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应用计算方法第一章

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应用计算方法教程

应用计算方法教程

应用计算方法教程第一章：引言计算方法是一门研究如何利用计算机进行数值计算和问题求解的学科。

它在科学计算、工程分析和实际应用中起着重要的作用。

本教程将介绍一些常用的应用计算方法，帮助读者理解和掌握这门学科的基本概念和方法。

第二章：数值计算基础2.1 浮点数表示法2.2 误差与有效数字2.3 数值舍入与截断2.4 计算机算术运算2.5 机器精度与舍入误差第三章：线性方程组的数值解法3.1 直接法：高斯消元法3.2 直接法：LU分解法3.3 迭代法：雅可比迭代法3.4 迭代法：高斯-赛德尔迭代法3.5 迭代法：超松弛迭代法第四章：非线性方程的数值解法4.1 二分法4.2 牛顿迭代法4.3 弦截法4.4 试位法4.5 不动点迭代法第五章：插值与拟合5.1 插值多项式与牛顿插值法5.2 分段线性插值与样条插值5.3 最小二乘拟合与多项式拟合5.4 曲线拟合与非线性最小二乘第六章：数值积分与数值微分6.1 数值积分基本概念6.2 复化求积公式6.3 数值积分的收敛性与误差估计6.4 高斯积分公式6.5 数值微分与差分近似第七章：常微分方程的数值解法7.1 常微分方程初值问题7.2 欧拉法与改进的欧拉法7.3 龙格-库塔法7.4 多步法与预估-校正法7.5 刚性问题与刚性算法第八章：常微分方程的边值问题8.1 二点边值问题与有限差分法8.2 三点边值问题与有限差分法8.3 多点边值问题与有限差分法8.4 边值问题的特殊情况与特殊方法第九章：数值优化方法9.1 优化问题的基本概念9.2 无约束优化问题的最优性条件9.3 一维搜索法9.4 梯度下降法与共轭梯度法9.5 二次规划问题与牛顿法第十章：随机模拟方法10.1 随机数生成10.2 蒙特卡洛方法10.3 马尔可夫链蒙特卡洛法10.4 收敛性与误差估计10.5 随机优化与模拟退火结语这本教程介绍了应用计算方法的基本概念和常用方法。

通过学习本教程，读者可以掌握数值计算的基本原理和技巧，能够应用计算机进行数值计算和问题求解。

计算方法 第1章 预备知识与误差分析

计算方法 第1章 预备知识与误差分析

1． 误差的来源及误差类型 一般使用计算机解决实际问题须经过如下几个过程： 实际问题 数学模型 数值算法 程序设计 计算结果
根据实际问题建立数学模型的过程中通常会忽略某些次要因素而对问题进行简化， 由此 产生的误差称为模型误差； 很多数学模型都含有若干个参数， 而有些参数往往又是观测得到 的近似值， 如此取得的近似参数与真实参数值之间的误差称为参数误差或观测误差。 例如自 由落体运动规律的公式
nn
(1.2)
其矩阵形式可以表示为 Ax b, A R
, x, b R n ，由线性代数知识我们知道，当其系数
授课对象：北京工业大学计算机学院本科生
杨中华
2
编者：杨中华
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
矩阵对应的行列式不等于零时，即 D 法则，有：
A 0 ，该线性方程组有唯一一组解，根据克莱姆
这个耗时数还不包括求解过程中的加减运算以及更耗时的读写内存数据操作所需要的时间。 但是如果用 Gauss 消去法求解此规模的线性方程组，其乘除法次数约仅为：
n3 n n 2 3060 3 3
(1.4)
从(1.3)与(1.4)式的巨大差距可以看出求解线性方程组用 Gauss 消去法非常有效， 因此对于稍 微大一点规模的线性方程组没有任何理由选择克莱姆法则解决此类问题。 对程序员的忠告：千万不要以为计算机的速度不是问题，选择数学方法不当可能让你 永远等不到最后的计算结果！ 我们再看一个实例， 从中可以发现， 有时直接使用高等数学中给出的很简单明了的数学 表达式进行计算并不一定能够得到我们预期的结果。 例1.2 考虑导数的近似计算问题，根据导数的定义
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析

计算方法第一章习题

计算方法第一章习题

第一章习题2．按四舍五入原则，将下列各数舍入成5位有效数字： 816．9567 6。

000015 17。

32250 1．235651 93。

18213 0。

01523623 答案：816。

96 6。

0000 17。

323 1．2357 93。

182 0。

0152363．下列各数是按四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？ 81．897 0。

00813 6。

32005 0。

1800 答案：5 3 6 44．若1/4用0。

25来表示，问有多少位有效数字？ 答案：任意多位5．若a=1.1062 , b=0.947 是经过舍入后得到的近似值，问：a+b, ab 各有几位有效数字？ 答案：3 ， 3因为45110211021--⨯=⨯=da 3310211021--⨯=⨯=db 312341021102110211021)(----⨯=⨯≤⨯+⨯=+=+db da b a d4)15(102110121---⨯=⨯⨯=a d r ，2)13(1018110921---⨯=⨯⨯=b d r22410181101811021)(---⨯≈⨯+⨯=+=b d a d ab d r r r 6．设y 1=0.9863, y 2=0.0062是经过舍入后作为x 1和x 2的近似值，求1/y 1和1/y 2的计算值与真值的相对误差限及y 1y 2和真值的相对误差限。

答案：53)14()1(*1*111*11*1*11*11*1*11106.5101811092110211111------⨯=⨯=⨯⨯=⨯≤-=-=-=-n y y y y y y y y y y y y y y α也可用5)14(111121111106.510921111)1(1---⨯=⨯⨯====y dy y dy y y y d y d r同理 31)12()1(*2*22*2*22103.810121106211021111------⨯=⨯=⨯⨯=⨯≤-==-n y y y y y y α 335*2*22)1*11*2*1*2*12*12*121*2*1*2*121104.8103.8106.5---⨯≈⨯+⨯≤-+-=-+-=-y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y也可用3352121104.8103.8106.5)(---⨯=⨯+⨯=+=y d y d y y d r r r还可用322112211211221212121103.8),max()()(-⨯==+=+==y dyy dy y dy y dy y y dy y dy y y y y y d y y d r7．正方形的边长约为100cm ，应该怎样测量，才能使其面积的误差不超过1cm.答案：|100—x |≤1/2*10-(3-1)=0.005 cm8.用观测恒星的方法求得某地纬度为4500’2”(读到秒)。

第1章计算方法引论

第1章计算方法引论

掌握常用的科学与工程计算的基本方法
能用所学方法在计算机上算出正确结果
计算方法
第一章
引 论
本章内容
引言
误差的来源及分类
误差的度量
误差的传播
减少运算误差的原则
计算方法
第一章
引 论
要求掌握的内容
概念
包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误
差、相对误差限等
误差
截断误差、舍入误差的详细内容，误差种类等 分析运算误差的方法和减少运算误差的若干原则
∴
e
*
r
1 10 m n 1 ( n 1) 2 10 2 x1 x1 10 m 1
er

1 10 ( n 1) 2 x1
计算方法
第一章
引 论
一般应用中可以取r*=1/2x1 10-(n-1),n越 大,r*越小, ∴有效数字越多，相对误差就越小 例7 取3.14作为的四舍五入的近似值时，求其 相对误差 解：3.14=0.314 101 x1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3 r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%
(n) f (0) f (0) 2 f (0) n pn(x) f(0) x x x 1! 2! n!
则数值方法的截断误差是
f ( n1) ( ) n1 Rn ( x) f ( x) p n ( x) x (n 1)!
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
可见研究和选择好的算法是非常重要的。
计算方法
第一章
引 论
算法(数值算法):是指有步骤地完成解数值问题的过程。 数值算法的特点

数值计算方法及其应用

数值计算方法及其应用

数值计算方法及其应用第一章引言数值计算方法是一种基于数学分析和计算机技术的计算方法，是概括了现代计算各个领域的一类方法。

随着计算机技术的不断进步，数值计算方法已经成为了计算机科学中的一个重要领域，涉及到计算机科学、数学、物理、工程等领域。

本文将从数值计算方法的基本概念、数值计算方法算法的分类、数值计算方法的优缺点以及数值计算方法的应用等方面加以探讨。

第二章数值计算方法的基本概念数值计算方法是使用数学方法和数值技术处理各种数学问题的一种方法。

它是一种解决数学问题的有效工具，不同于传统的数学方法，数值计算方法采用的是数值计算机计算技术，使得计算机可以精确计算、预测和模拟各种数学问题，如数值微积分、连续函数数值解、离散方程数值解等。

数值计算方法的核心概念就是数值算法，数值算法是指实现数值计算方法的算法，包括基于数学分析的算法和基于经验数据的算法。

第三章数值计算方法算法的分类数值计算方法算法可以分为以下几类：1.数值微积分算法2.解线性方程组的数值方法3.常微分方程的数值解法4.偏微分方程的数值解法5.数值优化方法6.数值统计算法7.数学模型的数值计算方法第四章数值计算方法的优缺点数值计算方法的优点：1.数值计算方法可以解决非常复杂和高度非线性的数学问题2.数值计算方法无所不能，可做大量的计算3.数值计算方法具有较高的可重复性和可验证性4.数值计算方法可以通过计算机进行高速计算，节省了人力成本和时间成本数值计算方法的缺点：1.数值计算方法的实现程序错误会导致计算结果失真2.数值计算方法对于计算精度的要求很高3.数值计算方法对于计算机硬件和软件的要求也很高第五章数值计算方法的应用数值计算方法已经被广泛应用于各个领域，如：1.科学研究：能够用计算机进行大规模复杂计算，计算机模拟得出科学研究结论，如气象学模拟，生命科学中的反应动力学分析等。

2.工程设计：例如结构力学分析、电路设计、流体力学分析和控制系统等。

3.数据科学：如数据挖掘、计算机视觉、自然语言处理、人脸识别等。

灭 火 应 用 计 算

灭 火 应 用 计 算

一、建筑消防用水量计算
建筑消防用水量是指扑救初起火灾的消防用水量，包括室外消防用水量和室 内消防用水量。 公式：Q=Q1+Q2 Q1：室外消防用水量 L⁄s Q2：室内消防用水量 L⁄s （一）室外消防用水量 Q1=Nq N:工厂、仓库和发用建筑在同一时间内的火灾次数 q：室外消火栓用水量 L⁄s （二）室内消防用水量 室内消防用水量 Q2= q栓+q自+q幕+q雨+q雾
灭火应用计算
灭火剂应用计算 水带系统水力计算 火剂喷射器具计算 消防车应用计算
第一章 灭火剂应用计算
第一节、 第一节、消防用水量计算 第二节、 第二节、泡沫灭火剂用量计算 第三节、 第三节、干粉灭火剂用量计算 第四节、 第四节、二氧化碳灭火剂用量计算
第一节、 第一节、消防用水量计算
一、建筑消防用水量计算 二、露天堆场消防用水量计算 三、液化石油气储罐消防用水量计算 四、油罐区消防用水量计算
Q=A q=2000×0.15=300 (L⁄s) 答：火场实际用水量为300 L⁄s。
二、露天堆场消防用水量计算
1、燃烧面积的确定 由指挥员通过计算，查阅图纸资料、询问知情人或目测等途径确定。 2、火场实际用水量计算
Q=A q A:火场燃烧面积 , m2 q:灭火用水供给强度， L⁄s.m2
举例：某木材堆场发生火灾，火场燃烧面积为3000 m2，其设计消防用水量为45 L⁄s若 灭火用水供给强度为0.2L⁄s.m2，试计算火场实际用水量。 解：A: 3000 m2 q: 0.2L⁄s.m2
（三）高层民用建筑消防用水量计算
高层民用建筑消防用水量是指高层民用建筑室外消防用水量和高层民用建筑室内消防 用水量。 公式：Q=Q1+Q2

南航《计算方法》第1章-绪论

绪论
南京航空航天大学数学系
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算在美国 3. 科学计算的基本内容 4. 科学计算主要进展 5. 相容性与稳定性
一. 科学计算的地位与应用
科学计算的地位
科学研究/工程技术
理论 研究
科学 计算
科学 实验
科学工程计算
建模 计算
应用 问题
数学 计算 模型 方法
二. 科学计算在美国
2
美国从1942年8月13日开始曼哈顿 计划，到1945年制造出三颗原子 弹：代号为：“三一”，用于试 验（7月16日），“瘦子”投于广 岛(8月6日)，“胖子”投于长崎(8 月9日)。历时三年，涉及到理论 物理、爆轰物理、中子物理、金
属物理、弹体弹道等大量的数值 计算。
1983年一个由美国著名数学家拉 克斯(P. Lax)为首的不同学科的专 家委员会向美国政府提出的报告 之中，强调“科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步 的关键性环节，是事关国家命脉 的大事。”
有限差分法的基本思想是用离散的、 只含有限个未知数的差分方程去代 替连续变量的微分方程和定解条件。 求出差分方程的解作为求偏微分方 程的近似解。
3.5 微分方程(组)数值解
有限元法是近代才发展起来的， 它是以变分原理和剖分差值作为 基础的方法。在解决椭圆形方程 边值问题上得到了广泛的应用。 有许多人正在研究用有限元素法 来解双曲形和抛物形的方程。
1 en1 n en

故得 | en
|
1 n1
1 n
2
1 N
| eN
| (n

N)
计算稳定。
x * ---数学模型精确解 x ---计算格式理论解 x ---计算格式近似解

西安交通大学《计算方法》课件-第一章


浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)

计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2

教材聂玉峰、王振海等《数值方法简明教程》，高等教育出版社，2011作业计算方法作业集（A、B）参考书¾封建湖，车刚明计算方法典型题分析解集（第三版）西北工业大学出版社，2001¾封建湖，聂玉峰，王振海数值分析导教导学导考（第二版）西北工业大学出版社，2006¾车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁数值分析典型题解析及自测试题（第二版）西北工业大学出版社，2003西北工业大学理学院欧阳洁2第一章绪论§1 引言§2 误差的度量与传播§3 选用算法时应遵循的原则西北工业大学理学院欧阳洁3§1 引言科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：1 实际问题的提出2 建立数学模型3 设计可靠、高效的数值方法4 程序设计5 上机实践计算结果6 数据处理及结果分析西北工业大学理学院欧阳洁4学习算法的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。

计算方法课程的研究对象具有广泛的适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica 等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。

但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。

西北工业大学理学院欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾非线性方程求根¾线性代数方程组求解¾函数插值¾曲线拟合¾数值积分与数值微分¾常微分方程初值问题的数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算西北工业大学理学院欧阳洁6§2 误差的度量与传播一误差的来源与分类模型误差：数学模型与实际问题的误差观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差西北工业大学理学院欧阳洁75 使用数值稳定性好的公式一个算法，如果初始数据微小的误差仅使最终结果产生微小的误差，或在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制，则称该算法（数值）稳定，否则称其为（数值）不稳定．西北工业大学理学院欧阳洁26总结1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.数值运算中应遵循的若干原则西北工业大学理学院欧阳洁30。

数值计算(计算方法第一章)


其中 xk 1 xk ( f '( xk ))1 f ( xk ).
Newton迭代法
称为迭代序列
§2.误差及误差分析
数值方法中的计算公式及参与运算的数，都和数学中的 一般情况有所不同，即
计算公式中的运算必须是在计算机上可执行的运算 参与运算的数必须是有限小数或整数
因此，数值方法中的取数和运算往往会出现误差，算得
的结果（称为计算值）一般也为近似值。
在任何科学计算中，其解的精确性
总是相对的，而误差则是绝对的。
一、误差的种类及来源 一个物理量的真实值和我们算出的值（即计算值） 往往存在差异，它们之差称为误差。 模型误差
在建立数学模型过程中，要将复杂的 现象抽象归结为数学模型，往往要忽 略一些次要因素的影响，而对问题作 一些简化，因此数学模型和实际问题 之间有一定的误差。
bn an bk bk 1 x ak , k n 1, n 2, ,1, 0 p( x) b 0
运算量：
n.
例1.1.3
解线性方程组
Ax b,
其中， A (aij )nn , x ( x1, x2 ,, xn )T , b (b1, b2 ,, bn )T .
离散型（统计型） 不确定型（随机型） (2) 算法设计：将数学问题数值化 例1.1.4 求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
ax2 bx c 0
是数值问题
输入的数据是系数矩阵 A, 常数项向量 b与系数a , b, c
输出的数据是解向量 x, 和方程的解 x1 , x2
求解微分方程
定义1.2.2 设x 0为准确值，x*为x的一个近似值。称
( x ) x x (x ) x x * 为近似值x 的相对误差。 若存在正数 r 满足
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数值计算中值得注意的问题 P18
一、防止相近的两数相减
例1:当x>>1时,计算
x +1 − x
化成
x +1 − x =
1
x +1 + x
例2 计算
1 − cos
x ,
x=2
sin x
当x很小时，分子出现相近数相减，将以上算式变形
(1− cos x)(1+ cos x) = 1 − cos 2 x = sin x sin x(1+ cos x) sin x(1+ cos x) 1+ cos x
er =(x*-x )/ x* = e/x* 或 er = (x*-x)/x = e/x 相对误差限εr： ︱er︱= | x*-x |/|x*| ≤ εr
绝对误差及误差限是有量纲的，而相 对误差及误差限是没有量纲的．
例 计算 e0.5 的近似值，使相对误差不超过0.5×10-3.
解： e x 的 Maclaurin 级数：
学习方法
参考书
1.注意掌握各种方法的基 1.<应用计算方法教程>, 张晓丹
本原理
等编,机械出版社,2008。（教材）
2.注意各种方法的构造手 2. 《科学和工程计算基础》，施
法与程序实现Βιβλιοθήκη 妙根、顾丽珍 编著，清华大学
3.重视各种方法的误差分 出版社。1999。
析
4.做一定量的习题及上机 考试方法
但是 0 . 1000 × 10 − 33 < π < 0 . 9999 × 10 33
采用截断式 fl(π)=0.3141×10 采用四舍五入式 fl(π)=0.3142×10 若浮点数的阶码不在[L,U]内，则出现上溢 (overflow)或下溢(underflow)。 例如 在4位机器数系 F(10,4,-33,33)中输入 2.8×10 -34 出现下溢，输入 1.99×1034 出现上溢。
0.000004 ×105 =23456
在上式中，重新排序计算 上式= 0.2+0.4+0.4+ 23456=1+ 23456= 0.00001 ×105+
0.23456×105=23457
3
三、防止接近零的数做除数
分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可 以用数学公式化简后再做.
四、注意计算步骤的简化,减小运算次数
对某些数据算法是稳定的，称算法具有条件稳定性 (conditionally stable); 对任何数据算法均是稳定的
称算法具有无 条件稳定性(unconditionally stable)
例 在F(10,4,-19,19)数系中，求解二次方程： x2 − 320x +16 = 0
解法1 按求根公式
N = 14 flop
矩阵乘积AB的计算量分析
a a a … a 11
12
13
1n
a a a … a 21
22
23
2n
......… ...
b b b … b 11
12
13
1s
b b b … b 21
22
23
2s
......… ...
a a a …a b b b … b m1
m2
mm-1
mn
n1
n2
(2)的计算量为
N1≠ N2
N2= (s ×l ×n+m ×s×n)flop
5计算机数系 P5-7
一般数制情况： k位规格化机器数
y= ± 0.a1 a2...ak×βc , β=2,8,10,16,
ai∈{0,1,2,…, β-1}, L≤c ≤U,a1≠0 F(β,k.L,U)表示以上数集全体加数0，它是计算机中 使用的有限离散数集(机器数系）。
nn-1
ns
A
n
∑ B Cij = aikbkj i = 1, ,m; j = 1,
k =1
=[cij]m×s
,s
A B 的计算量为N= (m ×n ×s )flop
矩阵乘积 Am×s Bs×lCl×n 的计算量
(1) ( AB)C
(2) A( BC )
(1) 的计算量为
N1= (m ×s ×l+m ×l ×n)flop
2-1024(1+2-52) ≈10-308
If ︱x︱< 10-308 ,导致下溢, fl(x) 令为零； If ︱x︱>10308, 导致上溢, 计算停止.
5误差定义
P9
近似值x的绝对误差(absolute error)
e = x*-x, x是近似数,x*是准确数 。
绝对误差限ε： | e | = | x*-x |≤ ε, x - ε ≤x* ≤x + ε 近似值x的相对误差(relative error)
简化计算步骤是提高程序执行速度的关键，它不 仅可以节省时间，还能减少舍入误差。
问题的性态与数值稳定性 P13
良态与病态：在一个数学问题中，若初始数据的微小变化， 只引起计算结果的微小变化，则称问题是良态的；反之，若 初始数据的微小变化引起计算结果的较大变化，则称问题是 病态的。 例 1 求 p(x)=x2+x-1150 在 x=100/3 与 x=33 处 的 值 。
例1 计算
, x 255 ∀ x ∈ R .
254
A:x255=x·x···x B:x255=x·x2·x4·x8·x16·x32·x64·x128
Algorithm B(Matlab) s = x; y = x; for i = 1 : 7 s = s * s; y = y * s; end
( input x, output y） 计算量
5在计算机上是否根据数学公式编 程就能得到正确结果?
研究例子:求解线性方程组
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
1
2 1
3
x1 + x1 + x1 +
1 2
x2
+
1 3
x3
1 3
x2
+
1 4
x3
1 4
x2
+
1 5
x3
= = =
11
6 13
12 47
60
其准确解为x1=x2=x3=1 此问题是病态的
如把方程组的系数舍入 成两位有效数字
实践
1.开卷笔试占60%
5.注意与实际问题相结合 2. 上机作业占40%
什么是算法和计算量？
算法 从给定的已知量出发，经过有限次运算及规定的运算顺序，
最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。P2
计算量 一个算法所需四则运算总次数. P4
一个算法所需的乘除运算总次数，单位是flop. 计算量是衡量一个算法好坏的重要标准。
F(β,k,L,U)中的数称为机器数。 F(10,4,-33,33)， y= ± 0.a1 a2a3a4×10c 二进制机器数系 F(2,52,-1024,1024)
1
例 在机器数系 F(10,4,-33,33)中表示 fl(π).
π = 3.1415926 ∉ F (10 ,4,−33 ,33 ),
er (
f
)
≈
df f
=
nx n −1dx xn
= n dx x
特别关注：
1. e(x / y) ≈ d (x / y) = ydx − xdy y2
分母接近零会产生较大的绝对误差。
2.
er (x − y)
≈
d(x − y) x− y
≤
dx x
x + dy x−y y
y x− y
相近的两数相减会产生较大的相对误差。
2 8 16 32 256 4096 = 27.56640625
十进制数：x→ F(2,52,-1024,1024) →二进制数 s c f (对52位后面的数作舍入处理） →fl(x)=(-1)s2c-1023(1+f)
x≈fl(x)
在 F(2,52,-1024,1024)中，
最大规格化机器数:
21024(2-2-52) ≈10308 最小规格化正机器数：
解：p(100/3)=-(50/9) ≈-5.6, 而 p(33)=-28 初始数据的微小变化︱(100/3)-33︱<0.34,就引起计算结 果的较大变化︱-5.6+28︱=22.4,问题是病态的。 2、计算p(x)在x=1,x=1.1处的值。 解：p(1)=-1148, p(1.1)=-1147.7 初始数据的微小变化,只引起计算结果的微小变化，问题 是良态。
显然若问题是病态的，则m大，若问题是良态的， m就小。 m称为问题的条件数(condition number)
一个良态问题，采用数值稳定的方法计算，其结果 一定可靠。一个病态问题，即使采用数值稳定的方 法计算，结果也不一定可靠。关于病态问题，需要 讨论专门的方法，本课程基本不涉及这个问题。
数值稳定性（Numerical Stability)：一个数值算法， 若输入数据的误差在计算过程不增长，并对最终结 果影响不大，就称该算法是数值稳定的算法；否则 是不稳定算法。P15
二进制数系: F(2,52,-1024,1024)
机器数为64位二进制数—s c f,双精度数。
符号位s占1位=1,0；（0正1负） 指数c占11位，底为2； c的最大值为2111=2047
尾数f,分数占52位. •机器数转化为十进制浮点数的形式
(-1)s 2c-1023(1+f), 具有16位精度.
x1,2 = −b ±
b2 − 4ac 2a