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数值分析-1(重庆大学本科版)

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数值分析第一张,引言

数值分析第一张,引言

模型(móxíng)设计
算法设计
上机计算
问题的解
共四十七页
结束(jiéshù)
其中算法设计是数值(shùzí)分析课程的主要内容.
数值分析课程(kèchéng)研究常见的基本数学问题的数值解法.包含了
数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求逆、 矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程 及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究方法建立在数学 理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之 一.
3! 5! 7!
(2n 1)!
( 1.1)
这是一个无穷级数，我们只能(zhī nénɡ)在适当的地方“截断 ”，使计算量不太大，而精度又能满足要求.
如计算 sin 0.5，取n=3 sin 0.5 0.5 0.53 0.55 0.57 0.479625
3! 5! 7!
共四十七页
结束
据泰勒余项公式(gōngshì)，它的误差应 为
• 1998年7月30-31日，美国DOE/FNS 共同联合组织召开了 关于“先进科学计算”的全国会议，会议强调科学模拟的重
要性，希望应用科学模拟来攻克复杂的科学与工程难题。
共四十七页
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科学研究或 工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际 (shíjì)问
题
程序设计
R (1)9 9
9!
0,
4
R ( / 4)9 3.13 10 7
362880
( 1.2)
可见结果(jiē guǒ)是相当精确的.实际上结果(jiē guǒ)的六位数字都是 正确的.
2 算法常表现(biǎoxiàn)为一个连续过程的离 散化

数值分析1.1讲义.

数值分析1.1讲义.

方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)

《数值分析课程设计》课程教学大纲(本科)

《数值分析课程设计》课程教学大纲(本科)

《数值分析课程设计》教学大纲课程编号：sx080课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：实践教学课程要求：必修学时/学分：1周/I开课学期：4适用专业：数学与应用数学授课语言：中文课程网站：超星泛雅平台一、课程设计性质与任务数值分析课程设计是一门借助计算机实现数值计算方法设计的课程。

通过数值算法基本理论和实现能力的训练，具有利用计算机实现算法的能力，具有分析和优化算法能力；通过查找文献熟悉科学与工程计算问题中的领先的数值算法理论，形成自主学习以及独立设计和运用数值算法解决实际问题的能力。

二、课程设计与其他课程或教学环节的联系先修课程：《数值分析》，《C语言程序设计》后续课程：《数学模型》、《微分方程数值解法》联系：《数值分析》是数值分析课程设计的理论基础，《C语言程序设计》是数值分析课程设计实现工具之一。

数值分析课程设计为《微分方程数值解》的算法实现提供算法基础,为《数学模型》中数学问题的求解提供了一种重要的实现手段。

三、课程设计教学目标1 .通过应用C语言、Matlab等计算机语言，使学生具有编程实现数值算法并解决实际问题的能力；（支撑毕业要求指标点5.1）2.通过基本算法原理的学习与实现，具有优化算法和根据具体问题改进算法的能力；（支撑毕业要求指标点3.3）3.通过查阅资料和应用数值算法解决实际科学问题，形成学生的自主学习意识和有效的学习方法。

（支撑毕业要求指标点12.1）四、教学内容、基本要求与学时分配课程思政元素案例解析：1 .崇尚科学，敢于创新通过从牛顿法到其变形方法这样一个循序渐进的算法改进过程，来向学生阐释什么叫科学研究无止境，从而培养学生的永不满足的科学精神，激发学生努力学习，掌握好知识，敢于创新的精神。

2.热爱祖国，奋发图强在讲授数值积分的梯形公式和辛普森公式时,将会给同学们介绍华罗庚先生写的一本书——《数值积分及其应用》，突出介绍华罗庚先生与王元教授合作在数值积分方法与应用等的研究成果，并同时介绍了华罗庚先生的生平事迹，特别是他放弃美国优越生活条件和良好的科研环境，克服重重困难回到祖国怀抱，投身我国数学科研事业，为中国数学事业发展做出了杰出的贡献，被誉为“人民的数学家”，激发学生的爱国热情。

数值分析 第一章 基础知识

数值分析 第一章 基础知识

郑州大学研究生课程（2010-2011学年第一学期）课程主要内容课程主题 讨论如何构造高效适用的计算机数值算法，来求 解科学与工程中的数值计算问题。

课程内容 各类数值算法的构造、理论评价及程序实现。

数值分析 Numerical Analysis任课教师：万建军 wanjj@Department of Mathematics of Zhengzhou University （郑州大学数学系）算法和误差分析； 数据代数插值； 数据拟合； 数值微分和数值积分； 解线性代数方程组的直接法和迭代法； 非线性方程和非线性方程组解法； 常微分方程初值问题的数值解法； 计算工具C/Matlab和Mathematica；3/68 郑州大学2010-2011学年研究生课程 数值分析 Numerical Analysis2/68郑州大学2010-2011学年研究生课程 数值分析 Numerical Analysis预备知识 微积分和常微分方程； 线性代数； 数值计算程序设计 （C/Matlab和Mathematica）第一章 基础知识§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.85/68§1.1 计算—第三种科学方法“当今，科学活动可分为三种:理论、实验和计算。

定义计算科学最好是 通过比较它的核心活动和实验及理论的核心活动。

试验科学家从事于测 量和设计科学设备及利用这些设备去进行测量，致力于可控、可重复试 验的设计以及分析这些试验的误差；理论科学家研究实验数据之间的关 系、这些关系满足的原理（如牛顿定律、对称性原理等）及把这些原理 运用到具体特殊情形所需的数学概念和技术；计算科学家构造求解科学 问题的计算方法，把这些方法软件化，设计和进行试验，分析这些数值 试验的误差。

他们研究计算方法的数学特征，通过计算揭露所求解科学 问题的基本性质和规律。

数值分析--绪论

数值分析--绪论
8
有效数字
定义：设数 a 是数 x 的近似值，如果 定义： 的近似值， （1）a 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， ） 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， a （2）从该位到它的第一位非零数字共有 位。 ）从该位到它的第一位非零数字共有n 位有效数字。 则称用 a 近似 x 时有 n 位有效数字。 注：凡是由四舍五入得来的近似值，从最末位到第一位非零数字都是 凡是由四舍五入得来的近似值， 有效数字。 有效数字。
算法 算法——规定了怎样从输入数据计算出数值问 规定了怎样从输入数据计算出数值问 题解的一个有限的基本运算序列 衡量算法优劣的标准： 衡量算法优劣的标准：
1 可靠的理论基础，正确性，收敛性，数值稳定性以 可靠的理论基础，正确性，收敛性， 及可作误差分析。 及可作误差分析。 2.良好的计算复杂性，包括时间复杂性，空间复杂性 良好的计算复杂性，包括时间复杂性， 良好的计算复杂性
17
§1.3 向量范数与矩阵范数 1.3.1 向量范数 定义：Rn空间的实值函数 || || ,对任意 x, y ∈ Rn满足下列条件 对任意
(1)非负性 非负性
|| x || ≥ 0; || x || = 0 x = 0 (2)齐次性 || k x || =| k | || x || 对任意 k∈R 齐次性
13
设计算法时遵循的原则
1.减少运算次数. 1.减少运算次数. 减少运算次数
例 计算多项式的值
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n .
乘法计算次数 1+2+…+n
算法一 算法一：
s0 = a0 sk = ak x k , k = 1, 2,L , n P ( x) = s + s + L + s 0 1 n n

《数值分析》教学大纲

《数值分析》教学大纲

《数值计算》教学大纲【课程名称】数值计算（Numerical Computation）【课程代码】【学分】【参考学时】 48学时【讲授学时】48学时【试验学时】 20学时【实习学时】【课程性质】专业必修课第一部分课程目的与任务一、课程基础：在学习计算方法之前，要求学生应掌握数学分析（或高等数学）、高等（或线性）代数等数学知识，应具备熟练运用C或C++、FORTRAN语言、Matlab语言等进行程序设计的能力。

二、适应对象：软件工程专业、计算机科学与技术专业。

数学相关专业等可以修读本课程。

三、教学目的：由于计算机的迅速发展和全面普及，数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域，很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算，新的、有效的数值方法不断出现。

科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段，成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。

所以计算方法既是一个基础性的，同时也是一个应用性的数学学科（计算数学的主要部分），与其它学科的联系十分紧密。

计算方法可作为计算机相关专业的专业基础课。

学习本课程之后，以期学生能够在计算机上进行有关的科学与工程计算。

后续课程有计算机图形学、图像处理、模式识别等。

四、内容提要：研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

数值计算的主要内容包括函数的插值和逼近、数值积分和微分、解线性代数方程组的直接和迭代方法、解非线性方程和方程组的数值方法、矩阵特征值问题计算方法、常微分和偏微分方程数值解等。

五、参考教材：教材：数值分析（第4版），李庆扬、王能超、易大义，清华大学出版社`、施普林格出版社，2001；参考书：1.数值分析基础，关治、陆金甫，高等教育出版社，1998；2.数值逼近，李岳生、黄友谦，人民教育出版社，1978；3.计算方法引论，徐萃薇，高等教育出版社；4.矩阵计算与方程求根（第二版），曹志浩、张玉德、李瑞遐，高等教育出版社，1984；5.微分方程数值解法（第三版），李荣华、冯果忱，高等教育出版社，1996。

重庆大学研究生数值分析试题解析

重庆大学研究生数值分析试题解析

是Gauss公式。 六、(12分)设初值问题
y f( x ,y ) y ( a ) a x b
(1)试证单步法
2 2 K f ( x , y ) , K f ( x h , y hK ) 1 n n 2 n n 1 3 3 h y y ( K 3 K ) n 0 , 1 , 2 ,... n 1 n 1 2 4 y 0
( 4 ) f ( ) 2 x R ( x ) x ( x 1 ) ( x 2 ) 4 !
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
f ( x ) dx Af ( ) Bf ( 0 ) Cf ( ) 2 有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是
2 ,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7. 7 2 1 1 a a 2.设矩阵A= a 1 0 ,当a取______值时,A可以唯一分解 a 0 1 1 3 -1 又A =
为GGT,其中G为下三角矩阵.
解
令
1 a a 1 a 1 1 2 2 1 a 0 ,a 1 0 1 2 a 0 , 得： a a 1 2 2 a 01
3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向
是 量范数______, 而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数不是 _____.
4.求 3 a 解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a. 1 5.设(x)=x3+x2-3,则差商[3,32,33,34]=_______.
因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. (2)构造迭代格式: x 1 sin x k 0 , 1 , 2 ,... k 1 k 由于|(x)|=| cos |<1,故此迭代法收敛. x / 2 1 sin x

数值分析(课后习题答案详解).ppt

数值分析(课后习题答案详解).ppt

x x 41 2 0 . 25 0 . 5451 1 1 再解 3 x 0 . 875 ，得 x 1 . 2916 2 2 2 0 3 1 . 7083 . 5694 x x 3 3
4 41 2 T 故得 GG 分解： A 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 16 11 4 2 T 3 1 LDL 分解为： A 1 4 4 1 2 3 1 1 9 1 2 2
一.习题1（第10页）
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.
解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4, 3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 . 相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有
2 11 2 1 2 故得 Crout 分解： A 4 3 13 6 12 1 1
1 2 11 2 1 2 LDM 分解为： A 21 13 3 3 4 1 1 1
几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032

数值分析(全书)

数值分析(全书)

。
1
0
xn dx, n = 0,1, x+5
,100 。
1 1 ,∴ yn + 5 yn −1 = 。 n n
⎧ y0 = ln 6 − ln 5 ≈ 0.1823 ⎪ 算法一： ⎨ ； 1 yn = − 5 yn −1 ⎪ n ⎩
⎧ 1⎛ 1 1 ⎞ y100 ≈ ⎜ + ⎟ ≈ 0.001815 ⎪ ⎪ 2 ⎝ 606 505 ⎠ 算法一： ⎨ ， 1 1 ⎪ yn −1 = − yn ⎪ 5n 5 ⎩
x
∞
x ，若满足：
1.1.
i =1, , n
∀x = ( x1 , x2 ,
, xn ) ∈ R n ， 记
T
x 1 = ∑ i =1 xi ， x 2 =
n
∑
n 2 i =1 i
x
，
= max { xi } ，则 x p , p = 1, 2, ∞ 皆 R n 中的范数。
TH 1.2. 设 x p , p = 1, 2, ∞ 为 R n 中范数，则有： ⅰ. x − y
n + an x0
,n
⎧Tn = an , Tk = x0Tk +1 + ak , k = n − 1, n − 2, 算法二： ⎨ P = T0 ⎩
空间复杂性：算法所占计算机内存多少刻画。 2、选择数值稳定性较好的算法。 例 2：计算 I n = ∫ 解：∵ ∫ x n −1dx =
0 1
, 2,1, 0
[ a, b] 为方程 f ( x ) = 0 的一个隔根区间。
§4.1 二分法 若 f ( x ) = 0 在区间 [ a, b] 中有唯一解 x∗ ，对于给定的绝对误差限 ε > 0 ，记

数值分析 1绪论-课件-13

数值分析 1绪论-课件-13

数值分析Numerical Analysis数值分析是学习和了解科学计算的桥梁！数学的一种分类基础数学（理想化的）计算数学（实用化的）随机数学（圆滑的）数值分析学习方法1.注意掌握各种方法的基本原理2.注意各种方法的构造手法3.重视各种方法的误差分析4.做一定量的习题5.注意与实际问题相联系6.了解各种方法的算法与程序实现●教材与参考书1.数值分析简明教程，王兵团等，清华大学出版社 ,20122.Numerical Analysis,( 7th ed)，Burden R.L, Faires J.D影印版，机械工业出版社，20013.数学实验基础，王兵团，清华大学出版社，2008●考试方法研究生采用闭卷方式,总成绩为试卷成绩;本科生部分开卷方式,总成绩=期末70%+平时（20%）+数值实验（10%）平时成绩:考勤和课堂参与（10%）、作业（10%）第1章绪论本章主要介绍科学计算的特点、数值分析基本知识和概念，它们对学习数值分析、了解科学计算原理，以及进行科学计算都是很有帮助的。

1.1 学习数值分析的重要性思考：用一种计算机语言正确编程，计算机就一定能给出正确的结果，问题是这样简单吗？例 1.1 将数列105n n x I dx x =+⎰ 写成递推公式形式，并计算数列12,,I I 的值。

解：因为111011111005551555n n n n n n n x x x I dx x x x dx dx I x n -----+-=+=-=-+⎰⎰⎰ 得到计算I n 的递推公式()1151,2, 1.1n n I I n n -=-=由10016ln 55I dx x ==+⎰ 由递推公式（1.1）可依次算出I 1，I 2，……。

实际中，计算时一般需要具体的数据，若取0I 为准确到小数点后8位的近似值作为初始值，在字长为8的计算机上编程计算，可出现2120.3290211010I =-⨯的结果，这显然是错误的！（为什么？）● 用计算机解决实际问题的四个步骤1.建立数学模型；2.选择数值方法；(!)3.编写程序；4.上机计算。

数值分析第一章

数值分析第一章
y * = f ( x *1 , x * 2 , ⋯ , x * n ) 相应的解为
* 可微, x * n ) 设 f 在点 ( x *1 , x可微,,当数据误差较小 2 ,⋯ 解的绝对误差 绝对误差为 时，解的绝对误差为
e ( y * ) = y − y * = f ( x1 , x2 , ⋯ , x n ) − f ( x *1 , x * 2 , ⋯ , x * n )
观测误差 在数学模型中往往有一些观测或实验得来 的物理量,由于测量工具和测量手段的限制, 的物理量,由于测量工具和测量手段的限制,它 们与实际量大小之间必然存在误差, 们与实际量大小之间必然存在误差,这种误差 称为观测误差 称为观测误差. 3 截断误差 由实际问题建立起来的数学模型, 由实际问题建立起来的数学模型,在很多情 况下 要得到准确解是困难内的, 要得到准确解是困难内的,通常要用数值方法求 出它的近似解. 出它的近似解.这种数学模型的精确解与由数值 截断误差,由 方法求出的近似解之间的误差称为截断误差 方法求出的近似解之间的误差称为截断误差 由 于截断误差是数值计算方法固有的,故又称为方 于截断误差是数值计算方法固有的,故又称为方 法误差. 法误差.
目
录
数值分析
第一章 数值计算中的误差分析 第二章 线性方程组的直接解法 第三章 线性方程组的迭代解法 第四章 矩阵特征值特征向量的计算 第五章 函数插值 第六章 曲线拟合 第七章 数值积分与数值微分 第八章 非线性方程的数值解法 第九章 常微分方程的数值解法
数值分析
第一章
数值计算中的误差分析
本章的主要内容有：
1、基本运算的误差估计 、
基本运算：指四则运算和常用函数的计算。设数值 基本运算：指四则运算和常用函数的计算。 计算中求解与参量 x

重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案讲课讲稿

重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案讲课讲稿

重庆大学《数值分析》期末考试真题及答案一.填空题:1． 若求积公式对任意不超过 m 次的多项式精确成立,而对 m+1 次多项式不成立,则称此公式的代数精度为m 次.2． 高斯消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 计算中断 ;.主元素的绝对值太小会发生 误差增大 .3． 当A 具有对角线优势且 不可约 时，线性方程组Ax=b 用简单迭代法和塞德尔迭代法均收敛.4． 求解常微分方程初值问题的欧拉方法是 1 阶格式; 标准龙格库塔法是 4 阶格式.5． 一个n 阶牛顿-柯特斯公式至少有 n 次代数精度,当n 偶数时,此公式可以有n+1 次代数精度.6． 相近数 相减会扩大相对误差,有效数字越多,相对误差 越大 .二计算题: 1. 线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-=++5.1526235.333321321321x x x x x x x x x 1) 对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=79/123/5413314/33/113/11U L 2) 求出此方程组的解.)5.0,1,2('-=x2. 线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++332212325223321321321x x x x x x x x x 1)对系数阵作LU 分解,写出L 阵和U 阵；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=573235223152321321//////U L2)求出此方程组的解.),,('-=133x3) 此方程组能否用用简单迭代法和高斯塞德尔迭代法求解.0732223222305322303>=>=>,,A 对称正定,用高斯-塞德尔迭代法收敛;..,.,//////)(,6667033331027163432323232323232131=-==+-=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-λλλλλJ J B I U L D B 用简单迭代法不收敛3. 设f (x )= x 4, 以-1,0,1,2为插值节点,1) 试写出f (x )的三次拉格朗日插值多项式P 3(x )及其插值余项R 3(x );6)2)(1())()(())()(()(3020103210---=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)2)(1)(1())()(())()(()(3121013201--+=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 2)2)(1())()(())()(()(3212023102-+-=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l 6)1)(1())()(())()(()(2313032103-+=------=x x x x x x x x x x x x x x x x l )(8)()()(3203x l x l x l x P ++=())2)(1)(1()2)(1()1(!4)()4(43--+=--+=x x x x x x x x x x R 2) 求出f (1.5)的近似值,并估计误差.0625.55.1)5.1(4==f-0.93755.05.05.25.1)2)(1)(1()5.1(3=-⨯⨯⨯=--+=x x x x R 6)9375.0(0625.5)5.1(3=--=P或:0.3125610.9375 0625.0)5.1(8)5.1()5.1()5.1(3203⨯++=++=l l l P =6 -0.937560625.5)5.1()5.1()5.1(33=-=-=P f R4 设x x f ln )(=, 以1,2,3为插值节点,1) 试写出f (x )的二次拉格朗日插值多项式P 2(x )及其插值余项R 2(x );2322010210))(())(())(()(--=----=x x x x x x x x x x x l ))(())(())(()(312101201---=----=x x x x x x x x x x x l2211202102))(())(())(()(--=----=x x x x x x x x x x x l98080124711438009861693102212...)(.)(.)(-+-=+=x xx l x l x P 23112312333ln ()()()()()()()!R x x x x x x x ξξ'''=---=---2) 求出)(ln e p e 2≈的近似值,与精确值1比较,并用误差公式估计误差限.0135010135122.,ln ,.)(===R e e p231123123331171830718302817011593ln ()()()()()()()!..(.).R e e e e e e e ξξ'''=---=---≤⨯⨯⨯-=5 有积分公式()()2)0(2)(33f c f b f a dx x f ⨯+⨯+-⨯=⎰-，c b a ,,是待定参数，试确定c b a ,,，使得上述公式有尽可能高的代数精度,并确定代数精度为多少.⎰⎰⎰---==+==+-==++==332333318)(40)(2612,1,0,)(dx x b a xdx b a dx c b a k x x f k)]()()([)(/,/33023343234933f f f dx x f c b a ++-====∴⎰- 至少有2次代数精度.[][]10872072435486,024024430,)(33433343=++≠==++-===⎰⎰--dx x dx x x x x f此公式代数精度为3. 6 有积分公式)]2(3)0(2)2(3[43)(33f f f dx x f ++-=⎰- 1) 试确定代数精度为多少;2) 用它计算⎰-33dx e x,精确到2位小数,与3333---=⎰e e dx e x 作比较.[][][][][]10872072435486,02402443012012431860643032343614,3,2,1,0,)(3343333323333=++≠==++-==++==++-==++====⎰⎰⎰⎰⎰-----dx x dx x dx x xdx dx k x x f k代数精度为3.04.2043.18]323[43333320332=-==++≈⎰⎰----e e dx e e e e dx e x x7. 某企业产值与供电负荷增长情况如下表：1) 试用一次多项式拟合出经验公式bx a y +=；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛415521186062625..b a 解之: 0006101811.,.ab =-=0061018110..-=x y8. 测试某型号水泵得到扬程(米)和出水量(立米/小时)的对照表如下:1)试用一次多项式拟合出经验公式x ba y +=；bX a y x X +==,/1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12365491404514515....b a 解之: 59953043864.,.ba ==-38644953059./.-=x y2) 计算拟合值填入上表的空格，看是否与实际值基本吻合； 3) 某用户使用此型号水泵时扬程为2.6米,试估计此时出水量?67183864462953059.../.=-=y9 方程01=-+-x xe x有一个实根：1)用区间对分法搜索确定根所在的区间 (a,b )，使 b-a ≤0.2;(0.6,0.8)1) 用某种迭代法求出此正根,精确到5位有效数字65905.0*≈x10 方程x e x-=1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； 2) 证明Λ,,,101==-+k e x k x k ，在(0,1)区间内收敛；3) 用牛顿迭代法求出此根,精确到5位有效数字1),.)(,)(,)(063201100>=-==-=-f f e x x f x(0,1)区间有一个实根；)(,)(x f e x f x 011>>+='-是严格增函数，只有一个实根。

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误差的来源
截断误差（方法误差）：数学模型常难于直接求 解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这 种简化带入误差称为截断误差或方法误差。 舍入误差：计算机只能处理有限数位的小数运 算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运 算，这必然产生舍入误差。
误差分析是一门比较艰深的专门学科。当发现计算结果与实际不符 时，一个训练有素的计算工作者应当能诊断出误差的来源，并采取 相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改.
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误差的基本概念
误差与误差限 定义1.1 设 x* 是准确值，x 是它的一个近似值， 称 e =x - x* 为近似值x的绝对误差，简称误差。
绝对误差：e x x *
x —近似值 x* —精确值
可能取正，也可能取负，与x同量纲。 越小越具有参考价值。 但却不能很好地表示近似值的精确程度。
可行性： 算法中的所有操作都可以通过已经 实现的基本操作运算有限次来实现。
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算法的5个性质
有输入： 作为算法加工对象的量值，通常体现 为算法中的一组变量。
有输出： 它是一组与“输入”有确定关系的量 值，是算法进行信息加工后得到的结果，这种确 定关系即为算法的功能。
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算法常用描述形式（1）
数学公式与文字说明描述： 这种方式符合人们 的理解习惯，和算法的推证相衔接，易于学习接 受，但不方便转换成程序语言。
1 3 xk 1 xk 2 xk
计算有：x0=2 x1=1.75 x2=1.732 142 9 x3=1.732 050 8 …
(k = 0,1,2,…)
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误差
误差 是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度，是科
学计算中的一个十分重要的概念。
误差的来源
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量和实验得到模型中的各种数据 ——测量误差 由于模型误差与测量误差不是计算过程中产生的，所以在 数值计算中主要考虑截断误差和舍入误差对计算结果的 影响。
例3 不用开平方计算 a (a＞0)的值.
a 假定x0是 a 的一个近似值，x0 ＞0，则 x ≈ a 也是 0 a 的一个近似值，且 x0 和 两个近似值必有一个大于 a ， x0 另一个小于 a 。
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数值型算法的基本特点(6)
可以设想它们的平均值应为的更好的平均值，于是设计下面 的算法： 1 a xk 1 xk (k = 0,1,2,…) (1.8) 2 xk 如计算 3 ，取 x0 = 2，有：
| xx | r * | er | * |x | |x |
*

实际上由于 x* 不知道，用上式无法确定εr ，常用 x 代 x* 作分母，此时：
r

| x|
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相对误差限-举例
例5 若测得高速段路长为2500±1m，课桌 长为120±1cm，则 1 1 (2) (1) r 0.83% r 0.04% 120 2500 显然后者比前者相对误差大。
1 n 1 r 10 2a1
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有效数字
定理1.2 设近似值 x=±0.a1a2…an×10m的 相对误差限为:
1 n 1 r 10 2(a1 1)
则它至少有 n 位有效数字。
有效位数越 多，相对误 差限越小
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定理1.2 证明
证明：显然 | x |≤(a1+1)×10m - 1
1 n1 4 r 10 0.01% 10 2a1
解关于n的不等式： 10-n≤18×10-5 = 1.8×10-4 所以取 n = 4，即可满足要求。
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设计数值型算法的基本原则
函数计算的误差传播
对函数 f(x) 的计算：设 x 是 x * 的近似值，则结果误差:
e( f ( x)) f ( x) f ( x*)
| x x* | 1 * | x x | | x | 10 n 1 (a1 1) 10m1 | x| 2(a1 1)
| x x | 0.5 10
*
由定义1.3知 x 有 n 位有效数字。
m n
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例子
例 计算 sin(1.2)，问要取几位有效数字才 能保证相对误差限不大于0.01% 解 sin1.2=0.93…，故a1=9, m=0
框图描述： 这种方式描述计算过程流向清楚， 易于编制程序，但对初学者有一个习惯过程。此 外框图描述格式不统一，详略难以掌握。
6
算法常用描述形式(2)
伪代码描述： 它是表述算法的一种通用的语言， 有特定的表述程序和语句。它独立于计算机的硬 件和软件系统，可以很容易地转换某种实用的计 算机高级语言，同时也具有一定的可读性。 程序语言描述： 用计算机语言描述的算法，即 计算机可直接运行算法。
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有效数字
例： = 3.14159265 · ，近似值 · ·
x1 = 3.1415，x2 = 3.1416
问：x1, x2 分别有几位有效数字？ 答案：4，5 例：写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值 187.9325，0.03785551，8.000033 答案：187.93，0.037856，8.0000 注：数字末尾的 0 不可以随意添加或省略！
算法的5个性质： 有穷性： 对于任意一组合法的输入值，在执行 有穷步骤之后一定能结束。即算法中的操作步骤 为有限个，且每个步骤都能在有限时间内完成。
3
算法的5个性质
确定性： 确定性表现在对算法中每一步的描述 都没有二义性，只要输入相同，初始状态相同， 则无论执行多少遍，所得结果都应该相同。
7
数值型算法的基本特点(1)
无穷过程的截断：
例1
π x 0, 计算 sin x的值， 4
根据 Taylor 公式：
x3 x5 x 7 x 2 n 1 sin x x L (1) n L 3! 5! 7! (2n 1)!
( 1.1)
这是一个无穷级数，我们只能在适当的地方“截断 ”，使计算量不太大，而精度又能满足要求。
(1.13)
其中(1.11)取等号，是因为作为多元函数，加减法的一次 函数，泰勒展开没有二次余项。
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例子
例5：若电压V=220± 5V，电阻R=300± 10Ώ ，求电流 I 并 计算其误差限及相对误差限。 解：
V 220 I 0.7333( A) R 300
| V | ( R) | R | (V ) 220 10 300 5 (I ) 0.0411( A) 2 R 90000
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有效数字
在更多的情况，我们不知道准确值 x*。如果我们认为计算 结果各数位可靠，将它四舍五入到某一位，这时从这一位起 到前面第一个非零数字共 l 位，它与计算结果之差必小于该 位的半个单位.我们习惯上说将计算结果保留 l 位有效数字。
定理1.1 设近似值 x = 0.a1a2…an×10m有n 位有效数字，则其相对误差限:
所以
I 0.7333 0.0411( A)
0.0411 r (I ) 5.6% 0.7333
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四则运算中误差的传播
1. 避免两个相近的数相减
说明：造成有效数字在算法中突然变少，相对误差在这 一步的突然扩大。 例6 计算
解
1 1 759 760
，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小。 实际计算中我们所能得到的是 误差限 或 相对误差限。
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有效数字
有效数字：如果近似值 x 的误差限ε是它某一数位的
半个单位，我们就说 x 准确到该位，从这一位起直到前面 第一个非零数字为止的所有数字称 x 的有效数字。
如：x=±0.a1a2…an×10m，其中a1 ，a2，…，an 是0 ～9之中的整数，且a1≠0。如e=|x-x*|≤ε=0.5×10m-l ， 1≤ l≤n，则称 x 有 l 位有效数字. 如：π=3.14159265…… 则3.14和3.1416分别有3位和5位有效数字。而3.143相 对于π也只能有3位有效数字.
f ( ) 2 | e( f ( x)) || f ( x) | ( x) | | ( x) 2
忽略第2项高阶无穷小之后，可得函数f(x)的误差限估 计式：
| e( f ( x)) || f ( x) | ( x)
（1.10）
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设计数值型算法的基本原则
四则运算可以看作是二元函数运算，按公式(1.10)易 得近似数作四则运算后的误差限公式:
计算方法/数值计算
第1章 绪论
胡小兵 E-mail: iamhxb@ 重庆大学数学与统计学院
1
主要内容
了解算法的概念；
理解误差传播及其避免方法。
2
算法及其性质
算法是对问题求解过程的一种描述，是为解决一个或一类
问题给出的一个确定的、有限长的操作序列。
绝对误差不能完全刻画近似值的精度，还 应考虑被测值的大小。 定义1.2 ： 误差 e 与精确值 x*的比值称为 x 的相对误差。即：
e xx er * * x x
*
无量纲，常用百分比表 示，可正可负。 不能准确计算，而是用 相对误差限来估计。
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相对误差限
若存在正数 r，使得 |er| r，则称 r 为相对误差限
原式 = 0.1318×10-2 - 0.1316×10-2 = 0.2×10-5 。
结果只剩一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的 扩大.若通分后再计算：
1 1 0.1734 10 5 原式= 759 760 0.5768 10 6
就得到4位有效数字的结果。
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四则运算中误差的传播
用泰勒展式分析 ，将 f(x*) Taylor展开：