数环和数域

高考试题中与数环、域有关的问题的归类（一）问题提出的背景：数是抽象思维的产物。

在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数。

随着人类文明的进步，数的概念先后经历了多次重大的变化。

首先，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”。

其次是代数运算的需要，因减法，开方运算的需要产生了负数、无理数和负数。

到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，数系发展为一个完备化的运算系统。

人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等。

在20世纪，从希尔伯特到布尔巴基，结构主义的数系观占据了统治地位。

（二）数域数环的定义及性质 数环定义：设S 是复数集的非空子集．如果S 中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S ，则称S 是一个数环．性质1 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）． 性质2 设S 是一个数环．若S a ∈，则)(Z n S na ∈∈． 性质3 若M,N 都是数环，则N M ⋂也是数环．常见的数环有：整数集Z ，有理数集Q 、实数集R 、复数集C 。

数域定义：设F 是一个数环，如果对任意的F b a ∈,而且0≠a , 则F ab ∈；则称F 是一个数域．数域性质：任何数域都包含有理数域Q 。

即Q 是最小的数域。

常见的数域有：理数集Q 、实数集R 、复数集C. 著名的域还有：Klein 四元域。

（三）高考题型归类 高中与数环、域有关问题的学习，主要是体会数学思想，提高理性思维能力。

我将高考试题中与数环、域有关的问题归为两类： 第一类：与复数有关的问题对于复数的概念，高中课本中有专门的章节进行阐述，通过解方程的具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解从实数系到复数系的的扩充过程，学习复数的一些基本知识，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。

1、复数的概念 （1）（2007•重庆）复数322ii +的虚部为 。

分析：把复数整理变形，先变分母，再分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子上要进行复数的乘法运算，最后写出代数形式，指出虚部。

考研《高等代数》重要考点归纳第1章多项式1.1考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a －b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P 就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P 上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f （x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c 为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨gi（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）gl（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋ur（x）gr（x）），其中ui（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g （x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u （x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，fs（x）的乘积f1（x），f2（x），…，fs（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…ps （x）＝q1（x）q2（x）…qt（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有pi（x）＝ciqi（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，ps（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，rs是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝。

6 数学归纳法暨数环和数域的概念0.3 数学归纳法教学目的 通过教学使学生理解数学归纳法的最小数原理及数环与数域的概念，为以后各章学习作些准备．教学重点与难点 本次课教学重点是自然数的最小数原理与数域的概念；难点是数域、数环的抽象性．教学内容在高等代数中，不少重要命题都依赖于自然数n ，大家在中学里学过的数学归纳法往往是证明这些结果的基本又有效的方法．因此，本节将对这一证法再作些认识，并结合具体例子介绍连加号“∑”的使用方法．定理1(自然数的最小数原理) 自然数集N *的任意一个非空子集M 必有一个最小数．证 因为M ≠∅，所以有自然数m ∈M ．显然，在M 中不超过m 的数最多有m 个，即为有限个．于是必有一个最小的数，设为k ．于是，对于∀x ∈M ，都有k ≤x ．注 最小数原理并不是对任意数集都成立．例如, Z 就没有最小数．但定理1可稍作开拓：取定k ∈Z ，令K ={x | x ∈Z ，且x ≥k }，则用K 取代定理1中的N *，结论仍然成立．由最小数原理可以得到以下的数学归纳法原理．定理2 (第一数学归纳法原理) 设E (n )是一个关于自然数n 的命题．如果 1)命题E (1)成立；2)假如命题E (k )成立，k ∈N *，则命题E (k +1)也成立， 那么命题E (n )对于一切自然数n 都成立．证 设M ={m ∈N *| E (m )不成立}，则定理的正确性只须证明M =∅．若不然，则由最小数原理知道M 有最小者k ．由条件1)，则k ≠1．于是k -1∈N *．此时，命题E (k -1)成立，但E (k )不成立．与条件2)矛盾．所以M =∅，即第一归纳原理正确．由定理2不难证得例1 证明，++3321…+3n =(212))1(+n n ．用连加号∑表示上面的和式，记++3321…+3n =∑=nk k 13．注意到1+2+…7+n =21n (n +1)，则例1用连加号∑表示可写为∑=nk k13=21)(∑=nk k ． (1)由最小数原理的注与定理2的证明可见第一数学归纳法原理有如下的简单开拓：设E (m )是一个关于整数m 的命题．如果 1)命题E (0m )成立，0m ∈Z ；2)假设命题E (k )成立，k ≥0m ，且k ∈Z ，则命题E (k +1)也成立， 那么命题E (m )对于所有不小于0m 的整数m 都成立．利用上述开拓易证例2 设1a ，2a ， ，n a ∈C ．则，21)(∑=n s s a =∑=ns s a 12+2(1a 2a +1a 3a + +1a n a + +1-n a n a )，n ≥2．(2)使用连加号，(2)式右边的第二个和式可写成∑≤<≤nt s ts a a 12．因此，例2的恒等式为21)(∑=ns s a =∑=ns s a 12+∑≤<≤nt s ts a a 12，n ≥2．连加号的使用，有时也遇到多重连加号的情形．例如，a 1+( a 1+ a 2)+(a 1+ a 2+ a 3)+ +(a 1+a 2+ + a n )=∑∑==nt ts s a 11)(； (3)(a 11+ a 12+ + a 1n )+( a 21 + a 22+ + a 2n )+ +( a m 1+ a m 2+ + a mn )=∑∑==ms nt st a 11 =∑∑==nt ms sta 11． (4)请注意，(3)式的双重连加号不能像(4)式那样，可以互换左、右连加号的位置．例3 证明，(∑∑==-nm ms s 112)12()=31[21)1(22-+n n n (n +1)] (5)此例的证明请同学们练习思考．例4 证明，任意一个凸n 边形都可以变形为一个与它的面积相等的三角形． 证 这里的n ≥3．当n =3时,命题自然成立． 假设对于凸k (k ≥3)边形，命题成立．现8任取一个凸k +1(k ≥3)边形121+k k A A A A ，如 图4所示，连接k A A 1，过1+k A 作k A A 1的平行线交k k A A 1-的延长线上于kA '，得到凸k 边形 kk A A A A '-121 ，易见这个k 边形与原来的k +1 边形等积．于是，由归纳假设，原来的凸k +1 边形可以变形为一个与它等积的三角形．故命题成立．类似定理2的证明，由最小数原理还可证得 图4定理3(第二数学归纳法原理) 设E (n )是一个关于自然数n 的命题．如果 1)命题E (1)成立；2)假设对于任意的自然数m ＜k ，若命题E (m )成立，则命题E (k )也成立， 那么命题E (n )对于所有自然数n 都成立．定理3的证明，请同学们思考证明． 例5 数列1，1，2，3，5，8，13，叫做Fibonacci 数列．其递推关系为11-++=n n n u u u ，其中110==u u ，n ≥2． 证明这个数列的通项公式为],)251()251[(5111++--+=n n n u n =0，1，2， ． (6)证 将n =0，1代入(6)，得到,110==u u 即此时命题成立． 假设对于小于k 的任意非负整数m ，命题都成立，即],)251()251[(51112-----+=k k k u],)251()251[(511k k k u --+=-则u k =12--+k k u u =1251()251[(511+++-k ))]1251()251(1+----k=-++-21)251()251[(51k ])251()251(21---k=])251()251[(5111++--+k k ．9所以，命题对于k 也成立．故Fibonacci 数列的通项公式(6)成立．习 题用数学归纳法证明以下各题：1 ∑=++=+nt n n n t t 1;6)2)(1(2)1( 2∑=-+=nt n t t 11)1()(！！； 3∑=-+>nt n t1).11(21注 0.4整数算术请同学们自学,将在第四章中结合多项式的讲授作些串讲．0.5 数环和数域高等代数的研究对象矩阵、向量空间、多项式， 常在数域(有时也在数环)上考察．因此，本节介绍它们的基本概念．定义1 设∅≠R ⊆C ．若对于任意的a ，b ∈R ，都有a +b ，a - b ，a b ∈R ，则称R 是一个数环．显然，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 和复数集C 都是数环，我们再来看一些数环的例子．例1 取定一个整数k ，令R ={k n | n ∈Z }，则∀21,kn kn ∈R ，有∈=-=-+=+)())((),(),(212121212121n kn k kn kn n n k kn kn n n k kn kn R因此，R 是一个数环．若取定k =2，则R 由全体偶数组成，称之为偶数环．若取定k =0，则R ={0}，是只由数0组成的数环．例2 设R ={a + b i | a ，b ∈Z }．若∈++i b a i b a 2211,R ，则∈±+±=+±+i b b a a i b a i b a )()()()(21212211R ， ∈++-=++i b a b a b b a a i b a i b a )()())((122121212211R ．因此，R 是一个数环，叫做Gauss 整数环．定义2 设F 是一个数环．如果 1)F ≠{0}；102)若a ，b ∈F ，且b ≠0，则∈ba F ，那么称F 是一个数域．显然，Q ，R 和C 都是数域，依次叫做有理数域，实数域和复数域．但是，整数环Z 不是数域，例1、例2所说的数环也都不是数域．我们再来看一些数域的例子．例3 设Q ∈+=b a b a ,|2{)2(Q }．证明，Q (2) 是一个数域． 证 显然有Q }.0{)2(≠设∈+=+=2,2d c b a βαQ )2(，则∈±+±=±2)()(d b c a βαQ )2(； ∈+++=2)()2(bc ad bd ac αβQ )2(．又设0≠β，则易见02≠-d c ，且)2)(2()2)(2(22dc dc d c b a dc b a -+-+=++=βα∈--+--=22222222dcad bc dcbd ac Q )2(．因此，Q )2(是一个数域．例4 设π为园周率．令Q ∈++++=n n n a a a a a a a ,,,|{][102210 ππππQ ，n ∈N *}， 则易见Q ][π是一个数环．又令Q ∈⎩⎨⎧++++++=m n mm nn b b b a a a b b b a a a ,,,,,,|)(10,101010 πππππQ ；m b b b ,,,10 不全为0，n ，m ∈N *}，则可证Q )(π是一个数域．判别一个数集是不是数域，利用下面的定理较为简便．定理1 设∅≠F ⊆C ，且F ≠{0}，则F 是一个数域的充分且必要条件是,,F ∈∀βα都有F∈-βα；且当0≠β时又有F∈βα ．证 必要性 当然．充分性 设a ，b ∈F ，则a －a =0∈F ．于是0－b =－b ∈F ．故a +b = a －(－b )∈F ． 又若b ≠0，则Fb b ∈=1，于是Fbb ∈=-11．故Fb a ab∈=-1．因此，F是一个数域．由定理1的证明得到11推论1 设F 是一个数域，则0，1∈ F 例5 设Q (i )={a + b i | a ，b ∈Q }，则Q (i )是一个数域，叫做Gauss 数域．证 设a + b i ，c + d i ∈Q (i )，则(a + b i )－(c + d i )=(a －c )+(b －d )i ∈Q (i )．又若c + d i ≠0，则c - d i ≠0， 且))(())((di c di c di c bi a dic bi a -+-+=++∈+-+++=i dcad bc dcbd ac 2222Q (i )所以，由定理1知道Q (i )是一个数域．定理2 设F 是一个数域，则Q ⊆F ．即有理数域是最小的数域． 证 由推论1知道0，1∈F ，于是2=1+1，3=2+1，…，n =(n -1)+1，…∈F ， 且－n =0－n ∈F ．所以Z ⊆ F ．又∀a ∈Q ，有mn a= ，其中m ，n ∈Z ，且m ≠0．因此，a ∈F ．故Q ⊆ F ．注 较数环、数域一般的概念有环、域等概念，对此同学们可参考文[16]，在“抽象代数”课程中将作系统学习。

《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题第1章多项式1.1 考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a－b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，a n全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f （x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f （x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨g i（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）g l（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋u r（x）g r（x）），其中u i（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g（x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p （x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，f s（x）的乘积f1（x），f2（x），…，f s（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…p s（x）＝q1（x）q2（x）…q t（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有p i（x）＝c i q i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，p s（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，r s是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式．如果k ＝0，那么p（x）根本不是f（x）的因式．2．重因式的判别（1）如果不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），那么它是微商f＇（x）的k-1重因式，也是f（x），f＇（x），…，f（k-1）（x）的因式，但不是f（k）（x）的因式．（2）不可约多项式p（x）是f（x）的重因式的充分必要条件为p（x）是f（x）与f＇（x）的公因式．（3）多项式f（x）没有重因式的充分必要条件是f（x）与f＇（x）互素．3．余数定理用一次多项式x－α去除多项式f（x），所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f（α）．4．多项式的根α是f（x）的根的充分必要条件是（x－α）丨f（x）．若（x-α）是f（x）的k重因式，称α为f（x）的k重根，当k＝1时，α是单根；当k＞1是，α称为重根．六、复系数与实系数多项式的因式分解1．代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根，等价于：每个次数≥1的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式．由此可以推出，P[x]中n次多项式（n≥0）在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算．2．复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以惟一地分解成一次因式的乘积．复系数多项式具有标准分解式其中α1，α2，…，αs是不同的复数，l1，l2，…，l s是正整数．标准分解式说明了每个n次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）．3．实系数多项式因式分解定理每个次数≥l的实系数多项式在实数域上都可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．。

1．5 数环和数域1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。

证明：法一（正面证明）：{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数（否则，可以推出0=a ）∴S 有无限多个元素法二（反证法）：假设S 有有限多个元素不妨设为k 个{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾∴假设不正确，即：S 有无限多个元素2． 证明：{}Q b a bi a F ∈+=,是数域。

证明： Q b a bi a ∈+,,令0==b a∴Q b i a ∈=+0∴F 为复数集C 的非空子集又对F di c bi a ∈++∀,有：F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()(F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((∴F 为数环又对0,,≠+∈++∀di c F di c bi a 有：022≠+d c 及F i d c ad bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2222所以F 的除法封闭所以F 为数域。

3． 证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z n m m S n ,2是一个数环。

S 不是一个数域。

证明：（1）S 为数环的证明： S ∈=0211 ∴S 为复数集的非空子集 又对任意的2,1,,,2,22121=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=±+211221222222121S m m m m n n n n ∈=⋅+21212222121 ∴S 为数环（2）S 不是数域的证明：S ∈==220015,11但S ∉51 ∴S 对除法不具封闭性 ∴S 不是数域4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。

五、简答题1、 举出一个映射，它不是满射，但是它有逆映射；举出一个映射，它不是单射，但是它有逆映射。

答：实数集上的指数函数y = 2x 是单射而非满射，但是它有逆映射；多项式函数y = x 3-x 是满射而非单射，2、 数环与数域有什么区别？答：定义1 设∅≠R ⊆C ．若对于任意的a ，b ∈R ，都有a + b ，a - b ，a b ∈R ，则称R 是一个数环．显然，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 和复数集C 都是数环．定义2 设F 是一个数环．如果1)F ≠{0}；2)若a ，b ∈F ，且b ≠0，则∈ba F ，那么称F 是一个数域．显然，Q ，R 和C 都是数域，依次叫做有理数域，实数域和复数域．但是，整数环Z 不是数域．由此可见：数域必是数环，数环不一定是数域。

3、 试举出两个不是有理数域、实数域、复数域以外的数域。

答：{},Q a a b Q =+∈，{},Q a a b Q =+∈。

4、 两个数环的交是不是数环，为什么？证：设S 1、S 2是两个数环。

∵0∈S 1，0∈S 2 ∴S 1∩S 2=｛0｝≠ （先证非空），如果a 、b ∈S 1∩S 2则a 、b ∈S 1 a 、b ∈S 2又∵S 1,S 2是数环 ∴a ±b 、 ab ∈S 1 ∈S 2 ∴a ±b 、a ×b ∈S 1∩S 2 ∴两个数环的交是数环。

5、 哪种行列式的初等变换会改变行列式的值？答：交换两行（或两列）的位置，行列式值改变符号； 用一个非零的常数k 乘上某行（或列），行列式值也将变成原来的k 倍； 6、 什么样的方程组叫做齐次线性方程组？答：齐次线性方程组111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L7、 线性方程组的解法有几种？答：消元法和公式法（高斯消元法，克莱姆法则） 8、克莱母规则的使用范围？答：用克莱姆法则须满足两个条件：（1）方程组的个数与未知量的个数相等。