1.5数环和数域

《高等代数（上）》课程标准1.课程说明《高等代数（上）》课程标准课程编码〔 37008 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022.11.20 〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是数学教育专业的专业基础课程之一，是本专业的核心课程，也是必修课程。

本课程是初等代数的延续与提高, 它的知识，技能，思想方法，对中小学数学教学有直接的指导作用，特别是数学能力的培养和提升发挥着不可替代的作用，可以增强学生的数学思维品质和提高学生的数学素养，为未来的数学教师生涯和今后的再学习奠定良好的专业理论基础。

（2）课程任务：本课程主要针对中小学数学教育教师及相关等岗位开设，主要任务是培养学生在中小学数学教育教师岗位的数学课程教学能力，要求学生掌握中小学数学教师在代数方面的专业理论基础知识、基本技能及思想方法和解决相关问题的能力。

（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有中学数学，后续课程有《高等代数（下）》、《解析几何》、《概率统计基础》、《数论》等。

2.学习目标通过本课程的学习，使学生掌握《高等代数（上）》的基础知识、基本理论、基本方法。

提高学生的逻辑推理能力，提高学生的数学思维能力，提高学生的再学习的能力。

培养学生实事求是、诚实守信、爱岗敬业、团结协作的职业精神，培养学生善于沟通、勇于合作的良好品质，为发展职业能力奠定良好的基础。

使学生成为具备从事中小学数学教育职业的高素质劳动者和教学高级技术人才。

（1）知识目标掌握一元多项式理论、线性方程组、行列式与矩阵及二次型的基本知识、基本理论。

熟练掌握行列式、矩阵的运算。

熟练掌握运用初等变换求解线性方程组、求可逆矩阵的逆矩阵等基本方法。

（2）素质目标培养良好的思想品德、心理素质。

培养良好的职业道德，包括爱岗敬业、诚实守信、遵守相关的法律法规等。

培养学生踏实、认真、求实的做事态度，使学生形成勇于承担责任、实事求是的工作作风。

培养良好的团队协作、协调人际关系的能力。

第三章 环与域与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。

但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。

在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。

§1 加群、环的定义一、加群在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。

因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。

由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。

如：（1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。

即a G ∀∈，有00a a a +=+=。

（2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。

即有()0a a a a -+=+-=。

利用负元可定义加群的减法运算：()a b a b-+-。

（3）()a a--=。

（4）a c b c b a+=⇔=-。

（5）(),()a b a b a b a b-+=----=-+（6）(00()()a a a n a nna nn a n+++⎧⎪==⎨⎪--⎩个相加）为正整数为负整数，且有(),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。

加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S⇔∀∈，有,a b a S+-∈,a b S⇔∀∈，有a b S-∈。

加群G的子群H的陪集表示为：a H H a+=+。

二、环的定义设R是一个非空集合，“+”与“。

《高等代数》课程标准一、课程概述高等代数是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课程，本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论.此外,还介绍群丶环丶域的基本概念。

通过本课程的教学,应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法,并能处理中学数学的有关教材内容。

同时,培养学生的科学思维丶逻辑推理和运算的能力,以及学生的辩证唯物论观点。

在教学中应注意理论联系实际,联系中学教学。

二、课程目标1、知道《高等代数》这门学科的性质、地位、研究对象及内容、研究方法、知识架构、学科进展及未来发展方向。

2、理解该学科的主要概念、基本原理。

如多项式、行列式、矩阵、向量空间、二次型等。

3、掌握该课程的基本方法和计算与证明技巧。

4、学会应用该学科的原理和基本方法解决实际问题，为学习其它课程打下必要的基础，高观点解决中学数学实际问题。

三、课程内容和教学要求本课程主要内容:基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及群、环和域简介。

教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。

本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。

第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型第十章群丶环和城简介*四、课程实施(一) 课时安排与教学建议高等代数是数学专业的基础必修课,系主干课程。

一般情况下,每周安排5课时,共165课时.具体课时安排如下:(二) 教学组织形式与教学方法要求教学组织形式：采用以教学班为单位进行授课的教学形式。

教学方法要求：以课堂讲授结合多媒体和讨论为主，辅以课外作业、单元测验、答疑等,有条件的话，可以进行专业调查和课程设计，或组织课外兴趣小组，培养学生对该课程知识综合运用能力和发现问题、分析问题、解决问题的能力。

五、教材编写与选用《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新。

《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。

其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。

它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。

二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。

三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。

各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。

2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。

3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。

4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。

5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。

二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。

2．正确理解多项式的整除概念和性质。

理解和掌握带余除法。

3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。

1．5 数环和数域1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。

证明：法一（正面证明）：{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数（否则，可以推出0=a ）∴S 有无限多个元素法二（反证法）：假设S 有有限多个元素不妨设为k 个{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾∴假设不正确，即：S 有无限多个元素2． 证明：{}Q b a bi a F ∈+=,是数域。

证明： Q b a bi a ∈+,,令0==b a∴Q b i a ∈=+0∴F 为复数集C 的非空子集又对F di c bi a ∈++∀,有：F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()(F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((∴F 为数环又对0,,≠+∈++∀di c F di c bi a 有：022≠+d c 及F i d c ad bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2222所以F 的除法封闭所以F 为数域。

3． 证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z n m m S n ,2是一个数环。

S 不是一个数域。

证明：（1）S 为数环的证明： S ∈=0211 ∴S 为复数集的非空子集 又对任意的2,1,,,2,22121=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=±+211221222222121S m m m m n n n n ∈=⋅+21212222121 ∴S 为数环（2）S 不是数域的证明：S ∈==220015,11但S ∉51 ∴S 对除法不具封闭性 ∴S 不是数域4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。

教学目标本课程是为致远学院（物理专业）开设的代数课程, 主要包含线性代数的基本内容。

通过本课程的教学，使学生掌握线性代数与多项式的基本理论、思想与方法，使学生的计算能力和抽象思维能力得到系统的训练和提高，为将来进一步学习其它专业课程奠定坚实的代数基础。

在教学过程中既强调一定的抽象性，又特别注意结合具体的应用例子来理解代数学的数学思想和思维方法，注意介绍本课程与其他学科的联系，以及介绍最新的科研成果以开阔同学的视野。

主要内容矩阵的性质：相抵（等价）标准型；解线性方程组；矩阵的相似标准形与特征值、特征向量；二次型与矩阵的合同；Schmidt正交化；线性空间与线性变换；多项式理论；行列式的性质与计算技巧（简介）。

教学内容第一章数环上的矩阵与Gauss消元法主要内容：解线性方程组的高斯消元法与矩阵的运算(加法、数乘、转置、乘法、可逆矩阵的求逆)。

重点与难点：矩阵的乘法；初等矩阵第二章矩阵的相似对角化主要内容：特征值与特征向量；方阵可相似对角化的判定重点与难点：特征多项式；特征值与特征子空间第三章二次型主要内容：实二次型与实对称矩阵的对应；化二次型为标准型；正定矩阵与正定二次型重点与难点：正定二次型第四章线性空间主要内容：基与坐标；欧氏空间与Schimidt 正交化过程；酉空间重点与难点：欧氏空间与Schimidt 正交化过程；酉空间第五章线性变换主要内容：线性变换与矩阵的对应；投影变换与正交变换；正交变换与正交矩阵；不变子空间重点与难点：以上均为重点。

难点很多，不再一一论述第六章行列式与一元多项式（简介）主要内容：行列式的定义、性质以及求行列式；多项式重点与难点：行列式的降阶计算以及升阶计算；多项式互素与整除之间的制约关系教学进度安排第一章．数环上的矩阵与Gauss 消元法(16 课时)1.1．数环与数域（定义及例子）；利用Gauss 消元（即初等行变换）法解一般线性方程组（有解的判断；求解。

只介绍方法，不涉及秩的概念）；矩阵概念以及线性方程组的矩阵表达；方程组的Gauss 消元以及矩阵的初等行变换比较；矩阵的标准阶梯型（2 学时）1.2．利用行、列初等变换矩阵的标准型；矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置、* 运算）：定义、实例及性质；初等行、列变换与初等矩阵。