简单的线性规划问题学案

3.3.2简单的线性规划问题（Ⅰ）【学习目标】1．巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.【重点难点】重点：用图解法解决简单的线性规划问题；难点：准确求得线性规划问题的最优解；【学习过程】一．研讨互动，问题生成1、二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

二．合作探究，问题解决在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：{ x +2y ≤84x ≤164y ≤12x ≥0y ≥0……………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域：如下图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x ,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把z=2x+3y 变形为y =−23+z 3，这是斜率为−23，在y 轴上的截距为z3的直线。

当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（y =−23+83），这说明，截距z3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。

简单的线性规划问题（导学案）班级姓名【学习目标】1. 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件，抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；3. 体会线性规划的化归、数形结合的数学思想，增强观察、联想以及作图的能力.【知识清单】1.线性规划的实际应用主要解决两类问题：（1）在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成的任务；（2）给定一项任务，如何合理安排和规划，能以的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.2.线性规划的有关概念：①约束条件：由变量x、y组成的；线性约束条件：由变量x、y组成的不等式组．②目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x、y的；线性目标函数：欲达到最大值或最小值的关于x、y的.③线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的或的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）叫；由所有可行解组成的集合叫做；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的．3.用图解法解决线性规划问题的一般步骤：【问题探究】在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现有的资源（人力、物力、资金……），取得最大的收益，或者，怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务，我们把这类问题称为“最优化”问题。

例：某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。

该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可能的一个生产周期的安排是什么？并画出相应的平面区域。

问:进一步，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，那么采用哪种生产方式该企业可获得最大利润？【典例精析】、目标函数的最值转化例1．已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-≥3053431y x y x x 求：(1) 求y x z +=2的最大值和最小值；（2）求y x z -=2的最大值和最小值；（3）若目标函数y ax z +=取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值；（4）求11+-=x y z 的最大值和最小值. （5））求22y x z +=的最大值和最小值【知能达标】1．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，则y x z 2+=的取值范围是（ ）A. [2，6]B. [2，5]C. [3，6]D. （3，5）2．在△ABC 中，三顶点坐标为A （2，4），B （－1，2），C （1，0），点),(y x P 在ABC ∆内部及边界运动，则y x z -=的最大、最小值是（ ）A. 3，1B. －1，－3C. 1，－3D. 3，－13. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.A. 3-B. 3C. 1-D.1思考题：若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y y x y x ，且y x +的最大值为9，则实数m 值为 。

简单的线性规划问题(一)教案单县一中 万继昌一． 教学目标：1． 知识目标：（1）了解线性规划，可行域等概念的意义。

（2）掌握简单的线性规划问题的解法。

2． 能力目标：结合实际应用实例，概括总结出线性规划问题及解决方法，培养学生现实应用技能，分析、探索的能力。

3． 情感目标：体会数学来源于现实生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，提高学生解决实际问题的能力。

二． 教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；三． 教学难点： 如何准确求出线性规划问题的最优解。

四． 教学方法： 启发探究式教学。

五． 教学工具： ppt 课件，实物展台等。

六． 教学过程：（一） 复习引入：（1）二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系 表示什么图形?直线Ax +By +C =0的某一侧所有点组成的平面区域 (2) 作出下列不等式组的所表示的平面区域 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x师生互动：【教师】先让学生做，画，然后点拨。

【学生】画图，总结步骤：直线定界，特殊点定域【教师】问题1：x 有无最大（小）值？问题2：y 有无最大（小）值？问题3：2x+y 有无最大（小）值？设计意图：复习回顾上节内容，为本节课学习奠定基础，同时提出问题，激发学生兴趣，引入新课。

（二）新课讲授1 引例某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4 个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B 配件，按每天工作8 h计算，（1）该厂所有可能的日生产安排是什么？师生互动：【教师】多媒体投影引例，并提出问题引导学生思考。

1)如何设变量？请用不等式组表示问题中的限制条件。

2)画出该不等式组表示的平面区域。

【学生】按老师的问题解答：解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组画出可行域【教师】引导学生作出不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)即为所有可能的日生产安排。

《简洁的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产支配等问题，它是一种重要的数学模型。

简洁的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。

与其它部分学问的联系，表现在：二、学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简洁的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题。

从数学学问上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的相识还很少，数形结合的思想方法的驾驭还需时日，这都成了学生学习的困难。

所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。

三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学试验为手段，以问题解决为目的，以多媒体课件作为平台，激发他们动手操作、视察思索、猜想探究的爱好。

留意引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从详细到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培育学生的学会分析问题、解决问题的实力。

四、教学目标1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题4.培育学生视察、联想以及作图的实力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的实力5.结合教学内容，培育学生学习数学的爱好和“用数学”的意识，激励学生创新五、教学重难点教学重点：用图解法解决简洁的线性规划问题教学难点：精确求得线性规划问题的最优解。

3.5.2 简单线性规划学习目标：1．掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.学习过程：自主学习知识梳理1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．3．线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题利用图形直观、形象、简便地寻找出来．自主探究在线性目标函数z ＝Ax ＋By (B ≠0)中，目标函数z 的最值与截距之间有怎样的对应关系？请完成下面的填空．1．线性目标函数z ＝Ax ＋By (B ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－A B x ＋z B，在y 轴上的截距是z B，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 2．当B >0时，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当B <0时，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．对点讲练知识点一 求线性目标函数的最值问题例1：线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．变式训练1：设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 知识点二 求非线性目标函数的最值问题例2：已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．总结 若目标函数为形如z ＝y －b x －a ，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率． 若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方．变式训练2：已知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，则x 2＋y 2的最小值和最大值分别是________．知识点三 和平面区域有关的参数问题例3：设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]总结 准确作出可行域，熟知指数函数y ＝a x 的图象特征是解决本题的关键．变式训练3：若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．课堂小结：1．用图解法求线性目标函数的最值时，要搞清楚z 的含义，z 总是与直线在y 轴上的截距有关．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.课堂检测：1．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．16 D ．102．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( ) A ．90 B ．80 C ．70 D ．403．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x >0，则y x －1的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞) 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2.则z ＝x －3y 的最小值为________． 5．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．6．已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．7．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋y )(x －y ＋5)≥0－3≤x ≤3表示的平面区域的面积．参考答案对点讲练例1：解：如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)，x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.变式训练1：B【解析】作出可行域如图所示：由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.例2：解：由题意知，作出线性约束条件下的可行域如图所示，且可求得A (2,3)，B (0,2)，C (1,0)．由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值， 结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3， 此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.变式训练2：5,25【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0， 得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03x －y －5＝0， 得B (3,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －5＝02x ＋y －5＝0， 得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB →|2＝25，z min ＝|OC →|2＝5.例3：C【解析】作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x 过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9；当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2，∴2≤a ≤9.]变式训练3：0<a ≤1或a ≥43【解析】不等式表示的平面区域如图所示，当x ＋y ＝a 过A ⎝⎛⎭⎫23，23时表示的区域是△AOB ，此时a ＝43； 当a >43时，表示区域是△AOB ； 当x ＋y ＝a 过B (1,0)时表示的区域是△DOB ，此时a ＝1；当0<a <1时可表示三角形；当a <0时不表示任何区域，当1<a <43时，区域是四边形． 故0<a ≤1或a ≥43. 课堂检测：1．D【解析】画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A (1,1)，OA ＝2，B (2,2)，OB ＝22，C (1,3)，OC ＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝OC 2＝(10)2＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝OC 2＝(10)2＝10.2．C【解析】作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.3．B【解析】可行域如图阴影部分所示，y x －1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率， 易求得y x －1>1或y x －1<－1.4．－8【解析】作出可行域如图所示．可知当x －3y ＝z 经过点A (－2，2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为－2－3×2＝－8. 5．92【解析】点(x ，y )在图中阴影部分，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2， 则u min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92. 6．解：作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝5， 得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝1， 得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．7．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋y )(x －y ＋5)≥0－3≤x ≤3 所表示的可行域如图所示，其可行域为两个等腰直角三角形，其底边长分别为1与11，高分别为12与112， 所以，可行域的面积为12×1×12＋12×11×112＝612.。

§3.3.2简单的线性规划问题（1）【学习目标】1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．2．掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的最大值、最小值．3．训练数形结合、化归等思想方法，培养和发展数学应用意识．【学习过程】一、复习引入前面我们学习了二元一次不等式（组）与平面区域，如何判断二元一次不等式表示的平面区域？二、自主学习1．线性规划相关概念2．函数的最值设函数)fy=的最大值是指：(x(xfy=的定义域为I，M是函数)（1） 对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2） 存在I x ∈0，使得M x f =)(0．三、展示点拨例1 已知实数 x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+-≤111y y x x y ，（1）求y x z +=2的最大值和最小值；（2）求y x z +=2的最大值；（3）求y x z -=2的最小值；（4）求y x z 2-=的最小值；（5）求22y x z +=的最小值；（6）求62--=x y z 的取值范围；（7）求51243-+=y x z 的最值．例2 已知实数 x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+-<111y y x x y ，求y x z +=2的最大值和最小值．四、检测反馈1、 已知实数 x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+-≤111y y x x y ，（1）求y x z 2+=的最大值和最小值；（2）求y x z 3-=的最小值；（3）求y x z 3-=的最小值；（4）求22)1()1(-+-=y x z 的最值；（5）求x y z 1-=的取值范围；（6）求51243+-=y x z 的最值．2、已知实数 x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧->≤+-<111y y x x y ，求y x z +=2的最大值，最小值和取值范围．五、归纳盘点1、目标函数一般有哪几种类型？2、在线性约束条件下，最优解唯一吗？3、线性目标函数)0(>+=B By Ax z 的最大值 对应于目标函数直线纵截距的最 值；4、线性目标函数)0(<+=B By Ax z 的最大值 对应于目标函数直线纵截距的最 值．。

)(一3.5.2简单线性规划自主学习知识梳理线性规划中地基本概念在线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)中,目标函数z地最值与截距之间有怎样地对应关系？请完成下面地填空．1．线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)对应地斜截式直线方程是__________________,在y轴上地截距是________,当z变化时,方程表示一组____________地直线．2．当B>0时,截距最大时,z取得________值,截距最小时,z取得________值；当B<0时,截距最大时,z取得________值,截距最小时,z取得________值．对点讲练知识点一求线性目标函数地最值问题12y≥x＋3???10≤＋xy 地最大值和最小值．－y＝,1例线性约束条件求z2x下??12y ≥3x＋，≥3x＋y???，≥－1x－y地最小值为3x,y满足约束条件yz＝2x＋则目标函数变式训练1设变量??，y≤32x－)(23．8D．A．6B．7C 知识点二求非线性目标函数地最值问题0≥x＋y－22??1y＋?04≥x－2y＋＝地最大值和最小值．,例2已知实数x、y满足试求z1＋x??0≤3x－y－3b－y 两点连线地斜率．x,y)(a,b)与(总结若目标函数为形如z＝,可考虑ax－)b(y－＝(x－a)＋若目标函数为形如z22 b)两点距离地平方．a,y)与(,,可考虑(x05≥2x＋y－??22?0－y－5≤3x ________＋y．地最小值和最大值分别是,则变式训练2已知x??02－y＋5≥x和平面区域有关地参数问题知识点三0≥2y－19x＋??x?0≥＋8x－y y＝a例3设二元一次不等式组,所表示地平面区域为M,使函数??02x＋y－14≤地取值范围是()地图象过区域M地a≠(a>0,a1)A．(1,3] B．[2,10] C．[2,9]D．[10,9]地图象特征是解决本题地关键．x a,熟知指数函数y＝总结准确作出可行域，≥0x－y??，2＋y≤2x?地取值范围a则变式训练3若不等式组,表示地平面区域是一个三角形，≥0y??，x＋y≤a ．是________轴上地截距y总是与直线在z,地含义z要搞清楚,用图解法求线性目标函数地最值时．1．有关．还要给可行域地各顶点标上注意标出相应地直线方程,2．作不等式组表示地可行域时,确定最要注意线性目标函数地斜率与可行域中边界直线地斜率进行比较,,平移直线时,字母优解．利用数形结合方法首先考虑目标函数地几何意义,3．在解决与线性规划相关地问题时,.可迅速解决相关问题课时作业一、选择题，4＋y≤x???，y≥x )地坐标满足条件x,y1．已知点P(??，≥1x22)＋y地最大值为(则x10 ．16D．A.10B．8C，≤402x＋y??，≤50x＋2y?则z＝3x＋2x,y满足y地最大值是()2．若变量，0x≥??，0y≥40．70D．A．90B．80C??0≥y?????x≤yN?,|区域M＝＝其中区域3．在坐标平面上有两个???xy≤2－{(x,y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1},区域M和N公共部分地面积用函数区域M和N,?x，y?f(t)表示,则f(t)地表达式为()122＋2t2tt ＋t＋B．－A．－21122 2)(t．1－t－D.C22x－y＋1≤0，?y?4．若实数x,y满足则地取值范围是()?1－xx>0，??A．(－1,1) B．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C．(－∞,－1) D．[1,＋∞)二、填空题，≥xy???，≤2＋2yx则z＝x满足约束条件5．设变量x,y－3y地最小值为________． ??2.x≥－，≤0yx＋－1??22?，1≥0－xy＋－4x－4y＋8,则u＝且uxy＋6．已知地最小值为________．??，1≥－y三、解答题7．已知1≤x＋y≤5,－1≤x－y≤3,求2x－3y地取值范围．0?≥y＋5x?＋y??x－??．求不等式组表示地平面区域地面积．8?3x≤－3≤??3．5.2简单线性规划(一)知识梳理不等式或方程一次一次线性约束条件可行解最大值或最小值线性约束自主探究Azz1．y＝－x＋互相平行BBB2．最大最小最小最大对点讲练例1解如图作出线性约束条件?12≥x＋3y??下地可行域,包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于10y≤x＋??12≥3x＋y(3,3),A点x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1),x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9),作一组与直线2x－y＝0平行地直线l：2x－y＝z即y＝2x－z,然后平行移动直线l,直线l在y轴上地截距为－z,当l经过点B时,－z取最小值,此时z最大,即z＝2×9－1＝17；当l经过点C时,－z取最大值,此时z最小,即z＝minmax＝17,z＝－7.z∴＝－7.2×1－9minmax变式训练1B[作出可行域如图所示：由图可知,z＝2x＋3y经过点A(2,1)时,z有最小值,z地最小值为7.]例2解由题意知,作出线性约束条件下地可行域如图所示,且可求得y＋1y－?－1?＝,＝zC(1,0)．由于A(2,3),B(0,2),?1－?x＋－1x所以z地几何意义是点(x,y)与点M(－1,－1)连线地斜率,y＋1因此地最值就是点(x,y)与点M(－1,－1)连线地斜率地最值,1＋x结合图可知,直线MB地斜率最大,直线MC地斜率最小,即z＝k＝3,此时x＝0,y＝MBmax2；1＝k＝,此时x＝z1,y＝0.MCmin225,25变式训练?05≥2x ＋y －??地可行域如图所示,0－y －5≤3x 作出不等式组解读??0≥＋5yx －2?0＋y5＝x－2?由?,?0＝x2＋y－5?(1,3),A得?x－2y＋5＝0?由?, ?3x－y－5＝0?(3,4),B得．?05＝x－y－3?由?,?0＝＋y－52x?(2,1),得Cyx＋设z＝22地距原点到点B,结合图形知,,则它表示可行域内地点到原点地距离地平方, 离最大C地距离最小．,∴原点到点注意到OC⊥AC→→5.＝＝|OCzz＝|OB＝25,故22||minmax,作二元一次不等式组地可行域如图所示3C[例．(1,9),C(3,8)由题意得A ；＝9a取最大值,此时aA当y＝a过(1,9)时,x2, ＝此时a,a取最小值,a 当y＝过C(3,8)时x9.]a≤≤∴24 a≥a≤1或变式训练30< 3 解读,不等式表示地平面区域如图所示22??,AOB时表示地区域是a＋y＝过A△当x??334 ；此时a＝34 ；△AOB>时,表示区域是a当 3 ；1＝a此时,DOB△时表示地区域是(1,0)B过a＝y＋x当时可表示三角形；a当0<<1, 当a<0时不表示任何区域4 区域是四边形．,<1<当a时34≥1a故0<≤或a.3 课时作业画出不等式组对应地可行域如下图所示：[D．1．OC＝C(1,3),OA＝B(2,2),OB＝A易得(1,1),＝＝OC＝10. ＋y2222)∴(x max＋y＝OC＝＝10.] 2222)∴(x max2．C[作出可行域如图所示.13由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50地斜率分别为－2、－,而3x ＋2y ＝0,故线性22目标函数地倾斜角大于2x ＋y ＝40地倾斜角而小于x ＋2y ＝50地倾斜角,由图知,3x ＋2y ＝z 经过点A(10,20)时,z 有最大值,z 地最大值为70.]0y ≥??xy ≤所表示地平面区域． 作出不等式组3．A [?x ≤2－y得t≤1,x≤t＋1,0≤≤由tS－－S (tS)＝f△△BFCAODOEF△111＋tt－＝－＋＝1222 )(1－t222B．4y地几何意义是区域内点与(1,0)连线地斜率,易求得,[可行域如图阴影部分所示x－1yy>1或<－1.] x－1x－15．－8作出可行域如图所示．解读8. 3×2＝－2时,z有最小值,此时z地最小值为－－y可知当x－3＝z经过点A(－2,2)96.2, ,y)在图中阴影部分解读点(x)＝x－2)＋(y－2)由已知得(222, 1|－|2＋293＝＝＝则,u minmin221＋17．解作出一元二次方程组?5y≤≤x＋1? )即可行域．所表示地平面区域(如图?3≤－≤xy－1??12＝yy,把它变形为z＝2x－3考虑得到斜率为－z,3312当直线截距最大且满足约束,y 轴上地截距变化地一组平行直线,－z是直线在,且随z33x2z＝－3y取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数条件时目标函数z＝2x 取得最大值．3y－z最小．,截距最大,即2x－3y经过可行域上地点A时由图可知,当直线z＝?1y＝－x－?解方程组?,?5＝x＋y?．A地坐标为(2,3)得5.＝－×3×2－32＝所以z2x－3y＝min最大．z截距最小,即yx－3经过可行域上地点B时,2当直线z＝?3＝x－y?解方程组?,?1y＝x＋?7.＝1)－(×3－2z1),(2,B得地坐标为－所以×2＝y3－x2＝max∴2x－3y地取值范围是[－5,7]．?0≥5?x－y＋???x＋y??不等式组8．解3x≤－3≤??,所表示地可行域如图所示111与高分别为与11,,其可行域为两个等腰直角三角形其底边长分别为1 226111111＝＋,可行域地面积为所以.×11××1×22222。

第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题一、学习目标1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.3.能从实际情境中抽象出简单的线性规划问题.【重点、难点】经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。

二、学习过程【创设情景】意大利足球队营养师布拉加经常遇到这样一类营养调配问题:甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表:甲乙丙维生素A(单位/千克) 400 600 400维生素B(单位/千克) 800 200 400成本(元/千克) 7 6 5布拉加想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位.【导入新课】1:(1)假设布拉加购买了甲种食物x千克,乙种食物y千克,则按照布拉加对维生素A、B的含量要求,x,y应该满足的条件是即形如这样的由变量x,y组成的不等式(组)或等式叫作,由变量x,y组成的一次不等式(组)或等式叫作.(2)设布拉加购买三种食物的成本为z,则z= ,像z这样的关于x、y的函数叫作,关于x、y的一次函数叫作,目的是求z的最大值或最小值.(3)满足线性约束条件的解(x,y)叫作;由所有可行解组成的集合叫作;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作线性规划问题的.2:用图解法解决线性规划问题的一般步骤:(1)画出;(2)令z=0作出直线l0:ax+by=0;(3)作一组与直线l0的直线系或平移直线l0;(4)找到;(5)解方程组;(6)写出答案,并检验.3:图解法可概括为“画、移、求、答”(1)画:画出可行域和直线ax+by=0(目标函数是z=ax+by);(2)移: 移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;(3)求:求出使z取得最大值或最小值的点的(解方程组)及z的最大值或最小值;(4)答:给出正确答案,并检验.4:在求线性目标函数的最值时,我们可以归纳出如下结论:(1)线性目标函数的最值一般在处取得.(2)线性目标函数的最值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有.【典例分析】线性目标函数的最值问题已知变量x、y满足下列条件:试求:z=4x-y的最大值.【解析】作出满足条件的可行域,如图所示.由每条直线的方程可以求出点A(1,1)、B(2,4)、C(3,5)、D(5,5)、E(5,3).目标函数z=4x-y可化为y=4x-z,欲求z的最大值,只需求直线y=4x-z在y轴上的截距的最小值.由图知,当直线y=4x-z过点E时,直线在y轴上的截距最小,z取得最大值17.【变式拓展】线性目标函数最值整数点问题已知x,y满足不等式组求使x+y取最大值时的整数x,y.三、学习总结经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识四、随堂检测(2014年·广东卷)若变量x,y满足约束条件的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=( ).A.5B.6C.7D.8。

3.3.2 简单的线性规划问题学习目标：1．了解线性规划的意义．2．了解线性规划问题中一些术语的含义．3．会解决一些简单的线性规划问题．学习重难点：1．求目标函数的最值．(重点、难点)2．目标函数的最值与其对应直线截距的关系(易错点).学习过程：自学导引1．解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．线性规划的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用它们完成更多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见的问题有：(1)物资调运问题：(2)产品安排问题；(3)下料问题．例题探究：题型一 求线性目标函数的最值例1：已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值；(2)求函数z ＝x ＋2y 的最大值和最小值．规律方法：图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．变式1：已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值．题型二 非线性目标函数的最值问题例2：已知⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．规律方法：非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)．点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等．常见代数式的几何意义主要有：(1) (x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．(2)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率；y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．变式2：如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．题型三 线性规划的实际应用例3：某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？题后反思：用图解法解线性规划应用题的具体步骤为：(1)设元，并列出相应的约束条件和目标函数；(2)作图：准确作图，平移找点；(3)求解：代入求解，准确计算；(4)检验：根据结果，检验反馈．变式3：某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？方法技巧：数形结合思想在线性规划中的应用数形结合的主要解题策略是：数形问题的解决；或：形数问题的解决．数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征构造出与之相适应的几何图形，并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为数量关系去解决．课堂检测：1.已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，且z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．2.目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时,z的意义是()A．该直线的截距B．该直线纵截距C．该直线的纵截距的相反数D．该直线横截距3.若点(x,y)在曲线y=-|x|与y=-2所围成的封闭区域内(包括边界),则2x-y的最大值为() A．-6B．4C．6D．8参考答案例题探究：例1：解： (1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)， ∴u min ＝3×(－2)－3＝－9. 当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)， ∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一组平行线．由上图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z 最小，即z 最小， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)， ∴z min ＝－2＋2×(－3)＝－8.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z 最大，即z 最大， ∴z max ＝x ＋2y ＝4，∴z ＝x ＋2y 的最大值是4，最小值是－8.变式1：解： 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.作出可行域，如图所示．∵目标函数为z ＝3x ＋5y ，∴作直线l ：3x ＋5y ＝t (t ∈R )．平移直线l ，在可行域内以经过点A ⎝⎛⎭⎫32，52的直线l 1所对应的t 最大．类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的t 最小．∴z max ＝3×32＋5×52＝17，z min ＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11. 例2：解：(1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. ∴MN 2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92， ∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38， ∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72.变式2：解：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32.例3：解：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移．由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．变式3：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0. 目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.得M (100,200)． ∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．课堂检测：1.【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤42≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值，z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈[3,8]．【答案】[3,8]2.【解析】由z=3x-y得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.故选C.【答案】C3.【解析】如图点(x,y)在阴影部分区域内,设2x-y=z,则y=2x-z.当直线y=2x-z过点A(2,-2)时-z最小,此时z最大.z最大=2×2-(-2)=6.故选C.【答案】C。

简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。

这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。

学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。

三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。

过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。

情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。

教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。

教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。

2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。

教学过程设计。

学案 简单的线性规划问题与基本不等式一简单的线性规划问题（一）、自主梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)判断不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的平面区域，可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax ＋By ＋C 的正负．当C ≠0时，常选用______________．(2)画不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域时，其边界直线应为 ；画不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域时，边界直线应为 ．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定 、特殊点定2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．(4)可行解：满足________________的解(x ，y )．(5)可行域：所有________组成的集合．(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解．（二）、巩固练习1．图中表示的区域满足不等式( )A ．2x ＋2y －1＞0B ．2x ＋2y －1≥0C ．2x ＋2y －1≤0D ．2x ＋2y －1＜02．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，则满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( )A ．10B ．9C ．3D ．无数3．已知点(－3,1)和(0，－2)在直线x －y －a ＝0的一侧，则a 的取值范围是( )A ．(－2,4)B ．(－4,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)4. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0x ＋y ≥02≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角梯形C ．梯形D ．矩形5．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )6.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为________.7．在平面直角坐标系中， 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为3．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧ 0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为9.变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围10．某家具厂有方木料90 m 3 ，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2；生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元；出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所获利润最大？二、基本不等式（一）、自主梳理1． 基本不等式(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥________ (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a 2＋b 22.3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最____值是________(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记：和定积最大)．5.双钩函数)0()(>+=a xa x x f 的图像 （二）、巩固练习1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π) C ．y ＝e x ＋4e －x D ．y ＝log 3x ＋log x 81 2.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 3．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.144．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4； ④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2(－x y )(－y x)＝－2. 其中正确的推导过程为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )有最________值为________ 6．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________________．7.若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值________8.求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值9.若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________10.（1）求x x y 1+=的取值(2)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；（3）求414)(22+++=x x x f 的取值范围（4）已知0<x <43，求x (4－3x )的最大值 11．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．(三)反思与总结。

3.3.2 简单的线性规划问题学案（第二课时）教学目标：1 用线性规划解决实际问题2 关于线性规划问题中的整点最优问题例1 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件,按每天工作8小时计算，（1）该厂所有可能的日生产安排是什么?（2）若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采取哪种生产安排利润最大？二、有关概念1、线性约束条件：2、线性目标函数：3、可行解：4、可行域：5、最优解：6、线性规划问题：变式：若在上题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又应当如何安排生产才能获得最大的利润？探究：类比上题，思考：解答线性规划问题的一般步骤是怎样的？归纳：例2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg的脂肪。

已知1kg食物A和1kg食物B含有的营养成分和花费如下表A和食物B多少kg？例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：A规格 B规格 C规格第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3今需要A、B、C三种规格的成品分别15，18，27块，问各截这两种钢板多少张且使所用钢板张数最少？例4一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元. 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？方法归纳：关于线性规划问题中的整点最优问题⑴若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）⑵网格布点法：若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．⑶整点限定法：通过限定区域内整点的范围，进而找出满足条件的点.。

简朴线性规划（导学案）【知识梳理】1.鉴别不等式)0(0<++>++C By Ax C By Ax 或表达旳平面区域时，只要在直线0=++C By Ax 旳一侧任取一点),(00y x （一般当直线不通过原点时，代入原点检查），将它旳坐标代入不等式，假如该点坐标满足不等式，不等式就表达该点＿＿＿＿＿旳平面区域，假如不满足不等式，就表达这个点所在区域旳＿＿＿＿＿旳平面区域。

由几种不等式构成旳不等式组表达旳平面区域是各个不等式所示旳平面区域旳公共部分。

2.不等式组是一组对变量x 、y 旳约束条件，由于这组约束条件都是有关x 、y 旳一次不等式，因此又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲到达最大值或最小值所波及旳变量x 、y 旳解析式，我们把它称为目旳函数.由于z =A x +B y 又是有关x 、y 旳一次解析式，因此又可叫做线性目旳函数.此外注意：线性约束条件除了用一次不等式表达外，也可用一次方程表达.3.一般地，求线性目旳函数在线性约束条件下旳最大值或最小值旳问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件旳解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解构成旳集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表达旳三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目旳函数获得最大值和最小值，它们都叫做这个问题旳最优解.线性目旳函数旳最值常在可行域旳顶点处获得;而求最优整数解必须首先要看它们与否在可行4.用图解法处理简朴旳线性规划问题旳基本环节：（1）要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所示旳公共区域）.（2）设z =0，画出直线l 0.（3）观测、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.（4）最终求得目旳函数旳最大值及最小值.1.重点解法2.难点：怎样确定不等式0(Ax By C ++>或<0)域，怎样寻求线性规划问题旳最优解.课前预习：1．不等式240x y -->表达旳平面区域在直线2x y -()A 左上方 ()B 右上方 ()C 左下方2．表达图中阴影部分旳二元一次不等式组是（ ） ()A 220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩()B 2201002x y x y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩()C 21002x y xy -+⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩()D 1002x y -≤⎨⎪≤≤⎩3.已知点(),P x y 旳坐标满足条件4,,1.x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则22x y +旳最大值为（ A ）B. 8C. 16D. 104.360112p 自主学习1，114p 自主学习1、2考点一：不等式（组）表达旳平面区域旳求法例1.360112p 示范1，113p 展示1，变式：1. .不等式组5000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表达旳平面区域旳面积为__4121______ 2.课时作业364p 1、7考点二：求最值问题例2.（07福建）已知实数x 、y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2Z x y =-旳取值范围是__________；例3. 示范2，展示2变式：1. 已知,x y 满足约束条件,03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++旳最小值是（ ）A ．25B ．21-C ．2425D ．12.360112p 自主学习2，113p 示范2考点三：最优解问题例3．(北京市崇文区3月高三统一考试文)在如下图所示旳坐标平面旳可行域内（阴影部分且包括边界），若目旳函数 z ＝x ＋ay 获得最小值旳最优解有无数个，则a 等于 ( )A ．1B ．1-C ．3D ．3-变式．给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目旳函数(0)z ax y a =+>获得最大值旳最优解有无穷多种，则a 旳值为（ ）()A 14 ()B 35 ()C 4 ()D 53考点四：可转化为线性规划处理旳不等式问题例4.360 114p 示范2 变式：1.设函数2()(,,0)f x ax c a c R a =-∈≠，又4(1)1f -≤-≤，1(2)5f -≤≤，求(3)f 旳最小值、最大值以及获得最小值、最大值时,a c 旳值．2. 课时作业364p 4(5,2)A xy O (1,1)B 22(1,)5C考点五：线性规划处理应用问题例5. 114p 示范1，展示1变式：（四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。

3.5.2 简单线性规划学习目标：1.了解线性规划的意义，能根据线性约束条件建立目标函数.2.理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题.3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系. 学习过程： 基础·初探1．线性规划中的基本概念名称 意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式组线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2．线性目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，它表示斜率为－ab ，在y 轴上的截距是zb 的一条直线，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值. 例题探究：类型1：求线性目标函数的最值问题例1：(1)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0， x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2(2)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________.(3)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.名师点津：1.解二元线性规划问题的一般步骤(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax ＋by ＝0(目标函数为z ＝ax ＋by )； (2)移：平行移动直线ax ＋by ＝0，确定使z ＝ax ＋by 取得最大值或最小值的点； (3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值； (4)答：给出正确答案.2.一般地，对目标函数z ＝ax ＋by ，若b >0，则纵截距与z 同号，因此，纵截距最大时，z 也最大；若b <0，则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大时，z 反而最小. 变式训练1：若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0， x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________.类型2：非线性目标函数的最优解问题 例2：变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0， 3x ＋5y －25≤0， x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围.名师点津：1.利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确.2.非线性目标函数的最值的求解策略(1)z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数可转化为点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方，特别地，z ＝x 2＋y 2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方. (2)z ＝y －bx －a型的目标函数可转化为点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率. (3)z ＝|Ax ＋By ＋C |可转化为点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍. 变式训练2：设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0， x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值.类型3：利用线性规划解决实际问题例3：某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小.名师点津：解答线性规划应用题的一般步骤：1．审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.2．转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题. 3．求解——解这个纯数学的线性规划问题. 4．作答——就应用题提出的问题作出回答.变式训练3：某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运多少箱. 货物每箱体积/m 3每箱重量/kg每箱利润/百元甲 5 2 20 乙4 5 10 托运能力限制数 2413课堂检测：1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝⎛⎭⎫12，122．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1， x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－63．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ， y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________.4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4， y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________.5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为多少元？参考答案例题探究：例1：【解析】(1)对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图(1)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图(2)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时可行域如图(3)，当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图(4)，直线y ＝2x －z 与直线2x －y ＝0平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确.故选C.(2)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示.由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.【答案】 (1)C (2)－10 (3)－5变式训练1：【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0， x ＋2y －2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫1，12. 当直线z ＝x ＋y 过点A ⎝⎛⎭⎫1，12时，z max ＝1＋12＝32. 【答案】32例2：解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0， 3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1， x －4y ＋3＝0， 解得C (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0， 3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2).(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率. 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域中的点到原点O 的距离的平方.结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29， ∴2≤z ≤29.变式训练2：解：画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小. 又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)， 所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4. 例3：解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张， 则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0， x ，y ∈N ，所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图.在一组平行直线z ＝3x ＋2y 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)， ∴最优解为x ＝2，y ＝1.∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小. 变式训练3：解：设甲货物托运x 箱，乙货物托运y 箱，利润为z ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24， 2x ＋5y ≤13，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N .z ＝20x ＋10y ，作出可行域如图所示，作直线l ：20x ＋10y ＝0，当直线z ＝20x ＋10y 经过可行域上的点A 时，z 最大，又A (4.8,0)不是整点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝24，2x ＋5y ＝13，得点B (4,1)为整点.所以甲货物托运4箱，乙货物托运1箱，可获得最大利润.课堂检测：1．【解析】可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.【答案】C2．【解析】由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z 2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C. 【答案】C3．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.目标函数可化为y ＝12x －12z，作直线y ＝12x 及其平行线，知当此直线经过点A 时，－12z 的值最大，即z 的值最小.又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.【答案】－94．【解析】点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1，1)，C (1,3). 由图可得，|PO |min ＝|AO |＝2； |PO |max ＝|CO |＝10.【答案】2105．解：设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台， 租赁费z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50， 10x ＋20y ≥140，x ，y ≥0且x ，y ∈N ，z ＝200x ＋300y .作出如图所示的可行域.令z ＝0，得l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0可知，当l 0过点A 时，z 有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝50，10x ＋20y ＝140，得A 点坐标为(4,5).所以z min ＝4×200＋5×300＝2 300.答：该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为2 300元.。

3.3.2简单的线性规划问题（Ⅱ）【学习目标】1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.【重点难点】重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

【知识链接】复习1：已知变量x，y满足约束条件{x−4y≤−33x+5y≤25x≥1，设z=2x+y，取点（3，2）可求得z=8，取点（5，2）可求得z max =12，取点（1，1）可求得z min=3取点（0，0）可求得z=0，取点（3，2）叫做_________点（0，0）叫做_____________，点（5，2）和点（1，1）__________________复习2：阅读课本Ｐ８8至Ｐ91【学习过程】※学习探究线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：※典型例题例1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型A规格B规格C规格钢板类型第一种钢板211第二种钢板123今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？变式：第一种钢板为1m2，第二种为2m2，各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格的成品且所用钢板面积最小？※动手试试练1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h、2h，加工1件乙和设备所需工时分别为2h、1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h. 如何安排生产可使收入最大？练2. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生20台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:问每周应生产空调器、彩电、冰箱共多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）【学习反思】※学习小结简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.※知识拓展含绝对值不等式所表示的平面区域的作法：（1）去绝对值，转化为不等式组；（2）采用分零点讨论或分象限讨论去绝对值；（3）利用对称性可避免讨论.。