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§1.5 倒易点阵

§1.5 倒易点阵

′ ′ ′ ′ ′ ′ = 2 π( l1h1 + l 2 h2 + l 3 h3 )
= 2 πµ
3.
(2π)3 Ω* =
Ω* = b 1 ⋅ b 2 × b 3
3
(
Ω
分别为正、倒格原胞体积) (其中Ω和Ω*分别为正、倒格原胞体积 其中
)
) [( ) ( )]
2π = a2 × a3 ⋅ a3 × a1 × a1 × a2 Ω
′ ′ ′ Rl′ = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3
′ ′ ′ K h′ = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
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第一章 晶体结构
′ ′ ′ ′ ′ ′ Rl′ ⋅ K h′ = (l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3 ) ⋅(h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 )
2π a
2π a
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第一章 晶体结构 例2：证明体心立方的倒格是面心立方。 证明体心立方的倒格是面心立方。 体心立方的原胞基矢： 解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a a
2
3
a = − i + j + k 2 a i − j + k = 2 a i + j − k = 2
( ( (
a a 2 +k 2 a a 2 2
−
a 2 a 2
a2 a2 j+ k = 2 2
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第一章 晶体结构
a2 a2 a2 × a3 = j + k 2 2
2π b1 = a2 × a3 = Ω

1-4倒格子ppt课件

1-4倒格子ppt课件

证明提示：设晶面ABC是晶面族 （h1h2h3）中最靠近原点的晶面，
截距分别为
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
a3
G
C
a3/h3
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
思路：能证明 G 同时垂直于CA 和CB ，即能证明 G 垂直
于面ABC。 9
简单证明如下：

G
为正格子原胞体积
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
2
2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间
基矢
正格子空间 倒格子空间
a1, a2 , a3
b1

2
a2
a3

v
b2

2
a3 a1 v
b3

2
a1 a2

v
位置矢量 R l1a1 l2a2 l3a3
a
K h h1b1 h2 b2
倒格是边长为
2π
的正方形格子。
a
24
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a 3 a i j k 2
b1 2π a2 a3 Ω
j
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
2π
b3 a i j
体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
26
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为

2-4-倒易点阵

2-4-倒易点阵

第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。

矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。

相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。

显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。

我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。

其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。

5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。

倒易点阵

倒易点阵

倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢

晶体学基础-倒易点阵

晶体学基础-倒易点阵

倒易点阵晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。

倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形（倒易空间），是晶体点阵的另一种表达形式。

将晶体点阵空间称为正空间。

倒易空间中的结点称为倒易点。

部分。

a a * = b把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得正点阵与倒易点阵的关系•O 点到(hkl)晶面的垂直距离就是晶面间距d hkl 。

倒数关系（大小）●d hkl =h a H H H1=•确定倒易矢量H ，就确定了正点阵晶面。

S hkl P 及Q ⊥•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。

(倒—Reciprocal)进行矢量相乘并且展开。

a H hkl •在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl ]的倒易矢量H hkl = ha* +kb* +lc*•H hkl 必和正点阵的(hkl )面垂直，•即倒易点阵的阵点方向[hkl ]*和正点阵的(hkl )面垂直：[hkl ]*⊥(hkl )。

CBAx y z(010)(100)(001)a例：由单斜点阵导出其倒易点阵•单斜点阵：b轴垂直于a和c轴。

左图图面为（010）面。

•从作图可以看出，正点阵和其对应的倒易点阵同属一种晶系。

把上面三个式子写成矩阵形式：•同理，可按下式求出与方向指数为[uvw]的方向相垂直的面的面指数(hkl):•例如，对立方系而言，a*●a* = b* ●b* = c*●c *=1/a2;a*●b* = b* ●c* = c*●a *=0;•u:v:w=h:k:l。

所以(hkl)面的法线指数和面指数同名，即为[hkl]。

倒易点阵介绍

倒易点阵介绍
倒易点阵
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
24
25
点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
7
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。

倒易点阵

倒易点阵

由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*

根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a

倒易点阵

倒易点阵

§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。

通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。

1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。

也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。

倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。

它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。

一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。

若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。

倒易点阵

倒易点阵

材料现代研究方法X射线衍射方法 综合热分析 紫外光谱 红外光谱 XPS光电子能谱2倒易点阵1. 倒易点阵的定义； 2. 倒易点阵与正点阵的倒易关系； 3. 倒易点阵参数；倒易点阵Questions: 1. 什么是倒易点阵？天下本无事，庸人自扰之？ ☺ 非常有用!2. 倒易点阵有用吗？ 3. 为什么要引入倒易点阵概念?能简化（1）晶面与晶面指数表达；（2）衍射原理的表 达；（3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部 部分。

晶体X射线衍射的核心，是对晶体中各个晶面的研 究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为！5倒易点阵晶体XRD衍射图谱 晶体电子衍射花样我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上是满 足衍射条件的倒易阵点的投影。

61.倒易点阵的定义倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系 建立起来的空间几何图形。

每种空间点阵都存在着与其相对应的倒易空间点阵， 它是晶体点阵的另一种表达方式。

用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推演简化。

晶体点阵空间称为正空间，结点为阵点。

倒易空间中 的结点称为倒易点。

71.倒易点阵的定义简单点阵001 101简单点阵的倒易点阵011 111010 100 110点阵: 原点、基矢量、 阵点、晶向、晶面倒易点阵: 原点、倒易基矢量、 8 倒易点、倒易矢量、倒易面1.倒易点阵的定义1）倒易矢量倒易矢量的定义 从倒易点阵原点向任一倒易阵点 所连接的矢量叫倒易矢量，表示 为： r* = ha* + kb* + lc*2）倒易矢量的两个基本性质1）倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。

2）倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。

倒易阵点用它所代表的晶面的面指数(干涉指数)标定。

91.倒易点阵的定义晶面族所对应的倒易点a/2 上图画出了(100)、(200)晶面 (100) 族所对应的倒易阵点，因为 (200)的晶面间距d200 是d100 的一 半，所以(200)晶面的倒易矢量 长度为(100)的倒易矢量长度的 000 C* 二倍。

第1章倒易点阵及电子衍射基础ppt课件

第1章倒易点阵及电子衍射基础ppt课件

单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
1.1.2 晶体学点群 对称要素 晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作所构成的点群来进
行分类的。 群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素
的集合。
晶体的独立宏观对称要素共有8种，即
1，2，3，4，6，i，m，4
对称中心的国际符号 形象法表示
等效位置，+、—号表示正反面， ，左右手的变化
对称的极图表示
2) 电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体 产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向。 因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍 射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面。

倒易点阵

倒易点阵
r r G h1 k1l1 = h1 a ′ + k 1b ′ + l1 c ′ r r r r G h2 k 2 l 2 = h2 a ′ + k 2 b ′ + l 2 c ′ r r r r G h1 k1l1 ⋅ G h 2 k 2 l 2 = G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2 cos ϕ r r G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2 cos ϕ = r ⋅ r G h1 k1l1 G h 2 k 2 l 2
d hkl 1 = r G hkl
2)
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就 是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
r c
C
(hkl)
c l
d hkl
r G hkl
O
a h
b k
B
r b
A
1 r 1 r 证明1)：BA = a − b h k r r r r ⎛ 1 r 1 r⎞ BA ⋅ G hkl = ⎜ a − b ⎟ ⋅ h a ′ + k b ′ + l c ′ k ⎠ ⎝h r r r r r r b ×c c×a = a⋅ r r r −b⋅ r r r = 0 a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c )
r a r b
课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量 G100、G010、G110示意图：
r b r a
G100 G110 G010
(110)
(100) (010)
第三章：倒易点阵 § 3.2 倒到易点阵的定义及应用 正交归一性(本质)： r
r r a ′ ⋅ a = 1, r r b ′ ⋅ b = 1, r r c ′ ⋅ c = 1, r a ′ ⋅ b = 0, r r b ′ ⋅ c = 0, r r c ′ ⋅ a = 0,

倒易点阵

倒易点阵

倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。

暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。

衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。

二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。

透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。

结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。

这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。

焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。

焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。

透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。

弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。

倒易空间Ewald图解.ppt

倒易空间Ewald图解.ppt

2011-12-5
7
Ewald图解
设S0与S分别为入射线与反 射线方向单位矢量，S-S0称 为衍射矢量，则反射定律可 表达为：S0与S分居反射面 （HKL）法线（N）两侧且 S0、S与N共面，S0及S与 （HKL）面夹角相等（均为 θ）。据此可推知S-S0∥N （此可称为反射定律的数学 表达式），如图所示。
2011-12-5 15
第一 从已知条件中能读出多少内容： 1. 从|a|=3Å，|b|=2Å，gamma=60°，c//a×b可以看 出：这个点阵是一个简单单斜点阵 这个点阵是一个简单单斜点阵；a、b俩基矢间的夹角 这个点阵是一个简单单斜点阵 为60°；c轴垂直于a、b俩基矢所在平面；|c|没给出 没给出。 ； 没给出 2. 所求倒易矢为 g*110与g*210 。 第二，理清思路： 根据倒易矢与相应正点阵晶面之间的关系可知，所求倒易 矢的方向分别为正点阵中（110）和（210）晶面的法向， 倒易矢模长分别为晶面间距d110和d210的倒数。
2011-12-5
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2011-12-5
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倒易点阵的性质
倒易点阵是衍射波在空间的方位与强度的 分布。倒易空间的每一阵点都和正空间的相 应的晶面族对应。 1. 定义：设a、b、c为正空间单胞的三基矢， a、b、c a* 、b * 、c *为倒空间单胞的三基矢，则： a* • a = b* • b = c* • c = 1 (1) a* • b = b* • c = c* • a = a* • c = b* • a = c* • b=0 (2) （1）决定了倒易矢的长度；（2）给出了方向。
2011-12-5 8
讨论衍射矢量方程的几何图解形式
衍射矢量方程的几何图解如图所 示，入射线单位矢量S0与反射晶面 （HKL）倒易矢量R*HKL及该晶面反 射线单位矢量S构成矢量三角形（ 称衍射矢量三角形）。该三角形为 等腰三角形（S0=S）；S0终点是倒 易（点阵）原点（O*），而S终点 是R*HKL的终点，即晶面对应的倒易 点，S与S0之夹角为2θ，称为衍射 角，2θ表达了入射线与反射线的方

倒易点阵

倒易点阵

正点阵基矢间夹角和倒点阵 基矢间夹角间的关系
• 根据基矢之间的夹角的定义，有 • 把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得
• 最后得 • 同理得 • 按同样的方法，可用倒易点阵的α*、β*、γ*来表示正点阵的 α、β、γ。
正点阵与倒易点阵的关系
a
Hhkl
垂直关系（方向）
在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl]的 倒易矢量 Hhkl = ha* +kb* +lc* Hhkl必和正点阵的(hkl)面垂直， 即倒易点阵的阵点方向[hkl]*和正点阵的(hkl) 面垂直：[hkl]*⊥(hkl)。
晶体学基础
倒易点阵
Outline
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质
• 由正点阵导出倒易点阵 • 倒易矢量在晶体学中几何关系的应用
倒易点阵引入（1）
• 1913-1921年Ewald根据Gibbs倒易空间概念提出了倒易点阵。 • 晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。 • 用3个基失a, b, c表示某晶面的法向矢量Shkl。
• 底心点阵的倒易点阵仍为底心点阵，如果是C面有 心化，倒易点阵单胞的棱长已不是a*, b*, c*，而是 2a*, 2b*, c* 。单胞体积变为正点阵单胞的4倍。
SUMMARY
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质（垂直及倒数关系） • 如何由正点阵导出倒易点阵 • 求点阵平面的法线方向指数
倒易点阵定义
点阵参数分别为a, b, c和a*,b*,c* 的两个点阵的基矢存在如下关系：
则，这两个点阵互为倒易。 正点阵晶胞体积为V，则 V = a●b×c 因a ● a*=1，则 a* =(b×c)/V 同理 b* =(c×a)/V; c* =(a×b)/V 同理 a =(b* ×c*)/V*; b =(c* ×a *)/V*; c =(a* ×b)/V* 正点阵晶胞体积与倒易点阵晶胞体积之间也存在倒易关系，即 V● V*≡1

倒易点阵

倒易点阵

§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。

通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。

1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。

也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。

倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。

它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。

一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。

若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。

2.4倒易点阵、晶带

2.4倒易点阵、晶带
| a| ax2 a y2 az2
倒易点阵的数学表达形式
设V为正点阵单胞的体积
因为 (a b) // c
所以 c a b V
V c.(a b)
c 1 d(h,k ,l)
同理 b a c V
a bc V
按同样的方法可得
倒易点阵的性质
（1）正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1， 不 同名基矢的点积为0.
倒易点阵
❖ 人们在研究晶体对X射线或电子束的衍射效应时知道， 某晶面（h,k,l)能否产生衍射的重要条件是该面相对 于入射束的取向，以及晶面间距d(h,k,l)。
❖ 因此为了从几何上形象地描述衍射条件，人们试图 找到一种新的点阵，使该点阵的每一结点都对应着 点阵中的一定晶面，即不仅反映该晶面的取向，而 且还反映晶面间距。
33 3
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晶面间距公式的推导：从
Z
C
原点作(h k l)晶面的法线，
γ
N
则法线被最近的(h k l)面所
D
O
β
交截的距离就是。
α
BY
A
dhkl
a h
cos
b k
cos
c l
cos
X 晶面指数与晶面位向间的关系
d2 hkl
h a
2
k b
2
l c
2
cos2
cos2
cos2
正交晶系
dhkl
所以，只要晶面指数一旦确定，晶面位向即可求得。 因此，晶面（hkl）的法线矢量为：
ON
1
(hi kj lk )
h2 k2 l2
即晶面（hkl）的法线与晶向[hkl]的方向平行

晶体的投影和倒易点阵ppt课件

晶体的投影和倒易点阵ppt课件
正空间的晶面(hkl)可用倒空间的一个点hkl表示，正空间 中同一根晶带轴[uvw]的所有晶面可用倒空间的一个倒易 阵 面 (uvw) * 来 表 示 ， 广 义 晶 带 中 的 不 同 倒 易 阵 面 可 用 (uvw)N*表示。
倾斜大圆
平行于赤道的小圆 倾斜于赤道的小圆 垂直于赤面的小圆
9
二、极式网与乌式网
1.极式网： 将经纬线坐标网以其本身的赤道平面为投影面，作极射赤面投影， 所得的极射赤面投影网。 由一系列直径和一系列同心圆组成，每一直径和同心圆分别表示经 线和纬线的极射赤面投影，经线等分投影基圆圆周，纬线等分投影 基圆直径。 基圆直径为20 mm，等分间隔为2°
3
2023年10月17日1时53分
概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
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2023年10月17日1时53分
五、倒易点与正点阵中的(hkl)晶面的对应关系
g*hkl的基本性质表达了与（hkl）的一一对应关系，即一 个g *与一组（hkl）对应；
g* hkl的方向与大小表达了（hkl）在正点阵中的方位与晶 面间距，反之，（hkl）决定了g *的方向和大小；
g* hkl的基本性质也建立了作为终点的倒易阵点与（hkl） 的一一对应关系：
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
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2023年10月17日1时53分
四、倒易点阵的基本性质

第四章--倒易点阵及晶体衍射方向

第四章--倒易点阵及晶体衍射方向

第四章 倒易点阵及晶体衍射方向1. 布拉格定律一定波长的 X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。

图 4.1 布拉格定律的几何说明如图 4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为 d hkl 的晶体面网组 (hkl), 在人射波前 SS' 处 , 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程 PA+AD = n λ，n 为包括零的整数 , 则两支波离开晶体后达到新波前 TT' 时 , 将具有相同的位相 , 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若 PA+AD ≠ n λ, 则达到TT' 时, 它们位相不同 , 不能相干得到衍射极大。

由图 4.1 可知，PA+AD =2d hkl sin θ=n λ (4.1)此即布拉格方程,n 称为衍射级数。

式(4.1)也可以写成:λθ=⎪⎭⎫⎝⎛sin 2n d hkl (4.1a)因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。

这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 :λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式：λθ/2/1sin hkld =(4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。

式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。

2. 倒易点阵2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵：若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。

（2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a 、b 和 c , 相应点阵的 6 个参数是a 、 b 、 c 、α、β和 γ。

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BCC的倒易点阵就是一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。
四、倒易点阵
A （-1/2，1/2，1/2） B （1/2，-1/2，1/2） D
O
E F H G
（1/2，1/2，-1/2）
四、倒易点阵
C(0,1/2,1/2)
B(1/2,0,1/2)
O
A(1/2,1/2,0)
BCC的倒易点阵就是一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。 FCC的倒易点阵就是一个BCC点阵，晶胞的边长为2/a。
以确定一个正点阵。 同样倒易点阵也可以用三个矢量来确定，即由 a*、b*、c*
三个矢量确定倒易点阵。
a*、b*、c* 即倒易基矢
四、倒易点阵
2 如何确定倒易点阵
2.2 如何确定倒易基矢 ——确定倒易点阵就是确定倒易基矢
a、根据正点阵的基矢 a、b、c 确定倒易点阵的基矢
a*、b*、c*
b、对于一切允许的整数h、k、l作向量( ha* kb* lc* )， 这些向量的终点就是倒易点阵的结点
V= 1 V*
3 .3 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易即：
b* c* a= V*
b=
c* a* V*
c= a* b* V*
四、倒易点阵
3 倒易点阵的基本性质
3 .4 任意倒易矢量 g=ha* kb* lc*
面。
必然垂直于正点阵中的（hkl）
(hkl)
3 .5 任意倒易矢量 的长度与晶面 间距有如下关系
b的. 面新间点距阵的中倒原数点，O到任意结点P(hkl)的距离等于正点阵中{hkl}面
OP 1/d(hkl)
我们将实际晶体中一切可能的的{hkl}面所对应的倒易点都 画出来，由这些倒易点组成的点阵称为倒易点阵。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
在晶体对入射波发生衍射的时候，衍射图谱、衍射波的波矢量、 产生衍射的晶面三者之间存在严格的对应关系。例如在电子衍 射花样中，每一个衍射斑点是由一支衍射波造成的，而该衍射 波是一组特定取向的晶面对入射波衍射的结果，反映该组晶面 的取向和面间距。
• 用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推理简化。可以简单地想象，每一幅单晶的衍射 花样就是倒易点阵在该花样平面上的投影。
四、倒易点阵
2 如何确定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中的a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来代替，那么 a、b、c 就可
（100）
四、倒易点阵
2.2 如何确定倒易基矢 2通过如正何点确阵定，倒可易以点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
同样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞的体积。
（100）
四、倒易点阵
2 如何确定倒易点阵
2.2 如何确定倒易基矢
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
人们在研究晶体对X射线或对电子束的衍射效应时，某晶
面{hkl}能否产生衍射的重要条件就是该晶面相对于入射束的取
向以及晶面间距d(hkl)。
满足： d(hkl)sin=n
-入射角
-波长
这是满足衍射的必要条件，但不是充分条件。
在X射线衍射分析和电子束显微分析等测试技术中将会用 到倒易点阵的知识。
根据
a*、b*、c*
即可作出倒易晶胞（或倒易原胞）
四、倒易点阵
3 倒易点阵的基本性质 3 .1 正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1，不同名基矢的点积为0，即：
a a* b b* b b* 1 a b*=a* b=b c*=b* c=c a*=c* a=0
四、倒易点阵
3 倒易点阵的基本性质 3 .2 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数关系，即：
倒易点阵中出现节点的条件的另一种表述：
倒易点阵中出现（hkl）节点的条件是，晶体中的任意一个原子必须 位于（hkl）平行晶面族的某一晶面上。
四、倒易点阵
4 实际晶体中的倒易点阵
(x, y, z)
hx+ky+lz=n（n=0, 1, 2, 3,……………..）
四、倒易点阵
相当于倒易晶 胞的在（001） 面上的投影
四、倒易点阵
简单六方点阵的倒易点阵仍是一个简单六方点阵。
四、倒易点阵
四、倒易点阵
(1/3, 2/3,1/2) 密排六方晶体的晶胞（六棱柱）和原胞(平行六面体)
c、结点的集合就构成倒易点阵
四、倒易点阵
2 如何确定倒易点阵
2.2 如何确定倒易基矢 假定正点阵中晶胞（原胞）的基矢为 根据倒易点阵与正点阵的对应条件：
a* 应平行于（100）面的法线方向
即： 长度：
a*//(b c)
a* 1 d(100)
a* b c 1 b c d(100)
（1）
a、b、c 。
四、倒易点阵
4 实际晶体中的倒易点阵
倒易点阵中出现节点的条件： 正点阵中相互平行的（hkl）面的全体包含（通过）所有的正点阵节 点。 例如：BCC和FCC的（002）平行晶面族包含了全部原子
（001）平行晶面族只包含了一半原子 所以：在BCC和FCC的倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
M
g =1/d(hkl)
g=ha* kb* lc*
四、倒易点阵
• 倒易点阵的一个点或一个矢g量 hA kB lC 代表正点阵的一族晶面。
• 倒易矢量的长度代表正点阵的晶面间距的倒 数， 矢量的方向代表正点阵的晶面的法线。
• 正点阵的一组二维晶面就可用一个倒易点阵 的一维矢量或零维的点来表示。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
为了从几何学上形象的确定衍射条件，人们就找到一个新 的点阵（倒易点阵），使其与正点阵（实际点阵）相对应。
对应的条件：新点阵中的每一个结点都对应着正点阵的一 定晶面，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结点既反映该晶面的取向也反映该晶面的面间距。
具体条件：
a沿. 正新点点阵阵中中{原hk点l}面O到的任法意线结方点向P。(hkl) （倒易点）的矢量 OP 正好
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了研究衍射波的特性，1921年德国物理学家厄瓦尔 德(P．P．Ewald)引入了倒易点阵的概念。
• 倒易点阵是相对于正空间中的晶体点阵而言的，它是 衍射波的方向与强度在空间的分布。
• 由于衍射波是由正空间中的晶体点阵与入射波作用形 成的，正空间中的一组平行晶面就可以用倒空间中的 一个矢量或阵点来表示。