ASC=90°∴AS ⊥SC ∴AS ⊥平面BCS ∴AS ⊥SB∴∠BSC 是二面角B-AS-C 的平面角 20．（1）取BC 中点Q ，连,MQ AQ1//2////1//2//BM MD MQ CD BQ QC AE MQ EM AQ AE CD EM ABC EM ABC AQ ABC ⎫=⎫⎫⇒⎪⎬⎪⎪=⎭⎪⇒⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎪⎪⎪⎪⎪⎭平面平面平面 （2）在CD 上取点N 使1CN =，连接MN32=//,DM CD NMD DCB NM BD DN BD AC AB AQ BC AQ BCD BQ CQ AQ MN MN EM DC ABC DC AQ NM BED NM BCD AQ EM BD EM M BD EM BED π⎫==⇒∠=∠=⇒⊥⎪⎪⎪⎫⎫=⎫⎫⎪⇒⊥⎪⎪⎬⎪⇒⊥⎪⎬⎪⎭⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎪⇒⊥⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪⇒⊥⎪⎪⎪⊆⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎪=⎪⎪⊂⎭平面平面平面平面平面21． ⑴()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．''2()2ln 0x f x a a =+⋅>，所以'()f x 在R 上是增函数， …………………………2分又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………6分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤， 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：QN所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值． 因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；。

2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={﹣3，﹣1，0，1，3}，集合B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣3，1，3} B．{1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，3}2．（5分）若函数f（x）=，则函数f（x）定义域为（）A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4）D．（0，4]3．（5分）下列各组中两个函数是同一函数的是（）A．与g（x）=x+1B．f（r）=πr2（r≥0）与g（x）=πx2（x≥0）C．，且a≠1）与D．4．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣）]=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）P={（x，y）|x+y=5，x∈N*，y∈N*}，则集合的非空子集的个数是（）A．3B．4C．15 D．166．（5分）设a=90.8，b=270.45，c=（）﹣1.5，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＞c＞b D．b＞c＞a7．（5分）若函数f（x）=x2+4x+6，则f（x）在[﹣3，0）上的值域为（）A．[2，6]B．[2，6）C．[2，3]D．[3，6]8．（5分）若不等式|2x﹣1|≤3的解集恰为不等式ax2+bx+1≥0的解集，则a+b=（）A．0B．2C．﹣2 D．49．（5分）计算：（log213）3+（log217）3+3log213log217=（）A．0B．1C．﹣1 D．210．（5分）定义在R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则f（x）＜3的解集为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）11．（5分）若函数f（x）=在（0，+∞）上是增函数，则a的范围是（）A．（1，2]B．[1，2）C．[1，2]D．（1，+∞）12．（5分）设f为（0，+∞）→（0，+∞）的函数，对任意正实数x，f（5x）=5f（x），f（x）=2﹣|x﹣3|，1≤x≤5，则使得f（x）=f（665）的最小实数x为（）A．45 B．65 C．85 D．165二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）A={x|x2﹣x﹣2=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则a=．14．（5分）已知3a=2，9b=5，则27=．15．（5分）已知f（x+）=x2+﹣4，则函数f（x）的表达式为．16．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=10x，则f（1），f（2），g（3）从小到大的顺序为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）A={x||x﹣3|＜1}，B={x|＞0}，求A∪B，A∩（∁R B）．18．（12分）判断函数f（x）=2x2﹣在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．19．（12分）解关于x的不等式≤1，（其中a为常数）并写出解集．20．（12分）求下列函数的值域：（Ⅰ）y=（x＞0）；（Ⅱ）y=3x+4﹣．21．（12分）已知函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）为R上的奇函数，且f（1）=．（Ⅰ）解不等式：f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0；（Ⅱ）若当x∈[﹣1，1]时，b x+1＞a2x﹣1恒成立，求b的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=2x|2x﹣a|+b．（Ⅰ）当a=1，b=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当a=b=4时，若f（x）=5，求x的值；（Ⅲ）若b＜﹣4，且b为常数，对于任意x∈（0，2]，都有f（log2x）＜0成立，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={﹣3，﹣1，0，1，3}，集合B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣3，1，3} B．{1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，3}考点：交集及其运算．分析：集合A是含有5个元素的集合，集合B是含有4个元素的集合，且有3个公共元素：﹣1，0，1，所以A∩B可求．解答：解：因为集合A={﹣3，﹣1，0，1，3}，集合B={﹣2，﹣1，0，1}，所以A∩B={﹣1，0，1}．故选C．点评：本题考查了交集及其运算，两个集合的交集是有两个集合的公共元素组成的集合，是基础题．2．（5分）若函数f（x）=，则函数f（x）定义域为（）A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4）D．（0，4]考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的真数大于0，被开方数大于等于0，直接求出x的范围即可得到函数的定义域．解答：解：解得：x≥4所以函数的定义域为[4，+∞）故选：B．点评：本题主要考查了对数函数定义域的求法，以及偶次根式的定义域，同时考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）下列各组中两个函数是同一函数的是（）A．与g（x）=x+1B．f（r）=πr2（r≥0）与g（x）=πx2（x≥0）C．，且a≠1）与D．考点：判断两个函数是否为同一函数．分析：判断两个函数的定义域以及对应法则是否相同，即可得到结果．解答：解：对于A，的定义域是{x|x∈R且x≠1}，g（x）=x+1的定义域是R，两个函数的定义域不相同不是相同函数；对于B，f（r）=πr2（r≥0）与g（x）=πx2（x≥0）的定义域都是R，对应法则相同，所以是相同函数；对于C，，且a≠1）函数的定义域R.的定义域是{x|x＞}，两个函数定义域不相同，不是相同的函数；对于D，．两个函数的定义域不相同，不是相同的函数；所以B正确．故选：B．点评：本题考查两个函数是否相同的判定，注意两个函数相同条件：定义域与对应法则相同．基本知识的考查．4．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣）]=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：先求出，得到f[f（﹣）]=，求出函数值．解答：解：∵，f[f（﹣）]==故选A．点评：本题考查分段函数求值问题，关键是判定出自变量属于那个范围，属于一道基础题．5．（5分）P={（x，y）|x+y=5，x∈N*，y∈N*}，则集合的非空子集的个数是（）A．3B．4C．15 D．16考点：子集与真子集．专题：集合．分析：根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数，然后除去空集即可得到集合A的非空子集的个数．解答：解：因集合P={（x，y）|x+y=5，x，y∈N*}，故P{（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}，所以集合P有4个元素，故P的非空子集个数是：24﹣1=15．故选C．点评：解得本题的关键是掌握当集合中元素有n个时，非空子集的个数为2n﹣1．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．6．（5分）设a=90.8，b=270.45，c=（）﹣1.5，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＞c＞b D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：考察指数函数y=3x在R上的单调性即可得出．解答：解：∵指数函数y=3x在R上的单调递增，a=90.8=31.6，b=270.45=31.35，c=（）﹣1.5=31.5，∴a＞c＞b．故选：C．点评：本题考查了指数函数的单调性，属于基础题．7．（5分）若函数f（x）=x2+4x+6，则f（x）在[﹣3，0）上的值域为（）A．[2，6]B．[2，6）C．[2，3]D．[3，6]考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：本题利用二次函数的单调性和图象研究函数的值域，得到本题结论．解答：解：∵函数f（x）=x2+4x+6，∴当x∈[﹣3，0）时，函数f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递减，函数f（x）在区间[﹣2，0）上单调递增．∵f（﹣2）=2，f（﹣3）=3，f（0）=6，∴2≤f（x）＜6．故选B．点评：本题考查了二次函数的单调性、图象和函数的值域，本题难度不大，属于基础题．8．（5分）若不等式|2x﹣1|≤3的解集恰为不等式ax2+bx+1≥0的解集，则a+b=（）A．0B．2C．﹣2 D．4考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：解绝对值不等式|2x﹣1|≤3可得﹣1≤x≤2，进而可得不等式ax2+bx+1≥0的解集为{x|﹣1≤x≤2}，由二次方程和二次不等式的关系可得a＜0且﹣1+2=，且﹣1×2=，解得a和b相加即可．解答：解：解不等式|2x﹣1|≤3可得﹣1≤x≤2，∴不等式ax2+bx+1≥0的解集为{x|﹣1≤x≤2}，∴a＜0且﹣1+2=，且﹣1×2=，解得a=且b=，∴a+b=0，故选：A点评：本题考查绝对值不等式和一元二次不等式，属基础题．9．（5分）计算：（log213）3+（log217）3+3log213log217=（）A．0B．1C．﹣1 D．2考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用立方和公式、完全平方和公式和对数去处法则求解．解答：解：（log213）3+（log217）3+3log213log217=（log213+log217）[（log213）2+（log217）2﹣log213log217]+3log213log217=（log213）2+（log217）2+2log213log217=（log213+log217）2=1．故选：B．点评：本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数运算法则的合理运用．10．（5分）定义在R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则f（x）＜3的解集为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由偶函数性质得：f（﹣x）=f（x），则f（x）＜3可变为f（|x|）＜3，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x|的范围，再求x范围即可．解答：解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x|）=f（x），则f（x）＜3可化为f（|x|）＜3，即|x|2﹣2|x|＜3，（|x|+1）（|x|﹣3）＜0，所以|x|＜3，解得﹣3＜x＜3，所以不等式f（x）＜3的解集是（﹣3，3）．故选：A．点评：本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键11．（5分）若函数f（x）=在（0，+∞）上是增函数，则a的范围是（）A．（1，2]B．[1，2）C．[1，2]D．（1，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：分别考虑各段的单调性，可得﹣0，a＞1，1a﹣2≤a1﹣a，解出它们，求交集即可．解答：解：由于f（x）=x2+ax﹣2在（0，1]递增，则有﹣0，解得，a≥0，再由x＞1为增，则a＞1，再由增函数的定义，可知：1a﹣2≤a1﹣a，解得，a≤2．则有1＜a≤2．故选A．点评：本题考查分段函数的单调性和运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．12．（5分）设f为（0，+∞）→（0，+∞）的函数，对任意正实数x，f（5x）=5f（x），f（x）=2﹣|x﹣3|，1≤x≤5，则使得f（x）=f（665）的最小实数x为（）A．45 B．65 C．85 D．165考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：实际上，此题类似于“周期函数”，只是这个“周期”是每次五倍增大变化的，要求其解析式，只需将x化归到[1，5]上即可．而与f（665）相等的也不止一个，为此我们只需找到相应的那个区间即可求出来．解答：解：∵f（5x）=5f（x），∴f（x）=，∴f（665）=54f（1.064）=40，同理f（x）==当当n=2时，找的第一个符合前面条件的x=65；当当n=2时找到最小的x=85符合前面条件．综上，当x=65时满足题意．故选B．点评：本题应属于选择题中的压轴题，对学生的能力要求较高，解决问题的关键在于如何将f（665）转化到[1，5]上求出它的函数值，二是如何利用方程思想构造方程，按要求求出x 的值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）A={x|x2﹣x﹣2=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则a=0，﹣1，．考点：交集及其运算．分析：根据题意，由A∩B=B，可得B是A的子集，求出集合A，可得A的子集有∅、{﹣1}、{2}、{﹣1，2}，分4种情况讨论可得a的取值，据此解答即可．解答：解：根据题意，若A∩B=B，则B⊆A，即B是A的子集，A={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，其子集有∅、{﹣1}、{2}、{﹣1，2}，B=∅，即ax﹣1=0无解，分析可得a=0，B={﹣1}，即ax﹣1=0的解为﹣1，有﹣a﹣1=0，则a=﹣1，B={2}，即ax+1=0的解为2，有2a﹣1=0，则a=，B={﹣1，2}，ax﹣1=0最多有1解，不合题意，故答案为：0，﹣1，．点评：本题考查集合的运算，关键是由A∩B=B得出B⊆A，注意B可能为空集．14．（5分）已知3a=2，9b=5，则27=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得a=log32，b=log95，由此能求出27．解答：解：∵3a=2，9b=5，∴a=log32，b=log95，∴27==64÷5=．故答案为：．点评：本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质和运算法则的合理运用．15．（5分）已知f（x+）=x2+﹣4，则函数f（x）的表达式为f（x）=x2﹣6，（x≥2或x≤﹣2）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，化简f（x+）=x2+﹣4=（x+）2﹣6，从而写出函数f（x）的表达式．解答：解：由f（x+）=x2+﹣4=（x+）2﹣6得，f（x）=x2﹣6，（x≥2或x≤﹣2）．故答案为：f（x）=x2﹣6，（x≥2或x≤﹣2）．点评：本题考查了函数的解析式的求法，属于基础题．16．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=10x，则f（1），f（2），g（3）从小到大的顺序为g（3）＜f（1）＜f（2）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的性质求出f（x）和g（x）的表达式即可得到结论．解答：解：∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=10x，∴f（﹣x）﹣g（﹣x）=10﹣x，即﹣f（x）﹣g（x）=10﹣x，两式联立解得f（x）=，g（x）=，则g（3）＜0，f（x）为增函数，即f（2）＞f（1）＞0＞g（3），故g（3）＜f（1）＜f（2），故答案为：g（3）＜f（1）＜f（2）点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性求出f（x）和g（x）的表达式是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）A={x||x﹣3|＜1}，B={x|＞0}，求A∪B，A∩（∁R B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的并集，求出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣3＜1，即2＜x＜4，∴A=（2，4），由B中不等式解得：x＞3或x＜1，即B=（﹣∞，1）∪（3，+∞），∴∁R B=[1，3]，则A∪B=（﹣∞，1）∪（2，+∞），A∩（∁R B）=（2，3]．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．（12分）判断函数f（x）=2x2﹣在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：f（x）在（0，+∞）上为增函数．运用单调性定义证明，注意作差、必须、定符号和下结论几个步骤．解答：解：f（x）在（0，+∞）上为增函数．理由如下：设0＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=2m2﹣﹣2n2=2（m﹣n）（m+n）﹣=（m﹣n）（2m+2n），由于0＜m＜n，则m﹣n＜0，2m+2n＞0，则f（m）＜f（n），则有f（x）在（0，+∞）上为增函数．点评：本题考查函数的单调性和判断，考查运用定义证明单调性的方法，考查运算能力，属于基础题．19．（12分）解关于x的不等式≤1，（其中a为常数）并写出解集．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：要求的不等式即即≥0，即．再分a＞0、a=0、a＜0三种情况，分别求得它的解集．解答：解：不等式≤1，即≥0，即．当a＞0时，2+a＞2，求得不等式的解集为{x|x＜2，或x≥a+2}；当a=0时，2+a=2，求得不等式的解集为{x|x≠2}；当a＜0时，2+a＜2，求得不等式的解集为{x|x＞2，或x≤a+2}．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．20．（12分）求下列函数的值域：（Ⅰ）y=（x＞0）；（Ⅱ）y=3x+4﹣．考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由函数式，解出x，令x＞0，解出即可得到值域；（Ⅱ）令=t（t≥0），则x=，化函数为t的二次函数，运用二次函数的值域的求法，即可得到所求值域．解答：解：（Ⅰ）由于y=（x＞0），则x=＞0，解得，﹣，则值域为（﹣，）；（Ⅱ）令=t（t≥0），则x=，则有y=+4﹣t=（t﹣）2﹣，由于t≥0，则当t=，y取最小值﹣．则值域为[﹣，+∞）．点评：本题考查函数的值域求法，考查换元法和反解法求值域的方法，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）为R上的奇函数，且f（1）=．（Ⅰ）解不等式：f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0；（Ⅱ）若当x∈[﹣1，1]时，b x+1＞a2x﹣1恒成立，求b的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0与f（1）=联立方程组解出函数的解析式f（x）=3x﹣3﹣x，然后判断出函数的单调性，综合利用奇偶性和单调性去函数符号求解；（Ⅱ）先解出b，然后将恒成立问题转化为最值问题求解．解答：解：由函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，得k﹣1=0，解得k=1，则f（x）=a x﹣a﹣x，又∵f（1）=，即a﹣a﹣1=，解得a=﹣（舍去）或a=3，∴f（x）=3x﹣3﹣x，函数y=3x和y=﹣3﹣x都是R上的增函数，则f（x）=3x﹣3﹣x为R上的增函数，（Ⅰ）不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0移项得f（x2+2x）＞﹣f（x﹣4），∵函数f（x）=3x﹣3﹣x在R上为奇函数，∴f（x2+2x）＞f（4﹣x），∵函数f（x）=3x﹣3﹣x在R上为增函数，∴x2+2x＞4﹣x，解之得x＞1，或x＜﹣4．（Ⅱ）由题意得，当x∈[﹣1，1]时，b x+1＞32x﹣1恒成立，即b＞3恒成立，令y=3=3，由复合函数性质可知x∈[﹣1，1]时，函数单调递增，则x=1时，函数取得最大值，故b的取值范围是b．点评：本题考察函数的单调性和奇偶性求解不等式，和恒成立问题，解题的难点是在（Ⅱ）中解出b，然后转化．22．（12分）已知函数f（x）=2x|2x﹣a|+b．（Ⅰ）当a=1，b=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当a=b=4时，若f（x）=5，求x的值；（Ⅲ）若b＜﹣4，且b为常数，对于任意x∈（0，2]，都有f（log2x）＜0成立，求a的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）当a=1，b=0时，根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）当a=b=4时，若f（x）=5，解方程即可求x的值；（Ⅲ）根据不等式的解法，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）当a=1，b=0时，f（x）=2x|2x﹣1|．∵f（1）=2，f（﹣1）=，∴f（﹣1）≠﹣f（1），f（﹣1）≠f（1），故函数f（x）为非奇非偶函数；（Ⅱ）当a=b=4时，若f（x）=5，则f（x）=2x|2x﹣4|+4=5．即2x|2x﹣4|=1．若2x﹣4≥0，即x≥2，则等价为2x（2x﹣4）﹣1=0．即（2x）2﹣4•2x﹣1=0解得2x=2+，即；若2x﹣4＜0，即x＜2，则等价为﹣2x（2x﹣4）﹣1=0．即（2x）2﹣4•2x+1=0解得2x=2﹣，即，综上或；（Ⅲ）不等式等价于，根据函数的单调性，的最大值为，的最小值为，所以．点评：本题主要考查函数奇偶性的定义以及对数方程的解法是解决本题的关键．。

2014—2015学年上学期高一年级（数学）学科 期末测试题考试时间：100分钟 试卷满分:100分一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．1．设集合{1234}U =，，，，{13}A =，，{34}B =，，则C U ()A B = （ ）A ．{134}，，B ．{14}，C ．}2{D ．}3{2．函数()f x =（ ）A ．(1)-+∞，B ．(1)-∞，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．cos 2010=（ ）A ．12-B ．C ．12D 4．在ABC ∆中，若1sin 2A =，则A =（ ）A ．30B ．60C ．30或150D ．60或1205．下列函数中是幂函数的为（ ）A ．21xy =B ．22x y =C ． x x y +=2D ．1=y6．已知函数2(3)log f x =(1)f 的值为 （ ）A ．21B ． 1C ．5log 2D ． 27．将函数x y 2sin =的图象先向左平行移动6π个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（ ）A ．1)62sin(+-=πx y B ．1)32sin(+-=πx y C ．1)62sin(++=πx yD ．1)32sin(++=πx y8．2sin31cos31a =和sin 28cos35cos 28sin35b =+之间的大小关系是 （ ） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．不能确定9．设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =+，log 2a p a =，则m n p ，，的大小关系是A ．n m p >>B ．m p n >>C ．m n p >>D ．p m n >>10．函数y ＝cos x ·|tan x | ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2 的大致图象是( )11．在锐角ABC ∆中，若31tan ,55sin ==B A ，则=+B A （ ） 434.ππ或A 4.πB 43.πC 22.D 12．下列不等式中，正确的是（ ）A ．tan513tan413ππ< B ．sin )7cos(5ππ-> C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．cos )52cos(57ππ-< 13．函数]0,[),3sin(2)(ππ-∈-=x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．]65,[ππ-- B ．]6,65[ππ-- C ．]0,3[π- D ．]0,6[π- 14．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32 C ．1 D.1215．若10sin 3cos =-αα，则=αtan （ ） A ．3； B ．53-; C ．3-; D ．8316．定义在R 上的函数满足，当时，，则（*** ）A ．B ．C ．)45(tan)6(tanππf f < D ． 17．函数()tan f x x x =-在区间[22]ππ-，上的零点个数是 （ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．9个NMDCBA18．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图1，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时，水的体积为'V ，则函数'()V f h =的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题共4小题，每小题4分，共16分．11. 已知扇形的弧长和面积的数值都是2，则其圆心角的正的弧度数为________.12．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，则M ∩N =____. 13．如图,在正方形ABCD 中,M 是边BC 的中点,N 是边CD 的中点,设α=∠MAN ,那么αsin 的值等于_______***_____.14．若10≠>a a 且，则函数1)1(log +-=x y a 的图象恒过定点 .15．设()f x 是()-∞+∞，上的奇函数，()(3)0f x f x ++=，当01x ≤≤时，()21x f x =-， 则=)5.5(f .16．在下列结论中：①函数)sin(x k y -=π()k Z ∈为奇函数； ②函数44sin cos y x x =-的最小正周期是2π； ③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为23x π=-； ④函数1sin(+)23y x π=在[22]ππ-，上单调减区间是5[2][2]33ππππ-- ，，. 其中正确结论的序号为 把所有正确结论的序号都．填上．. 三、解答题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本题满分8分．已知集合{}|34A x x =-≤≤，{}22|132B x m x m =-≤≤-，且A B A = ，求实数m 的取值范围.图118．（本题满分10分）已知角α的终边经过点(3,4)P -，(1) 求sin()cos()tan()πααπα-+-+的值; （2）求1sin 2cos 212αα++的值．19．（本题满分10分）已知函数)sin()(φx ωA x f +=)22,0,0(πφπωA <<->>一个周期的图象如图所示。

高一上学期数学期中考试试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}220A x x x =->，{B x x =<<，则A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆2.如图所示，曲线1234,,,C C C C 分别为指数函数,,x xy a y b ==,x x y c y d ==的图象， 则d c b a ,,,与1的大小关系为A ．d c b a <<<<1B ．c d a b <<<<1C ．1b a c d <<<<D ．c d b a <<<<13.函数()f x =A.(]3,0-B.(]3,1-C.()(],33,0-∞--D.()(],33,1-∞--4.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 Ａ.1- Ｂ.0 Ｃ.1 Ｄ.25.已知0.80.80.70.7, 1.1, 1.1a b c ===，则c b a ,,的大小关系是Ａ.c b a << Ｂ.c a b << Ｃ.a c b << Ｄ.a c b << 6.已知函数)(x f 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，则()f x 的解析式为A.()33xxf x -=- B.33()2x x f x --= C.()33x xf x -=- D.33()2x x f x --=7.已知函数221,1,(),1,xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))f f =4a ，则实数a =A.12 B. 45C. 2D. 9 8.关于x 的方程22230x x a a -+--=的两个实根中有一个大于1，另一个小于1，则实数a 的取值范围为A ．13a -<<B ．31a -<<C ．3a >或1a <-D ．132a -<< 9.函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是A ．02k <<B ．04k ≤≤C ．04k <<D ． 04k ≤<10.函数()f x =A ．(),2-∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,+∞ 11.若函数()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是减函数，又(3)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为 A ．()3,3- B ．()(),33,-∞-+∞ C ．()()3,03,-+∞D ．()(),30,3-∞-12.已知函数()(1)(0)f x x ax a =-≠，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若33,44A ⎛⎫-⊆ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是 A.()1,20,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.(]1,20,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.()()2,01,-+∞D.[)[)2,01,-+∞第Ⅱ卷 （非选择题90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算：1100.532131(4)(3)(2)(0.01)284--⨯+=_______________．14.函数224x x y x-+=([1,3])x ∈的值域为_______________．15.已知函数()y f x =是偶函数，当0x <时，()(1)f x x x =-，那么当0x >时，()f x =_____________．16.对实数a 和b ，定义新运算,2,, 2.a ab ab b a b -≤⎧=⎨->⎩设函数22()(2)(2)f x x x x =--，x R ∈．若关于x 的方程()f x m =恰有两个实数解，则实数m 的取值范围是______________．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）求值：2lg10lg 5--.18.（本小题满分12分）若集合{}21|21|3,2,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭求（1）A B ；（2）()RA B ð.19．（本小题满分12分）已知函数1010()1010x xx xf x ---=+．（1）判断()f x 的奇偶性； （2）求函数()f x 的值域． 20．（本小题满分12分）已知函数()f x 满足：对任意的实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x >．（1）证明：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若(3)mf f <，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()423xxf x a =+⋅+,a R ∈.（1）当4a =-时，且[]0,2x ∈，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,+∞上有两个不同实根，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数()()2f x x a x =--，()22xg x x =+-，其中a R ∈.（1）写出()f x 的单调区间（不需要证明）；（2）如果对任意实数[]0,1m ∈，总存在实数[]0,2n ∈，使得不等式()()f m g n ≤成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案一、选择题：BBABC DCADB CB二、填空题：13．110；14．[2,3]；15．(1)x x -+；16．{|3,m m <-或2,m =-或10}m -<<． 三、解答题： 17．原式=()211lg 21lg512lg 222⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=()()2211lg 21lg 222+-=1． (10)分18．{|3213}{|12}A x x x x =-<-<=-<<，455{|0}{|,34x B x x x x -=<=<-或3}x >．……4分（1）5{|1}4AB x x =-<<； …………7分（2）5{|3}4R B x x =≤≤ð，∴(){|13}R A B x x =-<≤ð．…………12分19．（1）()f x 的定义域为R ，∵1010()()1010x x xxf xf x ----==-+，∴()f x 是奇函数． …………4分（2）令10x t =，则0t >，∴2221121111t t t y t t t t--===-+++ …………8分 ∵0t >，∴211t +>，∴21011t <<+，即221111t -<-<+．∴函数()f x 的值域为(1,1)-． …………12分 20．（1）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，有21()0f x x ->． ∴22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-+>，即12()()f x f x <． ∴函数()f x 在R 上单调递增． …………6分（2）由（1）知，3m <3233m<，解得32m <． ∴实数m 的取值范围3(,)2-∞． …………12分21．（1）当4a =-时，令2xt =，则[1,4]t ∈，2243(2)1y t t t =-+=--当2t =时，min 1y =-；当4t =时，max 3y =．∴函数()f x 的值域为[1,3]-． …………6分 （2）令2x t =，由0x >知1t >，且函数2x t =在(0,)+∞单调递增． ∴原题转化为方程230t at ++=在(1,)+∞上有两个不等实根．设2()3g t t at =++，则012(1)0a g ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩，即2120240a a a ⎧->⎪<-⎨⎪+>⎩，解得4a -<<-∴实数a的取值范围是(4,--． …………12分 22．（1）()(2),2,()()(2), 2.x a x x f x x a x x --≥⎧=⎨---<⎩①当2a =时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，()f x 无减区间； …………1分②当2a >时，()f x 的递增区间是(,2)-∞,2(,)2a ++∞；()f x 的递减区间是2(2,)2a +；………3分 ③当2a <时，()f x 的递增区间是2(,)2a +-∞,(2,)+∞，()f x 的递减区间是2(,2)2a +．………5分 （2）由题意，()f x 在[0,1]上的最大值小于等于()g x 在[0,2]上的最大值．当[0,2]x ∈时，()g x 单调递增，∴max [()](2)4g x g ==． …………6分 当[0,1]x ∈时，2()()(2)(2)2f x x a x x a x a =---=-++-． ①当202a +≤，即2a ≤-时，max [()](0)2f x f a ==-． 由24a -≤，得2a ≥-．∴2a =-； …………8分②当2012a +<≤，即20a -<≤时，2max 244[()]()24a a a f x f +-+==． 由24444a a -+≤，得26a -≤≤．∴20a -<≤； …10分③当212a+>，即0a>时，max[()](1)1f x f a==-．由14a-≤，得3a≥-．∴0a>．综上，实数a的取值范围是[2,)-+∞．…………12分。

黑龙江省哈师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）集合B={x||x﹣1|＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．[1，4）C．（﹣2，﹣1）∪[1，4）D．（﹣2，4）2．（5分）下列函数在（1，+∞）上为增函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=x+C．y=D．y=x（2﹣x）3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=24．（5分）已知点P在角的终边上，且|OP|=4，则P点的坐标为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=（x≥3）的值域是（）A．（0，1] B．[﹣1，0）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1] 6．（5分）设a=log0.34，b=log0.30.2，（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a7．（5分）已知偶函数f（x）满足f（﹣1）=0，且在区间[0，+∞）上为减函数，不等式f（log2x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．D．8．（5分）已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0），若，，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．10．（5分）f（x），g（x）都是定义在R上且不恒为0的函数，下列说法不正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则y=|f（x）|为偶函数B．若f（x）为偶函数，则y=﹣f（﹣x）为奇函数C．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则 y=f[g（x）]为偶函数D．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则y=f（x）+g（x）非奇非偶11．（5分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如下，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k的零点有2个，则k的取值范围（）A．（1，2] B．（0，1] C．（1，3] D．（1，+∞）二．填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）=．14．（5分）在△ABC中，，则cosC=．15．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足 f（2x）=2f（x），当x∈[1，2）时，f （x）=x2，则 f（10）=．16．（5分）定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是．三．解答题：（共70分）17．（10分）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．20．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD 交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）是奇函数，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）．当x＜0时，f（x）=．（e为自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．黑龙江省哈师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）集合B={x||x﹣1|＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．[1，4）C．（﹣2，﹣1）∪[1，4）D．（﹣2，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求解分式不等式化简集合A，求解绝对值的不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．解答：解：由，得x＜﹣1或x≥1．∴={x|x＜﹣1或x≥1}．B={x||x﹣1|＜3}={x|﹣2＜x＜4}，则A∩B=（﹣2，﹣1）∪[1，4）．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，是基础题．2．（5分）下列函数在（1，+∞）上为增函数的是（）A．y=﹣|x﹣1| B．y=x+C．y=D．y=x（2﹣x）考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：举反例说明A，B在（1，+∞）上不是增函数，由二次函数的性质说明y=x（2﹣x）在（1，+∞）上不是增函数，利用函数单调性的定义证明函数y=在（1，+∞）上为增函数．解答：解：对于函数y=f（x）=﹣|x﹣1|，∵f（2）=﹣1，f（3）=﹣2，f（3）＜f（2），∴y=﹣|x﹣1|在（1，+∞）上不是增函数；对于y=f（x）=x+，∵f（）=，f（）=，f（）＜（），∴y=x+在（1，+∞）上不是增函数；对于y=x（2﹣x）=﹣x2+2x，图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x=1，在（1，+∞）上为减函数；对于y=，在（1，+∞）上任取两个实数x1，x2，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==．∵x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，∴＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．∴y=在（1，+∞）上为增函数．故选：C．点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，关键是掌握单调性证明的步骤，是基础题．3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y=tanx的值域，得D项正确．由此可得本题的答案．解答：解：∵指数函数y=2t的值域为（0，+∞）∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0＜1∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B点评：本题给出含有量词的几个命题，要求找出其中的假命题．着重考查了基本初等函数的值域、对数的运算和不等式的性质等知识，属于基础题．4．（5分）已知点P在角的终边上，且|OP|=4，则P点的坐标为（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义和题意分别求出P点的横坐标、纵坐标即可．解答：解：设P点的坐标为（x，y），由三角函数的定义得，x=|OP|cos=4×（﹣）=﹣2，y=|OP|sin=4×=﹣2，则P（﹣2，﹣2），故选：A．点评：本题主要考查三角函数的定义的应用，属于基础题．5．（5分）函数y=（x≥3）的值域是（）A．（0，1] B．[﹣1，0）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据符合函数的单调性得到函数为增函数，问题得以解决．解答：解：设g（x）==1+，x≥3，因为函数g（x）为减函数，g（x）max=g（3）=2，所以g（x）=1+＞1，又因为y=x为减函数，所以y=g（x）为增函数，所以y min=2=﹣1，y max=0，故函数的值域为[﹣1，0）故选：C．点评：本题主要考查了复合函数的单调性，属于基础题．6．（5分）设a=log0.34，b=log0.30.2，（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数和对数的性质即可判断解答：解：由指数和对数函数的性质得：＜1，b=log0.30.2＞1，而y=log0.3x为底数是0.3＜1的对数函数且是减函数，由4＞0.2得到，log0.30.2＞log0.34，所以b＞c＞a，故选：B点评：考查学生灵活运用指数和对数函数的性质及利用对数函数的增减性比较大小，学生做题时应利用函数思想进行比较大小．7．（5分）已知偶函数f（x）满足f（﹣1）=0，且在区间[0，+∞）上为减函数，不等式f（log2x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．D．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，转化为﹣1＜log2x＜1或log2x＞﹣1，即可求出不等式f（log2x）＞0的解集．解答：解：根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，∴转化为﹣1＜log2x＜1或log2x＞﹣1，∴＜x＜2，故选：C．点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，本题考查到了转化的思想．8．（5分）已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0），若，，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得≥，解得ω的范围即可．解答：解：由题意可知f（x）图象的一个最高点为（，3），其中一个平衡位置为（，0），两者的水平距离至少为四分之一周期，∴≥，解得ω≥2∴ω的最小值为2故选：A点评：本题考查三角函数的图象和性质，得出≥是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由已知sinθ+cosθ=，可得2sinθcosθ=﹣，sinθ﹣cosθ=，从而可求tan2θ的值．解答：解：已知sinθ+cosθ=，有1+sin2θ=，解得2sinθcosθ=﹣，sinθ﹣cosθ==，则tan2θ===﹣．故选：C．点评：本题主要考察二倍角的正切公式的应用，属于基础题．10．（5分）f（x），g（x）都是定义在R上且不恒为0的函数，下列说法不正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则y=|f（x）|为偶函数B．若f（x）为偶函数，则y=﹣f（﹣x）为奇函数C．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则 y=f[g（x）]为偶函数D．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则y=f（x）+g（x）非奇非偶考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇偶函数的定义分别判断解答．解答：解：对于A，若f（x）为奇函数，则|f（﹣x）|=|﹣f（x）|=|f（x）|，所以y=|f （x）|为偶函数；正确；对于B，若f（x）为偶函数，则﹣f（﹣x）=﹣f（x），与y=﹣f（﹣x）关系不确定，所以B 错误；对于C，若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则 f[g（﹣x）]=f[g（x）]，所以y=f[g（x）]为偶函数；C正确；对于D，若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x），所以函数y=f（x）+g（x）是非奇非偶；所以D正确．故选：B．点评：本题考查了函数的奇偶性的判断；在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，若相等，则f（x）是偶函数；若相反，则是奇函数．11．（5分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如下，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象可得A=2，由周期可得ω=2，又图象过点（，0），可得φ的方程，解得φ可得．解答：解：由图象可得A=2，=﹣，解得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），又图象过点（，0），∴2sin（+φ）=0，∴+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z当k=1时，φ=，∴f（x）=2sin（2x+），故选：C点评：本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．12．（5分）函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k的零点有2个，则k的取值范围（）A．（1，2] B．（0，1] C．（1，3] D．（1，+∞）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）只有2个交点，数形结合求得k 的范围．解答：解：令g（x）=f（x）﹣kx+k=0，∴f（x）=k（x﹣1），令h（x）=k（x﹣1），画出函数f（x），g（x）的图象，如图示：，直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当 0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=2﹣∈（﹣1，2），∴1＜k≤2，故选：A．点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．二．填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的诱导公式化为锐角的三角函数．解答：解：cos=cos（4π+）=cos=cos（）=﹣cos=﹣；故答案为：．点评：本题考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值；关键是熟练诱导公式．14．（5分）在△ABC中，，则cosC=．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：由cosB的值利用同角三角函数间的关系求出sinB，然后再根据sinA的值，由B为锐角，得到A可为锐角或钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA，把所求的cosC利用诱导公式及两角和的余弦函数公式化简后，将各项的值代入即可求出值．解答：解：在△ABC中，，则sinB==，由于＞，即sinA＞sinB，则由正弦定理，可得a＞b即有A＞B，而B为锐角，则A可为锐角或钝角，则cosA==，故cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=或=×+×=．故答案为：．点评：本题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系，以及两角和的余弦公式化简求值，解题的关键点是判断角的范围得到符合题意的解．15．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足 f（2x）=2f（x），当x∈[1，2）时，f （x）=x2，则 f（10）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数f（x）满足 f（2x）=2f（x），可得f（10）=2 f（5）=4f（）=8f（），结合当x∈[1，2）时，f（x）=x2，可得答案．解答：解：∵当x∈[1，2）时，f（x）=x2，∴f（）=，又∵函数f（x）满足 f（2x）=2f（x），∴f（10）=2 f（5）=4f（）=8f（）=，故答案为：点评：本题考查的知识点是函数的值，其中根据分析出f（10）=2 f（5）=4f（）=8f（），是解答的关键．16．（5分）定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是a＜﹣．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：根据函数的单调区间求出a，b，c的关系，然后利用导数研究三次函数的极值，利用数形结合即可得到a的结论．解答：解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），∵a＜0，∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，∴要使使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根，此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），f极小（﹣1）＜﹣1＜f极大（1），即2a＜1＜﹣2a，且2a＜﹣1＜﹣2a，即，且，解得即a且a，故答案为：a．点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．利用导数研究函数的极值是解决本题的突破点．三．解答题：（共70分）17．（10分）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．解答：解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S△ABC=acsinB=×××=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．考点：二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）将函数f（x）化简得f（x）=sin（2x﹣）．从而可求单调递增区间；（2）由函数的图象可知，f（x）在区间上单调递增，在[，]单调递减，当x=时取最大值，当x=时，取最小值﹣1．解答：解：（1）f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1=2sinxcosx﹣2cos2x+1=sin2x﹣cos2x=sin （2x﹣）．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得kπ﹣≤x≤kπ+，所以，函数f（x）的单调递增区间为：．（2）函数f（x）的单调递减区间为：．由函数的图象可知，f（x）在区间上单调递增，在[，]单调递减，当x=时取最大值，当x=时，取最小值﹣1，故．点评：本题主要考察二倍角的正弦和复合三角函数的单调性，属于中档题．20．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD 交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；向量法；空间位置关系与距离．分析：（1）结合已知由直线和平面垂直的判定定理可证PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又AF⊥PC，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；（2）设AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30°则PC=2，PD=，由（1）知，CF⊥DF，则DF=，AF==，即有CF==，又EF∥CD，则==，则有DE=，同理可得EF=CD=，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0），设=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则，，则有，令x=4可得z=，则=（4，0，），设平面ACF的一个法向量为=（k，l，r），则，，则有，令l=4，可得r=4，k=，则=（，4，4），设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ，则θ为钝角，则cosθ=﹣|cos＜，＞|=﹣||=﹣．点评：本题考查空间直线与平面垂直的性质和判定，考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）是奇函数，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）．当x＜0时，f（x）=．（e为自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求出x＞0时的解析式，确定f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，利用函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，即可求实数a的取值范围；（2）令，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求出g（x）min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围．解答：解：x＞0时，…（3分）（1）当x＞0时，有，f'（x）＞0⇔lnx＜0⇔0＜x＜1；f'（x）＜0⇔lnx＞0⇔x＞1所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．由题意a＞0，且，解得所求实数a的取值范围为…（6分）（2）当x≥1时，令，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立…（8分）令h（x）=x﹣lnx（x≥1），则，当且仅当x=1时取等号．所以h（x）=x﹣lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0因此，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=2．…（10分）所以k≤2．所以所求实数k的取值范围为（﹣∞，2]…（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx，（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）=log4（a•2x﹣a）有且只有一个根，求实数a的取值范围．考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据偶函数可知f（x）=f（﹣x），取x=﹣1代入即可求出k的值；（Ⅱ）根据方程有且只有一个实根，化简可得有且只有一个实根，令t=2x＞0，则转化成新方程有且只有一个正根，结合函数的图象讨论a的取值，即可求出实数a的取值范围．解答：解：（I）由题意得f（﹣x）=f（x），即，化简得，…（2分）从而4（2k+1）x=1，此式在x∈R上恒成立，∴…（6分）（II）由题意，原方程化为且a•2x﹣a＞0即：令2x=t＞0…（8分）函数y=（1﹣a）t2+at+1的图象过定点（0，1），（1，2）如图所示：若方程（1）仅有一正根，只有如图的三种情况，可见：a＞1，即二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式（2），…（10分）当二次函数y=（1﹣a）t2+at+1的开口向上，只能是与x轴相切的时候，此时a＜1且△=0，即也满足不等式（2）综上：a＞1或…（12分）点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，数形结合的思想．属于中档题．。

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案） 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2014—2015学年度上学期第一次月考高一数学试题第I 卷（选择题 共60分） 2014.10一、选择题（本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D.2. 已知函数)(x f 的定义域为]2,0[，则函数的定义域为（ ）A .}40{≤<x xB .}40{≤≤x xC .D .3.已知集合A 到B 的映射，那么集合B 中象3在A 中对应的原象是（ ）A.0B.C.D.4.已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围为( )A. B. C. D.5．已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则 ( )A ．B ．C ．D ．6. 下列函数与是同一函数的是 （ ）A. B. C. D.7．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )8．已知的图象关于原点对称，且时，,则时， ( )A. B. C. D.9.函数的单调增区间是（ ）A. B. C. D.10.若定义在上的偶函数满足“对任意，且21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f ”，则(2)(3)a fb f =-=与的大小关系为( ) A. B. C. D.不确定11．函数的最大值为（ ）A.-3B.-5C.5D.312. 定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==⋅∈∈，若，，则集合的真子集个数为（ ）A ．15 B.16 C ．31 D ． 32第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13. 已知2{1,},{1}M t N t t ==-+，若，则的值为 。

14. 函数，则函数 .15．函数的值域是 。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2021 学年高一上学期期中考试数学一、选择题：共12 题1．全集,集合,那么A. B. C. D.【答案】 A【解析】此题考查了交、并、补集的混合运算；∵全集 ,集合∴∴.2．以下函数是偶函数并且在区间上是增函数的是A. B.C. D.【答案】 D【解析】此题考查命题真假的判断；在 A 中，是偶函数，在区间上是减函数，故 A 错误；在 B 中，是非奇非偶函数，在区间上是增函数，故 B 错误；在 C 中，是非奇非偶函数，在区间上是增函数，故 C 错误；在 D 中，是偶函数并且在区间上是增函数，故 D 正确 .3．不等式的解集为A. 或B. 或C.或D. 或【答案】 B【解析】此题考查了高次不等式的解法；不等式等价于∴将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图：由图可看出不等式的解集为或.4．函数且恒过定点A. B. C. D.【答案】 D【解析】此题考查指数函数的图象和性质，考查恒过定点问题的求解方法;由得此时∴函数且恒过定点5．以下各组函数中不表示同一函数的是A.B.C.D.【答案】 C【解析】此题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题；A.的定义域是 ,的定义域为定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数B.的定义域都是R ，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；C.的定义域为的定义域为，定义域不同，∴不是同一函数D. 的定义域都是R ，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数.6．函数,那么函数的解析式为A. B. C. D.【答案】 A【解析】此题考查了函数解析式的求法；令,那么∴∴.7．,那么A. B. C. D.【答案】 B【解析】此题主要是考查对数值、指数值比拟大小；∵，，．.8．函数的定义域为,那么函数的定义域为A. B. C. D.【答案】 C【解析】此题考查了求函数的定义域问题，考查不等式问题;∵函数的定义域为∴解得 .9．为定义在实数集R 上的奇函数,且在区间(0,＋∞)上是增函数,又,那么不等式的解集是A. B.C. D.【答案】 D【解析】此题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识;∵为定义在实数集R 上的奇函数,且在区间(0,＋∞)上是增函数又∴在内是增函数∵∴或∴10．函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】 C【解析】此题考查的知识点是复合函数的单调性;函数的定义域为令，那么，∵为增函数，在上为减函数，在上为增函数，故函数的单调递增区间为.11．函数的图象是【答案】 B【解析】此题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用;由得或∴函数的定义域为所以选项 A 、 D 不正确 ;当时 ,是增函数∴是增函数，排除 C.12．定义函数,假设存在常数,对于任意的,存在唯一的,使,那么称函数在上的“均值〞为,,那么函数在上的“均值〞为A. B. C. D.【答案】 B【解析】这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型；由题意，令当时，选定∴.二、填空题：共 4 题13．函数,那么= ________.【答案】 10【解析】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、 y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者；令，那么，由，得所以，所以14．函数的值域为________.【答案】【解析】此题主要考查函数值域的求解，根据根式的性质是解决此题的关键;∵∴则,∴∴∴函数的值域是15．关于的方程有两个不相等的实数解,那么实数的取值范围是 ________.【答案】【解析】此题主要考查方程根的存在性以及个数判断;∵关于的方程有两个不相等的实数解，∴的图象和直线有 2 个交点，当时，，在R 上单调递增，不满足条件，故a＞ 0．当趋于时，的值趋于；当趋于时，的值趋于，故有，那么实数的取值范围为.16．函数在区间上的最大值为,最小值为 ,那么________.【答案】 4【解析】此题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题;∵ 是奇函数，∴而在时取最大值，时取最小值，∴，∴三、解答题：共 6 题17．计算：.【答案】===0【解析】此题考查对数的运算性质; 直接利用对数的运算性质化简得答案.18．集合.(Ⅰ )求集合及；(Ⅱ )假设 ,求实数的取值范围.【答案】 (Ⅰ ),(Ⅱ ),且由 .【解析】此题主要考查了不等式的计算能力和集合的根本运算;(Ⅰ )根据题意化简求出集合，集合．根据集合的根本运算即可求，(Ⅱ )先求出，在根据，建立条件关系即可求实数 a 的取值范围 .19．函数是定义在上的奇函数,当时 ,.(Ⅰ )求；(Ⅱ )求在上的解析式；(Ⅲ )求不等式的解集.【答案】 (Ⅰ )(Ⅱ )当时 ,,.(Ⅲ )①当时 ,,且 .②当时 ,且 .综上：解集为 .【解析】此题考查函数的奇偶性的应用，函数的解析式的求法，不等式的解法; (Ⅰ )利用函数的奇偶性即可求；(Ⅱ )利用函数的奇偶性的性质即可求的解析式；(Ⅲ )利用函数的解析式，列出不等式求解即可.20．函数是奇函数.(Ⅰ )求实数的值；(Ⅱ )用定义证明函数在上的单调性；(Ⅲ )假设对任意的 ,不等式恒成立 ,求实数的取值范围.【答案】 (Ⅰ )∵函数的定义域为R,且是奇函数,∴,解得,此时 ,满足 ,即是奇函数 ,∴.(Ⅱ ) 任取 ,且 ,那么 ,于是 =,即,故函数在上是增函数.(Ⅲ )由及是奇函数 ,知又由在上是增函数,得 ,即对任意的恒成立∵当时 ,取最小值 ,∴ .【解析】此题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性; (Ⅰ )函数的定义域为，且是奇函数，故，解得值；(Ⅱ ) 任取，作差判断与的大小，根据函数单调性的定义，可得函数在上的单调性；(Ⅲ )根据函数的单调性和奇偶性得,即对任意的恒成立，求出的最小值即可.21．二次函数,且.(Ⅰ )求函数的解析式；(Ⅱ )假设函数 ,求函数的最值.【答案】 (Ⅰ )∴∴∴ ,∴ .(Ⅱ )①当时 ,即时 ,当时 ,当时；②当时 ,即时 ,当时 ,当时；③当时 ,即时 ,当时 ,当或 2 时；④当时 ,即时 ,当时 ,当时；⑤当时 ,即时 ,当时 ,当时 .【解析】此题考查的知识点是二次函数的图象和性质；(Ⅰ ) 由中，求出的值，可得函数f〔 x〕的解析式 .(Ⅱ )的图象开口朝上，且以直线为对称轴，由，对对称轴的位置进行分类讨论，可得函数的最值 .22．f ( x)当点在的图象上运动时,点在函数的图象上运动 (). log 2 x ,(Ⅰ )求和的表达式；(Ⅱ )关于的方程有实根,求实数的取值范围；(Ⅲ )设 ,函数的值域为 ,求实数的值 .【答案】 (Ⅰ )由得 ,.由得 ,.(Ⅱ )方程有实根 ,,别离得 .设.(Ⅲ )下面证明在上是减函数任取 ,那么即在上递减 ,故在在上递减,即解得 ,故.【解析】此题主要考查了求函数的解析式以及求利用函数的单调性求函数的值域；(Ⅰ )当点在的图象上运动可得，点在函数的图象上运动可得故再用代即可求出的表达式. (Ⅱ )由 (Ⅰ )可得要使关于的方程有实根，，可得：在有实根, 设，求出的取值范围即可. (Ⅲ )在上是减函数，即可求出的值.。