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计算方法-第1章

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计算方法_课后习题答案

计算方法_课后习题答案

(4.5)(0.01172)

0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848

1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)

(x ( x0

x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0

(x ( x1

x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1

(x ( x2

x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8

计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案

计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案

分， 试给出此递推公式误差的传播规律， 计算 I 10 时误差被放大了多少倍？这个算法是数值稳定的 吗？ 解： I =
∫x
0 1 0
1
n
e x −1 dx ， n = 0,1,2,L,10 ，由分部积分法有
1 0
n −1 x −1 I n = ∫ x n e x −1 dx = x n e x −1 1 e dx 0 − n∫ x
er ( x n ) =
e( x n ) nx n −1 ( x − x * ) x − x* = = n = n ⋅ er ( x) = αn% x xn xn
x n 的相对误差为 an%
1.10 设 x＞0，x 的相对误差为 δ ，求 ln x 的误差。 解： e(ln x) ≈
1 ( x − x * ) = er ( x) = δ x
N +1
N
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N 1+ x2 1 = arctan 1 + N ( N + 1) 1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有±0.1s 的误差，证明当 t 增加时，s 的绝对误差 2
1.12 设 s =
增加，而相对误差减少。 解：由题意知， e( s ) = s − s = gt (t − t ) = gt ⋅ e(t ) = 0.1gt
5
计算方法
于是
* * * * e( I 10 ) = −10e( I 9 ) = 10 ⋅ 9e( I 8 ) = L = 10!e( I 0 )
计算 I 10 时的误差被扩大了 10 倍，显然算法是数值不稳定的 1.14 设 f ( x) = 8 x − 0.4 x + 4 x − 9 x + 1 ，用秦九韶算法求 f (3)

计算方法

计算方法

计算方法的计算对象是微积分，线性代数， 计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。
已知时， 当η已知时，有|ε(x)|=|εr (x)| |x*|≤η|x*| 已知时
例 设 x = 1 ± 0.5, y = 10000 ± 5, x, y的近似值哪一个精度高些? 的近似值哪一个精度高些? 解 x*=1, 绝对误差限ξx=0.5,
相对误差限ηx=0.5/1=0.5
y*=10000, 绝对误差限ξy=5,
某个量的数学模型是sin 由泰勒展式 例 某个量的数学模型是 x,由泰勒展式
x x x sin x = x + +L , ∞ < x < +∞ 3! 5! 7!
sin x ≈ x x3 x5 x7 cos ξ 3 x + +L = 截断误差 sin x x = 3! 5! 7! 3!
用近似计算公式
少位有效数字？ 少位有效数字？ 解法1 解法 可知x精确到10 -3 ，从这一位到左边第一位非 零数字共有5位，因此有5位有效数字。 位有效数字。
x = 0.312036 × 102 , p=2, p-n= -3, 解法2 解法
所以x有5位有效数字。 位有效数字。
故n= 5,
1.2.3.4 算术运算的误差
1.2.2 误差的来源与分类

武汉大学 计算方法Chapter1_1

武汉大学 计算方法Chapter1_1

定理2:若近似值的相对误差限为 则x至少有n位有效数字.
Er ( x)
1 10 n1 2(a1 1)
证明:由于
x* x x x x x x Er ( x) x
*
(a1 1) 10
（武汉大学出版社）
科普读物
石钟慈院士著 《第三种科学方法：计算机时代的科学计算》 北京 : 清华大学出版社 广州 : 暨南大学出版社, 2000
参考书目 (References)
Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L
48 0
1 ( f ( x)) dx
' 2
48
0
1 (cos x) 2 dx
上述积分为第二类椭圆积分,它不能用普通 方法来计算.
本课程第六章的内容：数值积分
Axb
本课程第三章、第四章的内容： 线性方程组的数值方法！
4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温
8
( x x1 )2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 (t1 -t) c 0 ( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t 2 -t) c 0 ( x x3 )2 ( y y3 )2 ( z z3 )2 (t 3 -t) c 0 ( x x4 )2 ( y y4 )2 ( z z4 )2 (t 4 -t) c 0 ( x x5 )2 ( y y5 )2 ( z z5 )2 (t 5 -t) c 0 ( x x6 )2 ( y y6 )2 ( z z6 )2 (t 6 -t) c 0

计算方法01

计算方法01


误差产生的原因.（例1.2.1）
例1.2.1 试求摆长为L的单摆运动周期.
l 在物理学中我们知道单 摆周期T 2 g 其中: l为摆长；g为自由落体加速度； 是质点 m 的质量。如图所示：由 牛顿定律 d f m g sin m a m l 2 dt
2
d 2 所以 m l 2 m g sin dt 2 d g 即 sin 0 2 dt l g 当很小时, sin , 令 l d 2 则有 2 0 dt 2
现取h=0.05,其结果见下表:
数值解 理论解
xn
yn
y
xn
yn
y
0
0.2
1.00000 1.00000 1.2
1.18322 1.18322 1.4
1.84931 1.84931
1.94396 1.94396
0.4
0.6 0.8 1.0
1.34164 1.34164 1.6
1.48324 1.48324 1.8 1.61245 1.61245 2.0 1.73205 1.73205 …

防止大数吃小数 1000+0.1+0.2+0.3+0.4=？ 避免两个相近的数相减 1-cosx与2sin^2(x/2)

1.3 函数的性态
见例9
设函数y f ( x),当x用近似数x*代替 计算函数值则 ( x* )时，则误差为 f e( f ) f ( x ) f ( x) df ( x )
*
四则运算的误差累计
* * 设x1 , x2的近似数x1 , x2，则 * * * * * * e( x1 x2 ) d ( x1 x2 ) dx1 dx2 * * e( x1 ) e( x2 ) * * * * * * er ( x1 x2 ) d ln(x1 x2 ) d (ln x1 ln x2 )

计算方法第1章习题参考答案.doc

计算方法第1章习题参考答案.doc

答案：1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限 根据绝对误差计算相对误差的公式：*2121**.0105.010.01021r n n mn nm a a a a a a x x x ε=⨯≤⨯⨯≤---ΛΛ (1) 05.10,0498756.10101*11===x x Λ5****52310975.410211012437.005.10101---⨯<==⨯<⨯=-xr εεεΛ(2) 2*22109901.0,990099009900.01011-⨯===x x Λ 5****528-10055.01021109909900.0990100.01011---⨯<==⨯<⨯=-x r εεεΛ(3) 111211==x4***42*310545.4,01021,01112111121--⨯==⨯==-==或或x x r εεε(4) 303.2,302585.2-)1.0ln(*41-===x x Λ4****41310117.2102110414907.0330.2--)1.0ln(---⨯<==⨯<⨯=x r εεεΛ）（1.2 1.2下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。

位效数字，有，位效数字或精确值，有位效数字，有位效数字，有位效数字，有2101,1021100.54101,1021,5000410159.0,1021,50.31410166.0,1021,3015.0310159.0,1021,0315.02*24*3*54*44**44*42**34*40**23*31**1-----------⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯==r r r r r x x x x x εεεεεεεεεε1.3 为了使31的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? %1.010105.1333.0105.03--**=≤=⨯=⨯≤--n n xx x Λ，取n=4位有效数字 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?(1) 2sin)2cos(2sin )sin(εεε+=-+x x x(2))1(11arctan arctan )1arctan(112++=-+=+⎰+N N N N xdx N N或2)5.0(11++N 三个公式计算结果比较1e+001 9.00876529e-003 9.00876529e-003 8.98876404e-003 1e+002 9.90000987e-005 9.90000987e-005 9.89976488e-005 1e+003 9.99000001e-007 9.99000001e-007 9.98999751e-007 1e+004 9.99899998e-009 9.99900000e-009 9.99899998e-009 1e+005 9.99991042e-011 9.99990000e-011 9.99990000e-011 1e+006 1.00010961e-012 9.99999000e-013 9.99999000e-013 1e+007 1.00944643e-014 9.99999900e-015 9.99999900e-015 1e+008 -4.33680869e-019 9.99999990e-017 9.99999990e-017 1e+009 7.80625564e-017 9.99999999e-019 9.99999999e-019 1e+010 -6.94973593e-017 1.00000000e-020 1.00000000e-020(3) xxx x x x x x x x x cos 1sin sin )cos 1(sin sin )cos 1()cos 1)(cos 1(sin cos 12+=+=++-=-(4) oo oo o o o 21sin 21cos 11cos 11sin 1cos 11cos 11cos 1222=-+=+-=-或(5) Λ+⨯+⨯+=-9-6-3-001.010311021101！！e(6) )11010(1ln )11010()11010)(11010(ln )11010ln(8484848484-+=-+-+--=--)11010ln(84-+-=1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。

南航《计算方法》第1章-绪论

南航《计算方法》第1章-绪论
绪论
南京航空航天大学数学系
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算在美国 3. 科学计算的基本内容 4. 科学计算主要进展 5. 相容性与稳定性
一. 科学计算的地位与应用
科学计算的地位
科学研究/工程技术
理论 研究
科学 计算
科学 实验
科学工程计算
建模 计算
应用 问题
数学 计算 模型 方法
二. 科学计算在美国
2
美国从1942年8月13日开始曼哈顿 计划，到1945年制造出三颗原子 弹：代号为：“三一”，用于试 验（7月16日），“瘦子”投于广 岛(8月6日)，“胖子”投于长崎(8 月9日)。历时三年，涉及到理论 物理、爆轰物理、中子物理、金
属物理、弹体弹道等大量的数值 计算。
1983年一个由美国著名数学家拉 克斯(P. Lax)为首的不同学科的专 家委员会向美国政府提出的报告 之中，强调“科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步 的关键性环节，是事关国家命脉 的大事。”
有限差分法的基本思想是用离散的、 只含有限个未知数的差分方程去代 替连续变量的微分方程和定解条件。 求出差分方程的解作为求偏微分方 程的近似解。
3.5 微分方程(组)数值解
有限元法是近代才发展起来的， 它是以变分原理和剖分差值作为 基础的方法。在解决椭圆形方程 边值问题上得到了广泛的应用。 有许多人正在研究用有限元素法 来解双曲形和抛物形的方程。
1 en1 n en

故得 | en
|
1 n1
1 n
2
1 N
| eN
| (n

N)
计算稳定。
x * ---数学模型精确解 x ---计算格式理论解 x ---计算格式近似解

计算方法第一章 绪论

计算方法第一章 绪论

知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值 一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数 ，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
15
例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对 误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产 生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又 （0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故 有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于 中的数字9不是有效数字,故 不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26

西安交通大学《计算方法》课件-第一章

西安交通大学《计算方法》课件-第一章

浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)

计算方法 课后习题答案

计算方法 课后习题答案
其中,
，
正规方程组化为:
得 =2.43689 =0.291211
=2.43689所以 =11.45 = =0.291211
=2.43689所以 =11.45 1= =0.291211
12.求函数 在给定区间上对于 的最佳平方逼近多项式：
解：设
（1）
(2)
。
。
13. 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：Legendre是[-1，1]上的正交多项式
解：1）用梯形公式有：
事实上，
2）Simpson公式
事实上，
3）由Cotes公式有：
事实上，
2．证明Simpson公式 具有三次代数精度。
证明：
而当 时
左侧：
右侧：
左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.
(1) ，（3） ，（4）
注意到这里 是三重零点， 是单零点，故插值余项为
20．求作次数 的多项式 ，使满足条件
并列出插值余项。
解法1：由于在 处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在 处有直到二阶导数值的插值条件所以 是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：
可以作出差商表
一阶
二阶
三阶
四阶
0
0
1
1
1
－1
－1
利用 的第1式，可将第2式化为
同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
由 式消去 得
进一步整理
由此解出
解得：
因此所求的两点Gauss求积公式：
或依下面的思想：
解（2）：令原式对于 准确成立，于是有

计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2

计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2

教材聂玉峰、王振海等《数值方法简明教程》，高等教育出版社，2011作业计算方法作业集（A、B）参考书¾封建湖，车刚明计算方法典型题分析解集（第三版）西北工业大学出版社，2001¾封建湖，聂玉峰，王振海数值分析导教导学导考（第二版）西北工业大学出版社，2006¾车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁数值分析典型题解析及自测试题（第二版）西北工业大学出版社，2003西北工业大学理学院欧阳洁2第一章绪论§1 引言§2 误差的度量与传播§3 选用算法时应遵循的原则西北工业大学理学院欧阳洁3§1 引言科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：1 实际问题的提出2 建立数学模型3 设计可靠、高效的数值方法4 程序设计5 上机实践计算结果6 数据处理及结果分析西北工业大学理学院欧阳洁4学习算法的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。

计算方法课程的研究对象具有广泛的适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica 等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。

但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。

西北工业大学理学院欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾非线性方程求根¾线性代数方程组求解¾函数插值¾曲线拟合¾数值积分与数值微分¾常微分方程初值问题的数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算西北工业大学理学院欧阳洁6§2 误差的度量与传播一误差的来源与分类模型误差：数学模型与实际问题的误差观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差西北工业大学理学院欧阳洁75 使用数值稳定性好的公式一个算法，如果初始数据微小的误差仅使最终结果产生微小的误差，或在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制，则称该算法（数值）稳定，否则称其为（数值）不稳定．西北工业大学理学院欧阳洁26总结1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.数值运算中应遵循的若干原则西北工业大学理学院欧阳洁30。

计算方法教程（第2版）习题答案

计算方法教程（第2版）习题答案

《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章 习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。

3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d lt t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l ltl t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11 就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x ye ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432+⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章 习题答案1、a ．T x )2,1,3(= b ．T x )1,2,1,2(--= c ．无法解2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond524)(748)()(22221===∞A C o n d A C o n d A C o n d⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章 习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L Newton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N 3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。

计算方法 第一章 误差

计算方法 第一章 误差

五、误差的传播与估计
1.误差估计的一般公式：（略） 2.误差在算术运算中的传播：大小相近的同号
数相减、乘数的绝对值很大以及除数接近于0 等，在数值计算中应设法避免。 3.前例的误差分析：从相对误差来看，前两种 算法比后两种大许多。
六、算法的数值稳定性
▪ 定义：凡一种算法的计算结果受舍入误差的 影响小者称它为数值稳定的算法。
y=1000的相对误差限分别为
r
(
x)
Байду номын сангаас
1 10
0.1，
r
(
y)
5 1000
0.005
r (x) r (y)
故y的精度比x高得多。
四、有效数字
★定义：若近似值x 的绝对误差限是某一位上 的半个单位，且该位直到 x的第一位非零数 字一共有n位，则称近似值 x有n位有效数字， 或说 精确x到该位。
※用四舍五入法得到的近似数都是准确到末位 的有效数字。
第一章 误差
一、误差的种类及其来源 二、绝对误差和绝对误差限 三、相对误差和相对误差限 四、有效数字 五、误差的传播与估计 六、算法的数值稳定性
一、误差的种类及其来源
1.描述误差：也称环境误差或模型误差 将复杂的物理现象抽象、归结为数学
模型，往往只得忽略一些次要的因素，从 而造成误差。 2.观测误差：也称初值误差
实际使用的初始数据往往都是通过人 们实际观察测量得来的，这些测得的数据 都只能是近似的，称为参数误差。
3.截断误差：
计算时只能完成有限次运算，需要对一些 无穷计算过程（如微分、积分、无穷级数求 和等）进行截断，即仅保留无穷过程的前段 有限序列而舍弃它的后段。
4.舍入误差：四舍五入所造成的误差。 ※前两种为非过失误差，无法避免；后两种为

计算方法-第1章

计算方法-第1章

13
一．自然语言法
1. 输入数据a, b, c 2.如果a=0, 转3，否则转4
c 3.如果 b 0，则 x1 ，转7；否则，无解停机 b 2 ， b 4 ac 4. 设 D SD SQRT (| D |)
0 ,x ( b iSD ) / 2 a , 如果 D 1 x ( b iSD ) / 2 a ，转7 2 否则 ， 5. 如果b>0不成立， S 1 b SD ，转7 x S 1 / 2 a , x 2 c / S 1 1 2 S 2 / 2 a , x 2 c / S 2 2 b SD 6. S ，x 1 2 7. 输出x1和x2
x1， x2，……， x100 取为
数值方法
0.1, 0.2, 0.3, ……,10=a
2-1
★ 计算公式不一定都是数值方法。如求
类似地， 求根公式
2 b b 4 ac x 1 ,2 2 a
3 。
不能在计算机 上直接运行
◆ 研究数值方法的任务有三条：
1）将计算机不能直接计算的运算化成计算机上可执行的 运算；利用等价或近似等价的方法转化； 7
1） 数学的发展极大地促进了计算机科学的发展：
★ Leibniz发现二进制编码； ★ Von Neumann提出现代计算机建构理论； ★ Bohm和Jacopini为结构化程序设计奠定了基础。
2）计算机科学为数学提供先进手段，并对数学 发展产生了重大影响。
★ 为利用数学解决实际问题提供了工具； ★ 解决了一些数学难题，并提出了新的研究课题；
x 2 ( b iS D ) / 2 a
输 出 x1, x 2
15
▲ 结构化框图法：N-S图示法

计算方法第一章作业

计算方法第一章作业

1.题目(1)将ln(1+x)进行Taylor展开，展开到第11项，令x=1，计算ln2的近似值；(2)将ln(1+x)进行Taylor展开，展开到第11项，令x=-1/2，计算ln2的近似值；(3)将ln (1+x)/(1-x)进行Taylor展开，经过简单运算，求出ln2的近似值；(4)比较上述三种方法的计算精度，并给出简单的解释；(5)编写一段循环程序，对于(2) (3) 两种方法，使用累加和的方法求出ln2的近似值，循环结束的条件是累加和不再变化(使用双精度进行计算)，统计累加次数并比较精度。

2.编程计算(1)计算结果：Out[6]: ln(1+x)的Taylor展开式；Out[7]: x=1时，ln2的近似计算结果；Out[8]:计算误差。

(2)计算结果：Out[14]: ln(1+x)的Taylor展开式；Out[15]: x=-1/2时，ln2的近似计算结果；Out[16]:计算误差。

(3)计算结果：Out[22]: ln (1+x)/(1-x)的Taylor展开式；Out[23]: x=1/3时，ln2的近似计算结果；Out[24]:计算误差。

(4)比较分析从上述三种计算结果，可以看出方法（3）计算误差最小，即计算精度：方法（1）<方法（2）<方法（3）。

原因：利用泰勒公式进行数值的近似计算，根据泰勒公式：其中是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：可见近似计算的误差即为。

对于方法（1），方法（2），方法（3），可见三种方法下的大小关系是：方法（1）>方法（2）>方法（3），所以说方法（3）的计算误差最小。

此外，方法（3）计算结果out[22]可看出，在相同阶数的导数下，收敛速度更快，在有限的展开项中，原函数的导数收敛越快，结果越精确。

(5)方法（2）累加求和(6)方法（3）累加求和比较分析：方法（2）需要累加47次，方法（3）需要累加17次，相比来说方法（3）收敛速度更快。

计算方法 第1章 误差

计算方法 第1章 误差
1 r ( x) 10 ( n 1) 2(a1 1)
则x*至少有n位有效数字。
第1章 误差
从上面几个结论可知：有效数字位数可刻画近似
数的精确度；绝对误差与小数点后的有效数字位数有 关；相对误差与有效数字的位数有关。
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
§3 算术运算结果的误差
3.1 加减法
第1章 误差
高等学校工科电子类教材
《 计 算 方 法 》
计算方法
董丽丽
大连海事大学信息工程学院
第1章 误差
28学时：讲课22学时、实验2学时、
考试 2 学时、放假2学时
《 计 算 方 法 》
考试：70% 实验：20% 平时课堂作业：10%
第1章 误差
目 录
《 计 算 方 法 》
第一章 误差
（2）
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
选择数值方法-1
《 计 算 方 法 》
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机 直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型 的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化， 转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算 程序，再上机计算得出满意的数值结果。
第1章 误差
l0），则:
《 计 算 方 法 》
lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1，α、β为参数，可估计为 α=0.001253±10-6
β=0.000068±10-6
于是知，lt-Lt为模型误差，10-6是观测α、β而产生的误 差，因此为量测误差。
第1章 误差
截断误差 在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样 《 计 产生的误差称为截断误差。 算 方 法 》 舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须 进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。
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sx
近似代替函数 e ， 则数值方法的误差是
e 2 n 1 x , Rn x e sx n 1!
x2
x2
x 2
截 断 误 差
0 1
3. 观测误差 初始数据大多数是由观测而得到的。由于观 测手段的限制，得到的数据必然有误差 4. 舍入误差 以计算机为工具进行数值运算时，由于计算 机的字长有限，原始数据在计算机上的表示往往会有误差，在 计算过程中也可能产生误差 产生的误差 例如， 用1.4142近似代替 2 ，
（1-15）
则称a为x的具有n位有效数字的近似值。
在例1中，由于a的绝对误差界为
1 e a 0.0003 10 3， 2 而 a 101 0.2718 ， 那么，可知 k n 3 n 4,
即a 是 e 2.71828182 的具有4位有效字的近似值。
考虑到准确值本身的大小而更有意义。
相对误差的绝对值上界叫做相对误差界（限）， 记为：
e a xa a a
相对误差界（限）
例1 已知 e 2.71828182 其近似值 a 2.718 ,求a 的绝对误差界和相对误差界。
e a 0.00028182 ，因此其绝对误差界为： 解：
e a 0.0003
相对误差界为：
ea a 0.0003 0.0001110375 0.0002。 2.718
此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并
不是唯一的。 我们要注意它们的作用。
误差界的取法 当准确值x位数比较多时，人们常常按四舍五入的原则得 到x的前几位近似值a，例如
a 310 .0, 则其绝对误差： 又有两个量 x 300.0 ，
相 对 误 差
x a 0.1102 ,
其相对误差为： x a 0.110 2 1 0 . 333 10 4 0 . 3 10 x
绝对误差
相 对 误 差
上例说明绝对误差有较大变化，相 对误差相同。作为精确值的度量，绝对 误差可能会引起误会，而相对误差由于
用计算机解决科学计算问题时经常采用的处理方式是将连 续的问题离散化、用有限代替无限等，并且用数值分析所处理
的一些数据，不论是原始数据，还是最终结果，绝大多数都是
近似的，因此在此过程中，误差无处不在。
模型误差
计 算 机 科 学 计 算 的 流 程 图 实际问题

数学模型 数值计算方法 编程实现算法 计算机数值结果
定义1.6 设 x 为精确值， a为x 的一个近似值，表示为：
a 10 k 0. a1a2 an
（1-14）
其中 ai(i=1,2,…,n)是0到9中的 可以是有限或无限小数形式，
一个数字， a1 0, k为整数，n为正整数， 如果其绝对误差界
xa
1 10 k n 2
xa x
相对误差（误差）
称为近似值a 的相对误差。 相对误差也可正可负。 实际计算中，如果真值 x 未知时， 通常取
xa xa x a
作为a的相对误差， 条件是
xa 较小。 x
例
有两个量 x=3.000， a=3.100， 则其绝对误差： x a 0.1 绝对误差 其相对误差为： x a 0 .1 0.333 101 , x 3.00
n n n 1 n n 1 n 2
n n 1
3 2
n!
这样，利用Cramer法和Laplace展开定理来求解一个n阶线
性方程组，所需的乘法运算次数就大于
（n+1）n!=(n+1)! 以求解25阶线性方程组为例，如果用Cramer法则求解， 在算法中运用行列展开计算，则总的的乘法运算次数将达：
的近似值， 也具有4位有效数字。 这是因为：
1 x a 0.000002 10 5 2 那么，有 k n 5 n 4 。
这表明：有效数字位数与小数点的位臵无关
练习1 下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们 各有几位有效数字？
矩阵与数值分析
大连理工大学工科硕士研究生数学公共基础课程
大连理工大学研究生教育大楼
授课教师基本信息
• • • •
姓 名：董波 工作单位：数学科学学院 办公地点：创新园大厦（大黑楼）B1113室 EMAIL: dongbodlut@
创业园大厦
主 讲 教 材
参考书目 (Reference)
E

2 1.4142
就是舍入误差。
1.4142135 0.0000135
1.4142
模型和观测两种误差不在本课程的讨论范围 这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截 断误差将结合具体算法讨论 分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差
研究计算结果的误差是否满足精度要求就是： 误差估计问题
科学和工程计算基础 施妙根 顾丽珍 编著
John.H.Mathews 数值方法（MATLAB版）[美] Kurtis D.Fink 陈渝 等 译 李晓梅 审校 （电子工业出版社） 矩阵论简明教程 许仲 张凯院等编著 科学出版社 （清华大学出版社）
考核要求
平时作业 课程的总成绩 数值实验 期末考试 占20%； 占10%； 占70%；
26
17
它远远超出目前所了解的人类文明历史！
Cramer 算法是“实际计算不了”的。 而著名的 Gauss消元法，它的计算过程已作根本改进， 成为有效算法，使得可在不到一秒钟之内即可完成上述计算 任务。 随着科学技术的发展，出现的数学问题也越来越多样化， 有些问题用消去法求解达不到精度，甚至算不出结果，从而
其中Aij表示元素aij的代数余子式。 然而我们做一简单的计算就会发现,由于这一方法的运算量 大得惊人，以至于完全不能用于实际计算。 设计算k阶行列式所需要的乘法运算的次数为mk，则容易推出 于是，我们有
mk k k mk 1
mn n n mn 1 n n n 1 n 1 mn 2
ann
这一结果理论上是非常漂亮的，它把线性方程组的求解问题 归结果为计算n+1个n阶行列式问题。
对于行列式的计算，理论上又有著名的Laplace展开定理。 这样理论上我们就有了一种非常漂亮的求解线性方程组的方法。
D det A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
早在18世纪Cramer已给出了求解法则：
Cramer’s Ruler
xi
D

Di
D
i 1, 2 ,
, n , （D≠0）
a1n a2 n
第

det A

a11 a21 an1
a12 a22 an 2
ann
i
a11
Di det Ai

a21
b1 b2
a1n a2 n
列
an1
bn
1 再取 a1 2.7182 10 0.27182 , 因其绝对误差界为
e a1 0.00009
1 10 3， 2
故a1也只是e 的具有4位有效数字的近似值。
同样我们可以分析出 a 0.02718 10 1 0.2718 作为
x 0.0271828182
1.2.2 误差的基本概念和有效数字
定义1.4 设x为精确值， a为x的一个近似值， 称
xa
通常准确值 x 是未知的， 定义1.5
绝对误差（误差）
为近似值a的绝对误差，简称误差。 误差 x-a 可正可负。 因此误差 值， 若有常数
ea 使得
x a ea
促使人们对消去法进行改进，又出现了主元消去法，大大提
高了消去法的计算精度。 这就是研究数值方法的必要性。
1.2 误差分析与数值方法的稳定性
1.2.1 误差来源与分类
1.2.2 误差的基本概念和有效数字
1.2.3 函数计算的误差估计 1.2.4 数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则
1.2.1 误差来源与分类
26！=4.0329×1026（次）
若使用每秒百亿次的串行计算机计算, 一年可进行的运算应为： 365(天) × 24(小时) × 3600(秒) × 1010 ≈ 3.1536 × 1017 （次）
共需要耗费时间为：
4.0329 10 3.1536 10 1.2788 109 13(亿年)
764.5 x 765.5,
结果说明x在区间[764.5，765.5]内。 对于一般情形 x a ea ， 即可以表示为 也可以表示为
a ea x a ea ,
x a ea 。
但要注意的是，误差的大小并不能完全表示近似值的好坏。
定义
若 x 0， 则将近似值的误差与准确值的比值
方法误差或称为 截断误差 观测误差
舍入误差
1．模型误差 由实际问题抽象出数学模型，要简化许多 条件，这就不可避免地要产生误差．实际问题的解与数学模 型的解之间的误差 2. 截断误差 从数学问题转化为数值问题的算法时所产 生的误差，如用有限代替无限的过程所产生的误差
截断误差通常是指用一个基本表达式替换一个相当复杂
即现代意义下的计算数学。
主要研究在计算机上可计算的有效算法及相关理论。
本课程主要研究现代、行之有效数值方法
本课程主要研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现 主要内容包括： 数值代数 微分方程数值解法 矩阵分析简介
A
k k 0
Ax b
f x 0
f x
的算术表达式时所引起的误差。这一术语从用截断Taylor级数 替换一个复杂的算术表达式的技术中衍生而来。