高等代数 数环和数域

高考试题中与数环、域有关的问题的归类（一）问题提出的背景：数是抽象思维的产物。

在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数。

随着人类文明的进步，数的概念先后经历了多次重大的变化。

首先，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”。

其次是代数运算的需要，因减法，开方运算的需要产生了负数、无理数和负数。

到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，数系发展为一个完备化的运算系统。

人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等。

在20世纪，从希尔伯特到布尔巴基，结构主义的数系观占据了统治地位。

（二）数域数环的定义及性质 数环定义：设S 是复数集的非空子集．如果S 中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S ，则称S 是一个数环．性质1 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）． 性质2 设S 是一个数环．若S a ∈，则)(Z n S na ∈∈． 性质3 若M,N 都是数环，则N M ⋂也是数环．常见的数环有：整数集Z ，有理数集Q 、实数集R 、复数集C 。

数域定义：设F 是一个数环，如果对任意的F b a ∈,而且0≠a , 则F ab ∈；则称F 是一个数域．数域性质：任何数域都包含有理数域Q 。

即Q 是最小的数域。

常见的数域有：理数集Q 、实数集R 、复数集C. 著名的域还有：Klein 四元域。

（三）高考题型归类 高中与数环、域有关问题的学习，主要是体会数学思想，提高理性思维能力。

我将高考试题中与数环、域有关的问题归为两类： 第一类：与复数有关的问题对于复数的概念，高中课本中有专门的章节进行阐述，通过解方程的具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解从实数系到复数系的的扩充过程，学习复数的一些基本知识，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。

1、复数的概念 （1）（2007•重庆）复数322ii +的虚部为 。

分析：把复数整理变形，先变分母，再分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子上要进行复数的乘法运算，最后写出代数形式，指出虚部。

（0158）《高等代数》复习思考题答案一、略 二、判断题1. 错。

含有n 个未知量的m 个方程的线性方程组有无穷解的充要条件是系数矩阵的秩<n 。

2. 错。

如：向量组s ααα,,,21Λ中的每个向量都不是齐次线性方程组的解向量，但0向量是齐次线性方程组的解向量，0向量也是s ααα,,,21Λ线性组合。

3. 错。

如：方程组25320253202532025320253243214321432143214321=-++=-++=-++=-++=-++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x虽然方程的个数多余未知量的个数，但是它毕竟等价于第一个单独的方程因此有无穷多解。

4. 错。

如矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0010的秩为1，但是它的1阶主子式为0。

5. 错。

所给出的条件是正交相似，不是一般意义的相似条件。

6. 错。

如：2224)1(12+=++x x x 在有理数域上可约，但是无根。

7. 对。

因为线性变换σ为数乘变换的充要条件是该变换在任意基下的矩阵A 为数量矩阵I λ，所以A 适合多项式λ-x ，即为极小多项式，从而是一次多项式。

反之，如果极小多项式次数为1，设为λ-x ，则0=-I A λ。

根据线性变换与矩阵的对应关系知λεσ=，其中ε为恒等变换，即得σ为数乘变换 8. 错。

如：5)4()(-=x x f ，)(|)4(2x f x -，但不是f(x)的2重根，它是4重根。

9. 错。

如：12++x x 无有理根，但是不可能存在任何素数整除除首项以外的项的系数。

10. 对。

11. 对。

12. 对。

13. 对。

14. 对。

15. 对。

三、计算题第1、2、3、4、5题略。

6、因为]5)10([)5)(3(58223b a x b x b x x a x x x -++-++++=+++，所以a x x xb x x +++++58|3232的充要条件是05)10(=-++-b a x b 。

《高等代数》课程标准一、课程概述高等代数是高等师范院校数学教育专业的一门重要基础课程，本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论.此外,还介绍群丶环丶域的基本概念。

通过本课程的教学,应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法,并能处理中学数学的有关教材内容。

同时,培养学生的科学思维丶逻辑推理和运算的能力,以及学生的辩证唯物论观点。

在教学中应注意理论联系实际,联系中学教学。

二、课程目标1、知道《高等代数》这门学科的性质、地位、研究对象及内容、研究方法、知识架构、学科进展及未来发展方向。

2、理解该学科的主要概念、基本原理。

如多项式、行列式、矩阵、向量空间、二次型等。

3、掌握该课程的基本方法和计算与证明技巧。

4、学会应用该学科的原理和基本方法解决实际问题，为学习其它课程打下必要的基础，高观点解决中学数学实际问题。

三、课程内容和教学要求本课程主要内容:基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型以及群、环和域简介。

教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。

本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。

第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型第十章群丶环和城简介*四、课程实施(一) 课时安排与教学建议高等代数是数学专业的基础必修课,系主干课程。

一般情况下,每周安排5课时,共165课时.具体课时安排如下:(二) 教学组织形式与教学方法要求教学组织形式：采用以教学班为单位进行授课的教学形式。

教学方法要求：以课堂讲授结合多媒体和讨论为主，辅以课外作业、单元测验、答疑等,有条件的话，可以进行专业调查和课程设计，或组织课外兴趣小组，培养学生对该课程知识综合运用能力和发现问题、分析问题、解决问题的能力。

五、教材编写与选用《高等代数》，张禾瑞、郝鈵新。

《高等代数》考试大纲（适用专业：数学与应用数学、应用统计学）第一章基本概念一.主要内容1、集合子集集的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域二. 考试要求（一）掌握1、集合的交与并及其运算律2、映射满射单射双射映射的相等映射的合成3、数环和数域的定义及性质4、数学归纳法的运用（二）理解1、集合的交与并及其运算律2、可逆映射映射可逆的充要条件3、数环和数域的判别（三）了解自然数的最小数原理第一数学归纳法、第二数学归纳法的证明整数的一些整除性质第二章多项式一. 主要内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理二. 考试要求（一）掌握1、一元多项式的定义和运算2、整除的基本性质带余除法定理3、最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、余式定理综合除法多项式的根的概念7、复数域和实数域上多项式的因式分解有理数域上多顶式的有理根（二）理解1、不可约多项式概念2、多项式的重因式概念3、多项式函数与多项式的根4、多项式函数的概念5、本原多项式的定义 Gauss引理6、整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法（三）了解1、对称多项式的概念2、多元多项式的概念3、多元多项式的概念字典排列法初等对称多项式对称多项式基本定理三. 说明本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。

第十章 群、环和域简介10.1 群1． 判断以下集合对于所给的运算来说哪些作成群,哪些不作成群： (1) 某一数域F 上全体n n ⨯矩阵的加法； (2) 全体正整数对于数的乘法；(3) {}2xx Z ∈对于数的乘法；(4){}01x R x ∈<≤对于数的乘法；(5) {}1,1-对于数的乘法． 解：(1) 设数域F 上全体n n ⨯矩阵的集合为()n M F ，对于矩阵的加法来说()n M F 作成一个加群．因为对任意,,()n A B C M F ∈，有1°()A B C ++=()A B C ++(加法结合律)2°()n M F 中存在零矩阵O ，使得对任意的A ∈()n M F ，有A O O A A +=+=3°对于A ∈()n M F ，有A -∈()n M F ．使得()()A A A A O +-=-+=4°对于,A B ∈()n M F ，有A B B A +=+． (2) 全体正整数对于数的乘法不作成群．因为对于数的乘法来说，单位元是1，但是对于正整数a =2来说不存在正整数b 使得a ×b =1．(3) 集合{}2x M x Z =∈对于数的乘法作成阿贝尔群．因为1°对于12x ，22x，32x ∈M ，123,,x x x Z ∈，有312(22)2x x x ⨯⨯=1232x x x ++=3122(22)x x x ⨯⨯2°在M 中有021=，使得2x M ∈，有022x ⨯=022x ⨯=2x ．3°对于2x M ∈，存在2xM -∈使得22x x -⨯=22x x -⨯=02=14°对于2,2x y M ∈，有22x y =2x y +=22y x．(4) 集合{}101M x R x =∈<≤对于数的乘法来说不作成群．因为1M 中的单位元是1，而对于12a =不存在1b M ∈，使得1a b ⨯=．(5) 集合{}1,1G =-对于数的乘法作成群〔阿贝尔群〕．因为对于G 任三个元素来说，结合律显然成立．再者G 有单位元1．对于G 中元素来说1(1)⨯-=(1)1-⨯=1-，并且1的逆元是1，1-的逆元是1-．2． 证明群中的指数规那么〔1〕、〔2〕．证明：设G 是一个群，a G ∈，那么1a G -∈，对于,m n ∈Z,如果0(0)m n <<或，设m m '=-， ()n n '=-或，并且注意当0n <时，对于a G ∈，有1()n na a '-=．于是1°当0,0m n >>时，mnm na a aa aa ==m n a +；2°当0,0m n >=时，0mmn a a aa a ==m a e =m a =m n a +，当0,0m n =>时，同理可证．；3°当0,0m n ><时，11n mm na a aa a a '--==111,,()(()),m n m n n mm n m n m n a a m n a a a a m n '-+'''------+'⎧=≥⎨'===<⎩； 4°当0,0m n <<时，1111m n m n a a a a a a ''----==1()m n a ''-+=11(())m n a --+=m na +．所以对任意,m n ∈Z ,a G ∈都有m na a =m n a +,即〔1〕式成立．其次我们先证对于任意的m ∈Z ，a G ∈，都有1()m a -=1()ma -．∵1()m m a a -=1()m a a -=0()m a =m e =e再由定义1()m m a a -=e ，根据G 中每一个元素的逆元的唯一性，∴1()m a -=1()ma -．以下证明等式〔2〕成立．1°当0,0m n >>时，()m n a =()()()nmmma a a a a a =mn a2°当0,0m n ><时，()m n a =1[()]m n a '-=1[()]m n a '-=1()mn a '-=11[()]mn a --=mn a当0,0m n <>时，()m n a =1[()]m n a '-=1()m n a '-=11[()]mn a --=mn a ．3°当0,0m n <<时，()m n a =1[()]m n a '-=11{[()]}m n a ''--=()m n a ''=m n a ''=mn a ．综上所述所证，群G 中指数规那么〔1〕、〔2〕成立． 3． 设{,,}G a b c =，G 的乘法由下面的表给出：ab c a a b c b b c a c cab证明G 对于所给的乘法作成一个群．证明：根据G 的乘法表可知ab b ba ==，ac c ca ==，bc a cb ==，所以G 的乘法是可换的，以下证明G 对于乘法作成一个群．1°结合律成立．由于G 对于所给的乘法是可换的，对于结合律我们只要验证也容易验证以下的情况即可．()()ab c a bc =；()()aa b a ab =；()()aa c a ac =； ()()bb a b ba =；()()bb c b bc =；()()cc a c ca =； ()()cc b c cb =．其它情况由G 的乘法可换性，立即可以证得．2°G 中有单位元a ，使得对于G 中任意元素,,a b c ，都有aa a =，ab ba b ==，ac ca c ==3°G 中每一个元素都有逆元，a 的逆元是a ，〔因为aa a =〕，而b 的逆元是c ，c 的逆元是b ，〔因为bc cb a ==〕．所以G 对于所给的乘法作成一个〔可换〕群．4． 证明，一个群G 是阿贝尔群的充要条件是：对任意的,a b G ∈和任意的整数n ，都有()n n n ab a b =． 证明：必要性，群G 对乘法运算可换，且对结合律成立．设,a b G ∈，而n 是任意的整数，因为G 对指数规那么〔1〕、〔2〕成立．故有()n ab =()()()ab ab ab =abab ab =22a b ab ab =…=n n a b ．充分性，设,a b G ∈，而n 是整数，有()n n n ab a b =，令2n =，那么有222()ab a b =，即()()ab ab =()a ba b =()()aa bb =()a ab b ，所以()a ba b =()a ab b ，在此等式两边左乘1a -以并右乘以1b -，得11()()()a a ba bb --=11()()()a a ab bb --，所以 ()e ba e =()e ab e ，即 ba =ab ． 所以G 是一个阿贝尔群．5． 证明，群G 的两个子群的交还是G 的一个子群． 证明：设1H ，2H 是群G 的两个子群，那么12H H ≠∅〔至少有一个单位元e 〕．1°对于12,a b H H ∈那么1,a b H ∈且2,a b H ∈，因为1H ，2H 是子群，所以1ab H ∈且2ab H ∈，所以12ab H H ∈；2°设12c H H ∈，那么1c H ∈且2c H ∈因为1H ，2H 是子群，所以11c H -∈且12c H -∈，所以112c H H -∈，所以，由子群的定义可知，12H H 是G 的一个子群．6． 证明，n 维欧氏空间V 的全体正交变换作成V 上一般线性群()GL V 的一个子群，这个群称为V 上的正交群，用记号()O V 表示．证明：一般线性群()GL V 是指n 维欧氏空间V 上全体可逆线性变换的集合对V 上的线性变换与线性变换的乘法来说作成的群．因为正交变换是可逆的线性变换，且单位变换也是正交变换．所以()O V 是()GL V 的非空子集．任意两个正交变换的乘积也是正交变换，即乘法封闭． 正交变换的逆变换也是正交变换．所以，n 维欧氏空间V 的全体正交变换的集合()O V 是一般线性群()GL V 的一个子群．7． 令a 是群G 中的一个元素，令{}n a a n 〈〉=∈，证明a 〈〉是G 的一个子群，称为由a生成的循环子群．特别，如果a 〈〉=G ，就称G 是由a 生成的循环子群．试各举出一个无限循环子群和有限循环子群的例子．证明：显然a a ∈〈〉，故a 〈〉非空，设,n m a a a ∈〈〉，,n m Z ∈，那么n m n ma a a a +=∈〈〉；设na ∈a 〈〉，那么11()()n n n a a a a ---==∈〈〉，所以a 〈〉是G 的一个子群．例1：设G Z =，运算是加法运算，那么1G =〈〉是无限循环群． 例2：设{}70,1,2,3,4,5,6G Z ==运算是剩余类的“加法〞，那么1G =〈〉是由1生成的有限循环群，它只有7个元素．8． 令σ=1212n n i ii ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()A Mn F ∈，定义 ()A σ=111222121212n n n i i i n i i i n i i i n a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭就是对A 的行作置换σ所得的矩阵，令n ∑={}()n I S σσ∈，其中I 是n n ⨯单位矩阵，证明n∑作成(,)GL n F 的一个与n S 同构的子群． 证明：首先注意以下的几个事实： 1°设1(1,0,,0)ε=，2(0,1,,0)ε=，……，(0,0,,1)n ε=，由矩阵的乘法可知i jεε'=1,,0,i j i j=⎧⎨≠⎩〔,1,2,,i j n =〕2°集合n ∑={}()n I S σσ∈中的任一元素()I σ都是由n 阶单位矩阵I 的各行所给的假设干次的置换而得到，所以，每一个()I σ的每一行和每一列都是只有一个位置上的元素为1，其余位置上的元素全为0，并且||1I =．而()I σ都是由I 的各行经过对换而得到的所以|()|I σ=1±．3°容易计算，集合n∑={}()n I S σσ∈共有!n 个不同的元素，不妨设为：n∑={}12!,,,n I I I ；所以n ∑是群(,)GL n F 的一个非空子集．现在证明n ∑与n S 同构，由于n S 是一个群，所以n S 是(,)GL n F 的一个子群．(1) 集合n∑对(,)GL n F 的运算〔即矩阵乘法〕是封闭的．设1212n n i i i σ⎛⎫=⎪⎝⎭，1212n n j j j τ⎛⎫=⎪⎝⎭∈nS ，那么()I σ和()I τ是n ∑的两个元素〔矩阵〕．因为I 的第1，2，…，n 行分别是n 维向量1ε，2ε，…，n ε，所以()I σ的第1，2，…，n 行分别是n 维向量1i ε，2i ε，…，niε，而()I τ的第1，2，…，n 行分别是n 维向量1jε，2jε，…，njε，由上述的事实2°可知()I τ的各列也是由一些单位向量所组成．设其在第1，2，…，n 列分别是n 维向量1k ε，2k ε，…，nkε，此处1k ，2k ，…，n k 是1，2，…，n 的某一个排列．设()I σ()I τ=A 〔A 是n n ⨯矩阵〕由矩阵的乘法可知A 的第s 行的各个元素分别是1si kεε'，2si kεε'，…，sni kεε'，由上述事实1°可知，这n 个数中只有一个t s k i =时才等于１，其余各数均为0，〔因为s i 是1，2，…，n 的某一个排列〕，这样矩阵A 的第s 行只有一个位置的元素是1，而其余位置的元素均为0，并且当s i 不同时，1的位置不同，令s =1，2，…，n 可知矩阵A 的各行各列的元素都只有一个位置的1，而其余位置的元素均为0，并且||A =|()()|I I στ=1±，所以nA ∈∑，即()I σ()I τn ∈∑．(2) 存在着n ∑到n S 的一个同构映射f ． 如上所述，n ∑={}12!,,,n I I I ，设i I 是n ∑的任意一个矩阵，用i I 右乘n ∑的各个元素，得1i I I ，2i I I ，…，!i n I I ，因为n ∑对乘法是封闭的，所以它们仍是n ∑中!n 个不同的元素〔因为假设i k I I =i i I I ，由i I 的可逆性那么有k I =i I 〕，这样我们得到一个n ∑元素之间的一个置换，i I τ=12!12!n i i n i I I I I I I I I I ⎛⎫⎪⎝⎭，所以我们定义n ∑到n S 的一个映射:ii I f I τ→．a ） f 是n ∑到n S 的一个双射． 它显然是满射，现证是单射．设,i j nI I ∈∑，且i jI I ≠，那么i I τ=12!12!n i i n i I I I I I I I I I ⎛⎫⎪⎝⎭≠j I τ=12!12!n j j n j I I I I I I I I I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为假设i t I I =j tI I ，t =1，2，…，n ，由n ∑中元素的可逆性，那么有i I =jI 这与i jI I ≠矛盾，所以f 是n ∑到n S 的一个一一映射；b ） f 是n ∑到n S 的一个同构映射，设,i j n I I ∈∑，依f 的对应法那么()i f I =i I τ，()j f I =j I τ，设i j kI I I =，那么有：()i j f I I =()k f I =k I τ=12!12!n k k n k I I I I I I I I I ⎛⎫⎪⎝⎭=12!12!n i j j i j n i I I I I I I I I I I I I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=i j I I τ=()i f I ()j f I所以f 是n ∑到n S 的一个同构映射．所以n ∑和n S 同构，又由于n S 是群，因而n ∑也是群．且n ∑⊆(,)GL n F ． 9． 设G 是一个群，a G ∈，映射:a x ax λ，x G ∈叫做G 的一个左平移．证明：(1) 左平移是G 到自身的一个双射；(2) 设,a b G ∈，定义a b a b λλλλ=〔映射的合成〕，那么G 的全体左平移{}a a G λ∈对于这样的定义的乘法作成一个群G '；(3) G G '≅． 证明：(1) :a xax λ，x G ∈是G 到G 的一个双射．首先a λ是一个满射，因为对于任意的y G ∈，总存在一个1x a y G -=∈，使得ax y =，其次a λ的一个单射，因为12,x x G ∈，并且12x x ≠那么12ax ax ≠．(2) G '是一个群．因为G '对映射的乘法是封闭的，且G '对映射的乘法满足结合律．另外，设e 是G 的单位元，那么e λ是G '的单位元，对于a G λ'∈都有a λe λ=e λa λ=a λ．最后，设a G λ'∈，因为a G ∈，1a G -∈，所以存在一个映射1a G λ-'∈，使a λ1a λ-＝1a λ-a λ=e λ，即G '中每一个元素a λ都有逆元1aλ-，所以G '是一个群．(3) G G '≅，作G 到G 的一个映射f ：a a λ．容易证明f 是双射．且假设,a b G ∈，()f ab =ab λ=a λb λ=a b λλ=()f a ()f b ．所以f 是G 到G 的一个同构映射，即G G '≅．10． 找出三次对称群3S 的一切子群．〔注意：要求证明你找出3S 的子群已经穷尽了的一切子群〕解：三次对称群3S ={}(1),(12),(13),(23),(123),(132)共六个元素．现在设H 是3S 的一个非空子集，如果H 要做3S 的子群，那么H 必须对3S 的运算是封闭的；同时H 有(1)作为单位元，并且假设a H ∈那么1a H -∈，而(1,2)的逆元是(1,2)，(1,3)的逆元是(1,3)，(2,3)的逆元是(2,3)，(1,2,3)的逆元是(1,3,2)．在3S 的一切非空子集中，可能构成3S 的子群的非空子集只有以下情况：1H ={}(1),2H =3S ,3H ={}(1),(12),4H ={}(1),(13),5H ={}(1),(23),6H ={}(1),(123),(132),7H ={}(1),(12),(123),(132),8H ={}(1),(13),(123),(132),9H ={}(1),(23),(123),(132),10H ={}(1),(12),(13),(123),(132),11H ={}(1),(12),(23),(123),(132), 12H ={}(1),(13),(23),(123),(132),13H ={}(1),(12),(13),14H ={}(1),(12),(23),15H ={}(1),(23),(13),16H ={}(1),(12),(13),(23),经检验，除1H ,2H ,3H ,4H ,5H ,6H ,可构成3S 的子群外，其余的子集都对乘法不封闭，所以不构成3S 的子群．10.2 剩余类加群1． 写出6Z 的加法表．解：略．2． 证明：n Z 是循环群，并与n 次单位根群n U 同构．证明：设{},n Z +是模n 的剩余类加群，其元素有n 个：0,1,2,,,,1k n -，因为1111k k =+++=，这就是说n Z 中任意元k 皆是1的倍数，所以n Z 可由1生成，即n Z =1〈〉，故n Z 是循环群．又设n U 是n 次单位根群，那么n U 是n 阶群，以ε表示n U 的一个单位原根，那么n U ε=〈〉={}0121,,,,n εεεε-，作n Z 到n U 的一个映射:k f k ε，那么f 显然是n Z 到n U 的一个双射．并且对于,n k l Z ∈都有()()()f k l f k f l +=+．1°假设k l n +<，那么()()f k l f k l +=+=k l ε+=k lεε=()()f k f l ；2°假设k l n +≥，那么(0)k l n s s n +=+≤≤，故有()()f k l f k l +=+=()f s =s ε=1s ε=n s εε=n s ε+=()()f k f l ．所以f 是n Z 到n U 的一个同构映射，即n Z 与n U 同构． 3． 找到6Z 的所有子群． 解：{}60,1,2,3,4,5Z =，依习题10.1习题10的方法，在加群6Z 中，0是单位元，1与5互为逆元，2与4互为逆元，3与3互为逆元．所以，可能构成6Z 的子群的集合有以下几个：{}10H =，2H =6Z ，{}30,3H =，{}40,2,4H =，{}50,2,3,4H =，{}60,1,5H =，{}70,1,3,5H =，经检验，1H ，2H ，3H ，4H 是6Z 的子群，其余子集均对运算不封闭，不能构成子群．因此，6Z 的一切子群有{}10H =，2H =6Z ，{}30,3H =，{}40,2,4H =．4． 证明，每一个有限群含有一个子群与某一个n Z 同构．证明：设G 是n 元有限群，e 是G 的单位元，a e ≠是G 中任意的元，作元素a 的非负整数幂：e =012,,,,,,,n k a a a a a ,因为G 是群，故上列这些元均是G 中的元素，又因为G是n 阶群，故上列元必有相同的．设s ka a =,且s k ≠，不妨设k s >，而k s m -=，所以0k s a a -==e ,即m a e =．我们把满足这一条件的最小正整数m 称为元a 的阶，显然，假设a的周期为m ，那么m n ≤，〔否那么G 有多于n 个元素，这与G 是n 阶群〕．令{}2,,,m H a a a e ==，因为m n ≤，所以H 是群G 的非空子集，现证H 是G 的子群，且m H Z ≅．1°H 是G 的子群．首先H 的元互不相同．因为假设1,l t m ≤≤，且l t ≠那么l ta a ≠，〔假设l ta a =，设l t >，那么l t a e -=，而l t m -<．这与m 是a 的阶矛盾〕．同时，H 对G 的乘法封闭．设,i j a a H ∈那么有i j i j a a a +=，假设i j m +≤，那么i j i j a a a H +=∈，假设i j m +>，那么i j m p +=+，0p m <≤，那么i j i j a a a +=m pp aa +==H ∈，其次H 有单位元m a e =，最后设k a H ∈，那么1k m ≤≤．那么必有正整数m k -，使得m ka H -∈，这时k m k m a a a e -==．所以H 中任意一元k a H ∈都有逆元m k a H -∈．2°m H Z ≅．为了方便我们记0m a e a ==．作H 到n Z 的一个映射:k f ka ，显然f 是双射．设,m k l Z ∈，假设k l m +≤，那么 ()()()()k l k lf k l f k l a a a f k f l ++=+===，假设k l m +>那么设(0)k l m r r m +=+<<，那么()()()r rf k l f k l f r a e a +=+===()()m r k l a a a f k f l +===所以f 是H 到n Z 的一个同构映射，即m H Z ≅．5． 设G 、H 是群，在{}(,),G H g h g G h H ⨯=∈∈中定义乘法：(,)(,)(,)g h g h gg hh ''''=，(,),(,)g h g h G H ''∈⨯．证明，G H ⨯按照这样的乘法来说作成一个群．证明：因为{}(,),G H g h g G h H ⨯=∈∈，G 、H 是两个群．1°G H ⨯对乘法封闭．设(,),(,)g h g h G H ''∈⨯，因G 、H 是群，故gg G '∈，hh H '∈，故(,)(,)(,)g h g h gg hh ''''=G H ∈⨯2°G H ⨯的乘法适合结合律，设11(,)g h G H ∈⨯，22(,)g h G H ∈⨯，33(,)g h G H ∈⨯，那么123g g g G ∈，123h h h H ∈，又G 、H 是群,故123g g g G ∈，123h h h H ∈适合结合律．因此112233(,)[(,)(,)]g h g h g h=112323(,)(,)g h g g h h =123123(,)g g g h h h =121233(,)(,)g g h h g h =112233[(,)(,)](,)g h g h g h3°G H ⨯中有单位元12(,)e e ，其中设1e ，2e 分别是G 、H 的单位元．因为对于(,)g h G H ∈⨯，12(,)e e (,)g h •=12(,)e g e h =(,)g h ，12(,)(,)g h e e =12(,)ge he =(,)g h ．4°G H ⨯中每个元(,)g h 都有逆元11(,)g h --，其中1g -，1h -分别是g G ∈，h H ∈的逆元．因为(,)g h 11(,)g h --=11(,)gg hh --= 12(,)e e ，11(,)g h --(,)g h =11(,)g g h h --=12(,)e e 综上所证，{}(,),G H g h g G h H ⨯=∈∈对所定义的乘法(,)(,)(,)g h g h gg hh ''''=作成一个群．6． 写出22Z Z ⨯和23Z Z ⨯，证明，23Z Z ⨯6Z ≅ 证明：{}20,1Z =，{}30,1,2Z =，{}60,1,2,3,4,5Z =，22Z Z ⨯={}(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，23Z Z ⨯={}(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)．以下证明23Z Z ⨯6Z ≅，因为6Z 是一个6阶循环群，而元素1的阶是6，故1可作为6Z 的生成元，在23Z Z ⨯中(1,1)的阶也是6，故(1,1)可以作为23Z Z ⨯的生成元，即23Z Z ⨯=(1,1)〈〉．所以23Z Z ⨯是6阶循环群．作6Z 到23Z Z ⨯的映射：:1(1,1)0,1,2,3,4,5f k k k =，那么在f 下，我们有:f 1(1,1)，2(0,2)，3(1,0)，4(0,1)，5(1,2)，60(0,0)=，显然f 是双射．再对f 的(66)2⨯÷=16种情况逐一验证，知f 是一个同态映射，因而f 是6Z 到23Z Z ⨯同构映射，即23Z Z ⨯6Z ≅．7． 任何一个四阶循环群或者与4Z 同构，或者与22Z Z ⨯同构． 证明：设G 是任一四阶群，以下分两种情况讨论：(1) 假设G 是任一四阶循环群，那么{}023,,,G a a e a a a =〈〉==，而{}40,1,2,3Z =．做4Z 到G 的映射:0,1,2,3kf ka k =，显然f 是双射，现设0,3k l ≤≤，假设3k l +≤，那么()f k l +=()f k l +=k l a +=k l a a =()f k ()f l ，假设4k l +≥，那么4(04)k l r r +=+≤<，那么 ()f k l +=()f k l +=()f r =r a =r e a =4r a a =4r a +=k l a +=k la a =()f k ()f l ．所以f是同构映射，即4G Z ≅(2) 假设{},,,G e a b c =不是循环群，那么G 作为一个群，其乘法表为e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e显然，{},,,G e a b c =非循环群，G 的非单位元的阶都是2，即2a e =，2b e =，2c e =，而22Z Z ⨯={}(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，由2Z的运算性质可知，22Z Z ⨯的每个非单位元的阶也都是2．做G 到22Z Z ⨯的映射:(0,0)e ϕ，(0,1)a ，(1,0)b ，(1,1)c ，容易看出，映射ϕ是双射，再对ϕ的(44)2⨯÷=8种情况逐一验证，知ϕ是一个同态映射，所以映射ϕ是同构映射，即22G Z Z ≅⨯．10.3 环和域1． 证明，在一个交换环R 里，二项式定理()n a b +=11222n n n n n n a C a b C a b b --++++对于任意的,a b R ∈和正整数n 成立．证明：设,a b R ∈，我们对于正整数n 用数学归纳法来证明1°当n=1时，1()a b +=a b +，命题成立；2°当n=2时，2()a b +=()()a b a b ++=22a ab ab b +++=222a ab b ++,命题成立；3°假定当n=k 时，命题成立，即有()k a b +=11222k k k k k k a C a b C a b b --++++成立，对于n=k+1时，我们有：1()k a b ++=()()k a b a b ++=11222()()k k k k k k a C a b C a b b a b --+++++=11212()k k k k k k a C a b C a b ab +-++++1122231()k k k k k k a b C a b C a b b --++++++=11212111()k k k k k k a C a b C ab b +-+++++++,故结论成立．2． 设R 是一个环，并且对于加法来说R 作成一个循环群，证明R 是一个交换环． 证明：由题设存在元a 生成，使得{}R a na n Z =〈〉=∈．设12,a a R ∈，那么11a n a =，22a n a =，12,n n Z ∈，有12a a =1()n a 2()n a =212n n a ，21a a =2()n a 1()n a =212n n a所以12a a =21a a ，即R 对乘法满足交换律，故R 是一个交换环．3． 证明，对于有单位元的环来说，加法适合交换律是环定义里其它条件是结果．〔提示：用两种方式展示()(11)a b ++〕证明：R 是一个有单位元1环，那么由环定义中条件〔3〕可知()(11)a b ++=()1()1a b a b +++=a b a b +++=()a b a b+++，而()(11)a b ++=(11)(11)a b +++=a ab b+++=()a a b b+++，因此()a b a b +++=()a a b b +++，所以 b a +=a b +．4． 写出2Z 和7Z 的加法和乘法表． 解：略．5． 设R 是一个只有有限多个元的交换环，且R 没有零因子，证明R 是一个域． 证明：因为R 是一个只有有限多个元素的交换环，故可设12,,,n a a a R ∈是R 的全部非零元，这意味着这n 个元互不相同．设i a 是{}12,,,n G a a a =中之一，以i a 乘以{}12,,,n G a a a =的所有元得12,,,i i i n a a a a a a ，由于R 没有零因子，故这n 个元素仍是R 的非零元，且各不相同〔因为假设()i s i k a a a a s k =≠，由于R 没有零因子，故消去律成立，得到s k a a =与{}12,,,n G a a a =元素各不相同矛盾〕，所以12,,,i i i n a a a a a a 除去次序不同和12,,,n a a a 必完全相同．因此，对于这个i a ，必有一个k 存在〔1k n ≤≤〕使i k i a a a =〔因为如果不是这样，那么12,,,i i i n a a a a a a 中没有一个等于i a ，这与12,,,i i i n a a a a a a 与12,,,n a a a 完全相同矛盾〕，因为R 是一个交换环，所以k i i k i a a a a a ==．1°以下我们证明k a 是单位元．设．j a是G 的任一元，由以上证明知12,,,i i i n a a a a a a 除去次序不同和12,,,n a a a 必完全相同，所以必有i s a a =j a ，k j a a =k a ()i s a a =i s a a =j a ,再由R是一个交换环，知j k ja a a =，所以k a 是G 的单位元，记为k e a =是G 的单位元．2°以下证明G 中的元素都有逆元，为此我们对G 重新排序记为{}121,,,,n G e a a a -=，设r a 是G 任意元，以r a 乘以{}121,,,,n G e a a a -=中每一个元，得121,,,,r r r r n a e a a a a a a -，那么由以上证明知121,,,,r r r r n a e a a a a a a -除去次序不同和12,,,n a a a 必完全相同，因而必有r t t r a a e a a ==．所以G 是一个可换群，所以R 是一个域．6． 设R 是一个环,a R ∈，如果存在一个正整数n ，使得0na =，就说a 是一个幂零元．证明，在一个交换环里，两个幂零元的和还是幂零元．证明：设,a b R ∈是两个幂零元，那么有n,m 是正整数，使得0n a =，0ma =，由本习题1，在交换环中二项式定理成立，故有()n m a b ++=11222n m n m n m n m n m n m a C a b C ab b ++-+-+++++++因为00n k n k k a a a a +===,00s m s m sb b b b +===,所以()n ma b ++=0，所以a b +是幂零元．7． 证明，在一个环R 中，以下两个条件等价： （i ） R 没有非零的幂零元；（ii ）如果a R ∈，且20a =那么0a =．证明：设〔ⅰ〕成立我们证明〔ⅱ〕成立．因为20a =，但是R 中没有非零幂零元，所以0a =．反之，设〔ⅱ〕成立我们证明〔ⅰ〕成立．设a R ∈是任一幂零元，那么存在一个正整数n,使得0na =，以下证明0a =，假设0a ≠，由〔ⅱ〕成立，那么有20a ≠〔否那么由假设20a =那么0a =，矛盾〕，同理22()0a ≠，即40a ≠，如此继续下去，那么有20ka ≠，1,2,k =，而当2k n >时，由有220kknn a aa -==，矛盾．所以，假设不成立，即〔ⅰ〕成立．8． 设R 与R '是环，:f R R '→是一个同态映射，证明， （i ） {}Im()()()f f R f a a R ==∈是R '的一个子环； （ii ）{}()()0I Ker f a R f a ==∈=是R 的一个子环，并且对任意的r R ∈，a I ∈都有ra I ∈，如果R 与R '都有单位元，能不能断定(1)R f 是R '的单位元1R '？当f 是满射时，(1)R f 是R '的单位元1R '？证明：(i) 因为R 与R '是环，:f R R '→是一个同态映射，所以(0)0f '=〔此处0是R 的零元，0'是R '的零元〕，所以0Im()f '∈，又Im()()f f R R '=⊆，即Im()f 是R '的非空子集．所以对于(),()Im()f a f b f ∈，,a b R ∈，有()()()f a f b f a b -=-∈ Im()f ．〔因为R 是环，,a b R ∈，所以a b R -∈〕，并且()()()Im()f a f b f ab f =∈．所以{}Im()()()f f R f a a R ==∈是R '的一个子环；(ii) 因为R 与R '是环，:f R R '→是一个同态映射，所以(0)0f R ''=∈，所以()Ker f ≠∅，设,()a b Ker f ∈，那么()()0f a f b '==，于是()()()000f a b f a f b '''-=-=-=，所以()a b Ker f -∈，且()()()000f ab f a f b '''===，故()ab Ker f ∈，因此，{}()()0I Ker f a R f a ==∈=是R 的一个子环．对于r R ∈，a I ∈()Ker f =，那么()()()()00f ra f r f a f r ''===，所以ra I ∈ ()Ker f =．如果R 与R '都有单位元，:f R R'→是一个同态映射，那么(1)R f 不一定是R '的单位元1R '，例如{}20,1R Z ==，{}20,1R Z '==，作R R '→的映射:00,10f ，那么显然:f R R '→是一个同态映射，但(1)0f =不是R '的单位元．如果f 是满射，(1)R f 是R '的单位元1R '．9． 设F 和F '是域，:f F F '→是同态映射，证明，或者()0f F =，或者f 是个单射，〔提示：利用第8题〔ⅱ〕证明()Ker f 或者等于零，或者等于F 〕．证明：因为F 和F '是域，:f F F '→是同态映射，所以F 和F '是环，由上题〔ⅱ〕知{}()()0Ker f a R f a =∈=是F 的一个子环〔域〕，以下分两种情况讨论：（i ） 假设{}()0Ker f =，那么对于任意的,()a b Ker f ∈，有()()0f a f b '==，于是 ()()()000f a b f a f b '''-=-=-=，所以()a b Ker f -∈，但{}()0Ker f =，所以a b =，所以f 是个单射；（ii ）假设{}()0Ker f ≠，那么()Ker f 必有非零元素，设()a Ker f ∈并且0a ≠，又因为F 是域，所以a 在F 中必有逆元1a F -∈，由上题〔ⅱ〕知1()a a Ker f -∈，即1()e a a Ker f -=∈，设x 是F 中任意元素，再由〔ⅱ〕的结果可知：()xe x Ker f =∈，所以()F Ker f ⊆，而()Ker f F ⊆，所以()Ker f F =，当()Ker f F =时，Im()()0f f F ==．10． 证明，2阶实矩阵2()M R 的子集F =,a b a b R b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪∈⎨⎬ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎩⎭作成一个与复数域同构的域．证明：首先证明F 是环2()M R 的一个子域．设a b A b a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，c d B d c ⎛⎫=⎪-⎝⎭是F 任意两个元素，其中a,b,c,d R ∈,那么a b cd A B b a d c ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=a c b d b d a c --⎛⎫ ⎪-+-⎝⎭F ∈,又当0B ≠时，c,d 不全为零，那么22cd B c d dc ==+-0≠，所以1B -存在，且11cd B d c B --⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1B F -∈，于是11a b c d AB b a d c B--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=1ac bd bc ad ad bc ac bd B+-⎛⎫ ⎪-+⎝⎭F ∈,所以F 是环2()M R 的一个子域，现在作复数域{}2,,1C a bi a b R i =+∈=-到F 的一个映射:a b f a bib a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，显然，f 是C 到F 的一个双射．现在设()a b f a bi b a ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，()cd f c di dc ⎛⎫+=⎪-⎝⎭，那么[()()]f a bi c di +++=[()()]f a c b d i +++=()a cb d b d ac ++⎛⎫ ⎪-++⎝⎭a b c d b a d c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()f a bi f c di +++． 又[()()]f a bi c di ++=[()()]f ac bd ad bc i -++=ac bd bc ad ad bc ac bd +-⎛⎫ ⎪-+⎝⎭ =a b c d b a d c ⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．所以f 是C 到F 的同构映射，即F 作成一个与C 同构的域．11． 令Q 是有理数域，R 是一个环，而f ，g 都是Q 到环R 的环同态，证明，假设对任意整数n ，都有()()f n g n =那么f g =．证明：由，来证明11()()f g nn =，假设11()()f g n n ≠，那么 11()()()()f n f g n g n n ≠这与(1)(1)f g =，所以假设不成立，有11()()f g n n =．再证明f g =．对于任意有理数mQn ∈，我们有 11()()()()()()m mf f m fg m g g n n n n ===，所以f g =．12． 证明，一切形如,,a bi c di a b R c di a bi ++⎛⎫∈ ⎪-+-⎝⎭的二阶复矩阵所成的集合作成一个环K ，这个环的每一个非零元素都有逆元，K 是不是域？证明：1°集合K 对于矩阵的加法和乘法都是封闭的． 设11111111a b i c d i A c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭，22222222a b i c d i B c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭K ∈， 那么1212121212121212()()()()()()()()a a b b i c c d d i A B c c d d i a a b b i ++++++⎛⎫+= ⎪-++++-+⎝⎭K ∈，记11111111a b i c d i A c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭=αββα⎛⎫⎪-⎝⎭，22222222a b i c d i B c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭=ξηηξ⎛⎫⎪-⎝⎭，那么AB αβξηβαηξ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=αξβηαηβξβξαηβηαξ⎛⎫-+⎪---+⎝⎭=()αξβηαηβξαηβξαξβη⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭K ∈； 2°零矩阵00000000i i O i i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭K ∈，且A O O A A +=+=； 3°设11111111a b i c d i A c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭=αββα⎛⎫⎪-⎝⎭K ∈，那么有逆元A -=αββα--⎛⎫ ⎪-⎝⎭K∈，且()()A A A A O +-=-+=，4°所以K 作成一个环．且K 有单位元I ．设A =αββα⎛⎫ ⎪-⎝⎭是任何一个非零元，那么A=αββα-=ααββ+=22αβ+0≠．从而1A -=1Aαββα-⎛⎫ ⎪⎝⎭存在，但矩阵乘法不满足交换律，故K 不是域．13． 在15Z 中，找出适合方程21x =的一切元素．解：在15Z ={}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14中，211(mod15)=，24161(mod15)==， 2111211(mod15)==，2141961(mod15)==．故在15Z 中， 适合方程21x =的元有1,4,11,14．14． 证明，一个特征为0的域一定含有一个与有理数域同构的子域；一个特征为0p >的域一定含有一个与pZ 同构的子域．证明：(i)设F 是特征为0的域，那么F 含有单位元e ，所以对于任意整数n 来说，都有ne F ∈，令1{|}F ne n Z =∈,因为当且仅当0n =时,0ne =，所以,:n Z nne σ∀∈是Z 到1F 的双射,且显然是同构映射,令12{()()|,,0}F me ne m n Z n -=∈≠,那么12F F F ⊆⊆.对mQ n ∀∈,规定1:()()m me ne nτ-,那么τ是Q 到2F 的双射,且1212,m m Q n n ∀∈,1212()m m n n τ+=121212()m n n m n n τ+=1121212()()m n n m e n n e -+111122()()()()m e n e m e n e --=+=11()m n τ+22()mn τ11212121212121112112212()()()()()()()()()()m m m mm m e n n e n n n n m m m e n e m e n e n n ττττ---====所以2Q F ≅,所以2F 是域,且是F 的子域.(ii)设F 是一个特征为p >0的域, e 是F 的单位元,令1{0F =,,2,,(1)},ppe e e p e i Z =-∀∈,规定:iie σ,且是p Z 到的一个双射. ,p i j Z ∀∈且,0,,0j i kp r r p ij lp s s p +=+≤<=+≤<,故,i j r ij s +==那么()()()i j r re kpe re i j e ie je σσ+==+=+=+()()()()ij s se lpe se ije ie je σσ===+==.所以,σ是pZ 到1F 的同构映射.因为p 是素数,pZ 是域,所以1F 是的一个F 与pZ 同构的子域.15. 令2F Z =是仅含两个元素的域.[]F x 是F 上一元多项式环.(i)证明,21x x ++是[]F x 中唯一的二次不可约多项式.(ii)找出[]F x 中一切三次不可约多项式.解: (i)在[]F x 中二次多项式有222,1,x x x x ++,21x x ++,其中前三个多项式可约.因为0,1不是21x x ++的根,所以21x x ++是[]F x 中唯一的二次不可约.(ii) []F x 中三次多项式有3323332,,,1,x x x x x x x x x +++++,323321,1,1x x x x x x x +++++++.其中不可约多项式只有321x x ++和31x x ++。

第一章基本概念一 综述 1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二 重点、难点1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1 集 合一 教学思考1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二 重点、要求1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素. 常用大写字母A 、B 、C K 表示集合,用小写字母a 、b 、c K 表示集合的元素.若a 是集合A 的元素,就说a 属于A,记作A a ∈,或者说A 包含a.若a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作a ∉A,或者说A 不包含a.常采用两种方法：（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如{}K ,3,2,1=A . （2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如{}043|2=-+=x x x B 表示方程0432=-+x x 的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用Φ表示.约定：Φ是任何集合的子集.3．集合间的关系：（1） 设A 、B 是两个集合.子集：若A 的每个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集.（即若""B x A x ∈⇒∈∀）.记作B A ⊆（读作A 属于B ）；或者A B ⊇（读作B 包含A ）.相等：若集合A 和B 是由完全相同的元素组成的,则称A 与B 相等,记为A=B.（2）性质：（由定义易得）A ）A A ⊆；（反身性）B ）若C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,；（传递性）C ）B A ⊆且A B ⊆⇒A=B.（反对称性）4．几个常用的数集（略）5．集合的运算（由两个集合得到一个新的集合）——交、并、补、卡氏积：设A 、B 是两个集合（1）并：由A 的一切元素和B 的一切元素组成的集合叫做A 与B 的并集,简称并.记作B A Y .即{}B x A x x B A ∈∈=或,|Y .（2）交：由集合A 与B 的公共元素组成的集合,叫做A 与B 的交集,简称交.记作B A I .即{}B x A x x B A ∈∈=但,|I . （3）余（差、补）：由一切属于A 而不属于B 的元素组成的集合,叫做B 在A 中的余（补）集,或称为A 与B 的差集.记作A-B.即{}B x A x x B A ∉∈=-,|.（4）积（卡氏积）：由一切元素对),(b a 所成的集合称为A 与B 的笛卡儿积（简称为积）.其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为B A ⨯.即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,|),(.1．2 映 射一 教学思考 1．映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念（包括相等）及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.2．概念多且成系列,注意 帮助学生弄清概念的实质（包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广）,注意训练从定义验证有关问题（给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射）的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例（内容与作业中皆有此问题）.二 内容、重点、要求1． 内容：映射、单、满、双（可逆）映射的概念、映射的合成等.2． 重点：映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.3． 要求：理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.三 教学过程1．概念与例子定义1. 设A 、B 是两个非空集合,A 到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于,x A y B ∀∈∃∈与它唯一对应.例子：（1）对,,Z n Z ∈∀令n n f 2)(=.（2）{}2)(,.0|,x x f R x x x B R A =∈∀≥==. （3）{}14,43,32,21:.,4,3,2,1ααααf B A ==. （4）*设A 是任一集合,对x x f A x =∈∀)(,. 这是A 到自身的一个映射（称为A 的变换）,称为恒等映射（此为恒等变换）,记为A j .定义2. 设B A g B A f →→:,:都是A 到B 的映射,若对,A x ∈∀都有)()(x g x f =,则称映射f 与g 相等,记为g f =. 如：2,:;,:x x R R g x x R R f αα→→.有g f =.2．映射的合成（1）定义3. 设C B g B A f →→:,:是两个映射,对A x ∈∀,有B x f ∈)(,从而C x f g ∈))((,这样,对,A x ∈∀就有C 中唯一的))((x f g 与之对应,就得到A 到C 的一个映射,这个映射是由:f A B →和C B g →:所决定的,称为f 与g 的合成.记作f g ο.即：))((,:x f g x C A f g αο→.例子：x x R R g x x R R f sin ,:;,:2αα→→ .则x x R R g f x x R R f g 22sin ,:;sin ,:αοαο→→.（2）映射合成满足结合律：设,:,:,:D C h C B g B A f →→→则由合成映射的定义可得D A →的两个映射：f g h f g h οοοο)(),(,则f g h f g h οοοο)()(=.3．几类特殊映射定义4. 设,:B A f →对,A x ∈∀有B x f ∈)(,则所有这样的象所作成B 的子集,用)(A f 表示,即{}A x x f A f ∈=|)()(,叫做A 在f 下的象,或叫做映射f 的象.（1）满射: 定义5. 设B A f →:是一映射,若B A f =)(,则称f 是A 到B 上的一个映射,也称f 是一个满射.（2）单射: 定义6. 设B A f →:是一个映射,若对A x x ∈∀21,,只要21x x ≠,就有)()(21x f x f ≠,则称f 是A 到B 的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7. 若B A f →:既是单射又是满射,即1）若 A x x x x x f x f ∈∀=⇒=212121,,)()(；2）B A f =)(.则称f 是A 到B 的一个双射.特别若f 是A 到A 上的一个1-1对应,就称f 为A 的一个一一变换；有限集A 到自身的双射称为A 的一个置换.如：A j 是A 的一个一一变换,同样B j 是B 的一个一一变换.由映射合成及相等：若:f A B →,则有,A B f j f j f f ==o o .TH1.2.1令:f A B →是一个映射,则：下述两条等价：1）f 是双射；2）存在:g B A →使得,A B g f j f g j ==o o .且2）成立时,其中的g 由f 唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射定义8. 设:f A B →,若存在:g B A →,使得,A B g f j f g j ==o o ,则称f 是可逆映射,且称g 为f 的逆映射.求其逆的方法由定理知：:f A B →可逆⇔f 是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f 可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知f 可逆时其逆唯一为:,g B A y x →a （若())f x y =（即对y B ∈,找在f 下的原象）.（5）代数运算引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(,)a b ,有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是Z Z Z ⨯→的一个映射：:(,)a b a b ++a .同样实数乘法亦然.一般地：定义9. 设A 是一个非空集合,我们把A A A ⨯→的一个映射叫做集合A 的一个代数运算.若集合A 有代数运算σ,也说A 对σ封闭.1.3 数学归纳法一 教学思考1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法——数学归纳法；对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自身的理论证明,为此需要一个原理——（自然数集的）最小数原理.2. 本节主要讲清最小数原理（给出分析证明及必要的说明）,以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释——从特殊认识一般的思想方法,及数学归纳法应用中的关键（第二步）的突破.二 内容、重点、要求1. 内容：最小数原理、数学归纳法（第一、第二）.2. 重点：数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.3. 要求：了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用.三 教学过程引言：现实生活中经常使用这种方法：即首先考察、研究某些个别特殊的事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.1. 数学归纳法的基础——自然数集的一个基本性质：最小数原理最小数原理：自然数集N *的任一非空子集S 必含有一个最小数,即a S ∃∈,对,c S ∀∈都有a c ≤. 2. 数学归纳法TH1.3.1（第一数学归纳法）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设n k =时成立,则当1n k =+时也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.TH1.3.2（第二数学归纳法原理）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设命题对于一切小于k 的自然数都成立时,命题对于k 也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.1.4 整数的一些整除性质一 教学思考1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适应.2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.二 内容、重难点、要求1. 内容：整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.2. 重难点：带余除法、最大公因数的性质定理的证明.3. 要求：掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.三 教学过程引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数（和最小公倍数）的理论（进一步证明了非常有用的算术基本定理）,这些都是初等数论的基本内容.注意：本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,因而不要盲目地相当然,要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1. 整除、带余除法（1）整除A ）定义1. 设,a b Z ∈,若d Z ∃∈使得b ad =,则称a 整除b （或b 被a 整除）.用符号|a b 表示.这时a 叫做b 的一个因数,而b 叫做a 的一个倍数.若a 不整除b （即对,d Z ad b ∀∈≠）,记作|a b .B ）整除的性质：1）|,||a b b c a c ⇒； （传递性）2）|,||();a b a c a b c ⇒+3）|,|a b c Z a bc ∀∈⇒；4）由2）、3）|,,1,2,3,,|i i i i a b c Z i n a b c ∀∈=⇒∑L ；5）1|,|0,|()a a a a a Z ±±∀∈；由此任意整数a 有因数1,a ±±,它们称为a 的平凡因数；6）若||a b a b ⇒±±；7）|a b 且|b a a b ⇒=或a b =-.（对称性）(2) 带余除法“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有： TH1.4.1(带余除法) 设,a b Z ∈,且0a ≠；那么,q r Z ∃∈使得b aq r =+ 且0r a ≤≤.满足上述条件的,q r 是唯一的.2. 最大公因数、互素（1）最大公因数A ）定义2. 设,,a b Z d Z ∈∈,若d 满足：1）|d a 且|d b （即d 是a 与b 的一个公因数）；2）若c Z ∈且|,||c a c b c d ⇒（即d 能被a 与b 的任一个公因数整除）.则称d 为a 与b 的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数.B ）最大公因数的存在性（及求法）TH1.4.2 任意n (2)n ≥个整数12,,,n a a a L 都有最大公因数；若d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,则d -也是；12,,,n a a a L 的两个最大公因数至多相差一个符号.C ）性质TH1.4.3 设d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,那么12,,,n t t t Z ∃∈L 使得1122n n d t a t a t a =+++L .略证：若120n a a a ====L ,则0d =,从而对i t Z ∀∈都有11220n n t a t a t a =+++L ；若i a 不全为0,由证明过程知结论成立.（2）互素定义3. 设,a b Z ∈,若(,)1a b =,则称,a b 互素；一般地设12,,,n a a a Z ∈L ,若12(,,,)1n a a a =L ,则称12,,,n a a a L 互素.TH1.4.4 n 个整数12,,,n a a a L 互素12,,,n t t t Z ⇔∃∈L 使得11221n n t a t a t a +++=L .3. 素数及其性质（1）定义4. 一个正整数1p >叫做一个素数,若除1,p ±±外没有其他因数.（2）性质1）若p 是一个素数,则对a Z ∀∈有(,)a p p =或(,)1a p =.（注意转换为语言叙述,证易；略）2）a Z ∀∈且0,1a ≠±；则a 可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设p 是一个素数,,a b Z ∈,若|p ab ,则|p a 或|p b .1．5 数环和数域一 教学思考1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与所讨论的范围（数集）有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各自具有的简单性质.3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是：一、“任意数域都包含有理数域”的证法——归谬法；二、给定一个数集验证是否是数环、数域；三、关于数环、数域的深入的问题——因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运算：交、并,那么问题是数环、数域的交、并是否仍是之？从中体会“从定义出发加以验证”以及举例证明的方法.二 教学过程1. 概念定义1. 设S C ⊆且S ≠Φ,若对,a b S ∀∈都有,,a b a b ab S +-∈,则称S 是一个数环.定义2. 设F 是一个数环,若1）F 含有一个非0数；2）若,a b F ∈且0b ≠,则a Fb ∈.则称F 是一个数域.例子：1）整数集为数环,有理数集、实数集、复数集为数域.2）取定a Z ∈,令{}|S na n Z =∈,S 为数环.3）{}2|,,1S a bi a b Z i =+∈=- 是数环.4）{},F a a b Q =+∈ 是数域.2. 性质1）设S 是一个数环,则0S ∈.2）设F 是一个数域,则0,1F ∈.3）有理数域是最小的数域（在集合包含意义下）TH1.5.1 任何数域都包含有理数域Q .。

五、简答题1、 举出一个映射，它不是满射，但是它有逆映射；举出一个映射，它不是单射，但是它有逆映射。

答：实数集上的指数函数y = 2x 是单射而非满射，但是它有逆映射；多项式函数y = x 3-x 是满射而非单射，2、 数环与数域有什么区别？答：定义1 设∅≠R ⊆C ．若对于任意的a ，b ∈R ，都有a + b ，a - b ，a b ∈R ，则称R 是一个数环．显然，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 和复数集C 都是数环．定义2 设F 是一个数环．如果1)F ≠{0}；2)若a ，b ∈F ，且b ≠0，则∈ba F ，那么称F 是一个数域．显然，Q ，R 和C 都是数域，依次叫做有理数域，实数域和复数域．但是，整数环Z 不是数域．由此可见：数域必是数环，数环不一定是数域。

3、 试举出两个不是有理数域、实数域、复数域以外的数域。

答：{},Q a a b Q =+∈，{},Q a a b Q =+∈。

4、 两个数环的交是不是数环，为什么？证：设S 1、S 2是两个数环。

∵0∈S 1，0∈S 2 ∴S 1∩S 2=｛0｝≠ （先证非空），如果a 、b ∈S 1∩S 2则a 、b ∈S 1 a 、b ∈S 2又∵S 1,S 2是数环 ∴a ±b 、 ab ∈S 1 ∈S 2 ∴a ±b 、a ×b ∈S 1∩S 2 ∴两个数环的交是数环。

5、 哪种行列式的初等变换会改变行列式的值？答：交换两行（或两列）的位置，行列式值改变符号； 用一个非零的常数k 乘上某行（或列），行列式值也将变成原来的k 倍； 6、 什么样的方程组叫做齐次线性方程组？答：齐次线性方程组111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L7、 线性方程组的解法有几种？答：消元法和公式法（高斯消元法，克莱姆法则） 8、克莱母规则的使用范围？答：用克莱姆法则须满足两个条件：（1）方程组的个数与未知量的个数相等。