倒易点阵介绍重点26页PPT

a* 1 a , b* 1 b , c* 1 c
bc bc a* V a bc
ca ca b* V bca ab a b c* V c ab
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系

点阵矢量 r * ha * kb * lc * 倒易点阵基本平移矢量：a *, b *, c *
P1S P1 / 源自r* P1SP2 /
•
S0 /
C
O*
r
* P2
P2
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1、劳埃法：单晶体试样固定不动，采用连续X射线
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2、旋转晶体法：单晶体绕与入射线垂直的轴转动。
材料现代研究方法讲义
厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合，表示 衍射条件与衍射方向
反射球（衍射球，厄 瓦尔德球）：在入射线 方向上任取一点C为球 心，以入射线波长的倒 数为半径的球。 产生衍射的条件：若以入 射线与反射球的交点为原 点，形成倒易点阵，只要 倒易点落在反射球面上， 对应的点阵面都能满足布 拉格条件，衍射线方向为 反射球心射向球面上其倒 易结点的方向。
衍射矢量方程及厄瓦尔德图解
材料现代研究方法讲义
衍射矢量方程
s s0 (HKL) 衍射矢量
s s 0 2 S sin 2sin 1 s s0 d HKL
s s0 r
* HKL
r * H a * Kb * Lc *
材料现代研究方法讲义
r * ha * kb * lc *
以 a *, b *, c * 为新的三个基矢， 引入另一个点阵，显然该点阵 ca 中的点阵矢量 r * ha * kb * lc * b* V 的方向就是晶面(hkl)的法线方 ab 向，该矢量指向的点阵点指数 c* V 即为hkl。 倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面

n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )

相应的位向差为
2

2
( S S0 )

OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
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概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。

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大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl

2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。

倒易点阵
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
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25
点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
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ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。

8
衍射条件
设:入射线波长为λ ,入 射线方向为单位矢量S0, 衍射线方向为单位矢量S, 那么在S方向有衍射线的 条件是:在与S方向相垂 直的波阵面上,晶体中各 原子散射线的位向相同。 先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
g
1
m
θ
hkl
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )

相应的位向差为
2

2
( S S0 )

OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
6

1. 倒易矢量 ghkl 垂直于正点阵中相应的 [hkl] 晶面，或 平行于它的法向Nhkl 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
7
晶带定理



在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。 图示为正空间中晶体的[uvw]晶带 图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、 （h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒 易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方 向相同. 晶带定理：因为各倒易矢量都和 其晶带轴r=[uvw]垂直，固有 ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就 是晶带定理。
(S-S0)/λ= 2sinθ )/λ=ghkl=1/d
2dsinθ =λ

（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
(1) 两个点阵基矢之间的关系：
ai
bj

2 ij

2，i

0，i

j j
b1 b2 b3

2 2 2
a2 a3
V a3 a1
a1
V
a2
V
(2) 两个点阵格矢之间的关系：
为什么在倒易关系中存在2π 因子，这是因为如此定 义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的
恒等式：
eiGT 1
(3) 两个点阵原胞体积之间的关系：
V* b1 (b2
b3 )
(2 )3
V
可见V*与V互为倒数
上式利用了 A B C ( A C)B ( A B)C
体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞
常数为 4 。 a
c. 面心立方晶格
a1 a2 a3

a
2 a
2 a
2
(j (i (i

k) k) j)

bbb1232a22aa(((iii
8面体的体积是9( 2π )3， 2a
而第一布里渊区的体是积8( 2π )3 2a
因此正8面体不是第布一里渊区。
—— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
布里渊区示意图3-2
Γ：2 0,0,0
a
X：2 1,0,0
a
K：2 3 , 3 ,0
a 4 4
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n

单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
1.1.2 晶体学点群 对称要素 晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作所构成的点群来进
行分类的。 群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素
的集合。
晶体的独立宏观对称要素共有8种，即
1，2，3，4，6，i，m，4
对称中心的国际符号 形象法表示
等效位置，+、—号表示正反面， ，左右手的变化
对称的极图表示
2) 电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体 产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向。 因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍 射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面。

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Ewald图解
设S0与S分别为入射线与反 射线方向单位矢量，S-S0称 为衍射矢量，则反射定律可 表达为：S0与S分居反射面 （HKL）法线（N）两侧且 S0、S与N共面，S0及S与 （HKL）面夹角相等（均为 θ）。据此可推知S-S0∥N （此可称为反射定律的数学 表达式），如图所示。
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第一 从已知条件中能读出多少内容： 1. 从|a|=3Å，|b|=2Å，gamma=60°，c//a×b可以看 出：这个点阵是一个简单单斜点阵 这个点阵是一个简单单斜点阵；a、b俩基矢间的夹角 这个点阵是一个简单单斜点阵 为60°；c轴垂直于a、b俩基矢所在平面；|c|没给出 没给出。 ； 没给出 2. 所求倒易矢为 g*110与g*210 。 第二，理清思路： 根据倒易矢与相应正点阵晶面之间的关系可知，所求倒易 矢的方向分别为正点阵中（110）和（210）晶面的法向， 倒易矢模长分别为晶面间距d110和d210的倒数。
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倒易点阵的性质
倒易点阵是衍射波在空间的方位与强度的 分布。倒易空间的每一阵点都和正空间的相 应的晶面族对应。 1. 定义：设a、b、c为正空间单胞的三基矢， a、b、c a* 、b * 、c *为倒空间单胞的三基矢，则： a* • a = b* • b = c* • c = 1 (1) a* • b = b* • c = c* • a = a* • c = b* • a = c* • b=0 (2) （1）决定了倒易矢的长度；（2）给出了方向。
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讨论衍射矢量方程的几何图解形式
衍射矢量方程的几何图解如图所 示，入射线单位矢量S0与反射晶面 （HKL）倒易矢量R*HKL及该晶面反 射线单位矢量S构成矢量三角形（ 称衍射矢量三角形）。该三角形为 等腰三角形（S0=S）；S0终点是倒 易（点阵）原点（O*），而S终点 是R*HKL的终点，即晶面对应的倒易 点，S与S0之夹角为2θ，称为衍射 角，2θ表达了入射线与反射线的方

n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )

相应的位向差为
2

2
( S S0 )

OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
A
S 0 /
O
倒易球
衍射的极限条件
可见，能获得衍射的最
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl

2
S /
的晶面不

1/
2 C S 0 /
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
2
1/
A
S0 /
O
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
S0 /
倒易点阵
倒易点阵几何 衍射条件 爱瓦尔德图解法 粉末衍射法

1
倒易点阵简介
布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此. 倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠 定了基础.

a * b a c 1 0 0 0 1 0 0 0 1

* b
* c

构成倒易点阵，
* * * * rhkl ha kb lc
又称波矢空间。 a ·a* = b ·b* = c ·c* =1，
a ·b* = a ·c* = b ·c* = 0，
2 1 / a * cos G* ab 0
cos * ab 1/ b2 0
h h c* k l

k
0 0 1/ c2
h l G * k l
（二）、倒易点阵与正点阵的关系
333, 511
521 440 433, 530 442, 600 532, 611 620 531 442, 600
440
620
541
622 631 444 533 622
444
Indexing of cubic reciprocal lattices
001 002 002
010
000 200 100
简单立方 100 110 111 200 210 211 220
体心立方 110
面心立方
1 2 3 4 5 6 8
111 200 211 220 220 200
立方系指数表 （续）
9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 24 221, 300 310 311 222 320 321 400 322, 410 330, 411 331 420 421 332 422 221, 300 310 311 222 320 321 400 322, 410 330, 411 331 420 421 332 422

正空间的晶面(hkl)可用倒空间的一个点hkl表示，正空间 中同一根晶带轴[uvw]的所有晶面可用倒空间的一个倒易 阵 面 (uvw) * 来 表 示 ， 广 义 晶 带 中 的 不 同 倒 易 阵 面 可 用 (uvw)N*表示。
倾斜大圆
平行于赤道的小圆 倾斜于赤道的小圆 垂直于赤面的小圆
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二、极式网与乌式网
1.极式网： 将经纬线坐标网以其本身的赤道平面为投影面，作极射赤面投影， 所得的极射赤面投影网。 由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心圆分别表示经 线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影 基圆直径。 基圆直径为20 mm，等分间隔为2°
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2023年10月17日1时53分
概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
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2023年10月17日1时53分
五、倒易点与正点阵中的(hkl)晶面的对应关系
g*hkl的基本性质表达了与（hkl）的一一对应关系，即一 个g *与一组（hkl）对应；
g* hkl的方向与大小表达了（hkl）在正点阵中的方位与晶 面间距，反之，（hkl）决定了g *的方向和大小；
g* hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（hkl） 的一一对应关系：
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
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2023年10月17日1时53分
四、倒易点阵的基本性质

倒易点阵的概念
• 定义 用a, b, c表示基矢量，用a*, b*, c*表示倒 易点阵的基矢量，则 •
倒易点阵的两个基本性质
• 倒易矢量的定义：从倒易点阵原点向任一倒易 点阵的阵点所连接的矢量叫倒易矢量。 r*=Ha*+Kb*+Lc* 1)r*HKL(HKL) , r*垂直于正点阵的（HKL）晶面；
倒易点阵
•倒易点阵的特点 •倒易点阵的概念 •倒易点阵的两个基本性质
倒易点阵的特点(从物理角度讲)
正点阵 从实际晶体结构中抽象出来,正点 阵与晶体的结构相关，是物质空 间（正空间）。
倒易点阵
由正点阵派生出的一种几何图象。 倒易点阵与晶体的衍射现象相关， 反映的是衍射强度分布
倒易点阵的特点
• 利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射 问题，使几何概念清楚，数学描述简化。 • 晶体点阵中的二维平面在倒易空间中对 应一个零维的倒易阵点。 • 晶面间距和取向两个参量在倒易空间中 仅用一个倒易矢量表示。
2）| r*HKL|=1/dHKL

第八章 倒易点阵简介
倒易点阵几何 衍射条件 爱瓦尔德图解法 粉末衍射法
1
倒易点阵简介
布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此.
倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠 定了基础.
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倒易点阵几何
倒易点阵的概念 倒易点阵的定义 倒易点阵的性质 晶带定理
(2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没 有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。
(3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
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概念回顾
以A为圆心，1/λ为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。
(S S0)ha*kb*lc*ghkl
满足衍射条件的矢量方程。 X射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方
程均可由该矢量方程导出。
布拉格方程推导 ghkl
1
S2
m
θ
A
θ
θ
(S-S0) (HKL)
n
S0
O
S-S0=Ssinθ+ S0sinθ= 2sinθ
(S-S0)/λ= 2sinθ)/λ=ghkl=1/d
ghkl
m
θ
A
θ
θ
n O
光程 差 O nAm OA SOA S0
OA (SS0)
S2 (S-S0) (HKL)
S0
相应的位向差为 22(SS0)OA
OApaqbrc 其中p、q、r是整数