下载文档原格式
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析 pdf简介：数值分析(Numerical analytical analysis)是通过计算机求解数学模型或计算机辅助设计的数值方法，是采用有限元法分析流体、电磁场、固体、声场和热场等物理量以及求解优化设计的数值方法。
从而得到相应的结果，或者输出这些结果的过程。
数值分析有许多种不同的类别，但主要可以归纳为两大类： 1.数值方法(Numerical method)研究如何将数字表示转换成数学模型的一般规则。
它由三个不同的领域组成，即代数方法(Functoral methods)，微分方程(differential equations)，以及积分方法(integral methods)。
内容介绍：基本概念和理论、微积分及其数值方法。
数值分析(数值方法)是数学中重要的分支之一，它与计算机科学密切相关，它被广泛地应用于许多领域，如金属力学性能、岩土力学性能、化学反应动力学、有限元法、流体力学、电磁场、声学、热传导等。
对于流体的力学性能的研究，一般都是将已知函数(对象)看成在时间上离散，然后利用分析手段处理成的数学模型来研究对象的各种物理性质，这就是数值方法的基本思想。
发展趋势：随着计算机技术、网络技术和控制工程等相关学科的迅速发展，国内外学者对数值分析进行了深入的研究，并取得了丰硕的成果，有关数值方法的新的研究成果层出不穷。
目前，数值方法正朝着有限差分法和有限元法两个方向发展。
1.有限差分法(有限元法)2.有限元法的几个基本原理3.有限差分法的分类4.边界条件的选取5.有限元法在实际工程中的应用6.有限差分法在边界元法中的应用7.边界元法简介8.数值分析方法的共同点8.1基本思想和计算原理(1)网格剖分; (2)节点位移、速度和加速度的分布;(3)自由度的确定(4)约束条件和约束反力;(5)载荷和约束的矩阵表示;(6)载荷、约束和单元刚度矩阵;(7)结构的内力分析。
《数值分析》课程教案数值分析课程教案一、课程介绍本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。
通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。
二、教学目标- 了解数值分析的基本概念和发展历程- 掌握数值计算的基本方法和技巧- 理解数值算法的稳定性和收敛性- 能够利用数值分析方法解决实际问题三、教学内容1. 数值计算的基本概念和方法- 数值计算的历史和发展- 数值计算的误差与精度- 数值计算的舍入误差与截断误差- 数值计算的有效数字和有效位数2. 插值与逼近- 插值多项式和插值方法- 最小二乘逼近和曲线拟合3. 数值微积分- 数值积分的基本原理和方法- 数值求解常微分方程的方法4. 线性方程组的数值解法- 直接解法和迭代解法- 线性方程组的稳定性和收敛性5. 非线性方程的数值解法- 迭代法和牛顿法- 非线性方程的稳定性和收敛性6. 数值特征值问题- 特征值和特征向量的基本概念- 幂迭代法和QR方法7. 数值积分与数值微分- 数值积分的基本原理和方法- 数值微分的基本原理和方法四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。
2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。
3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。
2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。
3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。
六、参考教材1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。
2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。
以上是《数值分析》课程教案的概要内容。
通过本课程的研究，学生将能够掌握数值分析的基本原理和技术，并应用于实际问题的解决中。
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
数值分析简述及求解应用数值分析是数学中的一个重要分支，它研究如何通过数值计算方法来求解各种数学问题。
数值分析的基本任务是通过近似方法，利用计算机或其他计算设备来对数学问题进行求解。
它广泛应用于科学计算、工程技术、金融投资、物理模拟等领域，对现代科学技术的发展起到了重要的推动作用。
数值分析主要包括数值逼近、数值微积分、数值代数和数值方程等几个方面。
数值逼近是指用函数逼近方法来接近所求函数值，主要包括插值多项式、最小二乘拟合、傅里叶级数等。
数值逼近可以用来对实际问题进行模拟和预测，比如天气预报、大气污染预测、经济增长预测等。
数值微积分是数值分析中的重要内容，主要包括数值积分和数值解微分方程。
数值积分是通过数值方法来计算函数积分值，可以应用于对函数面积、体积、积分方程求解等问题的求解。
数值解微分方程则是通过数值方法来求解各种微分方程，可以用来模拟各种实际问题，比如天体力学、流体力学、传热传质等。
数值代数是数值分析的另一个重要分支，主要研究线性代数和矩阵计算的数值方法。
线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算、最小二乘问题的求解等都是数值代数的研究内容。
数值代数广泛应用于科学计算、工程计算和金融计算等领域，为实际问题的求解提供了数值计算的手段。
数值方程是数值分析中的另一个重要领域，主要研究非线性方程、微分方程和偏微分方程的数值求解方法。
非线性方程的数值求解是一个非常重要的研究方向，广泛应用于各种实际问题。
微分方程和偏微分方程的数值求解则可以用来模拟各种科学和工程问题，包括天气预报、地震模拟、流体力学模拟等。
数值分析的应用非常广泛，几乎涵盖了所有科学和工程领域。
比如在物理学中，可以用数值方法求解各种物理方程，包括力学方程、热力学方程、电磁学方程等。
在工程学中，可以用数值方法求解各种工程问题，包括结构分析、流体力学、电磁场分布等。
在金融学中，可以用数值方法计算各种金融模型，包括期权定价、风险评估等。
在计算机科学中，可以用数值方法来进行图像处理、数据挖掘等。
数值分析教案数值分析教案是一份旨在帮助学生深入理解数值分析概念和原理的教学计划。
通过数值分析教案的学习，学生将能够掌握数值计算方法，理解数值误差分析和算法设计等重要内容。
本教案将分为以下几个部分进行讨论与学习：一、数值分析概述数值分析是一门研究用数值方法解决数学问题的学科。
其主要目的是通过数值计算的方法，得到数学、物理或工程问题的近似解。
数值分析的应用领域非常广泛，涵盖了数学、计算机科学、工程等多个学科领域。
二、数值误差分析在进行数值计算时，往往会产生误差。
这些误差可能来源于测量精度、舍入误差、截断误差等多个方面。
了解不同类型的误差对于正确理解数值计算结果至关重要。
三、插值和逼近插值和逼近是数值分析中的重要内容。
插值是指通过一组已知数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处与原函数取值相同；而逼近则是通过多个已知数据点，构造一个函数来近似原函数。
四、数值积分与微分方程数值积分和微分方程是数值分析中的另外两大重要内容。
数值积分是对函数在一定区间上的积分进行数值计算，而微分方程则是研究描述变化的物理现象的数学方程。
五、算法设计算法设计是数值分析中一个至关重要的环节。
一个高效、准确的算法可以大大提高数值计算的效率和精度。
学生需要学会设计和实现各种数值计算算法。
通过本教案的学习，相信学生将对数值分析有更为深入的了解，掌握数值计算方法，提高数学建模和问题求解的能力。
数值分析作为一门重要的学科，对于理工科学生的学习和研究具有重要的指导意义。
愿本教案能够帮助学生打下坚实的数值分析基础，为未来的学习和工作打下良好的基础。
数值分析解决实际问题数值分析是一门研究利用计算机对数学问题进行数值计算的学科，它通过数值方法来解决实际问题，广泛应用于工程、科学、经济等领域。
数值分析的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等，这些方法在解决实际问题时发挥着重要作用。
本文将介绍数值分析在实际问题中的应用，并探讨其在解决实际问题中的重要性和价值。
一、插值法插值法是数值分析中常用的方法之一，它通过已知数据点之间的插值多项式来估计未知数据点的值。
在实际问题中，插值法常用于数据的平滑处理、曲线拟合等方面。
例如，在气象学中，我们需要根据已知的气温数据点来预测未来某一时刻的气温变化，这时可以利用插值法来进行数据的预测和分析。
二、数值积分数值积分是数值分析中的另一个重要方法，它通过数值逼近来计算定积分的近似值。
在实际问题中，数值积分常用于计算曲线下面积、求解物理学中的力学问题等。
例如，在工程学中，我们需要计算某一形状的曲线或曲面的面积或体积，这时可以利用数值积分方法来进行计算。
三、常微分方程数值解常微分方程数值解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解常微分方程的数值解。
在实际问题中，常微分方程数值解常用于模拟物理系统、生态系统等的动态行为。
例如，在生态学中，我们需要研究种群数量随时间的变化规律，这时可以利用常微分方程数值解来模拟和预测种群数量的变化趋势。
四、线性代数方程组求解线性代数方程组求解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解线性代数方程组的解。
在实际问题中，线性代数方程组求解常用于工程、经济等领域的优化问题。
例如，在工程优化中，我们需要确定某一系统的最优参数配置，这时可以利用线性代数方程组求解来进行优化计算。
综上所述，数值分析在解决实际问题中发挥着重要作用，它通过插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等方法来对实际问题进行数值计算和分析，为工程、科学、经济等领域的发展提供了重要支持。
数值分析方法及其应用数值分析是一种以数值计算为基础的数学方法，通过使用计算机和数值算法来解决数学问题。
它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍数值分析的基本概念和常见方法，并探讨其在各个领域中的应用。
一、数值分析方法概述数值分析方法是一种通过数值计算逼近真实结果的方法。
它主要包括离散化、数值逼近、数值求解和误差分析等步骤。
其中，离散化是将连续问题转化为离散问题，数值逼近是用有限的计算步骤得到问题的近似解，数值求解是通过迭代计算等方法求解数学问题，误差分析则是评估数值计算结果与真实结果之间的差异。
二、数值分析方法的常见技术1. 插值和外推：插值是通过已知数据点得到某个离散区间内的其他点的方法，而外推则是通过已知数据点得到某个离散区间外的点的方法。
常见的插值和外推方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
2. 数值积分：数值积分是通过数值方法来计算函数积分的过程。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和高斯积分法等。
3. 数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数导数的过程。
常用的数值微分方法有差分法、微分逼近法和辛普森法则等。
4. 解线性方程组：线性方程组是数值分析中的重要问题，其求解方法包括直接法和迭代法。
直接法包括高斯消元法、LU分解法和高斯-赛德尔迭代法等，而迭代法则主要包括雅可比迭代法和共轭梯度法等。
5. 数值优化：数值优化是一种通过数值方法找到函数的最优解的过程。
常用的数值优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
三、数值分析方法的应用领域1. 工程领域：数值分析方法在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在结构力学中，可以利用有限元法对复杂结构进行分析；在电力系统中，可以利用潮流计算方法优化电力的分配和传输；在流体力学中，可以通过数值模拟方法研究流体的运动和传热。
2. 金融领域：数值分析方法在金融领域中也有着重要的应用。
例如，可以通过数值模拟方法对股票价格、利率和汇率等进行预测和风险评估；在期权定价中，可以利用数值方法计算期权的价值。
第六章 数值积分我们知道，如果函数f (x )在区间[a, b]上连续，且原函数为F (x )，则可用牛顿――莱布尼兹公式)()()(a F b F dx x f ba-=⎰来求得定积分。
然而，对有些函数来说，找到原函数往往很困难，有些原函数不能用初等函数表示出来，例如：dx eax ⎰-02（a 为有限数）还有的被积函数尽管能用初等函数的有限形式表示出来，但表达式过于复杂，也不便使用。
特别是在实际问题中，更多的函数是用表格或图形表示的，对这种函数，更无法用牛顿――莱布尼兹公式求积分。
因此，有必要研究用数值方法求定积分的问题。
这种数值积分方法也是微分方程、积分方程数值解法的基础。
数值积分的基本思想是构造一个简单函数（例如多项式）P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求⎰ban dx x P )( 求得⎰badx x f )(的近似值。
§1 插值型求积公式 设⎰=badx x f I )(*（8.1）插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使⎰=≈ban dx x P I I )(*称（8.1）为插值求积公式。
由拉格朗日插值公式)()()(0k nk k n x f x l x P ∑==代入（8.1），则有)()()()(0k nk bak k nk bak x f dx x l dx x f x l I ⋅==∑⎰∑⎰==记)()(0k nk k bak k x f I dxx l ∑⎰===λλ其中λk 为求积系数，x k 为求积节点。
1．两点公式 构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=[])()()(21)(21)()(21)()()()()()()()(221b f a f a b a b a b b f b a b a a f dx a x a b b f dx b x b a a f dxb f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a ba ba +-=-⨯-+-⨯-=--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--==⎰⎰⎰⎰ （8.2）（8.2）亦称为梯形公式。
2．三点公式以a , 2ba c +=，b 为节点，构造二次插值多项式)())(())(( )())(())(()())(())(()(2b f c b a b c x a x c f b c a c b x a x a f b a c a b x c x x P ----+----+----=)()()())(())(()( ))(())(()())(())(()()(2102b f c f a f dxc b a b c x a x b f dxb c a c b x a x c f dx b a c a b x c x a f dxx P S b a b a ba baλλλ++=----+----+----==⎰⎰⎰⎰其中[])(61)()(2)(31))((1)())((1))(())((1))(())((223320a b a b bc c b a b a b b a c a dx bc x c b x b a c a dx b x c x b a c a dxb ac a b x c x b a b a ba -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⋅-----=++---=----=----=⎰⎰⎰λ类似地，可求得)(64))(())((1a b dx b c a c b x a x ba-=----=⎰λ)(61))(())((2a b dx c b a b c x a x ba-=----=⎰λ得三点公式：[])()(4)(6b fc f a f ab S ++-=（8.3）称（8.3）为辛卜生（Sinpson ）求积公式。
我们也可以类似地构造五点、七点，…，n 点求积公式，在实际运算中，以梯形和Sinpson 公式为常用。
§2 复化求积公式 如果积分区间比较大，直接地使用上述求积公式，精度难以保证。
在高等教学的学习中，曾经介绍过梯形法求积公式，它的几何意义是将积分区间[a, b]分成n 个小区间，对f (x )用分段线性插值，然后积分。
类似地，也可以对f (x )用分段抛物插值。
通常采取的办法是： （1）等分求积区间，比如取步长nab h -=，分[a, b]为n 等分，分点为kh x x k +=0k = 0, 1, 2,…, n（2）在区间 [x k , x k+1]上使用以上求积公式求得I k（3）取和值∑-==1n k kII ，作为整个区间上的积分近似值。
这种求积方法称为复化求积方法。
1．复化梯型公式 由（8.2）[])()(21++=k k k x f x f hI[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+==∑∑∑-=+-=-=)()(2)(2()(211)11010b f x f a f h x f x f hI T n k k k k n k n k k n（8.4）2．复化辛卜生公式将[x k , x k +1]对分，中点记为2121+++=k k k x x x由（8.3）[])()(4)(6121++++=k k k k x f x f x f hI[])()(4)(6110121++-=-=++==∑∑k k k n k n k k n x f x f x f hI S（8.5）例8．1：利用数据表 x k 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1f (x k ) 4 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.265492计算积分dx x I ⎰+=102*14这个问题有明显的答案1415926.3|arctg 410*===πx I取n = 8用复化梯形公式()13899.31872432852212832412812)0(21818=⎥⎦⎤+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=f f f f f f f f f T取n=4,用辛卜生公式()14159.31874432854212834412814)0(61414=⎥⎦⎤+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=f f f f f f f f f S比较T 8 与S 4两个结果，它们却需要调用f 9次，工作量基本相同，但精度差别却很大。
这项计算结果表明，复化辛卜生公式是一种精度较高的求积公式。
为编程序方便，我们将辛卜生公式（8.5）写成[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-=∑=-n k k k x f x f b f a f n a b S 1)()(22)()(321§3 变步长梯形方法 前面介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的。
但是使用复化求积公式之前须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个合适的步长往往又是十分困难的。
下面介绍一种变步长积分法，其基本思想是将区间逐次对分进行计算，用前后两次计算的结果进行估计，若合乎精度要求，就停止计算；否则再次对分，重复以上计算过程，直至达到精度要求为止。
设将区间[a, b] n 等分，共有n + 1个分点，按复化梯形公式计算T n ，需要计算n + 1个f (x )的值，如果将求积区间再次对分，若仍然直接用复化梯形公式计算二分后的积分值 T 2n ，则需要计算2n +1个f(x) 的值。
注意到T 2n 的全部分点中有n + 1个是二分前原有的点，重复计算这些“老分点”上的函数值显然是个浪费。
因此，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑，注意到每个小区间[x k , x k +1]经过二分再增加一个新分点1+k x 后，用复化梯形公式求得该区间上的积分值为：[])()(2)(4121++++=k k k k x f x f x f hI因此有[][]∑∑∑∑-=+-=+-=+++-=+=++=++=110101112)(221)(2)()(4)()(2)(4212121n k k n n k k n k k k k k k n k n x f h T x f h x f x f h x f x f x f hT（8.6）（8.6）式的前一项T n 是二分前的积分值，在求T 2n 时可作为已知值使用，而它的后一项只涉及二分时新增加的分点21+k x ，所要计算f 值的次数为n ，可见递推公式（8.6）由于避免了老节点的重复计算，而使计算量减少了一半。
§4 求积公式的误差现在考虑求积公式的误差。
因为P n (x )是f (x )的n 次插值多项式，所以当)(x f 本身就是次数不超过n 的多项式时，)()(x P x f n ≡，这时，在不考虑舍入误差时，求积公式是精确成立的。
我们来看一下它的舍入误差，此时)()()(*0*k nk k ban b ax f dx x P dx x f I ∑⎰⎰====λ取f (x ) ≡ 1，则a b nk k-=∑=0λ若f (x k )的舍入误差小于ε ，则)()()()()(*0*0*a b x f x f x f x f I I k k n k k k nk k k nk k-<-≤-=-∑∑∑===ελλλ可见，舍入误差对数值积分的影响不大。
因此，在讨论求积公式的误差时，主要考虑截断误差。
1．梯形公式的截断误差在求积区间[a, b]上，设2)(M x f ≤''（M 2 > 0，常数），在a 点附近将f (x )展成泰勒级数b a a x f a x a f a f x f ≤≤-''+-+=ξξ2))((!21))((')()(322*))((61)(')(21)()())((!21))((')()(a b f a f a b a f a b dxa x f a x a f a f dx x f Ib a b a -''+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-''+-+==⎰⎰ξξ另一方面，注意到2))((21))((')()(a b f a b a f a f b f -''+-+=ξ[]322))((41))(('21)()())((21))((')(22)()(2a b f a b a f a f a b a b f a b a f a f a b b f a f ab T -''+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-''+-+-=+-=ξξ3*))((121a b f T I -''-=-ξ 梯形公式的截断误差为：32*)(12a b M T I -≤- 若取nab h -=，对每个小区间[x k , x k +1]用梯形公式()2213110**)(12)()(12112)(h f a b h n a b f h f I I T I n k n k n k k kn ξξξ''--=⋅-''-=⋅''-=-=-∑∑∑-=-=-=复化梯形公式的截断误差限为223*12)(h M a b T I n -≤-2．辛卜生公式的截断误差假设在区间[a, b]上，4)4()(M x f≤（M 4 > 0，常数）在2ba c +=附近，将f (x )展成泰勒级数ba c x f c x c f c x c f c x c f c f x f ≤≤-+-'''+-''+-+=ξξ4)4(32))((!41))((!31))((21))((')()(5)4(34)4(32*2)(601))((31))(())((!41))((!31))((21))((')()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-''+-=⎥⎦⎤-+-'''+⎢⎣⎡-''+-+==⎰⎰c b f a b c f a b c f dx c x f c x c f c x c f c x c f c f dx x f I b a b c ξξ 另一方面4)4(222)(2412)(6122)(2)(')()(⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-'''-⎪⎭⎫ ⎝⎛-''+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a b f a b c f a b c f a b c f c f a f ξ4)4(222)(!412)(!3122)(2)(')()(⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-'''+⎪⎭⎫ ⎝⎛-''+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=a b f a b c f a b c f a b c f c f b f ξ从而[]5)4(34)4(22)(3612)(31))((2)(1212)()(4)(26)()(4)(6⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'''+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-''++-=++-=a b f a b c f a b c f a b f a b c f c f c f a b b f c f a f ab S ξξ5)4(5)4(5)4(*2)(9012)(3612)(601⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a b f a b f a b f S I ξξξ截断误差限为54*290⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-a b M S I 取nab h -=，得复化辛卜生公式的截断误差()4)4(5)4(11**2)(1802)(901⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-∑∑==h f a b h f I I S I nk nk k k n ξξ截断误差限为：44*2180⎪⎭⎫⎝⎛-≤-h M a b S I n§5 龙贝格求积公式 龙贝格积分法是在计算梯形和序列的基础上应用了线性外推的加速方法，由此构成的一种具有超线性收敛的自动积分法。
