3.5.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案

二元一次不等式组与简单的线性规划问题【三维目标】：一、知识与技能1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，掌握简单的二元线性规划问题的解法，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力；4.会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域．二、过程与方法1.本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。

始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。

教学中也特别提醒学生注意>++CByAx(或0<)表示区域时不包括边界，而0(Ax By C++≥≤或0)则包括边界2.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；三、情感、态度与价值观1. 通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。

2. 培养学生数形结合、化归、集合的数学思想【教学重点与难点】：重点：用二元一次不等式表示平面区域；难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定，即如何确定不等式>++CByAx(或0<)表示Ax By C++=的哪一侧区域【学法与教学用具】：1. 学法：启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念。

以学生探究为主，老师点拨为辅。

学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞。

同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。

2. 教学用具：直角板、投影仪（多媒体教室）【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.情境：下表给出了,,x y z三种食物的维生素含量及成本：维生素A（单位/kg）维生素B（单位/kg）成本（元）X 300 700 5Y 500 100 4Z 300 300 3某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设X、Y这两种食物各取x kg、y kg，那么,x y应满足怎样的关系？解答：∵X 、Y 这两种食物分别为x kg 、y kg ，∴食物Z 为100x y --kg ，则有300500300(100)35000700100300(100)40000x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩，即25250y x y ≥⎧⎨-≥⎩， 又∵,0x y ≥，∴252500,0100y x y x y x y ≥⎧⎪-≥⎪⎨>>⎪⎪+<⎩（介绍二元一次不等式的概念），如果进一步要求,x y 如何取值时总成本W 最小呢？如何解决该问题．问题转化为在以上不等式组约束下，求543(100)2300W x y x y x y =++--=++（介绍目标函数概念）的最大值问题．要解决以上问题，我们首先要来了解二元一次不等式的几何意义． 2.问题：坐标满足二元一次方程20x y +-=的点组成的图形是一条直线l ．怎样才能快速准确地画出直线l 呢？（学生答：描两点连成线．例如：该直线经过点(2,0)A 和(0,2)B ，画出经过,A B 两点的直线即为所求）．教师问：怎样判断点(1,3)在不在直线l 上呢？结论：点的坐标满足直线的方程，则点在直线上；点的坐标不满足直线方程，则点不在直线上． 坐标满足不等式20x y +->的点是否在直线l 上呢？这些点在哪儿呢？与直线l 的位置有什么关系呢？二、研探新知 通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜 想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方． 如图，在直线20x y +-=上方任取一点(,)P x y ，过P 作平行于y 轴的直线交直线20x y +-=于点(,2)A x x -+，∵点P 在直线上方，∴点P 在点A 上方，∴2y x >-+，即20x y +->，∵点P 为直线20x y +-=上方的任意一点，所以，直线20x y +-=上方任意点(,)x y ，都有2y x >-+，即20x y +->；同理，对于直线20x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有2y x <-+，即20x y +-<．又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式20x y +->的点在直线的上方，我们称不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=上方的平面区域；同样，不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=下方的平面区域．20x y +-=2 2 x yO(,)P x y •学生练习：判断不等式230x y -+>表示的是直线230x y -+=上方还是下方的平面区域？（下方） 结论：①一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0>++C By Ax 表示0=++C By Ax 某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式0≥++C By Ax 表示区域时则包括边界,把边界画成实线.②一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域； y kx b <+表示直线下方的平面区域．说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域． （2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1（教材73P 例1）画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+；（2）20x y -+>．解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：例2 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式32x y >-+表示直线32x y =-+ 的平面区域；（2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域； （3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域； （4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．说明：二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax ByC ++=某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域． 例3（1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ．xy O下半平面y k x b<+上半平面y kx b >+y kx b =+（2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？解：（1）∵直线2360x y -+=下方的点的坐标满足223y x <+，∴22(2)233t <⨯-+=． （2）∵直线320x y a -+=的上方区域的点的坐标满足322a y x >+，∵点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，∴02a <，∴0a <．又∵3313022a a -⨯+-=<，∴点(1,3)在此直线的上方区域．例4（教材74P 例2） 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）：解：（1）0x >；（2）6522x y +≤；（3）y x >．例5 原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是 ． 提示：将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x y a +-的符号相反，即(2)0a a -⋅-<，∴02a <<．例6 用平面区域表示.不等式组3122y x x y <-+⎧⎨<⎩的解集。

《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》教案5（新人教A版必修5）
二元一次不等式与简单的线性规划问题
二元一次不等式与平面区域
教学目的：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）表示的平面区域。

理解、在平面坐标系中的位置（上方、右侧）
重点难点：根据、、的正负，快速判断、的位置
教学过程：
一．知识引入：
1）解一元一次不等式的解，并在数轴上表示出来。

2）课本91
3）二元一次不等式的定义？
4）二元一次方程的解的构成。

二．新课
⒈对直线的知识要点：
⑴当时，直线没有斜率，是一条垂直于轴的直线；
⑵当时，斜率，在轴上的截距；
⑶斜率、截距对直线的图象的影响.
⒉不等式在平面直角坐标系中的区域问题
⑴b0时，不等式的解的区域在直线的上方；不等式的解的区
域在直线的下方。

(2)b0时，不等式的解的区域在直线的下方；不等式的解的区域在直线的上方。

3．不等式组的区域问题。

三例题分析
1．课本94页例1
2．课本94页例2
3．不等式所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域，而点（4，4）在此区域，求b的取值范围。

4．已知点A（a,b）在由不等式组确定的平面区域内，求A （a,b）所在区域的面积。

5．课本95页例3
四．小结
五．作业
1课本105页 1，2
2．课本106页 1， 2
3．画出不等式的区域，并求这个区域的面积.。

二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一．学习目标1．了解二次不等式（组）表示平面区域2．了解线性规划的意义，并会简单的应用二．重点难点重点：图形表示二元一次不等式（组）的平面区域，和用线性规划确定最优解。

难点：数形结合思想，函数思想在解决最优解问题中的应用。

三．知识链接（2008山东，16）设x,y满足条件205100x yx yxy o-+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z=2x+y的最大值为线性规划问题在命题时多以选择题和填空题形式出现，考查：（1）求给定平行区域的最优解（包括最大、最小值及最优整数解）；（2）求给定平行区域的面积；（3）给出平行区域的最优解，求目标函数中参数的范围。

四．学习过程Part 1:阅读教材，回答以下问题1.如何确定二元一次不等式（组）表示的平面区域是否含有边界？如何确定二元一次不等式（组）表示的平面区域？2.求不等式组603x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积。

Part 2：阅读教材，回答以下问题3.什么是线性约束条件，目标函数，线性目标函数，可行解，可行域，最优解，线性规划问题？4.已知变量x,y满足4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z=2x+y的最大值和最小值。

Part 3：阅读题意，回答问题5.（2007山东卷）某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？Part 4:小试牛刀，回答下列问题6.已知（3,1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a<1或a>24 B.a=7或a=24 C.-7<a<24 D.-24<a<77．满足4x y+≤整点（横纵坐标均为整数）的点（x,y）的个数为（）8.设变量x,y满足3023x yx yx-≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩，则目标函数2x+y的最小值为。

高中数学必修5《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案一、教学目标：1、理解二元一次不等式及其组的概念和运算法则，掌握解二元一次不等式及其组的方法。

2、能够应用二元一次不等式及其组的解法解决实际问题，了解简单线性规划问题的基本概念和求解方法。

二、教学重点难点：1、二元一次不等式及其组的概念和运算法则。

2、解二元一次不等式及其组的方法。

三、教学方法：1、课堂讲解法2、实例讲解法3、课堂练习法四、教学内容及进度安排：教学内容学时数一、二元一次不等式及其组的概念和运算法则 4二、解二元一次不等式及其组的方法 8三、应用二元一次不等式及其组的解法解决实际问题 4四、简单线性规划问题的基本概念和求解方法 4总计 20具体教学内容和进度安排：一、二元一次不等式及其组的概念和运算法则（4学时）1、概念：⑴二元一次不等式及其组定义；⑵不等式的符号和解集的含义；⑶一次不等式及其图像；⑷解二元一次不等式的方法，化为标准式；⑸同时含有两个变量的二元一次不等式组的解法。

2、运算法则：⑴二元一次不等式及其组的加减法，思想与方程相似；⑵实质：得到一组解或一些解的并集。

二、解二元一次不等式及其组的方法（8学时）1、解二元一次不等式：⑴将二元一次不等式转化为标准式，再根据各种情况进行分类讨论；⑵根据解集与图形的关系，解二元一次不等式的图像。

2、解二元一次不等式组：⑴联立，消元，分类讨论；⑵根据解集与图形的关系，解二元一次不等式组的图像。

三、应用二元一次不等式及其组的解法解决实际问题（4学时）通过实例，引入应用二元一次不等式及其组的解法解决实际问题，如商场折扣、产品出售等。

四、简单线性规划问题的基本概念和求解方法（4学时）1、概念：线性规划问题定义；2、方法：图形法；3、实例讲解。

五、教学过程：第一课时：二元一次不等式及其组的概念和运算法则知识与技能：1、掌握二元一次不等式及其组的概念和运算法则；2、理解一次不等式的图像。

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第2课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

【教学重点】理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 【教学难点】把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

【教学过程】1.课题导入[复习引入]二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）。

随堂练习11、画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.2、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

2.讲授新课【应用举例】例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有2030x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200x y x y ++⨯+⨯≤ 即 240x y +≤另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥ 把上面的四个不等式合在一起，得到：203024000x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ，在此基础上生产两种混合肥料。

3.5.1 二元一次不等式组所表示的平面区域课时目标1了解二元一次不等式表示的平面区域2会画出二元一次不等式组表示的平面区域．1．二元一次不等式组的概念含有____未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为____________．2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式A＋B＋C>0表示直线____________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成______以表示区域不包括边界．不等式A＋B＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成______．3．二元一次不等式组表示平面区域的确定1直线A＋B＋C＝0同一侧的所有点的坐标，代入A＋B＋C所得的符号都______．2在直线A＋B＋C＝0的一侧取某个特殊点0，0，由________________的符号可以断定A＋B＋C>0表示的是直线A＋B＋C＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是0的点，所在的区域为4．不等式组错误!表示的平面区域内整点的个数是A．2个B．4个C．6个D．8个5．在平面直角坐标系中，不等式组错误!a为常数表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为A．3错误!＋2 B．－3错误!＋2C．－5 D．16．若不等式组错误!所表示的平面区域被直线＝＋错误!分为面积相等的两部分，则的值是二、填空题7．△ABC的三个顶点坐标为A3，－1，B－1,1，C1,3，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．8．已知，为非负整数，则满足＋≤2的点，共有________个．9．原点与点1,1有且仅有一个点在不等式2－＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．10．若A为不等式组错误!表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线＋＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．三、解答题11．利用平面区域求不等式组错误!的整数解．12．若直线＝＋1与圆2＋2＋＋m－4＝0相交于表示的平面区域的面积是多少？能力提升13．设不等式组错误!＝a的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是A．1,3] B．[2,3]C．1,2] D．[3，＋∞14．若不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________．1．二元一次不等式组的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式组．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定的范围，再逐一代入不等式组，求出的范围最后确定整数解的个数．§35二元一次不等式组与简单的线性规划问题3．51二元一次不等式组所表示的平面区域答案知识梳理1．两个1二元一次不等式组＋B＋C＝0虚线实线3．1相同2A0＋B0＋C作业设计1．C[可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．]2．A[由题意知，－3＋2－a9－3－a0等价于不等式组Ⅰ错误!或不等式组Ⅱ错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!无解．②原点0,0不在该区域内，点1,1在该区域内，则错误!，∴－11，＝a恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3要满足题意，需满足a2≤9，解得1错误!时，表示区域是△AOB；当＋＝a过B1,0时表示的区域是△DOB，此时a＝1；当0<a<1时可表示三角形；当a<0时不表示任何区域，当1<a<错误!时，区域是四边形．故当0<a≤1或a≥错误!时表示的平面区域为三角形．。

二元一次不等式组与简单的线性规划问题（第一课时）--3.3.1导：问题导入：举例说明二元一次方程的形式，推广到二元一次不等式的形式是什么。

学习目标：1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

考题形式：1.求给定可行域的面积；2.求给定可行域的最优解；3.给出可行域的最优解，求目标函数中参数的范围（*）。

思、议、展、评：1、思考教材83页“探究”；结合例题1-4，思考找出“不等式表示的平面区域”的方法技巧：（1）可以代入特殊点；（2）由不等式中Y 的系数判断可行域在直线的上下方位置；思考用时（12分钟）2、小组讨论、得出结论；（6分钟）3、踊跃派出小组发言人展示小组成果，针对同学们的问题做出点评（6分钟）4、结合刚才的知识完成课后练习1-4；然后小组内成员统一结果，教师点评（5分钟）测（知识拓展）：1、在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．22、在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为3、若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为4、在平面直角坐标系中，满足不等式组1x y x ⎧≤⎪⎨<⎪⎩的点（x,y ）的集合用阴影部分表示为下列图形中的（ ）5、若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围 是 .。

二元一次不等式组与简单的线性规划问题（第二课时） 导：复习导入：.二元一次不等式(组)表示平面区域；学习目标：1、了解.线性规划的有关概念：线性约束条件，线性目标函数，线性规划问题，可行解，可行域，最优解；2、了解线性规划问题的图解法，并能用线性规划的方法解决一下简单的实际问题思、议、展、评：1、思考利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域.（2）作出目标函数的等值线.（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定最优解.（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2、阅读思考教材91页“错在哪儿”，你明白了什么？3、已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于 ,最大值等于____________.思考用时（12分钟）4、小组讨论、得出结果；（6分钟）5、小组发言人发言，老师针对问题点评；（6分钟）6、典例赏析：（10分钟）设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：（1）y x z 106+=； （2）y x z -=2； （3）22x y ω=+； （4）1+=x y ω 针对此题，你学会了什么？测：1、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。

该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润。

2、如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为_________________。

《二元一次不等式与简单的线性规划问题》学案一、教学目标（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。

始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。

教学中也特别提醒学生注意++≥≤Ax By C或0)则包括Ax By C++>或<0)表示区域时不包括边界，而0(0(边界.（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想.二、教学重点、教学难点教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域.教学难点：如何确定不等式0(++>或<0)表示0Ax By CAx By C++=的哪一侧区域.三、教学设想1. 设置情境提问：本班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点圣诞晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？试用不等式来刻画资金分配的问题.问题: 二元一次不等式6x所表示的图形?<-y尝试：在直角坐标系中,所有点被直线6x分成三类:=-y一类是在直线6=-y x 上;二类是在直线6=-y x 左上方的区域内的点;三类是在直线6=-y x 右上方的区域内的点.结论：一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0>++C By Ax 表示0=++C By Ax 某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式0≥++C By Ax 表示区域时则包括边界,把边界画成实线.四、应用举例例1.画出44<+y x 表示的平面区域变式1：（1）画出不等式4x ―3y ≤12表示的平面区域。

（2）画出不等式x ≥1表示的平面区域。

数学《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》高中教案数学《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》高中教案上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。

学然后知不足，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。

下学生通过自己的分析得出了正确的结论，让他们从中体会到了获取新知后的成就感，从而增加了对数学的学习兴趣.同时也让他们体会人们在认识新生事物时从特殊到一般，再从一般到特殊的认知过程.】（二）实例展示:例1、画出不等式二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计表示的平面区域.例2、用平面区域表示不等式组二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计的解集.【通过利用多媒体对实例的展示让学生体会到画出不等式表示的平面区域的基本流程:直线定界，特殊点定域，而不等式（组）表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.同时对具体作图中的细节问题进行点拔.】（三）练习:学生练习P86第1-3题.【及时巩固所学，进一步体会画出不等式（组）表示的平面区域的基本流程】（四）课后延伸:师:我们在今天主要解决了在给出不等式（组）的情况下如何用平面区域来表示出来的问题. 如果反过来给出了平面区域你能写出相关的不等式（组）吗?例如你能写出A（2，4），B（2，0），C（1，2）三点构成的三角形内部区域对应的不等式组吗?你能写出不等式形如二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计这种不等式表示的平面区域?（五）小结与作业:二元一次不等式二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计表示直线二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计某侧所有点组成的平面区域，画出不等式（组）表示的平面区域的基本流程:直线定界，特殊点定域（一般找原点）作业：第93页A组习题1、2，补充作业:若线段PQ的两个端点坐标为P（3，-1），Q（2，4），且直线二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计与线段PQ。

二元一次不等式组与简单线性规划方案教案二元一次不等式组和简单线性计划教案一、设计思绪和教材学情分析【设计思绪】前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法而且知道对应几何意义。

作为不等式模型它们在生产、生活中有着广泛应用然而在不等式模型中除了它们之外还有二元一次不等式模型。

本节将经过实际例子抽象出二元一次不等式(组)数学模型引出二元一次不等式(组)相关概念。

本节关键内容有：二元一次不等式(或组)概念、表示平面区域及对应画法。

其中关键是二元一次不等式所表示平面区域难点是复杂二元一次不等式组所表示平面区域确实定。

在教学中可启发学生观察图象循序渐进地了解掌握相关概念以学生探究为主老师点拨为辅学生之间分组讨论交流心得分享结果进行思维碰撞同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示本节内容在教学中应表现以下几点：①重视探究过程。

能正确地画出给定二元一次不等式(组)表示平面区域是学习下节简单线性计划问题图解法关键基础。

②重视探究方法结合等式(函数)所表示图形认知用类比方法提出“二元一次不等式组解集表示什么图形”问题③重视探究手段结合信息计术【教材分析】1．课标要求：?①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

?②了解二元一次不等式几何意义能用平面区域表示二元一次不等式组。

?③从实际情境中抽象出部分简单二元线性计划问题并能加以处理。

?2．教材分析：?本单元包含两节3.3.1?关键内容是用平面区域表示二元一次不等式组解集3.3.2关键内容是从实际情境中抽象出部分简单二元线性计划问题并能加以处理。

其中3.3.1是处理二元线性计划问题基础应作为本单元关键要求全部学生掌握。

【学情分析】在初中学生已学过一元一次不等式组解法学生普遍含有利用不等式组处理问题思想能熟练解一元一次不等式组及相关应用问题这用利于学生了解列二元一次不等式组解实际问题。

也有利于学生了解二元一次不等式组解法。

?在必修2中学生已学习了直线方程相关知识多数学生能画出二元一次方程表示直线这有利于学生学习用平面区域表示二元一次不等式解集也有利于学生了解线性计划问题中最优解确实定方法。

二元一次不等式组与简单的线性规划问题一、学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，会作出二元一次不等式表示的平面区域．2．由二元一次不等式表示的平面区域能写出对应的不等式3．进一步体会数形结合的思想方法，开拓数学视野．二、学习重点能正确选择运用恰当地“定侧”方法，确定不等式（组）所表示的平面区域或解决不等式所表示的平面区域问题。

三、学习难点各种“定侧”方法产生的理由；确定公共区域。

四、学习过程（一）自学评价１．二元一次不等式是指_________________________________________________ ；二元一次不等式组是指______________________________________________________________。

（二）学习新知3．下面两个集合的意义你能画图解释吗？(1)在平面直角坐标系中, 点的集合{(x,y)|y=x+1}几何意义是什么？（分析并提炼方法）(2) 在平面直角坐标系中, 点的集合{(x,y)|y<x+1}几何意义是什么?4．定侧方法方法一（类斜截式法）(1)直线y=kx+b把平面分成两个区域：y>kx+b表示直线上方的平面区域；y＜kx+b表示直线下方的平面区域．(2)实例感知例1：画出不等式 2x+y-6<0表示的平面区域。

【解】问：不等式2x+y-6≥0表示的平面区域与上述不等式有何关联与区别。

(分析并提炼新法)方法二（选点法）：根据上例完成进行填空(1)二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示 ________________________________平面区域。

(2)不等式所表示平面区域的确定步骤：______________、________________；若C≠0，则 _____________、______________；若C=0，则 ___________、____________。

学案31：二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题知识梳理：一.二元一次不等式(组)表示的平面区域三.1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－32．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________． 四：方法1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧． 2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．[练一练]若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值是( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．21.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34 2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．03．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_______多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值；(3)求线性规划中的参数. 角度一 求线性目标函数的最值1．（1）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52(2)如果函数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－3角度二 求非线性目标的最值2．(1)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．(2)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，2x ＋y －8≤0，则yx的取值范围是________．角度三 求线性规划中的参数3．(1)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝_____(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．[典例]别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元[针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元课堂训练：题组一：1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是()2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y －4≤0kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．13．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ·OP 的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a－b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．165．若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________6．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．题组二：1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24) C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1) 3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6] D.⎣⎡⎦⎤－6，32 4．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－2，则实数m 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a x ＋y ≥8，x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10] 6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0表示y ≥0的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________7．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 8．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值； (2)设z ＝yx ，求z 的最小值．10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 题组三：1．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0 表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2.求得m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎫－∞，13C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23D. ⎝⎛⎭⎫－∞，－53 2．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．。

3．3．1二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题教学设计黄石七中李慧玲一．教学内容分析本节用实例抽象出二元一次不等式的定义，然后从“有序数对”的角度对“二元一次不等式的解集”的含义作出解释，从而自然引出用“直角坐标系内点集”表示“二元一次不等式的解集”的想法；接着用实例抽象出平面区域表示二元一次不等式（组）的方法，让学生体会数形结合思想的实质及其重要性。

二．学生学习情况分析本节课是在一元二次不等式及解法的基础上学习的另一种不等关系的模型，通过实例一步步引出用出用平面区域表示二元一次不等式（组）的方法，在这个过程中，最重要的是数形结合思想和“解析法”的渗透，这是学生不太熟悉的，因此，采取启发、探究结合的教学方法，学生采用小组协作的学习方法。

三．设计思想我根据学生已有的认知结构和教材内容的特点，在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

四．教学目标知识与技能：①了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）的模型过程。

②理解二元一次不等式（组）的解集的概念。

③了解二元一次不等式（组）的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线、边界的含义。

④会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定不等式（组）表示的平面区域。

过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、归纳、数形结合的数学思想。

情感与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

五．教学重难点教学重点：二元一次不等式（组）表示平面区域教学难点：准确画出二元一次不等式（组）所表示平面区域六．教学过程（一）创设情境，引入新课课本实例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%。

第六章第三节教案二元一次不等式(组)及其简单的线性规划问题教学目标：1、通过具体例子了解二元一次不等式（组）的相关概念，能从实际情景中抽象出二元一次不等式（组）。

2、通过类比一元一次不等式（组）的集合意义推测并理解二元一次不等式（组）的集合意义，并能画出二元一次不等式（组）来表示平面区域。

教学重点：二元一次不等式（组）表示平面区域的猜想与证明教学难点：二元一次不等式（组）表示平面区域的确定学法指导：运用阅读“九字诀”中的“划、记、练、思、比”来阅读教材，并在阅读后完成评价单上的问题。

划-----划出重点信息或条件，关键词句以及有关概念应划上着重符号。

思-----结合导读单上的目标，思考导读单上的有关问题练、记-----记住相关内容和解题方法去完成后面的习题，并在练习中加深对知识的理解。

比-----通过类比一元一次不等式（组）的几何意义推测并理解二元一次不等式（组）的几何意义。

教学过程：一、求线性目标函数的最值例1、(2013·全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3变式训练：设x ，y 满足约束条件10103y x x y x --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则z ＝3y －2x 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3二、求非线性目标函数的最值（或范围）例2、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥03x ＋4y ≥4，y ≥0则x 2＋y 2的最小值是________．经典训练：(2015·衡阳模拟)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积为4，则x ＋y ＋2x ＋3的最小值为( ) A ．－35 B.15 C.25 D.65三、已知最值(最优解)求参数值(或范围)例3、 (1)(2014·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12变式训练：(2014·安徽高考)x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若z =y -a x取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A.12或－1 B ．2或 12C ．2或1D ．2或－1[题后总结]解决线性规划问题的精髓是化归思想和数形结合思想，其解题步骤是“画——移——求——答”，理解线性规划的解题程序是关键．对于与其他知识相交汇的题目，可适当引进变量，建立变量之间的方程或不等式，然后利用图形，结合其几何意义解题即可．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2013·湖北高考)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元。

3．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第1课时二元一次不等式(组)与平面区域Q 情景引入ing jing yin ru景泰蓝是我国古老而又令很多人喜欢的手工艺品，它制作的关键一步是在制好的铜胎上，用扁铜丝依据图案要求把铜胎表面划分为若干个小的区域．例如，一片树叶就需要两条铜丝围成树叶形的封闭区域，一个三角形需要三条铜丝围成一个封闭区域，…….铜丝有直有曲、有长有短，区域形状各异，然后再经“点蓝”等工艺就制作成功．那么在制作过程中，这些区域是如何确定的呢？1．二元一次不等式(组)(1)定义：我们把含有__两个__未知数，并且未知数的次数是__1__的不等式称为__二元一次不等式__；把由几个__二元一次不等式__组成的不等式组称为二元一次不等式组．(2)解集：满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的__集合__称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对可以看成是直角坐标平面内点的__坐标__.于是，二元一次不等式(组)的__解集__就可以看成直角坐标内的点构成的集合．2．平面区域(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线__Ax ＋By＋C＝0__某一侧所有点组成的平面区域，直线__Ax＋By＋C＝0__某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0称为这个平面区域的__边界__.这时，在平面直角坐标系中，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线，以表示区域__不包括__边界；而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成__实线__.(2)判断方法：只需在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的__符号__就可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．特别地，当C≠0时，常取__原点(0,0)__作为测试点；当C＝0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点．1．下列各式中，不是二元一次不等式的是(C)A．－x－y＋2<0B．2x＋y－1>0C．y2≥2x D．x＋2y>1－3x－y[解析]选项C中，y的最高次数是2，不符合二元一次不等式的定义，故选C．2．原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( C ) A ．a <0或a >2 B ．a ＝0或a ＝2 C ．0<a <2D ．0≤a ≤2[解析] 设F (x ，y )＝x ＋y －a ，由题意知F (0,0)·F (1,1)<0，即－a (2－a )<0，∴0<a <2. 3．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是( D ) A ．x －y ＋1<0 B ．2x ＋3y －6>0 C ．2x ＋5y －10≥10D ．4x －3y ≤12[解析] 当x ＝0，y ＝0时，4x －3y ≤12成立，故选D ． 4．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x －y ＋1≥02x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是__6__.[解析] 作出平面区域如图△ABC ，A (－1,0)、B (1,2)、C (1，－4)，S △ABC ＝12·|BC |·d ＝12×6×2＝6.(d 表示A 到直线BC 的距离．)命题方向1 ⇨二元一次不等式表示的平面区域例题1 画出不等式2x ＋y －6≤0表示的平面区域．[解析] 先画直线2x ＋y －6＝0(画成实线)，把原点(0,0)，代入2x ＋y －6. 因为2×0＋0－6＝－6<0，所以(0,0)在2x ＋y －6≤0表示的平面区域内，不等式2x ＋y －6≤0表示的区域如图所示． 『规律总结』 由于在直线Ax ＋By ＋C ＝0的同一侧的所有点(x ，y )，使实数Ax ＋By ＋C 的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点(x 0，y 0)，把它的坐标代入Ax ＋By ＋C ，由其值的符号即可判断Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线的哪一侧，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点．〔跟踪练习1〕画出不等式－x ＋2y －4＜0表示的平面区域．[解析] 先画直线－x ＋2y －4＝0(画成虚线)，取原点(0,0)，代入－x ＋2y －4，因为0＋2×0－4＜0，所以，原点在－x ＋2y －4＜0表示的平面区域内，所以，不等式－x ＋2y －4＜0表示的区域如图所示．命题方向2 ⇨二元一次不等式组表示的平面区域例题2 画出下列不等式组表示的平面区域．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ＋1≥0x ≤3.[分析] 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．[解析] 不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，x ＋y ＋1≥0表示直线x ＋y ＋1＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(包括边界)．『规律总结』 1.在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的正负判断．〔跟踪练习2〕画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≥0x >－yx ≤3表示的平面区域．[解析] 不等式2x －y －1≥0表示的平面区域是直线2x －y －1＝0下方区域(包括直线上的点)；不等式x >－y 即x ＋y >0，表示的区域是直线x ＋y ＝0上方区域(不包括直线)；x ≤3表示的区域为直线x ＝3的左侧区域(包括直线)；不等式组表示的区域为三个平面区域的公共部分，如图中的阴影部分．命题方向3 ⇨用二元一次不等式组表示已知平面区域例题3 画出以A (3，－1)、B (－1,1)、C (1,3)为顶点的△ABC 的区域(包括边界)，用二元一次不等式组表示该区域．[分析] 利用直线方程的点斜式，可求得边界所在的直线方程，取△ABC 内的特殊点检验，可得所求不等式组．[解析] 如图所示，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域就是所求△ABC 的区域，直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0.在△ABC 内取一点P (1,1)，代入x ＋2y －1，得1＋2×1－1＝2>0.所以直线x ＋2y －1＝0对应的不等式为x ＋2y －1>0.把P (1,1)代入x －y ＋2，得1－1＋2>0； 代入2x ＋y －5，得2×1＋1－5<0.因此对应的不等式分别为x －y ＋2>0,2x ＋y －5<0. 又因为所求区域包括边界，所以所求区域的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0.『规律总结』 已知平面区域，用不等式(组)表示，其一般步骤是 ①求出边界的直线方程；②确定不等号，从平面区域内不在所有直线上的点中任取一点，将其坐标代入直线方程判断符号确定不等号．〔跟踪练习3〕试用不等式组表示由x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0和2x ＋y ＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)．[解析] 直线x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0,2x ＋y ＋1＝0表示的三角形区域如图阴影部分所示．取区域内的点(－32，0)验证：－32＋0＋2＝12>0， －32＋0＋1＝－12<0， 2×(－32)＋0＋1＝－2<0.∴所求区域用不等式组表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0x ＋2y ＋1≤02x ＋y ＋1≤0.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略边界虚实、位置不明致使表示平面区域失误例题4 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋1<0表示的平面区域．[错解] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．[辨析] 错解中，画图时没有注意边界的虚实，且位置不明而致误． [正解] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．X 学科核心素养ue ke he xin su yang求平面区域的面积例题5 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋2y ≤4y ≥－2表示的平面区域的面积为( B )A ．253B ．503C ．1003D ．103[分析] 首先画出不等式组表示的平面区域，求出各直线的交点，再结合平面区域的形状确定直接求面积不是先分割再求面积．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋2y ≤4y ≥－2表示的平面区域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋2y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝43y ＝43.∴A (43，43)、B (－2，－2)、C (8，－2)．∴BC ＝10，点A 到边BC 的距离d ＝43－(－2)＝103.∴平面区域的面积为S ＝12×10×103＝503. K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．不等式2x －y －6>0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的( D ) A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方D ．右下方[解析] 将(0,0)代入2x －y －6，得－6<0，可知(0,0)点在不等式2x －y －6>0表示的平面区域的异侧，则所求区域在对应直线的右下方．2．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的点是( D ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2)D ．(2,0)[解析] x ＝0，y ＝0时，3x ＋2y <6成立， x ＝1，y ＝1时，3x ＋2y <6成立， x ＝0，y ＝2时，3x ＋2y <6成立， x ＝2，y ＝0时，3x ＋2y <6不成立． 故选D ．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －6≤0x －y ＋2<0表示的平面区域是( B )[解析] 将(0,0)代入检验知点(0,0)满足x ＋3y －6≤0，平面区域应在直线x ＋3y －6＝0的下方，点(0,0)不满足x －y ＋2<0，故平面区域应在直线x －y ＋2＝0的上方，结合图形知选B ．4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域的面积为__2__.[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图，其面积S ＝12×2×2＝2.A 级 基础巩固一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x x ＋y ≤1y ≥3表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则( A )A ．P 1∉D ，P 2∉DB ．P 1∉D ，P 2∈DC ．P 1∈D ，P 2∉DD ．P 1∈D ，P 2∈D[解析] P 1点不满足y ≥3.P 2点不满足y ＜x 和y ≥3. ∴选A ．2．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( A )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ． O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ．∴选A ． 3．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( B )[解析] 将(±1,0)代入均满足，故选B ．4．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( C ) A ．a <－7或a >24 B ．－24<a <7 C ．－7<a <24D ．a <－24或a >7[解析] 要使点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两则，必须且只需(3×3－2×1＋a )[3×(－4)－2×6＋a ]<0即可，解得－7<a <24.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个( C )A ．三角形B ．直角梯形C ．梯形D ．矩形[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积是( B )A ．18B ．36C ．72D ．144[解析] 作出平面区域如图．交点A (－3,3)、B (3、9)、C (3，－3)， ∴S △ABC ＝12[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.二、填空题7．点P (m ，n )不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，则m 、n 满足的条件是__5m ＋4n －1≤0__.[解析] 由题意知点P 不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，即为点P 在不等式5x ＋4y －1≤0表示的平面区域内，则5m ＋4n －1≤0.8．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域为I ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0扫过I 中的那部分区域的面积为__74__.[解析] 如图所示，I 为△BOE 所表示的区域，而动直线x ＋y ＝a 扫过I 中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2，0)，O (0,0)，C (0,1)，D (－12，32)，E (0,2)，△CDE 为直角三角形．∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝74.三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5 表示的平面区域为如图阴影部分．B 级 素养提升一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0－1≤x ≤4表示的平面区域是( B )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形[解析] 如图∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域，且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图(2)．2．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为23，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是( C )A ．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5x 、y ∈N * B ．⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y≤2000x y ＝23C ．⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x 、y ∈N*D ．⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＜100x y ＝23[解析] 因为请木工每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资预算为2 000元，由题意得50x ＋40y ≤2 000即5x ＋4y ≤200.x 、y 表示人数∴x 、y ∈N *，∴答案为C ．二、填空题3．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝__3__.[解析] 由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3. 4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x ＋2y －4≤0x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__4__.[解析] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0x ＋2y －4＝0，得A (8，－2)． 由x ＋y －2＝0得B (0,2)．又|CD |＝2， 故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.三、解答题5．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域．[解析] (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示x ＋2y ＋1与x －y ＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＞0x －y ＋4＜0，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0x －y ＋4＞0在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．在直角坐标系中画出直线x ＋2y ＋1＝0与x －y ＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断． 不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0的右上方区域，x ＋2y ＋1＜0表示直线x ＋2y ＋1＝0的左下方区域；x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0的左上方区域，x －y ＋4＞0表示直线x －y ＋4＝0的右下方区域．所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．C 级 能力拔高1．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0x ＋y ≥0x ≤4表示的平面区域是Q .(1)求Q 的面积S ；(2)若点M (t,1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值的集合．[解析] (1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x ＝4，解得A (4，－4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0x ＝4， 解得B (4,12)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0x ＋y ＝0，解得C (－4,4)．于是可得|AB |＝16，AB 边上的高d ＝8. ∴S ＝12×16×8＝64.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ t －1＋8≥0t ＋1≥0t ≤4t ∈Z，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7t ≥－1t ≤4t ∈Z，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4t ∈Z . ∴t ＝－1,0,1,2,3,4.故整数t 的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．2．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虚可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域．[解析] 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100.3x ＋0.1≤1.8x ≥0y ≥0.上述不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．第2课时 线性规划的概念Q 情景引入ing jing yin ru战国时期的齐国大臣田忌与国王赛马，用自己的下等马对国王的上等马，用自己的上等马对国王的中等马，用自己的中等马对国王的下等马，这样田忌以2∶1取得了胜利，这个故事讲述了规划的威力．实际生产生活中，我们常常希望以最少的投入获得最大的回报．线性规划提供了解决优化问题的有效工具．X 新知导学in zhi dao xue线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 变量x ，y 满足的一组条件线性约束条件 关于x ，y 的__二元一次__不等式目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式 线性目标函数 目标函数是关于x ，y 的__一次函数__解析式 可行解 满足线性约束条件的__解__ 可行域 所有可行解组成的__集合__最优解 使目标函数取得最大值或最小值的__可行解__线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题Y 预习自测u xi zi ce1．(2017·全国卷Ⅰ文，7)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3x －y ≥1y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( D )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ．作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取最大值． 由图知A (3,0)， 故z max ＝3＋0＝3． 故选D ．2．(2017·全国卷Ⅱ理，5)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤02x －3y ＋3≥0y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( A )A ．－15B ．－9C ．1D ．9[解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15．故选A ．3．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0x －y －2≤0y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( A )A ．－7B ．－4C ．1D ．2[解析] 本题考查线性规划与最优解． 由x 、y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0x －y －2≤0y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)、B (5,3)、C (1，3)，可知z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7． 4．已知z ＝2x ＋y ，式子中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≤1y ≥－1，则z 的最大值是__3__．[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示．作直线l 0：2x ＋y ＝0，平移直线l 0，当直线l 0经过平面区域内的点A (2，－1)时，z 取最大值2×2－1＝3．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨求线性目标函数的最值问题例题1 设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z 的最大值和最小值．[分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于x 、y 的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3．『规律总结』 (1)解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．(2)要注意直线斜率的大小． 〔跟踪练习1〕(2017·北京理，4)若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3x ＋y ≥2y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( D )A ．1B ．3C ．5D ．9[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋12z ．作出直线l 0：y ＝－12x ，并平移该直线，可知当直线y ＝－12x ＋12z 过点C 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3，故C (3,3)． ∴z max ＝3＋2×3＝9． 故选D ．命题方向2 ⇨简单的线性规划中的整数解例题2 设z ＝7x ＋5y 中的变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －20≤0x －3y －2≤0x ≥0y ≥0，当x 、y 是整数时，求z 的最大值．[分析] 先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的x 、y 是整数，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线7x ＋5y ＝0平行的直线再进行观察．[解析] 由题意知，作出可行域如图所示．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －20＝0x －3y －2＝0，解得交点A 的坐标为(225，45)．作直线7x ＋5y ＝0，平行移动过点A 时，z ＝7x ＋5y 取最大值． ∵点A 不是整数点，∴对应的z 值不是最优解． ∵此时过点A 的直线为7x ＋5y ＝1745，∴应考虑可行域中距离直线7x ＋5y ＝1745最近的整点，即B (2,4)．∵z (B )＝7×2＋5×4＝34，∴z 的最大值为34．『规律总结』 在求解最优解为整数点的题型时，若最优解不在直线的交点处，应考虑可行域中距离邻近最优解的边界线附近的整点，比较后作出正确的解答．〔跟踪练习2〕不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1表示的平面区域内整点的个数是( D )A ．0B ．2C ．4D ．5[解析] 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋y |≤1|x －y |≤1变形为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1－1≤x －y ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x ＋y ≥－1x －y ≤1x －y ≥－1.作出其平面区域如图．可见其整点有：(－1,0)、(0,1)、(0 ,0)、(0，－1)和(1,0)共5个． 命题方向3 ⇨非线性目标函数的最值问题例题3 已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝y ＋1x ＋1的取值范围． [分析] (1)将z 化为z ＝x 2＋(y －5)2，问题转化为求可行域中的点与定点的最小距离问题；(2)将式子化为z ＝y －(－1)x －(－1)或y ＋1＝z (x ＋1)，问题转化为求可行域中的点与定点的连线的斜率的最值问题．[解析] (1)作出可行域，如图．并求出点A 、B 的坐标分别为(1,3)、(3,1)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线MN ，垂足为N ，则：z 最小＝|MN |2＝(|0－5＋2|2)2＝92．(2)z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，可知，k AQ 最大，k QB 最小．而k QA ＝3＋11＋1＝2，k QB ＝1＋13＋1＝12． ∴z 的取值范围为[12，2]．『规律总结』 求非线性目标函数的最值，要注意分析充分利用目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系．〔跟踪练习3〕(1)(2016·山东理，4)若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤22x －3y ≤9x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( C )A ．4B ．9C ．10D ．12(2)设实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x ＋3y －3≥0x ＋y －2≤0，则z ＝yx ＋1的取值范围是( D )A ．⎣⎡⎦⎤15，1 B ．⎣⎡⎦⎤16，54 C ．⎣⎡⎦⎤16，32D ．⎣⎡⎦⎤15，54[解析] (1)作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，|OP |2，即x 2＋y 2取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝22x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C ．(2)作出可行域如图，z ＝yx ＋1表示可行域内的点与定点B (－1,0)连线的斜率k ，显然k BM ≤k ≤k BN ．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x ＋3y －3＝0，得M (32，12)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝02x －y ＋1＝0，得N (13，53)．∴k BM ＝15，k BN ＝54，即15≤k ≤54.故选D ．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 已知线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋21≥0x －3y ＋7≤02x ＋y －7≤0，求使得线性目标函数z ＝x ＋2y取得最大值的最优解．[错解] 由题意，作出可行域如图所示．目标函数z ＝x ＋2y 对应的直线l 为：y ＝－12x ＋z 2，z 的值随直线l 在y 轴上的截距z2的增大而增大．故由图可知l 过点C 时，z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋7＝02x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝3.∴最优解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3． [辨析] 作图不准确．目标函数变形后对应的直线画的方向不准确，导致求最优解时，对应点的位置找错．[正解] 由题意，作出可行域如图所示．目标函数对应直线l ：y ＝－12x ＋z2，z 的值随直线l 在y 轴上的截距z2的增大而增大，故由图可知直线l 过点A 时，z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －5y ＋21＝02x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝5.∴最优解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝5． [警示] 在求目标函数的最优解时，必须准确地作出可行域以及目标函数对应的直线，最为关键的是弄清楚这些直线斜率之间的关系．X 学科核心素养ue ke he xin su yang已知目标函数的最值求参数例题5 若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[分析] 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0y ≥0，表示的平面区域，又直线l ：kx －y ＋2＝0过定点(0,2)，因此要使目标函数z ＝y －x取到最小值－4，应有l 与x 轴的交点A (－2k ，0)在点B (2,0)的右边．依据最值列方程即可求得k 值．[解析] 若k ≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意． 若k <0，则不等式组所表示的平面区域如图所示． 由图可知，z ＝y －x 在点(－2k ，0)处取最小值－4，故0－(－2k )＝－4，解得k ＝－12，即选项D 正确．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．(2017·全国卷Ⅲ文，5)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0x ≥0y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( B )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3][解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3．所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 故选B ．2．(2017·天津卷理，2)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0x ＋2y －2≥0x ≤0y ≤3，则目标函数z ＝x＋y 的最大值为( D )A．23B ．1C ．32D ．3[解析] 画出可行域，如图中阴影所示．又目标函数z ＝x ＋y ，结合图象易知y ＝－x ＋z 过(0,3)点时z 取得最大值， 即z max ＝0＋3＝3． 故选D ．3．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥22x ＋y ≤44x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( A )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32][解析] 作出不等式组表示的可行域，如图中的阴影部分，作直线3x －y ＝0，并向左上、右下平移．由图可知，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －2＝02x ＋y －4＝0，得A (2,0)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝02x ＋y －4＝0，得B (12，3)，∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32．∴z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是__[5,7)__．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥00≤x ≤2表示的平面区域如图中阴影部分，当y ＝a 过点A (0,5)时原不等式组表示的平面区域为三角形，即△ABC ．当5<a <7时，表示的平面区域为三角形．综上可知，当5≤a <7时，表示的平面区域为三角形．A 级 基础巩固一、选择题1．(2017·山东文，3)已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0x ＋3≥0y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是( D )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 画出可行域(如图阴影部分所示)．画直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，直线l 过点M ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0y ＝2，得点M (－1,2)．∴当x ＝－1，y ＝2时，z 取得最大值，且z max ＝－1＋2×2＝3． 故选D ．2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( B ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2[解析] 可行域为图中△AOB ，当直线y ＝x －z 经过点B 时，－z 最小从而z 最大∴z max＝1．3．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z ＝2x ＋4y 的最小值为( B )A ．5B ．－6C ．10D ．－10[解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域，当直线y ＝－x 2＋z4经过点B (3，－3)时，z 最小，z min ＝－6．4．(2017·山东理，4)已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤03x ＋y ＋5≤0x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( C )A ．0B ．2C ．5D ．6[解析] 如图所示，先画出可行域，作出直线l ：x ＋2y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0x ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4．∴A (－3,4)．由图可知平移直线l 至过点A 时，z 取得最大值， z max ＝－3＋2×4＝5． 故选C ．5．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥1x －2y ≤2，则目标函数z ＝x ＋y ( A )A ．有最小值2，无最大值B ．有最大值3，无最小值C ．有最小值2，最大值3D ．既无最小值，也无最大值 [解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥1x －2y ≤2表示的平面区域，如下图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象．当它的平行线经过点A (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A ．6．实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤1，则z ＝x ＋2y 的最小值是( A )A ．－1B ．12C ．5D ．1[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线x ＋2y ＝0知，当z ＝x ＋2y 经过点A (1，－1)时，取得最小值，∴z min ＝1－2＝－1．二、填空题7．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2,4)、B (－1,2)、C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为__[－1,3]__．[解析] 画出三角形区域如图，易知k AB ＝23<1，令z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当经过点C 时，z min ＝－1，当经过点B 时，z max ＝3，∴－1≤z ≤3．8．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是__2__．[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM |的最小值即O 到直线x ＋y －2＝0的距离． 故|OM |的最小值为|－2|2＝2．三、解答题9．若非负变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1x ＋2y ≤4，求x ＋y 的最大值．[解析] 由题意知x 、y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x －y ≥－1x ＋2y ≤4．画出可行域如图所示．设x ＋y ＝t ⇒y ＝－x ＋t ，t 表示直线在y 轴截距，截距越大，t 越大．作直线l 0：x ＋y ＝0，平移直线l 0，当l 0经过点A (4,0)时， t 取最大值4.∴x ＋y 的最大值为4．B 级 素养提升一、选择题1．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( A )A ．(－4,2)B ．(－1,2)C ．(－4,0)D ．(－2,4)[解析] 作出可行域如图所示，由已知可得：－1<－a2<2，即－4<a <2．2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是( D )A ．[1,4]B ．[1,5]C ．[45，4]D ．[45，5][解析]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0所表示的平面区域，如图中的阴影部分，显然，原点O 到直线2x ＋y－2＝0的距离最小，为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1,2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5，此时可得(x 2＋y 2)max ＝5.故选D ．二、填空题3．已知点M 、N是⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥1x －y ＋1≥0x ＋y ≤6所围成的平面区域内的两点，则|MN |的最大值是__17__．[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，∵直线x －y ＋1＝0与直线x ＋y ＝6垂直， 直线x ＝1与y ＝1垂直，∴|MN |的最大值是|AB |＝(5－1)2＋(2－1)2＝17．4．(2016·全国卷Ⅲ文，13)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为__－10__．[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．三、解答题5．若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0x ＋y ≤3x ≥0，求z ＝2x ＋y 的最大值．[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3x ≥0，表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4．∴z ＝2x ＋y 的最大值是4．6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0x ≤a (a 为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x ＋y 的最大值．[解析] 由题意得：S ＝12×2a ×a ＝4，∵a >0，∴a ＝2． 设z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x x ＝2，得(2,2)，即z 在(2,2)处取得最大值6． C 级 能力拔高1．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1x ≥0，求z ＝OA →·OP→的最大值．[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，易知B (0,1)，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，显然当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，且z max ＝2．2．设x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3．(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值． [解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．(1)令x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．由图可知(x ，y )在可行域内取值，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过点(0,0)时，u 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝8． ∴C (3,8)，∴u max ＝32＋82＝73，u min ＝02＋02＝0．(2)v ＝y x －5表示可行域内的点(x ，y )和定点D (5,0)的连线的斜率，由图可知k BD 最大，k CD 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－3.∴B (3，－3)． ∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4． 第3课时 线性规划的应用Q 情景引入ing jing yin ru某加工厂用某原料由甲车间加工A 产品，由乙车间加工B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可生产出7 kg A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6 h ，可生产出4 kg B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h ，你能为甲、乙两车间制定一个生产计划，使每天的获利达到最大吗？X 新知导学in zhi dao xue1．线性规划常用来解决下列问题：(1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最__大__，收到的效益最__大__．。