当前位置：文档之家 › 西安交大计算方法第一章

西安交大计算方法第一章

  • 格式：ppt
  • 大小：684.50 KB
  • 文档页数：30

下载文档原格式

  / 30

合集下载

西交计算方法总结

西交计算方法总结


1
t
l
1 lt
2
由于1
d1
,有
x
1
l
x fl( x) 1 1t
x
2
第1章 绪论
例.为了使计算y 10 3 4 6 的乘除法次数尽可
x -1 x -12 x -13
能少,应该式如何计算:_______
例.在浮点数系下,计算x2 16x 1 0的两个根,应如何 计算才能使精度较高？
例: 设x ( x1 , x2 , x3 )T ,则 x1 2x2 3x3 是否是范数, x1 2x2 3x3 是否是范数
条件数:当输入数据具有 x的误差,引起问题的结果误差为 f (x) 则cond( f ) sup f (x) x
5.方法的稳定性
数值稳定:若初始误差导致最终解的误差能被有效地控制 数值不稳定:若初始误差导致最终解的误差不能被有效地控制
6.算法 由有限个无二义性法则组成的一个计算过程
算法的特点,描述
第2章 线性代数方程组
1
-
1
1
2
例:矩阵A= 1
3
01
,则A1 _______, A ___, A ___
1
1 4
0 0 1
P36, P37
2 1
例:
若矩阵A
1
2
a
可以分解为GGT的形式,
其中G为下三角阵,
a 1
且对角元均为正,问a的取值范围,并请按此要求将此a分解
第2章 线性代数方程组
3
6
8,
1 6 ,19601 6930
3 8
8,
1
19601 6930
8
第1章 绪论
例.证明在浮点数系F ( ,t, L,U )中,浮点数的相对误差
计算方法第一章引论

计算方法第一章引论


§2 数值问题与数值算法
求解数值问题的计算机上可 以执行的系列计算公式。
2-2 数值方法与数值算法
2. 数值算法
指有步骤地完成解数值问题的过程，数值方法是它 的前提和基础，它是数值方法的具体化。具备以下四
个特性：
(1) 目的性：给出输入数据和输出数据的明确的规定
与要求。
(2) 确定性：必须精确地给出每一步的操作定义，不 允许有歧义。
3. 算法的分类
(1) 按面向求解问题的不同分为：数值算法和非数值 算法
(2) 按面向计算机的不同分为：串行算法和并行算法
(3) 按算法的内部特征分为：确定型算法和非确定型 本课程只讨论计算机上串行确定型的数值 算法 算法 即通过按规定顺序执行一个完整且有限的 运算序列后，将输入的数据（向量）变成输 出的数据（向量）。
每秒1亿次的计算机计算也要30万年； 而若改用高斯消去法作为算法进行求解，只需乘除 运算约2670次。
§2 数值问题与数值算法
N=0, S=0 若N<10000 N=N+1, S = S +N 输出N和S
输入 循环条件 循环体 输出
省略
§2 数值问题与数值算法
2-2 数值方法与数值算法
说明：对于大型数值问题，使用不同的算法其计算复
杂性将大不相同。
如对20阶线性方程组，用克莱姆法则作为算法进行
求解，其乘、除法运算次数共需约 9.7×1020 次，若用
②《计算方法》：武汉大学，高等教育出版社
③《数值计算方法》：李有法，高等教育出版社
④《数值分析》：李庆扬，王能超，易大义。
⑤《计算方法引论》：徐萃薇。
④《数值分析引论》：易大义，陈道琦。
§2 数值问题与数值算法
西安交大计算机组成原理—习题解答(第一章)

西安交大计算机组成原理—习题解答(第一章)



Copyright ©2012 Computer Organization Group. All rights reserved.
第一章 1.7
CPU通过不同的时间段来区分指令和数据，即：取指 周期（或取指微程序）取出的既为指令，执行周期 （或相应微程序）取出的既为数据。 另外也可通过地址来源区分，从PC指出的存储 单元取出的是指令，由指令地址码部分提供操作数地 址。
题解： 机器语言由 0、1 代码组成，是机器能识别和执行的 一种语言；
汇编语言是面向机器的语言，它由一些特殊的符号表 示指令；
高级语言是面向用户的语言，它是一种接近于数学的 语言，直观、通用、与具体机器无关。
汇编语言必须通过汇编器翻译成机器语言才能被机器 识别和执行；高级语言必须经过编译（和汇编）后才 能被机器识别和执行。
对于某个特定的功能来说，由硬件还是软件实现后所 能达到的计算机系统的性能是有差异的。
通常，某个特定的功能由硬件实现比用软件实现的执 行速度快，但由硬件实现比用软件实现的成本高。而 由软件实现比硬件实现的灵活性好。

Copyright ©2012 Computer Organization Group. All rights reserved.
题解： （1）执行d = a×b−a×c需要花费CPU时间为21ns； （2）合并式d = a×b−a×c为d = a ×(b-c),则执行时间 为11ns。

Copyright ©2012 Computer Organization Group. All rights reserved.
1.6 讨论将程序和数据存放在同一存储器中的优缺点。 题解：
优点：主存只有一个地址空间，编程简单，管理容易， 空间利用率高；
西安交大计算方法A考点总结【1-9章】

西安交大计算方法A考点总结【1-9章】

k
x* xk 0
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
矩阵收敛的充要条件是 lim
k
A* Ak 0
lim Bk 0 谱半径 B 1
k
2、迭代法的一般格式 3、雅克比迭代
xk 1 Bxk g （注：B 是个对角元素均为 0 的方阵）
i 1 n bi aij xjk 1 aij xjk ） j 1 j i
SOR 迭代格式（加松弛因子 w） ： xi 变形为 xSOR
k 1 k 1 1 xk xG S
k 1
xik rik 1 / aii
改进平方根法：A=LU=LDLT 比平方根法多了 5、追赶法（三对角方程组） 本质是三对角矩阵的 LU 分解。 6、向量范数
x
非负性；齐性；三角不等式。
x1 x
2
元素绝对值之和； 元素平方和的平方根； 元素绝对值的最大值；
x
7、矩阵范数
A
非负性；齐性；三角不等式；相容性。
A1 A2
列范数（第 1 到第 n 列元素绝对值之和的最大值） 谱范数（ AT A 的特征值的最大值的平方根） 行范数（第 1 行到第 n 行元素绝对值之和之和的最大值）
Dxk 1 1 Dxk Exk 1 Fxk b


1）迭代法收敛的充分条件：迭代矩阵 B 的范数 2）迭代法收敛的充要条件： lim B
k k
B 1
0 谱半径 B 1
3）超松弛迭代法收敛的必要条件是： 0 2
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
第一章 1、误差的来源与分类：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。 2、准确到 n 位小数：
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第1章二阶与三阶行列式

西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第1章二阶与三阶行列式


推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
2 10 6 8 2276
0 3 15 9 12 7910
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
求解三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
1 0 2T 1 2 3 2 4 6 0 4 5 3 5 8 2 6 8
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
例如
175 175 6 6 2 3 5 8 , 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
练习2 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
大学计算机基础习题答案(西安交大)

大学计算机基础习题答案(西安交大)

习题参考答案习题一1．第一代计算机的主要部件是由（电子管和继电器）构成的。

2．未来全新的计算机技术主要指（光子计算机），（生物计算机）和（量子计算机）。

3．按照Flynn分类法，计算机可以分为（单指令流单数据流），（单指令流多数据），（多指令流单数据流）和（多指令流多数据流）4种类型。

4．计算机系统主要由（硬件系统）和（软件系统）组成。

5．说明以下计算机中的部件是属于主机系统、软件系统、还是属于外部设备。

（1）CPU （主机系统）（2）内存条（主机系统）（3）网卡（主机系统）（4）键盘和鼠标（外设）（5）显示器（外设）（6）Windows操作系统（软件系统）6．控制芯片组是主板的的核心部件，它由（北桥芯片）部分和（南桥芯片）部分组成。

7．在计算机系统中设计Cache的主要目的是（提高存去速度）。

8．计算机各部件传输信息的公共通路称为总线，一次传输信息的位数称为总线的（宽度）。

9．PCIE属于（系统）总线标准，而SATA则属于（硬盘接口或外设）标准。

10．在微机输入输出控制系统中，若控制的外部设备是发光二极管，最好选用的输入输出方法是（程序控制）方式；若控制的对象是高速设备，则应选则（DMA）控制方式。

11．操作系统的基本功能包括（处理器管理或进程管理）、（文件管理）、（存储器管理）、（设备管理）和用户接口。

12．虚拟存储器由（主内存）和（磁盘）构成，由操作系统进行管理。

13．CPU从外部设备输入数据需要通过（输入接口），向外设输出数据则需要通过（输出接口）。

14．简述CPU从外部设备输入数据和向外设输出数据的过程。

请参见教材第18页关于输入输出过程的描述。

15．普适计算的主要特点是（是一种无处不在的计算模式）。

习题二1．在计算机内，一切信息的存取、传输和处理都是以（二进制码）形式进行的。

2．在微机中，信息的最小单位是（bit）。

3．在计算机中，1K字节表示的二进制位数是（1024×8bit）。

西安交通大学计算方法C讲义--资料

西安交通大学计算方法C讲义--资料

计算方法（C）目录第1章绪论1.1 数值计算1.2 数值方法的分析1.2.1计算机上数的运算1.2.2算法分析第2章线性代数方程组2.1 Gauss消去法2.1.1消去法2.1.2主元消去法2.2 矩阵分解2.2.1Gauss消去法的矩阵意义2.2.2矩阵的LU分解及其应用2.2.3其他类型矩阵的分解2.2.4解三对角矩阵的追赶法2.3线性方程组解的可靠性2.3.1向量和矩阵范数2.3.2残向量与误差的代数表征2.4解线性方程组解的迭代法2.4.1基本迭代法2.4.2迭代法的矩阵表示2.4.3收敛性第3章数据近似3.1 多项式插值3.1.1插值多项式3.1.2Lagrange插值多项式3.1.3Newton插值多项式3.1.4带导数条件的插值多项式3.1.5插值公式的余项3. 2 最小二乘近似3.2.1 最小二乘问题的法方程3.2.2 正交化算法第4章数值微积分4.1 内插求积，Newton-Cotes公式4.1.1Newton-Cotes公式4.1.2复化求积公式4.1.3步长的选取4.1.4Romberg方法4.1.5待定系数法4.2数值微分4.2.1插值公式方法4.2.2Taylor公式方法(待定系数法)4.2.3外推法第5章非线性方程求解5.1 解一元方程的迭代法5.1.1简单迭代法5.1.2Newton法5.1.3割线法5.1.4区间方法5.2 收敛性问题5.2.1简单迭代——不动点5.2.2收敛性的改善5.2.3Newton法的收敛性5.2.4收敛速度第1章绪论1.1数值计算现代科学的发展，已导致科学与技术的研究从定性前进到定量，尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展，为复杂数学问题的定量研究与解决，提供了强有力的基础。

通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。

一、本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解——了解计算的基础方法，基本结构（否则只须知道数值软件）——并研究其性质。

高等数学教材西安交大

高等数学教材西安交大

高等数学教材西安交大西安交通大学高等数学教材第一章：导数与微分1.1 导数的概念1.2 导数的求法1.3 微分的概念1.4 微分的应用第二章：不定积分2.1 不定积分的定义2.2 基本积分公式2.3 分部积分法2.4 替换法2.5 径向函数积分计算第三章：定积分3.1 定积分的定义3.2 定积分的性质3.3 牛顿—莱布尼茨公式3.4 定积分的计算方法3.5 微积分基本定理第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的解法4.3 高阶微分方程的解法4.4 常系数齐次线性微分方程4.5 变量分离与恰当方程4.6 非齐次线性微分方程第五章：级数与幂级数5.1 数列的极限5.2 级数的概念与性质5.3 正项级数收敛判别法5.4 幂级数的收敛与发散5.5 幂级数的求和与应用第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程6.4 向量值函数与参数曲线第七章：多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 曲线与曲面积分7.4 三重积分的概念与性质7.5 三重积分的计算方法第八章：无穷级数与场论8.1 函数项级数的收敛性8.2 广义积分8.3 函数项级数的一致收敛性8.4 Fourier级数8.5 傅里叶变换以上是西安交通大学高等数学教材的章节目录。

本教材包含了导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、级数与幂级数、多元函数微分学、多元函数积分学以及无穷级数与场论等内容。

通过学习本教材，学生将掌握高等数学的基础知识和方法，为进一步学习数学及相关学科打下坚实的基础。

本教材内容丰富，注重理论与实践相结合，能够帮助学生提高数学思维能力和解决问题的能力。

教材由西安交通大学数学系编写，经过多年的教学实践和修订，具有很高的教学质量。

希望广大学生能够认真学习本教材，并能够在学习中体会到数学的美妙与应用的广泛性。

祝愿大家在高等数学学习中取得优异的成绩！。

西安交通大学计算方法B进度表

西安交通大学计算方法B进度表

计算方法（B）教学进度表
周次
内容
备注
2
第一章绪论
第二章§1 Gauss消去法（1）
9.8
3
§1 Gauss消去法（2），
§2矩阵分解
9.15
4
§3解的可靠性，§4迭代法（1）
§4迭代法（2）
9.22Байду номын сангаас
5
第三章§1多项式插值（1），Lagrange，Newton插值
§1多项式插值（2）余项
9.29
6
§2分段插值（1）
10.6
7
§3最小二乘近似（1）
§3最小二乘近似（2）
10.13
8
第四章§1内插求积（1）：Cotes公式、复化求积、
§1内插求积（2）：待定系数法、§2 Romberg方法
10.20
9
§3自适应积分，§4 Gauss型求积公式（1）
§4 Gauss型求积公式（1）
10.27
10
§5数值微分
第五章§1一元方程迭代法
11.3
11
§2收敛性问题
§3非线性方程组
11.10
12
第六章§1初值问题（1）Eular法，多步法
§1初值问题（2）性态与稳定性
11.17
13
§1初值问题（3）误差、预估-校正法
§1初值问题（4）Runge-Kutta方法
11.24
14
第六章§2边值问题
第七章§1最优化问题
12.1
15
§2无约束优化方法
§3约束优化方法简解
12.8
注：1.讲课进度根据具体情况可能略有调整。
2.课堂教学54学时，上机另行安排。
计算方法课件1(崔丽鸿)

计算方法课件1(崔丽鸿)


§1.3 绝对误差和相对误差

一．绝对误差 /* absolute error */
设
称
x
——准确值，x * ——近似值。
*
*
e( x ) x x 为 x 的绝对误差(简称误差) | e( x ) | 为 x * 的绝对误差限。

二．相对误差 /* relative error */
14/47
§1.1 引言

算法影响计算的精度
例2
令
设多项式为 ( x-2)9 , 我们来计算其在区间 [1.92, 2.08]上的值。
p(x) = ( x-2)9 q(x) = x9 – 18 x8 + 144 x7 – 672 x6 + 2016 x5 4032 x4 + 5376 x3 – 4608 x2 + 2304 x - 512
NY
BJ
以上是一个病态问题
/* ill-posed problem*/ 关于本身是病态的问题，还是留给数学家去头痛吧！
30/47
蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。其大意 为：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶 尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引 起一场龙卷风。
数值分析
理学院
崔丽鸿
教材：西安交通大学出版社
《计算方法》
作者：邓建中
2/47
主要参考书

1.《数值分析基础教程》,
李庆杨,
高等教育出版社,
2001年第1版
3/47
主要参考书

2.《数值方法和MATLAB实现与应用》, （美） Gerald Recktenwald 著 伍卫国 万群 张辉 等译, 机械工业出版社,
数值计算方法,第一章

数值计算方法,第一章


设y = x1 x2 − x3，
ε ( y * ) ≤ | f ′( x * ) | ε ( x * )
若y = f ( x1，x2 )，
= =
ff * * * * * * ∂ ∂∂ ∂f f ** ** ** * * ∂ f ∂f * * ( ( x1 ) xx ,, xx ,, xx )dx )e(2x x**,,x x**,)x dx )e( x * ) ++ ( ( + (x x1 ,, x x2 ,, x x3 ))e dx 11 22 33 2 ) + ( x1(,x xx ∂ ∂x3∂x3 12 23 3 3 3 ∂x x11 1 2 3 1 ∂∂ 22
有两位有效数字
∂f ∂f * * ( x * , x * )e ( x1 )+ ( x * , x * )e ( x 2 ) ∂ x1 1 2 ∂x2 1 2 ∂f ∂f * * * * * * ε( y* ) ≤| ( x1 , x2 ) | ε ( x1 )+ | ( x1 , x2 ) | ε( x2 ) ∂ x1 ∂x2
x − x∗ ≤
1 × 10 m −−nn 2
它 们 分 别 是 2, 3, 7
17 18
绝对误差限 ⇔ 有效数字
定理 1 . 1 : x * = ± 0 .a 1 a 2 ...... a n ... × 10 m ( a 1 ≠ 0 )
x * 有 n 位有效数字
1 ε = × 10n 2
∗
⇒ ε r ( x* ) =
9 10
四舍五入的原则： 1. 舍入后绝对误差限不超过末位数的半个单位 2. 舍入部分刚好是末位数的半个单位，使末位 凑成偶数 例：0.7135, 0.7765, 0.73251分别取三位小数 0.714, 0.776, 0.733

计算方法课件适合打印版

2 3
在F (2,3, -1, 2)中
2
(0.100 2 ) (0.110 2 ) 0.110 2
在F (2,3, -1, 2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21
(0.100 20 ) (0.110 21 ) 0.110 22
第1章 绪论
1.2 数值方法的分析
1.2 数值方法的分析
1.2.1 计算机上数的运算 浮点数运算结果产生误差的情况 (3)在浮点数系中数据的尾数字长t是有限
1.2.1 计算机上数的运算
浮点运算应注意
(4)在相同的指数条件下，两个数量相差较大的数字相 加（减）时，较小数的有效数字会被丧失
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算； (2)避免“大”“小”数相加减； (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失； (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。
算法SUM4(A,n,S) 将数组A中的数按其符号分成两组,分别按算法 SUM3求和,最后计算和S 1. 0->n1;0->n2; 2. For i=1,2,…,n 2.1 if a[i]>=0 then n1+1->n1; a[i]->b[n1]; else n2+1->n2; a[i]->c[n2]; 3. 调用SUM3(B,n1,S1); 4. 调用SUM3(C,n2,S2); 5. S1+S2->S
定义 通常以计算机完成操作 a+b*c ,即一次浮点加法 一次浮点乘法，所需的时间作为一个时间单位，称为 浮点运算，记为flop.
例1.3 设A1 , A2 , A3 , A4分别为10 20, 20 50,50 1,1100的矩阵,则按 结合律,有

西安交通大学《计算方法》课件-第一章


浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)

西安交大数字电子技术课件第一章


数字电子技术基础
进位计数制的特点：
(1) 同一个数码在不同的数位上所表示的数值是不 同的。 (2) 可以用少量的数码表示较大的数。 (3) 被广泛采用。 关于进位计数制的几个名词：
(1) 进位基数
上页 下页 返回
数字电子技术基础
在一个数位上，规定使用的数码符号的总数， 叫该进位计数制的进位基数，简称为“基” 。 进位基数又称为进位模数，记作R。 例如十进制，每个数位规定使用的数码符号为0， 1， 2， …， 9，共10个， 故其进位基数R=10。
b. 将上一步所得的商再除以R，记下所得商和余数。 c. 重复做b，直到商为0。 d. 将各个余数转换成R进制的数码，并按照和运算 过 程相反的顺序把各个余数排列起来，即为R进 制的数。
上页
下页
返回
数字电子技术基础
说明如下： 例如将十进制整数转换为二进制整数，则有:
( D)B d k 1 2k 1 d k 2 2k 2 d1 21 d 0 20
八进制数和十六进制数的基数分别为8=23，16=24， 所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进 制数相当一位十六进制数。
二进制数转换成八进制数(或十六进制数)的方法：
a. 整数部分和小数部分可以同时进行转换。 b. 以二进制数的小数点为起点，分别向左、向右， 每三位(或四位)分一组。
上页 下页 返回
上页 下页 返回
数字电子技术基础
例如将十进制小数转换为二进制小数，则有：
( D)m d 1 21 d 2 22 d m 2 m
将上式两边同时乘以2， 便得到
1 m 1
2( D)m d 1 (d 2 2

西安交通大学计算方法B完整版

第一章绪论1.1数值计算现代科学的发展，已导致科学与技术的研究从定性前进到定量，尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展，为复杂数学问题的定量研究与解决，提供了强有力的基础。

通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。

一、本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解——了解计算的基础方法，基本结构（否则只须知道数值软件）——并研究其性质。

立足点：面向数学——解决数学问题面向计算机——利用计算机作为工具充分发挥计算机的功能，设计算法，解决数学问题例如：迭代法、并行算法二、问题的类型1、离散问题：例如，求解线性方程组bAx=——从离散数据：矩阵A和向量b，求解离散数据x；2、连续问题的离散化处理：例如，数值积分、数值微分、微分方程数值解；3、离散问题的连续化处理：例如，数据近似，统计分析计算；1.2数值方法的分析在本章中我们不具体讨论算法，首先讨论算法分析的基础——误差。

一般来讲，误差主要有两类、三种（对科学计算）：1）公式误差——“截断误差”，数学↔计算，算法形成——主观（人为）：数学问题-数值方法的转换，用离散公式近似连续的数学函数进行计算时，一般都会发生误差，通常称之为“截断误差”；——以后讨论2）舍入误差及输出入误差——计算机，算法执行——客观（机器）：由于计算机的存储器、运算器的字长有限，在运算和存储中必然会发生最末若干位数字的舍入，形成舍入误差；在人机数据交换过程中，十进制数和二进制数的转换也会导致误差发生，这就是输入误差。

这两种误差主要是由于计算机的字长有限，采用浮点数系所致。

首先介绍浮点数系一、计算机上的运算——浮点运算面向计算机设计的算法，则先要讨论在计算机上数的表示。

科学记数法——浮点数：约定尾数中小数点之前的数全为零，小数点后第一个数不能为零。

目前，一般计算机都采用浮点数系，一个存储单元分成首数和尾数：首数l 尾数(位)其中首数存放数的指数（或“阶”）部分，尾数存放有效数字。

数值计算(计算方法第一章)


其中 xk 1 xk ( f '( xk ))1 f ( xk ).
Newton迭代法
称为迭代序列
§2.误差及误差分析
数值方法中的计算公式及参与运算的数，都和数学中的 一般情况有所不同，即
计算公式中的运算必须是在计算机上可执行的运算 参与运算的数必须是有限小数或整数
因此，数值方法中的取数和运算往往会出现误差，算得
的结果（称为计算值）一般也为近似值。
在任何科学计算中，其解的精确性
总是相对的，而误差则是绝对的。
一、误差的种类及来源 一个物理量的真实值和我们算出的值（即计算值） 往往存在差异，它们之差称为误差。 模型误差
在建立数学模型过程中，要将复杂的 现象抽象归结为数学模型，往往要忽 略一些次要因素的影响，而对问题作 一些简化，因此数学模型和实际问题 之间有一定的误差。
bn an bk bk 1 x ak , k n 1, n 2, ,1, 0 p( x) b 0
运算量：
n.
例1.1.3
解线性方程组
Ax b,
其中， A (aij )nn , x ( x1, x2 ,, xn )T , b (b1, b2 ,, bn )T .
离散型（统计型） 不确定型（随机型） (2) 算法设计：将数学问题数值化 例1.1.4 求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
ax2 bx c 0
是数值问题
输入的数据是系数矩阵 A, 常数项向量 b与系数a , b, c
输出的数据是解向量 x, 和方程的解 x1 , x2
求解微分方程
定义1.2.2 设x 0为准确值，x*为x的一个近似值。称
( x ) x x (x ) x x * 为近似值x 的相对误差。 若存在正数 r 满足

计算方法第一章知识梳理

计算方法第一章知识梳理**《计算方法第一章知识梳理》**嘿，朋友！今天咱来好好唠唠计算方法第一章的那些事儿，这可都是独家秘籍，一般人我可不告诉他！首先，咱们来说说啥是计算方法。

你就把它想象成你做菜的菜谱，告诉你怎么一步步算出你想要的结果。

第一章里，最重要的一个概念就是误差啦。

误差这玩意儿，就像你做菜时不小心多放了一勺盐，或者少放了一点醋，总会有点偏差。

那怎么衡量误差呢？这里就有个绝对误差和相对误差。

绝对误差呢，简单说就是你算出的结果和准确值之间的差。

比如说，准确值是 5，你算出来是 4，那绝对误差就是 1 呗。

相对误差呢，就是绝对误差除以准确值。

这就好比你吃蛋糕，绝对误差是你吃多了的那一口，相对误差就是多吃的那一口占整个蛋糕的比例。

再说有效数字。

这有效数字就像是你银行卡密码里的关键几位，特别重要。

有效数字越多，说明你的结果越精确。

比如说 3.14 有三位有效数字，3.1415 就有五位有效数字。

判断有效数字的时候，要注意前面的 0 不算，后面的 0 得看情况。

下面咱来说说误差的传播。

这就好比你传话，从第一个人传到最后一个人，话可能就变了味儿。

计算过程中也是这样，一个小小的误差，经过一系列的计算，可能就被放大了。

所以咱们得小心，尽量减少误差的传播。

比如说，加减运算的时候，要让小数点后面的位数对齐，就像排队要站整齐一样。

乘除运算呢，有效数字的位数要和参与运算的数中有效数字位数最少的那个看齐。

还有啊，在近似计算的时候，要注意选择合适的算法。

比如说，能用简单算法就别用复杂的，能避免误差累积的就尽量避免。

这就好比你走在路上，能走平坦的大道就别走崎岖的小路，能少绕弯就少绕弯。

我给你讲个我的奇葩经历。

有一次我做一道计算题，一开始没注意误差，结果算出来的结果差了十万八千里，就像我本来要去北京，结果走到了海南岛！从那以后，我可长记性了，对误差那是小心翼翼。

总之，计算方法第一章的知识梳理，重点就是要搞清楚误差、有效数字和误差传播这几块。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数值计算方法
数学与统计学院 马军
理科楼 338 QQ 67017261 foyo2000@
数值计算方法
数学与统计学院 马军
理科楼 338 QQ 67017261 foyo2000@
求解方程组
1312xxx111121413xxx222131514xxx33316116412307
则解的绝对误差为
y y-~y (x1, x2 ,...,xn ) (~x1, ~x2 ,...,~xn )
相对误差为
y y
y
y (x1, x2 ,..., xn )
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的性态
当数据误差较小时， 函数的增量可以近似等于函数的微分
y
例: 3.141592653589793...... 1 3.1416
1 0.0000073 0.00005 0.5104
则
准确到
1
4位小数，
共5位准确数字
第1章 数值计算方法的一般概念
有效数字
设~x x1 x2 xm xm1 xm2 xmn
计算机在计算过程中，由于原始数据可能有误差，每次运算也 可能产生舍入误差，误差积累起来，很可能淹没真正解，使得结 果根本不可靠
可靠的算法，每一步的误差不应对计算结果产生过 大影响，也即具有稳定性.
良态问题+稳定的计算方法 可靠的计算结果
课程成绩
考试成绩 80%
上机成绩 20%
课程基础
数学基础
计算机基础
➢ 高等数学 ➢ 线性代数
➢计算机语言 ➢数据结构
第1章 数值计算方法的一般概念
第1章 数值计算方法的一般概念
什么是数值计算方法
数值计算方法就是研究如何利用计算工具,求出数学问 题的数值解的学科
第1章 数值计算方法的一般概念
当两个相近数相减时,会损失比较多的有效数字
(4)在相同的指数条件下，两个数量相差较大的数字相 加（减）时，较小数的有效数字会被丧失
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算；
(2)避免“大”“小”数相加减； (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失； (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。
10..0500xx11
0.50x2 0.33x2

0.33x3 0.25x3
1.83 1.08
0.33x1 0.25x2 0.20x3 0.78
其 解 为: x1 1, x2 1, x3 1
例 使用高斯消去法解方程组
演示
数值计算方法
参考书
《计算方法》邓建中,西安交通大学出版社 《数值分析》李乃成,梅立泉 科学出版社
从准确值按四舍五入原则截取得到的近似数都是有效数
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的性态
设数学问题的解 y与某些参量 x1, x2 ,..., xn有关,可表示为
y (x1, x2 ,..., xn ) 则当各输入参数有误差时， 解也会有误差,得到近似解
~y (~x1, ~x2 ,...,~xn )
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的性态
可以得到
(x1x2 ) x2(x1 ) x1(x2 )
( x1 ) x1 x1x2
x2
x2
x22
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
将实数 x按舍入原则表示为 fl (x) ~x bm (0.x1x2 xt )
并称为b进制浮点数 其中:
因此会产生误差 ,称此误差为舍入误差
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
(1)结果的阶数m不在范围[L,U]中
上溢 在F(2,3, -1, 2)中 (0.100 22 ) (0.110 22 ) 0.110 23
下溢 在F(2,3,-1, 2)中 (0.100 20 ) (0.110 21) 0.110 22
相对误差界常用百分数表示,简称为相对误差
第1章 数值计算方法的一般概念
准确数字
设~x x1x2 xm xm1xm2 xmn ,并设x1 0
若
x ~x

0.Байду номын сангаас005
n个0
1 10 n 2
称为~x准确到n位小数
并称xmn及其以前的非零数字为 准确数字

n i 1
(x1, x2 ,...,
xi
x
n
) xi
y

n i 1
(x1, x2 ,...,
xi
xn )
xi

xi
其中的系数 或 xi 表示解的误差相对量的放大或 xi xi
缩小的"倍数" 称其为问题 y的条件数
条件数大的问题称为病 态问题,否则称为良态问题
基数: b称为基数 尾数 : 0.x1x2 ...xt , xi为0,1,2..., b 1的数字
当x1 0时， 称为规格化的浮点数 阶码: m称为阶码， 范围: L m U
位数: t称为计算机的位数
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
规格化的浮点数 fl (x)其末位数字 xt可能有半位误差
绝对误差
x fl(x) 1 bt bm 1 bmt
2
2
相对误差
x fl(x) 1 b1t
x
2
计算机的相对精度
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
在计算机中所有规格化的浮点数的集合称为浮点数系
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然以同一浮点数系中的数 表示,必须用一个比较接近的浮点数代替.
第1章 数值计算方法的一般概念
定义 在执行某一数值方法时，如果由初始误差导致最终解
的误差能被有效地控制，这样的方法是数值稳定的
反之，如果各个计算过程中的误差不断增长，且不能 被有效地控制，则该方法称为数值不稳定的
方法的数值稳定性是指运算中由初始误差通过计算导 致的最终解的误差的可控性
第1章 数值计算方法的一般概念
令x ,则称为绝对误差界或绝对误差限 有x ~x 或者记为 ~x( )
绝对误差或绝对误差限常常简称为误差
第1章 数值计算方法的一般概念
相对误差
设~x是真值x的近似值
x x ~x x 或 x
xx 称为近似值~x的相对误差
令x r ,则r称为相对误差界或相对误差限 有x ~x (1 r )
算法
由基本运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤, 称为算法
✓ 有效的且适用范围广 ✓ 运算工作量少,耗费资源少 ✓ 逻辑简单便于实现 ✓ 具有稳定性 ✓ 具有收敛性
第1章 数值计算方法的一般概念
计算机处理的问题
数值型问题
解决工程计算问题
理论基础:高等数学,线性代 数,数学模型,计算方法等
非数值型问题
误差分类
模型误差 数据误差 截断误差 舍入误差
在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的 由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差 通过近似替代，简化为较易求解的问题 由于计算机中的性能限制而造成的
第1章 数值计算方法的一般概念
绝对误差
设~x是真值x的近似值 x x ~x或x
称为近似值~x的绝对误差
解决一般的计算机应用
理论基础:数据结构,离散 数学等
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的类型
➢ 离散问题
如求解方程组,矩阵问题
➢ 连续问题的离散化
如数值积分、数值微分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解
➢ 离散问题的连续化
数值插值、数据逼近
第1章 数值计算方法的一般概念
定义 误差是指近似值与真正值之差
上溢会出错，下溢会变为0
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
(2)结果的尾数多于t位数字
在F(2,3,-1, 2)中 (0.100 20) (0.111 20) 0.1101 21
需对结果进行舍入处理，产生的误差称为舍入误差
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
(3)在浮点数系中数据的尾数字长t是有限
10 m 0.x1 x2 xm xm1 xm2 xmn
~x
0.0 0x1x2
m个0
xnm 10 m
0.x1x2
xnm
如果 x ~x 1 10n ,则~x准确到n位小数
2
具有n m位准确数字
各位数字都准确的近似数称为有效数
各准确数字称为有效数字