2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）理科数学本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 2i1i1++-=z ，则=z （ ） A ．0 B ．21C ．1D ．2 1．【解析】()()()i i 22i2i 2i 1i 1i 12=+-=+-+-=z ，则1=z，选C ．2．已知集合}02|{2>--=x x x A ，则=A C R （ ）A ．}21|{<<-x xB ．}21|{≤≤-x xC ．}2|{}1|{>-<x x x xD ．}2|{}1|{≥-≤x x x x 2．【解析】=≤--=}02|{2x x x A C R }21|{≤≤-x x ，故选B ．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面的结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．【解析】经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，所以建设前与建设后在比例相同的情况下，建设后的经济收入是原来的2倍，所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%，故选A ． 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4233S S S +=，21=a ，则=5a （ ）A ．12-B ．10-C ．10D ．1228%5% 30%37%第三产业收入其他收入养殖收入种殖收入建设后经济收入构成比例6%4% 30%60%第三产业收入其他收入养殖收入种殖收入建设前经济收入构成比例4．【解析】令{}n a 的公差为d ，由4233S S S +=，21=a 得376)33(311-=⇒+=+d d a d a ，则10415-=+=d a a ，故选B ．5．设函数ax x a x x f +-+=23)1()(．若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点)0,0(处的切线方程为（ ）A ．x y 2-=B ．x y -=C ．x y 2=D ．x y =5．【解析】R x ∈，ax x a x ax x a x x f x f +-++--+-=+-2323)1()1()()(2)1(2x a -=0=，则1=a ，则x x x f +=3)(，13)(2+='x x f ，所以1)0(='f ，在点)0,0(处的切线方程为x y =，故选D ． 6．在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）A ．4143- B ．4341- C ．4143+ D ．4341+ 6．【解析】AB AC AB AC BA BC BA BD BA BE 4341)(4121)21(21)(21-=-+=+=+=， 则AC AB EB 4143-=，故选A ．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图． 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面 上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上， 从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．172B ．52C ．3D ．27．【解析】将三视图还原成直观图，并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形，从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短，长度为52，故选B ．8．设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点)0,2(-且斜率为32的直线与C 交于N M ,两点，则=⋅（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．【解析】由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy x y 4)2(322，解得⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==44y x ，不妨记)4,4(),2,1(N M ．又F 为)0,1(，所以8)4,3()2,0(=⋅=⋅，故选D ．9．已知函数⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x ，a x x f x g ++=)()(．若)(x g 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[)0,1-B ．[)+∞,0C ．[)+∞-,1D ．[)+∞,1M (A A BCDE9．【解析】若)(x g 存在2个零点，即0)(=++a x x f 有2个不同的实数根，即)(x f y =与a x y --=的图像有两个交点，由图可知直线a x y --=不在直线1+-=x y 的上方即可，即1≤-a ，则1-≥a ．故选C ．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AC AB ,．ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为321,,p p p ，则（ ）A ．21p p = D ．321p p p +=10．【解析】令ABC Rt ∆321,,s s s ．则bc s 211=；8222123bc a s =-⎪⎭⎫ ⎝⎛=π；()842222222322bca cb s b s +-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭ ⎝=πππ，因为222a cb =+，所以bc s 212=．所以2121p p s s =⇔=，故选A ． 11．已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为N M ,．若OMN ∆为直角三角形，=MN （ ）A ．23B ．3C ．32D ．4 11．【解析】如图所示，不妨记90=∠OMF ，F 为)0,2(，渐近线为x y 33±=，所以30=∠=∠NOF MOF ，则3tan ,3cos =∠==∠=MON OM MN MOF OF OM ，故选B ．12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）xA ．433 B ．332 C ．423 D ．2312．【解析】正方体中，连接顶点Q P N M ,,,，三棱锥MNP Q -为正三棱锥，侧棱与底面所成的角都相等，所以正方体的每条棱与平面MNP 所成的角均相等，不妨令平面//α平面MNP ．易知，当平面α截得正方体的截面为如图所示的平行六边形ABCDEF 时截面的面积可以取到最大值．不妨取)10(<<=x x AM ，则x BC ED AF 2===，)1(2x CD EF AB -===，MN CF //且2==MN CF ，等腰梯形ABCF 、DEFC 的高分别为)1(26x -和x 26，所以 )122(23262)2)1(2()1(262)22(2++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+=+=x x x x x x S S S DEFC ABCF ABCDEF ． 当21=x 时，截面面积的最大值为4332323=⨯．故选A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为 ．13．【解析】可行域为ABC ∆及其内部，当直线223zx y +-=经过点)0,2(B 时，6max =z ．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若12+=n n a S ，则=6S ．14．【解析】由12111+==a S a 得11-=a ，当2≥n 时，121211+-+=-=--n n n n n a a S S a ，即21=-n na a ，所以{}n a 是等比数列，()()()()()63321684216-=-+-+-+-+-+-=S ．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）M N P QA BCD EFFAB)1(2x -x 2CEDx 2x 2)1(2x - )1(2x -15．【解析】恰有1位女生的选法有122412=C C 种，恰有2位女生的选法有41422=C C 种，所以不同的选法共有16种．16．已知函数x x x f 2sin sin 2)(+=，则)(x f 的最小值是 ．16．【解析】因为)(x f 是奇函数，且)2()(π+=x f x f ，即周期为π2，所以只需要研究)(x f 在(]ππ,-上的图像．又)1)(cos 1cos 2(2)1cos cos 2(22cos 2cos 2)(2+-=-+=+='x x x x x x x f ，则)(x f 在(]ππ,-上的极值点为πππ,3,3-=x ，因为0)(,233)3()3(=-=-=-πππf f f ，所以=min )(x f 233-． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）在平面四边形ABCD 中， 90=∠ADC ，45=∠A ，2=AB ，5=BD ． （1）求ADB ∠cos ； （2）若22=DC ，求BC ．17．【解析】（1）如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理ADBABA BD ∠=sin sin ， 得52sin =∠ADB ， 90=∠ADC ，ADB ∠∴为锐角， 523sin 1cos 2=∠-=∠∴ADB ADB ； （2）90=∠ADC ，52sin )90cos(cos =∠=∠-=∠∴ADB ADB CDB， 若22=DC ，则在BCD ∆中，由余弦定理CDB DC BD DC BD BC ∠⋅⋅-+=cos 2222， 得5522252825=⨯⨯⨯-+=BC ．18．（12分）如图，四边形ABCD 为正方形，F E ,分别为BC AD ,的中点， 以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且BF PF ⊥． （1）证明：平面⊥PEF 平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．ABPCFEDABCD18．【解析】（1）证明： 四边形ABCD 为正方形，F E ,分别为BC AD ,的中点，CD AB EF ////∴且EF BF ⊥，F PF EF BF PF =⊥ ,，⊥∴BF 平面PEF ，⊂BF 平面ABFD ，∴平面⊥PEF 平面ABFD ．（2）方法1：由（1）知⊥BF 平面PEF ，⊥∴BF PE ，AD BF //，AD PE ⊥∴．令正方形ABCD 的边长为2，1,2===ED DC PD ，322=-=∴DE PD PE ．作EF PO ⊥交EF 于点O ，连接OD ，由（1）知平面⊥PEF 平面ABFD ，⊂PO 平面PEF ，平面 PEF 平面EF ABFD =，⊥∴PO 平面ABFD ，斜线DP 在平面ABFD 内的射影为OD ， PDO ∠∴等于DP 与平面ABFD 所成的角．2,1===EF CF PF ，222EF PF PE =+∴，即PF PE ⊥且 60=∠PFE ， ∴在POF Rt ∆中，2323==PF OP ． ∴在POD Rt ∆中，43sin ==∠PD PO PDO ，即DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为43． 方法2：作EF PO ⊥交EF 于点O ，连接OD ，由（1）知平面⊥PEF 平面ABFD ，⊂PO 平面PEF ，平面 PEF 平面EF ABFD =，⊥∴PO 平面ABFD ，斜线DP 在平面ABFD 内的射影为OD ， PDO ∠∴等于DP 与平面ABFD 所成的角，令正方形ABCD 的边长为2，)0(>=a a OF ， 则a EO -=2，2221a OF PF PO -=-=，2223a PO PD DO +=-=，由222EO ED DO +=得22)2(13a a -+=+，解得21=a ． ∴23=PO ，2=PD ，则43sin ==∠PD PO PDO ，即DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为43．方法3：作EF PO ⊥交EF 于点O ，由（1）知平面⊥PEF 平面ABFD ，⊂PO 平面PEF ，平面 PEF 平面EF ABFD =，⊥∴PO 平面ABFD ，以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 令正方形ABCD 的边长为2，)0(>=a a OF ， 则)0,0,1(),1,2,0(),0,2,0(2---D a a P FABPCFE D O90=∠DPF ，0=⋅∴DP PF ，即0)1,2,1()1,,0(22=--⋅--a a a a ， 即0)1()2(2=---a a a ，解得21=a ． 所以)23,23,1(=， 易知平面ABFD 的一个法向量为)1,0,0(=，故432123,cos =⨯==><DP n ，即DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为43．19．（12分）设椭圆12:22=+y x C 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于B A ,两点，点M 的坐标为)0,2(． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMB OMA ∠=∠．19．【解析】（1）右焦点为)0,1(F ，当l 与x 轴垂直时有1:=x l ，则A 为)22,1(或)22,1(-， 直线AM 的方程为：)2(22--=x y 或)2(22-=x y ； （2）方法1：令直线BM AM ,的斜率分别为21,k k ，①当l 与x 轴重合时有021==k k ，所以0=∠=∠OMB OMA②当l 与x 轴不重合时，令,1:-=x my l ),(),,(2211y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x x my 得012)2(22=-++my y m ，则21,22221221+-=+-=+m y y m m y y ， 因为21k k +)1)(1()(2112221212122112211--+-=-+-=-+-=my my y y y my my y my y x y x y ， 所以21k k +0)1)(1(22222122=--+--+-=my my m mm m ，即直线BM AM ,的倾斜角互补，得OMB OMA ∠=∠． 综合①②所述，得OMB OMA ∠=∠． 方法2：令直线BM AM ,的斜率分别为21,k k ，①由（1）知，当l 与x 轴垂直时有21k k -=，即直线BM AM ,的倾斜角互补，得OMB OMA ∠=∠；②当l 不与x 轴垂直时，令),1(:-=x k y l ),(),,(2211y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+-+k x k x k ，则1222,12422212221+-=+=+k k x x k k x x ， 因为21k k +)2)(2(]4)(32[2)1(2)1(2221212122112211--++-=--+--=-+-=x x x x x x k x x k x x k x y x y ， 所以=+21k k 0)2)(2(]4124312)22(2[212222=--++-+-x x k k k k k ， 即直线BM AM ,的倾斜角互补，得OMB OMA ∠=∠． 综合①②所述，得OMB OMA ∠=∠．20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<p p ，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值点0p ．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20．【解析】（1）由n 次独立重复事件的概率计算得182182220)1(190)1()(p p p p C p f -=-=，)101()1(380)1(18190)1(380)(1717218p p p p p p p p f --=-⨯--=' 且10<<p ，0)(='∴p f 时，得101=p ． 又当)101,0(∈p 时，0)(>'p f ，)(p f 单调递增；当)1,101(∈p 时，0)(<'p f ，)(p f 单调递减， 所以101=p 是)(p f 在)1,0(上唯一的极大值点，也是最大值点，即1010=p ． （2）（ⅰ）已检验的20件产品的检验费用为40220=⨯元． 该箱余下的产品的不合格品件数服从二项分布)101,180(B ，估计不合格品件数为18101180=⨯， 若不对该箱余下的产品作检验，余下的产品的赔偿费用估计为4502518=⨯元． 所以，若不对该箱余下的产品作检验，则49045040=+=EX ．（ⅱ）若对该箱余下的产品都作检验，则只需支付检验费用，400218040=⨯+=EX ． 因为400490>，所以应该对这箱余下的所有产品都作检验．21．（12分）已知函数x a x xx f ln 1)(+-=． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 存在两个极值点21,x x ，证明：2)()(2121-<--a x x x f x f ．21．【解析】（1）)0(111)(222>-+-=+--='x xax x x a x x f 令1)(2-+-=ax x x g ，42-=∆a ．①]2,2[-∈a 时，0≤∆，0)(≤'x f 恒成立， 所以)(x f 在定义域),0(+∞上始终单调递减． ②2-<a 或2>a 时，0>∆．由0)(=x g 即0)(='x f 解得24,242221-+=--=a a x a a x ，且1,2121==+x x a x x ．2-<a 时，0,021<<x x ，0)(<'x f 恒成立，所以)(x f 在定义域),0(+∞上始终单调递减． 2>a 时，012>>x x ，在),(),,0(21+∞x x 上0)(<'x f ，)(x f 单调递减；在),(21x x 上0)(>'x f ，)(x f 单调递增． 综上所述，2≤a 时，)(x f 在定义域),0(+∞上始终单调递减；2>a 时，)(x f 在),24(),24,0(22+∞-+--a a a a 上递减，在)24,24(22-+--a a a a 上递增． （2）证明：方法1：由（1）知2>a 时)(x f 存在两个极值点，且012>>x x ．欲证明2)()(2121-<--a x x x f x f 等价于证明))(2()()(2121x x a x f x f -->-．即证明2211)2()()2()(x a x f x a x f -->--，其中21,x x 是方程012=-+-ax x 的两个根． 令t a t f t h )2()()(--=，则满足012=-+-at t ，即a tt =+1． )1(2)21(1)1(11)2(111)2()()(22t t t t t t t ta t a t a t f t h +-=-+-++--=--+--=--'=' 21>=+a t t ，0)1(2)(<+-='∴tt t h ，t a t f t h )2()()(--=在),0(+∞∈t 上为减函数．因为012>>x x ，所以)()(21x h x h >，即2211)2()()2()(x a x f x a x f -->--，得证．方法2：由（1）知012>>x x ，221>=+a x x ，121=x x ，从而有0112>>>x x ．212221112121ln 1ln 1)()(x x x a x x x a x x x x x f x f --+-+-=-- 212121122121ln )11)(()()(x x x x a x x x x x x x f x f -++-=--∴2121ln 2x x x x a -+-=，要证明2)()(2121-<--a x x x f x f 等价于证明2ln 22121-<-+-a x x x x a，即证明2121ln x x x x ->．121=x x ，∴只需证明11211ln x x x ->，即证明01ln 2111>+-x x x 成立即可． 令)1,0(,1ln 2)(∈+-=t tt t t ϕ，则0)1(12112)(22222<--=-+-=--='tt t t t t t t ϕ，)(t ϕ在)1,0(上为减函数． 所以0)1()(=>ϕϕt ，根据)1,0(1∈x ，证得01ln 2111>+-x x x 成立，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2||+=x k y ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为机轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为03cos 22=-+θρρ．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．22．【解析】（1）θρθρsin ,cos ==y x ，所以2C 的直角坐标方程为03222=-++x y x ；（2）曲线1C ：⎩⎨⎧<+-≥+=0,20,2x kx x kx y ，其图像是关于y 轴对称且以)2,0(为端点的两条射线．2C ：4)1(22=++y x ，其图像是以)0,1(-为圆心，半径为2的圆．若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则0<k 且)0(2≥+=x kx y 与2C 相切(如图)．由2122=++-k k 且0<k ，解得34-=k ，则1C 的方程为：2||34+-=x y ．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知11)(--+=ax x x f ．（1）当1=a 时，求不等式1)(>x f 的解集；（2）若)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，求a 的取值范围．23．【解析】（1）当1=a 时，11)(--+=x x x f ，则1-≤x 时，2)(-=x f ，则1)(>x f 无解；11<<-x 时，x x f 2)(=，则1)(>x f 的解集为)1,21(； 1≥x 时，2)(=x f ，则1)(>x f 的解集为),1[+∞． 综上所述，所求解集为),21(+∞．（2）)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，即x ax x >--+11，则11<-ax 成立． 所以x a ax 20111<<⇒<-<-． 因为10<<x 时，有),2(2+∞∈x ，所以20≤<a ．。
