随机信号分析与应用第一章

第一章 随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。

本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。

基本内容一、概率论 1、古典概型用A 表示所观察的随机现象（事件），在A 中含有的样本点（基本事件）数为A n ，则定义事件A 出现的概率()P A 为 ()An P A n=（1-1）2、几何概型用A 表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为()L A ,则规定事件A 出现的概率()P A 为 ()()()E L A P A L S =（1-2）3、统计概率对n 次重复随机试验C E ，事件A 在这n 次试验中出现的次数()n f A 称为频数。

用事件A 发生的频数()n f A 与试验次数n 的比值()n F A 称为频率()()()n n f A P A F A n≈=（1-3）4、概率空间对随机试验E ，试验的各种可能结果（称基本事件、样本点）构成样本空间E S （也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A （A 中的每一个集合称为事件）。

若事件A ∈A ，则()P A 就是事件A 的概率。

并称{},,E S P A 为一个概率空间，而样本空间E S ，事件域A，概率P 是构成概率空间的三个要素。

二、随机变量1、随机变量的概念 设已知一个概率空间(),,E S P A ，对E s S ∈，()X s 是一个取实数值的单值函数，则对任意实数1x ，()1X s x ≤是一个随机事件，且(){}1:s X s x ≤∈A，则称()X s 为随机变量。

显然，随机变量()X s 总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。

为了方便，此后若无特别需要将随机变量()X s 简记为X 。

2、随机变量的概率密度函数定义随机变量X 的累积概率分布函数为()()F x P X x =≤而把它的导数定义为随机变量X 的概率密度函数。

随机信号分析与处理第一讲目录一、内容概述 (2)1. 课程介绍与背景 (2)2. 课程内容及结构介绍 (3)二、随机信号概述 (4)1. 随机信号定义与分类 (5)2. 随机信号的基本特性 (5)三、随机过程基础 (7)1. 随机过程的概念与分类 (8)2. 随机过程的数学描述方法 (9)3. 概率分布与统计特征 (10)四、随机信号分析方法和工具 (11)1. 随机信号的统计特性分析方法 (12)2. 随机信号的信号处理工具介绍 (13)3. 频谱分析与信号处理工具箱的应用 (14)五、随机信号处理基础 (15)1. 随机信号处理概述 (16)2. 信号滤波与平滑处理 (18)3. 信号检测与估计理论 (20)六、应用实例与案例分析 (21)1. 通信系统中的随机信号处理应用实例 (22)2. 图像处理中的随机信号处理案例分析 (23)3. 控制系统中的随机信号处理案例分析 (24)七、课程展望与复习要点 (25)一、内容概述随机信号分析与处理是通信、电子、信息等工程领域中不可或缺的核心理论基础。

本课程将带领同学们系统地探索随机信号的生成原理、特性分析方法以及处理技术。

从基础的随机过程概念入手，逐步深入到信号的分解、估计与滤波，最终实现信号的重建与识别。

通过本讲的学习，同学们将能够掌握随机信号分析与处理的基本框架和思路，为后续的专业学习和工作实践奠定坚实的基础。

1. 课程介绍与背景随着信息技术的迅猛发展，信号处理作为通信、电子、计算机等学科的核心基础，其在现代科学实验和工程技术中的应用日益广泛。

而随机信号作为信号处理领域的一个重要分支，其分析方法与处理技术对于揭示信号的内在规律、提高信号处理性能具有重要意义。

本门课程《随机信号分析与处理》旨在系统介绍随机信号的基本理论、分析方法以及处理技术。

课程内容涵盖了随机信号的建模、统计特性分析、功率谱估计、滤波器设计、信号分解与重构等多个方面。

通过本课程的学习，学生将能够掌握随机信号处理的基本原理和方法，为在通信、雷达、声纳、生物医学工程等领域中的应用打下坚实基础。

《随机信号分析与处理》教学大纲（执笔人：罗鹏飞教授学院：电子科学与工程学院）课程编号：070504209英文名称：Random Signal Analysis and Processing预修课程：概率论与数理统计、信号与系统、数字信号处理学时安排：60学时，其中讲授54学时，实践6学时学分：3一、课程概述（一）课程性质地位本课程是电子工程、通信工程专业的一门学科基础课程。

该课程系统地介绍随机信号的基本概念、随机信号的统计特性分析方法以及随机信号通过系统的分析方法；介绍信号检测、估计、滤波等信号处理理论的基本原理和信息提取方法。

其目的是使学生通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理的基本概念、基本原理和基本方法，培养学生运用随机信号分析与处理的理论解决工程实际问题的能力，提高综合素质，为后续课程的学习打下必要的理论基础。

本课程是电子信息技术核心理论基础。

电子信息系统中的关键技术是信息获取、信息传输、信息处理，这些技术的理论基础就是随机信号的分析、检测、估计、滤波等理论，这正是本课程的主要内容。

因此，本课程内容是电子信息类应用型人才知识结构中不可或缺的必备知识。

二、课程目标（一）知识与技能通过本课程的学习，掌握随机信号分析与处理基本概念和基本分析方法。

内容包括：1.理解和掌握随机过程基本概念和统计描述；2.掌握随机过程通过线性和非线性系统分析方法3.理解和掌握典型随机过程的特点及分析方法；4.掌握参数估计的概念、规则和性能分析方法；5.掌握信号检测的概念、规则和性能分析方法；6.掌握高斯白噪声中最佳检测器的结构和性能分析。

通过本课程的学习，要达到的能力目标是：1.具有正确地理解、阐述、解释生活中的随机现象的能力，即培养统计思维能力；2.运用概率、统计的数学方法和计算机方法分析和处理随机信号的能力；3.初步具备雷达、通信、导航等技术领域的信号处理系统的分析、设计、仿真的科学研究能力；4.培养自主学习能力；5.培养技术交流能力（包括论文写作和口头表达）；6.培养协作学习的能力；（二）过程与方法依托“理论、实践、第二课堂”三个基本教学平台，通过课堂教学、概念测试、课堂研讨、案例研究、作业、实验、课程论文、网络教学等多种教学形式，采用研究型、案例式、互动研讨、基于团队学习、基于MATLAB的教学以及基于多媒体的教学等多种教学方法和手段，使学生加深对随机信号分析与处理的基本概念、基本原理以及应用的理解，并使学生通过自主学习、小组作业、案例研究、实验、课题论文等主动学习形式，培养自学能力和协同学习的能力，使学生不仅获得知识、综合素质得到提高。

随机信号分析与应⽤第⼀章答案随即信号分析与应⽤习题答案马⽂平李冰冰⽥红⼼朱晓明第⼀章1.1(1)答：(2)答：T 连续⽽E 离散，从⽽此过程为离散型随即过程。

(3)答：由于样本函数未来得值不能由过去的情况准确的预测，从⽽此过程为不确定随机过程。

1.2答：已知A~N(0,1),B~N(0,1)且A 、B 相互独⽴。

故2222121212121(,)()*())exp()2222AB A B x x x x f x x f x f x π+==--=- 1112()Bt ()Bt X t A X t A =+??=+? ? [X(1t ),X(2t )]是（A ，B ）的线性变换∴[X(1t ),X(2t )]服从⼆维正太分布11X 21(X)exp()22T X K X f K π-=-,其中K = 11122122K K K K ??⽽ 222(){[()()]}1x t E X t E x t δ=-=+1t 1t K K ?=+??=+??且1221121K K t t ==+ 最后将k 代⼊1121()exp()22T x X K X f x K π-=-即可得到答案。

1.4(1)答：该过程式确定性随机过程(2)答：X(t)的分布函数为0 x<10.6 1 x<2F ()0.9 2 x<31 3 xX t ??≤?=?≤??≤?∴X(t)的⼀维概率密度函数为X ()0.6(1)0.3f t t δδδ=-+（x-2）+0.1(x-3)1.6答：22212122211222222221212121222E[X(t)] = E[A +B ]()()47R (,)[()()][(A +B )(A +B )][],16.1B B B X t t tE A t E B t t t t E X t X t E t t t t E A t t ABt t ABt t B t t A B A =+=+===+++= 2互不相关E()=D(A)+[E(A)]E()=D()+[E()2222X 1212121212121122121222121224()51.1282851(,)[(()())()()] (,)()() 0.12(,)0.12X x x X x x X t X R t t t t t t t t t t K t t E X t m t X t m t R t t m t m t t t t t K t t t t δ=∴+++=--=-=+==+2]（，）=161.7答：''2'22()[()][()][]2[()][()][()]3dX t dE X t E X t E t212()()[()][cos3] cos31()[()][()]1[()]1cos3sin33()(,)[()()][]cos3cos3xtytxtXY tm t E X t E V t tm t E Y t E X d tE m dtR t t E X t X t E V t tλλλλλλ==========的均值：的相关函数：1212121212120012001212121212cos3cos3 (,)[()()]12cos3cos32sin3sin39()(,)(,)(Yt tt tY Y Yt tR t t E Y t Y tE X U X V dudv t tu vdudvt tt tt tY tK t t R t t m t======-的协⽅差：2121212121212Y2)()2sin3sin3sin3sin399sin3sin39()sin3()(,)9YYm tt t t tt t t tt tt tY ttt K t ttδ=-===的⽅差:1.9 答：12121211111122[()][()]0(,)(,)()()[()] [()()][()]cos [()]sin 0(,)[()()]{[()cos ()sin ][()cos (Z Z E A t E B t t t t t R m t E Z t E X t Y t E A t t E B t t R t t E Z t Z t E A t t B t t A t t B t τ======+=+===++A B 由题知：R R 2212121212121212121212121212)sin ]}[()()cos cos ()()cos sin ()()sin cos ()()sin sin ]()()[()()][()][()]0[()()][()][()]0(,),Z (0)()Z(t)=()()A B Z Z t t t t R t t t t R t t R R t t t t R R X t Y t τττττ+=-==<∞∴+2故与⽆关，只与有关同时E[(t)]=是宽平稳随机过程1.10答：0020000[()][sin()]sin()() sin()2exp[()]exp[()]21exp()[exp()exp(22E X t E a w t a w t fd a w t d j w t j w t d j a jw t jw j+∞Φ-∞+∞-∞+∞-∞=+Φ=+-=++--+==---??00)] [()]()t d w t E X t X t +∞-∞==∴? 是关于t 的函数是⾮平稳的随机过程1.111.11答：12122X X X X X X 2X ()36exp cos 2036 ()()()cos 20()0()36exp 36()()3666[()](0)R t R t R t R t X t R t X t R E X t R ττττ=+=+===+=∞=??==±==±=12212X 2X X X X X （-20）+3636 是的周期分量的⾃相关函数此分量均值m （-20）是的⾮周期分量的⾃相关函数此分量均值m m m m +m 2X Xt R δ==-=-=2X m 1.12答：2222220000X 000E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = ()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t + Bsin t)= E[A]cos t + E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t + Bsin t)[A cos (t + ) + Bs E AB W W W W t t E W W W δδτττ=+==常数022000000002000020X 2in (t + )]}= A cos t cos (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + )= [cos t cos (t + ) + sin t sin (t + )]= cos R ()(0)X(t)X W W W W W W W W W W W W W W R τττττδττδττδ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过330033332222000000333300E[X (t)]= E[(A cos t + Bsin t)]= E[A cos t + B sin t +3A cos t sin t + 3AB cos t sin t ]=E(A )cos t + E(B )cos t X(t)t X(t)W W W W W W W W W W ∴程判断严平稳过程可由X(t)的三阶矩函数来判断在⼀般情况下，的三阶矩与有关不是严平稳随机过程1.13答：2222220X X(t)Y(t)E(A) = 0, E(A ) = D[A ] = 5E(B) = 0, E(B ) = D[B ] = 5()E(A)E(B)=0E[X(t)]= E(A cos t - Bsin t) = E[A]cos t - E[B]sin t = 0()R (,)[X(t)X(t+)]E{(A cos t - Bsin t)[A co E AB W t t E δδττ===+==(1)证明、宽平稳随机过程常数2222X s (t + ) - Bsin (t + )]}= A cos t cos (t + ) - ABcos t sin (t + ) - ABsin t cos (t + ) + B sin t sin (t + ) = E[cos t cos (t + ) + B sin t sin (t + )]= 5cos R () (0)5X(t)Y(t)X A R ττττττττττ==<∞2同时E[X (t)]=故是宽平稳随机过程同理是宽平稳随机过XY 121211222212121212121221X(t)Y(t)R (,)E[X()Y()]= E[(A cos - Bsin )(Bcos + A sin )]= E[A cos sin + ABcos cos - ABsin sin - B sin cos ]= 5 (cos sin - sin cos )= 5sin(t - t )= 5sin()=t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t τ=程(2)证明、联合平稳XY XY XY R ()X(t)Y(t)R ()()sin()X Y X Y m m r ττττδδ∴-====、是联合平稳(3)互相关系数1.15答：X(t)E(A) = E(B) = 0()E(A)E(B)=0E[X(t)] = E(Asin t+ Bcos t) = E[A]sin t + E[B]cos t = 0()A X(t)X(t)1lim X(t)dt21lim (Asin t + Bcos t)dtT T TTT E AB TT -→∞-→∞=??====??==∴??(1)证明是均值遍历常数是均值遍历的X 2222X(t)R (,)[X(t)X(t+)]E{(Asin t + Bcos t)[Asin (t + ) + Bcos(t + )]}= E[A sin t sin (t + ) + ABcos t sin (t + ) + ABsin t cos(t + ) + B cos t cos(t + )]= E[A ]sin t sin (t + ) +E[B ]cos t cos(t t E τττττττττ+==(1)证明是⽅差⽆遍历性X 222X 2X 22222222222t + )R ()[()][()][()] R (0)E[A ]sin t +E[B ]cos tA X (t)1lim (Asin t + Bcos t)dt 21lim (A sin t + 2ABsin t cos t +B cos t)dt 21lim (2TTT T TT T E X t E X t E X t T T A T T ττδ-→∞-→∞→∞==-===??===+??⼜22222X)1()2A X (t)()B T A B X t δ=+??≠∴的⽅差⽆遍历性1.16 答：(E1.19答：*00*00000000000102()20,Z()exp (),()exp[()][()Z()][exp(())exp ()]exp()[()Z()][exp ()exp ()][exp (22)][cos(22f t j w t Z t j w t E Z t t E j w t j w t w jw E Z t t E j w t j w t w E j w t w E w t w φπφπ其它00)sin(22)]0j w t w φτφ+++=1.20 答：11*1111[()][exp()]()exp()(,)[()Z()][exp()exp(()][]exp ()exp()ni i i ni i i Z nni i j j i j nni j j i j i j E z t E A jw t E A jw t R t t E Z t t E A jw t A jw t E A A j w w t jw ττττ========+=+=-+=-∑∑∑∑∑∑要使Z(t 2121 (,)()E Z(t)() ()[]0()[]exp()(0)[]Z Z j i j i i i j nZ i i i n Z i i R t t R t t w w i j w w i j E A A A R E A jw R E A ττττ==+=≠≠==??===∑∑Z )为复平稳过程则与⽆关，[]=m 与⽆关即当时且，不相关时有界此时能使Z(t)为复平稳过程1.24 答：11122122230.70.3 0.40.6(2)0.70.30.70.3 0.40.60.40.60.610.39 0.520.48(3)0.610.390.70. 0.520.48P P P P P P P P P ?? ? ?????= ? ?== ? ?= ? ?== ? ?本题构成⼀个两状态的马⽒链，其⼀步转移概率矩阵为 = 411221230.5830.4170.40.60.5560.444(4)0.5830.4170.70.3 0.5560.4140.40.60.57490.4251 0.56680.4332P (3)0.583 P P (4)0.4332 P (2)0.39= ? ?===从⽽1.25答：1/21/41/2三状1.26 答：00000001010111111121(1)(2)(3)2236233911111111(1)(2)(3)22242228f f f f f f ==?==??===?==??=1.271/21/32/31/31/61/2(1)111111236236111111(2)33333311111132632615138363636141414 =36363614139363636(3)???? ??? ??? ???= ??? ??? ??? ???????? ?(2)、此链接共有3个状态，且此三个状态均为遍历态，此马尔科夫链是不可约的遍历链。

欢迎共阅随机信号分析理论的应用综述（结课论文）学院：3.1均匀分布白噪声通过低通滤波器3.2语音盲分离3.3系统辨识3.4基于bartlett的周期图法估计功率谱3.5基于MATLAB_GUI的Kalman滤波程序第四章展望参考文献第一章概述1.1随机信号分析的研究背景在一般的通信系统中，所传输的信号都具有一定的不确定性，因此都属于随机信号，否则不可能传递任何信息，也就失去了通信的意义。

随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精准值的信号，也无法用实定的规律性，即统计规律性，它是本门学科一个最根本的概念。

随机信号分析重点研究一般化（抽象化）的系统干扰和信号，往往仅给出他们的系统函数模型和数学模型，而不是讨论具体的系统，更不会局限于一些具体的电路系统上。

概率论与数理统计随机过程理论等只是处理本命学科有关问题的一种工具因而学习本门课程除了注意处理问题的方法，更重要的是对一数学推演的结果和结论的物理意义有深入的理解。

随机信号通过线性、非线性系统统计特件的变化；在通信、雷达和其他电子系统中常见的一些典型随机信号，如白噪声、窄带随机过程、高斯随机过程、马尔可夫过程等。

第二章随机信号分析的主要内容随机信号分析与处理时研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础课程，是目标检测、估计、滤波等信号处理的理论基础，在学习过程中，我们需要学会统的重要工具希尔伯特变换，来分析窄带随机过程的统计特性及其一些重要性质。

讨论窄带随机过程经包络检波器和平方律检波器后统计特性的变换。

随机信号通过非线性系统：当动态非线性系统可分时，分为线性系统与无记忆的非线性系统的级联，一般用多项式和伏特拉级数的方法。

马尔可夫过程：一随机过程 {X(t),t∈T}，其值域（状态）可以连续取值，也可以离散取值，如果他的条件概率满足下列关系：P[X(tn+1)<=Xn+1 X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,...,X(to)=xo]=P[X(tn+1)<=xn+1 X(tn)=xn] 则X（t）为马尔可夫过程。