高一数学复习学案：第6课时 简单的线性规划问题(1)

高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。

2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。

2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。

3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。

三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。

2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。

四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。

2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。

五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。

2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。

六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。

2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。

3.3.2 简单的线性规划问题(一)学习目标了解线性规划的意义；会求简单的线性目标函数的最值及一些简单的非线性函数的最值． 预习篇1．二元一次不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的 不等式，所以又称为线性约束条件．2．z ＝ax ＋by (a 、b 是实常数)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做 函数．由于z ＝ax ＋by 又是x 、y 的一次解析式，所以又叫做 目标函数．3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 .分别使目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．课堂篇探究点一 线性目标函数的最值问题问题 若x≥0，y≥0，且x ＋y≤1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值是________．探究点二 非线性目标函数的最值问题问题 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如： ①z ＝x 2＋y 2表示可行域中的点(x ，y) _______；②z ＝(x －a)2＋(y －b)2表示可行域中的点(x ，y) _____________；③z ＝y －b x －a表示可行域内的点(x ，y) _______； ④z ＝ay ＋b cx ＋d (ac≠0)，可以先变形为z ＝a c ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c ，可知z 表示可行域内的点(x ，y) ； ⑤z ＝|ax ＋by ＋c| (a 2＋b 2≠0)，可以化为z ＝a 2＋b 2·|ax ＋by ＋c|a 2＋b2的形式，可知z 表示可行域内的点(x ，y)__________________________________．典型例题例1 已知1≤x ＋y≤5，－1≤x －y≤3，求2x －3y 的取值范围．跟踪训练1 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≥3，x －y≥－1，2x －y≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．23例2 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，(1)试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值； (2)试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值． 跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求下列函数z 的最值：(1)z ＝y ＋1x ＋2； (2)z ＝|x ＋2y －4|.巩固篇1．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，x ＋y≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________． 2．若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≥6，x≤4，y≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________． 3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y≤1，x≤1，x ＋y≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．。

高中数学说课稿《简单线性规划问题》一.说教材至此,我们将一个具体的事物"温度计"经过抽象而概括为一个数学概念"数轴",使学生初步体验到一个从实践到理论的认识过程.1.本节课主要内容是线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念，根据约束条件建立线性目标函数。

应用线性规划的图解法解决一些实际问题。

2.地位作用：线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。

简单的线性规划是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用。

通过这部分内容的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，以培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。

3.教学目标圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.我的理解是，小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的只是、方法、体验是那个方面进行归纳，我设计了这么三个问题：(1)知识与技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念，能根据约束条件建立线性目标函数。

了解并初步应用线性规划的图解法解决一些实际问题。

(2)过程与方法：提高学生数学地提出、分析和解决问题的能力，发展学生数学应用意识，力求对现实世界中蕴含的一些数学模式进行思考和作出判断。

(3)情感、态度与价值观：体会数形结合、等价转化等数学思想，逐步认识数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。

4.重点与难点重点：理解和用好图解法难点：如何用图解法寻找线性规划的最优解。

简单的线性规划问题
一、学习目标：
1.了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．
2．让学生掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值与最小值．
二、预习指导
1.目标函数：
2.线性规划问题：
3.可行解：可行域：最优解：
4.判断可行域的方法：
⎩
⎨⎧≤<-≤<-1111y x 所表示的平面区域内的整点坐标 三、例题选讲
例1 已知x 、y 满足不等式⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ,求z =3x +y 的最小值
例2求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y
四、课堂练习
≥0,y ≥0,且x+y ≤1，则z =x-y 的最大值是
≤x ≤1，0≤y ≤2,且2y-x ≥1,则z=2y-x+4的最小值为
≥0,y ≥0，2x+3y ≤100, 2x+y ≤60，则z=6x+4y 的最大值是
z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x
5．已知13a b ≤+≤，24b a ≤-≤，求3a b +的取值X 围
五、小结与作业: 教材P 75 4, 5。

3.3.2简单线性规划问题(第1课时）一、教学目标及目标分析1.教学目标；(1）了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；(2)掌握解决线性规划问题的基本步骤；（3)会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值．2．目标解析；（1）了解线性规划模型的特征:约束条件、目标函数、求目标函数的最大值或最小值等．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．（2）能理解目标函数的几何表征（一组平行直线)．能依据目标函数的几何意义,运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值,掌握解题的基本步骤．（3）在线性规划问题的探究过程中,使学生经历观察、分析、操作、确认的认知过程,培养解决运用已有知识解决新问题的能力，体会数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想和方法,引发学生对现实世界中的一些数学模式进行思考．二、教学重点与难点:重点：线性规划问题的基本概念及解决问题的步骤。

难点: 把目标函数转化为斜截式方程时，对含“z”的项的几何意义与“z”最值之间关系的理解三、教学模式与教法、学法教学模式:采用探究教学法，通过“猜想，验证,证明”来探究二元一次不等式（组)表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。

使用多媒体辅助教学.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一）知识技能线(二)过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．学法设计：引导学生通过主动参与、合作探讨学习知。

来源:学_科_网Z_X_X_K］四、教学过程设计二、知识探究:问题1. 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

例如,某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，应如何列式?生 由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x 师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生 (板演）师 对照课本98页图3。

26.简单的线性规划问题（一）教学目标 班级______ 姓名____________1.了解线性规划的基本概念.2.掌握简单的线性规划问题的一般解法.教学过程一、线性规划的相关概念.1.线性规划的相关概念.（1）约束条件：关于变量x ，y 的不等式组.（2）线性约束条件：关于x ，y 的一次不等式组.（3）目标函数：要求最值的关于x ，y 的函数解析式.（4）线性目标函数：关于x ，y 的一次解析式.（5）可行解：满足线性约束条件的解),(y x . （6）可行域：由所有可行解组成的集合.（7）最优解：使目标函数取最值的可行解.（8）线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题.2.注意事项.（1）线性约束条件必须是关于x ，y 的二元一次不等式（或等式）.（2）在线性约束条件下，最优解可能不唯一.（3）最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.（4）线性规划问题不一定存在可行解.二、线性规划问题.1.用线性规划求最值的一般步骤：（1）画可行域；（2）分析几何意义；（3）找最优解，求最值.2.常用几何公式：（1）截距：直线b kx y +=（斜截式）与y 轴交点的纵坐标，即当0=x 时，y 的值b .（2）斜率：2121x x y y k --=，表示),(11y x ，),(22y x 两点连线的斜率. （3）两点间的距离：221221)()(y y x x d -+-=，表示),(11y x ，),(22y x 两点间的距离. （4）点到直线的距离：2200||B A C By Ax d +++=，点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离.三、例题分析：1.用线性规划求最值.32≤+y x ，例1：设变量x ，y 的线性约束条件为 32≤+y x ，求分别目标函数y x z +=1， 0≥x ，0≥y .12+=x y z ，322223+-++=y x y x z 的最大值.02≥-+y x ， 作业：若实数x ，y 满足 4≤x ， 求x y S -=的最小值.5≤y ，。

简单的线性规划问题（一）一、自主学习学习目标：1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值4.培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。

学习重点：线性规划的图解法学习难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解二、学习过程问题一：在约束条件4104320x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y=+的最大值？问题二：阅读教材内容，完成以下基本概念：对于在约束条件4104320x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，若2P x y=+，式中变量x、y满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x、y的，2P x y=+叫做；又因为这里的2P x y=+是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为。

满足线性约束条件的平面区域叫做，如图（1）所示．由所有可行解组成的集合叫做；将目标函数2P x y=+变形为的形式，它表示一条直线，斜率为2-，且在y轴上的截距为P．平移直线l ，当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点5(,5)4A 时，直线在y 轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当5,54x y ==时，目标函数取得最大值5257.54⨯+=，即当甲、乙两种产品分别生产54t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元．这类 问题，通常称为线性规划问题．其中5(,5)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的 ．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线2y x P =-+时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）． 问题三：求解线性规划的可行解的步骤①②③例1 设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．变式：设610z x y=+，式中,x y满足条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z的最大值和最小值．例2（1）已知1224a ba b≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b=-的取值范围；（2）设2()f x ax bx=+，且1(1)2f≤-≤，2(1)4f≤≤，求(2)f-的取值范围。

学习必备欢迎下载简单的线性规划问题一、教学内容分析普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第 3 课时这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”．线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 突出体现了优化的思想．教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等的概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.二、学生学习情况分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题 . 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解．2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神；3、在应用图解法解题的过程中, 培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用.五、教学重点和难点求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y 轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．学习必备欢迎下载六、教学过程设计（一）引入（ 1）情景某工厂用A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h，每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？请学生读题，引导阅读理解后，列表→ 建立数学关系式→ 画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形 .【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表→建立数学关系式→画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】教师打开几何画板，作出平面区域.（ 2）问题师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？学生不难列出函数关系式z 2x 3 y .师：这是关于变量x、 y 的一次解析式，从函数的观点看x、 y 的变化引起z 的变化，而 x、y 是区域内的动点的坐标，对于每一组x、y 的值都有唯一的z 值与之对应，请算出几个z 的值 . 填入课前发下的实验探究报告单中的第２—４列进行观察,看看你有什么发现？学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔】（二）实验学习必备欢迎下载,请学生与自己的数教师打开画板，当堂作出右图，在区域内任意取点，进行计算据对比，继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.利润最大的实验探究报告单实验目的x 2 y8,4x16,(1)求 z 2x 3y 的最大值，使x， y 满足约束条件 4 y12,x 0,y 0.(2)理解用图解法求线性规划问题的最优解，体会数形结合的思想.进行实验与收集数据(1) 打开几何画板依次画出点、线构造平面区域;(2)在区域内任取一点 M ，度量横坐标及纵坐标，计算z = 2x 3y 的值，并制表显示在屏幕上;(3)拖动点 M 在区域内运动，观察度量值z的变化，猜想z取得最大值时点M 的位置 .同时请学生将有代表性的位置的数据记录在下表中的第2—5 列：直线在 y 计数点 n x y2x 3 y点的坐标直线的方程轴上的截距12345教师引导学生提出猜想：点 M 的坐标为（４，２）时，z = 2x3y 取得最大值14.【在信息技术与课程整合过程中，为改变老师单机的演示学生被动观看的现状，让学生参与进来，老师（可以根据学生要求）操作，学生记录，共同提出猜想，在当前技学习必备欢迎下载术条件受限时不失为一个好方法】师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.【形成认知冲突，激发求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的新方法】继续观察实验报告单，聚焦每一行的点坐标和对应的度量值，比如M （ 3.2, 1.2）时方程是 2x 3y 10 ，填写表中的第6— 7 列，引导学生先在点与直线之间建立起联系 ------ 点 M 的坐标是方程2x 3 y 10 的解，那么点M 就应该在直线2x 3y 10上，反过来直线2x 3 y 10 经过点M，当然也就经过平面区域，所以点M 的运动就可转化为直线的平移运动。

简单的线性规划问题［学习目标]1。

了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。

2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式（组）线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0）对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!,当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．当b〉0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值;当b〈0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．（2）移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答:写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型（1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如,已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小?②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立:正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2)模型求解：画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1已知变量x，y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最大值为(）A．12 B．11C．3 D．－1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分,即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由错误!⇒错误!此时z＝3x＋y＝11。

高一数学人教A版必修5：3.3.2《简单的线性规划问题》（1）教案一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第三章不等式第三节简单的线性规划问题第一课时。

简单的线性规划问题是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面,简单的线性规划问题与直线方程密不可分；另一方面,学习简单的线性规划问题也为进一步学习解析几何等内容做好准备。

二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下一个地方产生困惑：1. 线性约束条件的几何意义三、教学目标(1)知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值(2)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。

考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。

同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性(3)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣四、教学重点与难点教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解五、教学过程(一).创设情境例 1.甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表：营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,问三种食物各购多少时成本最低,最低成本是多少？问题1:如何将此实际问题转化为数学问题呢?解:设所购甲、乙两种食物分别为千克,则丙食物为千克.又设成本为元.由题意可知应满足条件：即①.问题转化为:当满足①求成本的最小值问题.(二).分析问题问题2:如何解决这个求最值的问题呢?学生基于上一课时的学习,一般都能意识到要将不等式组①表示成平面区域(教师动画演示画不等式组①表示的平面区域).问题3:当点（x,y）在此平面区域运动时,如何求z=2x+y+50的最小值.(第一次转化)引导学生:由于已将x,y所满足的条件几何化了,你能否也给式子z=2x+y+50作某种几何解释呢?将等式z=2x+y+50视为x,y的一次方程,它在几何上表示直线,当z取不同的值时可得到一族平行直线,于是问题又转化为当这族直线与不等式组①所表示的平面区域有公共点时,求z的最小值.(第二次转化)问题4:如何更好地把握直线y+2x+50=z的几何特征呢?将其改写成斜截式y=-2x+z-50,让学生明白原来z-50就是直线在y轴上的截距,当截距z-50最小时z也最小,于是问题又转化为当直线y=-2x+z-50与平面区域有公共点时,在区域内找一个点P,使直线经过P时在y轴上的截距最小.(第三次转化)让学生动手实践,用作图法找到点P(3,2),求出z的最小值为58,即最低成本为58元)(三).形成概念1. 不等式组①是一组对变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又称为线性约束条件.z=2x+y+50是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫做目标函数.由于z=2x+y+50又是x、y的一次解析式,所以又叫做线性目标函数.2.一般的,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解它们都叫做这个问题的最优解.(四).反思过程求解步骤:(1)画可行域---画出线性约束条件所确定的平面区域;(2)过原点作目标函数直线的平行直线;(3)平移直线,观察确定可行域内最优解的位置;(4)求最值---解有关方程组求出最优解,将最优解代入目标函数求最值. 简记为画作移求四步.(五).例题讲解例1、设2z x y =+，式中变量x 、y 满足下列条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值。

3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读 1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z＝3x＋5y，式中变量x、y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≥3，7x＋10y≥17，x≥0，y≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0.(2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32.1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示，∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页)直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示：其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4. 所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。

3.3.2简单的线性规划问题简单的线性规划问题名称意义约束□01由变量x，y组成的不等式条件线性约□02由x，y的一次不等式组成的不等式组束条件目标□03欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式函数线性目□04如果目标函数是关于x，y的一次解析式，则称为线性目标函数标函数可行解□05满足线性约束条件的解(x，y)可行域□06所有可行解组成的集合最优解□07使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规□08在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题划问题1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)约束条件是关于变量的不等式，其中次数必须为1.()(2)线性目标函数的最优解一定是唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上．()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)将目标函数z＝2x－y看成直线方程时，则该直线的纵截距等于________．(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．(3)(教材改编P 89例6)某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎨⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．(4)若x 、y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．答案 (1)－z (2)－3 (3)90 (4)3探究1 求线性目标函数的最值 例1设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．解作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一组平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3. 拓展提升解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【跟踪训练1】若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2≤2x －y ≤4，x ≤3，y ≥－3，求下列目标函数的最大值，以及此时x ，y 的值． (1)z ＝x －y ； (2)z ＝x ＋3y ＋1.解 (1)在平面直角坐标系中画出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y ＝x －z 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3时，直线在y 轴上的截距－z 最小，为－72，所以当x ＝12，y ＝－3时，z 取得最大值72.(2)当直线y ＝－13x ＋z －13经过点B (3,4)时，直线在y 轴上的截距z －13最大，所以当x ＝3，y ＝4时，z 取得最大值16.探究2 求非线性目标函数的最值 例2变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0， 解得C (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率． 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域中的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域中的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，∴2≤z ≤29.拓展提升求非线性目标函数最值的方法对于非线性目标函数的最值问题，弄清楚它的几何意义是解题的关键．常见的目标函数有三类：(1)形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数，对于该类型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间的距离的平方的最值问题．特别地， x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)间的距离．(2)形如z ＝ay ＋b cx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，对于该类型的目标函数可先变形为z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 连线斜率的a c 倍的取值范围、最值等．特别地，yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．(3)对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |(A 2＋B 2≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．【跟踪训练2】 实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，x －2≤0，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．4答案 B解析 由题意，易知x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，表示已知约束条件的可行域内的点到点(－1，－1)距离的平方与2的差，如下图所示，结合图形可知点A 与B ，C 两点连线段的斜率的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，而过点A 的直线与BC 垂直时其斜率为1，故点A 与可行域内点的最小距离即为点A 到直线x ＋y －2＝0的距离，从而(x 2＋y 2＋2x ＋2y )min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1－1－2|22－2＝6.探究3 已知目标函数的最值求参数例3 已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．答案 a >1解析 由约束条件画出可行域(如右图)．点C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移y ＝－ax 时，使直线在y 轴上的截距最大，∴－a <k CD ，即－a <－1，∴a >1. 拓展提升求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题已知目标函数的最值求参数是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解，同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的大小关系．【跟踪训练3】记不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4解析 满足约束条件的平面区域如图所示，因为直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，故当y ＝a (x ＋1)过点B (0,4)时，得到a ＝4，当y ＝a (x ＋1)过点A (1,1)时，得到a ＝12.又因为直线y ＝a (x ＋1)与平面区域有公共点，故12≤a ≤4.探究4 线性规划的实际应用例4 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y ) ＝2x ＋3y ＋300(x ，y ∈N )．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，作出可行域为如图所示阴影部分中的整数点．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50,50)， 所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元． 拓展提升利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．【跟踪训练4】 某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24立方米，总重量不低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：得最大利润？解 设一个大集装箱托运甲种货物x 袋，乙种货物y 袋，获得利润为z (百元)，则目标函数为z ＝20x ＋10y .依题意得，关于x ，y 的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，x ＋2.5y ≥6.5，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≥13，x ≥0，y ≥0.作出上述不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．由目标函数z ＝20x ＋10y ， 可得y ＝－2x ＋z10.当直线y ＝－2x ＋z10的纵截距最大时，对应的目标函数z ＝20x ＋10y 也会取得最大值．画直线l 0：20x ＋10y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，当直线l 过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点M 时，目标函数z ＝20x ＋10y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝24，2x ＋5y ＝13，得点M (4,1)．因此，当x＝4，y＝1时，z取得最大值，此时z最大值＝20×4＋10×1＝90.答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋时，可获得最大利润，最大利润为9000元．[规律小结]1.线性规划的应用线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用它们完成更多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．2.解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．[走出误区]易错点⊳忽略截距与目标函数值的关系而致错[典例]设E为平面上以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝4x－3y的最大值与最小值．[错解档案]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值； 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[误区警示] 直线y ＝43x －13z 在y 轴上的截距是－13z ，当截距－13z 最大即直线过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即直线过点B 时，目标函数值z 最大，此处容易出错．[规范解答] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值； 当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－3)－3×2＝－18； z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14.[名师点津] 由目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)，得y ＝－a b x ＋z b .直线y ＝－a b x ＋zb 在y 轴上的截距为zb .当b >0时，目标函数值与直线在y 轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b <0时，情形正好相反.1．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案 D解析作出约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2表示的可行域，如图所示．令z ＝0，则l 0：x －3y ＝0.平移l 0，在点M (－2,2)处z 取到最小值，最小值z ＝－2－3×2＝－8.2．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 答案 D解析 利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P (x ，y )与定点A (－1，1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可知点A (－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W ＜1.3．已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x ，y 满足下列条件⎩⎨⎧x －4y ≥－3，3x ＋5y ＜25，x ≥1，则( )A ．z max ＝12，z min ＝3B ．z max ＝12，无最小值C ．z min ＝3，无最大值D ．z 既无最大值又无最小值 答案 D解析 画出可行域，如图所示．画直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，知z ＝2x ＋y 既无最大值，又无最小值．4．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y －2≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值是________．答案 2解析 画出不等式组表示的可行域，根据目标函数可知y ＝－12x ＋12z ，得出最优解为(2,0)，则z 的最小值为2.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx 的最大值是________，最小值是________．答案 6 95解析 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；点B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，C 点坐标为(1,6)，所以k OB ＝95，k OC ＝6.故y x 的最大值为6，最小值为95.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知P (x ，y )为区域⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．22答案 A解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 所表示的平面区域如图所示，由图可知A (a ，－a )，B (a ，a )，由S △AOB ＝12×2a ×a ＝4，得a ＝2.所以A (2，－2)，由z ＝2x －y 化简得y ＝2x －z ，即当y ＝2x －z 过A 点时z 取最大值，且z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.2．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0表示的平面区域，如图所示．当直线y ＝－12x ＋z2经过点B 时，目标函数z 达到最大值．∴z 最大值＝0＋2×1＝2.故选D.3．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[0,10]C ．[5,10]D ．[5,15]答案 B解析 因x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P (x ，y )在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤7，x －y ≥－14所确定的区域内，且原点也在这个区域内，如图所示．因为点P 在直线4x ＋3y ＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝－14，解得A (－6,8)； 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝7，解得B (3，－4)． ∴点P 到坐标原点距离的最小值为0.又|OA |＝10，|BO |＝5.因此，最大值为10，故所求取值范围是[0,10]．4．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润如表所示：在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的安排下，一次运输获得的最大利润为( )A ．65元B ．62元C ．60元D ．56元答案 B解析 设运送甲x 件，乙y 件，利润为z ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ，y ∈N ，且z ＝8x ＋10y ，作出不等式组对应的平面区域(阴影部分内的整数点)如图：由z ＝8x ＋10y 得y ＝－45x ＋z10，平移直线y ＝－45x ＋z 10，由图象知当直线y ＝－45x ＋z10经过点B 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝11，x ＋2y ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，即B (4,3)， 此时z ＝8×4＋10×3＝32＋30＝62.故选B.二、填空题5．已知O 为坐标原点，点M (3,2)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，y ≥0，x ＋y ≤4，则OM→·ON →的最大值为________． 答案 12解析 画出所给不等式组表示的平面区域如图所示．令z ＝OM→·ON →＝3x ＋2y ，由目标函数的几何意义可知当z ＝3x ＋2y 过(4,0)点时，z 取最大值，即OM→·ON →的最大值＝3×4＋0＝12.6．若已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值是________．答案 21解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．解法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.解法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4＞0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B 时，目标函数z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点B 的坐标为(7,9)，此时z max ＝21. 7．不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D上的点，则2x ＋y 的最大值是________；若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 面积的最大值是________．答案 14 4π5解析 作出区域D 如图所示．令z ＝2x ＋y 可知，直线z ＝2x ＋y 经过点(4,6)时z 最大，此时z ＝14；当圆O ：x 2＋y 2＝r 2和直线2x －y －2＝0 相切时半径最大，此时半径r ＝25，面积S ＝4π5.三、解答题8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此，y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y－3≤0表示的可行域如下图所示：结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0. 所以z 的最大值为3，最小值为12.9．一农民有农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每亩产量为400千克；若种花生，则每亩产量为100千克．但水稻成本较高，每亩240元，而花生只需80元，且花生每千克5元，稻米每千克3元．现该农民手头有400元．(1)设该农民种x 亩水稻，y 亩花生，利润z 元，请写出约束条件及目标函数； (2)问两种作物各种多少，才能获得最大收益？ 解 (1)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y . (2)作出可行域如图所示，把z ＝960x ＋420y 变形为y ＝－167x ＋z 420，得到斜率为－167，在y 轴上的截距为z 420，随z 变化的一组平行直线；当直线y ＝－167x ＋z420经过可行域上的点B 时，截距z420最大，即z 最大．所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.5，y ＝0.5，即B 点的坐标是(1.5,0.5)，故当x＝1.5，y ＝0.5时，z max ＝960×1.5＋420×0.5＝1650(元)．答：该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1650元．10．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板的块数如下表：每张钢板的面积，第一种1平方单位，第二种2平方单位，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z 平方单位，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥12，2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，目标函数z ＝x ＋2y ，作出一组平行线x ＋2y ＝z ，作出不等式组表示的可行域．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝27，x ＋y ＝12解得x ＝92，y ＝152，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，152不是可行区域内整点，在可行区域内的整点中，点(4,8)和(6,7)使目标函数取最小值20.答：符合题意要求的钢板截法有两种，第一种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张．第二种截法是截第一种钢板6张，第二种钢板7张，两种方法都最少要截两种钢板20平方单位．B 级：能力提升练1．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A．－3 B．3C．－1 D．1答案A解析当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时，z有最小值1，与题意不符；当a>0时，y＝－1a x＋za.斜率k＝－1a<0，仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，直线在y轴的截距最小，此时z也最小，与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾；当a<0时，y＝－1a x＋za，斜率k＝－1a>0，为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－1a＝k AC.即－1 a ＝13，得a＝－3.2．已知实数x，y满足⎩⎨⎧(x－y＋6)(x＋y－6)≥0，1≤x≤4，求x2＋y2－2的取值范围．解作出可行域如图阴影部分所示，由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，即|OP|2，最大值为|OA|2，其中A(4,10)，|OP|＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA|＝42＋102＝116，∴(x2＋y2－2)min＝(32)2－2＝18－2＝16，(x2＋y2－2)max＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x2＋y2－2≤114，即x2＋y2－2的取值范围为[16,114]．。

知能目标解读1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题.2.能利用简单线性规划知识解决实际问题.重点难点点拨重点：1.准确理解题意，由线性约束条件列出不等式，找出目标函数.2.数形结合找出最优解的存在位置，特别是整数最优解问题.难点：最优解存在位置的探求和整点最优解的找法.学习方法指导1.列线性规划问题中的线性约束条件不等式时，要准确理解题意，特别是“至多”、“至少”“不超过”等反映“不等关系”的词语.还要注意隐含的限制条件，如x、y是正数.x、y是正整数等等.有时候把约束条件用图示法或列表表示，便于准确的写出不等式组.2.线性规划的应用：线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出这些限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数.其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清.应用线性规划的方法，一般须具备下列条件：（1）一定要能够将目标表达为最大或最小化的问题；（2）一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同选择的可能性存在；（3）所求的目标函数是有约束（限制）条件的；（4）必须将约束条件用数字表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数表示为线性函数.线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.3.解线性规划应用题的步骤：（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题.求解过程：①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.②平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.（3）作答——就应用题提出的问题作出回答.4.可行域内最优解为整点的问题的处理用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精确度要求较高，平行直线系f(x,y)＝t的斜率要画准，可行域内的整点要找准.那么如何解决这一实际问题呢？确定最优整数解常按以下思路进行：(1)若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解（在包括边界的情况下）；(2)若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解.这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范.(3)采用优值调整法，此法的一般步骤为：①先求出非整点最优解及其相应的最优值；②调整最优值，代入约束条件，解不等式组；③根据不等式组的解筛选出整点最优解.知能自主梳理线性规划解决的常见问题有问题、问题、问题、问题、问题等.［答案］物资调配产品安排合理下料产品配方方案设计思路方法技巧命题方向求实际应用问题中的最大值［例1］某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？［分析］设出未知数，列出约束条件，作出可行域，确定最优解.［解析］设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元.由题意得x+y≤300500x+200y≤90000，目标函数为z=3000x+2000y.x≥0，y≥0x+y≤300二元一次不等式组等价于5x+2y≤900 ，x≥0，y≥0作出可行域（如图所示），如上图，作直线l:3000x+2000y=0,当直线z=3000x+2000y过点M时，z最大.x+y=300由，得M（100，200）.5x+2y=900∴z max=3000×100×+2000×200=700 000(元).因此该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大值为70万元.［说明］解答线性规划应用题应注意以下几点：（1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；（2）线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；（3)结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；（4）分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；（5）图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解.变式应用1某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成本30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110单位利润 6 8试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？［解析］设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x+20y≤30000，5x+10y≤11000x，y∈N,3x+2y≤3000即x+2y≤2200，利润z=6x+8y.x,y∈N3x+2y=3000 x=400由，得.x+2y=2200 y=900画图可知当直线6x+8y=z经过可行域内点A（400，900）时，z 取最大值，z max=6×400+8×900=9600（百元）.答：当生产空调机400台，洗衣机900台时，可获最大利润96万元.命题方向求实际应用问题中的最小值［例2］某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C.一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？［分析］可以先设出未知数，列出约束条件和目标函数，再在可行域内找出最优解.［解析］设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z=2.5x+4y,且x,y满足x≥0，y≥0,x≥0，y≥012x+8y≥64.即3x+2y≥16 .6x+6y≥42x+y≥76x+10y≥54 3x+5y≥27让目标函数表示的直线 2.5x＋4y=z在可行域上平移.由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.(如图)因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.变式应用2某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元.［答案］2300［分析］①甲、乙两种设备每天生产A类、B类产品件数已知；②甲、乙两种设备的租赁已知；③生产A类、B类产品数量已知.解答本题可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解.［解析］设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元，5x+6y≥50由题意得10x+20y≥140x,y≥0且x,y∈N,z=200x+300y.作出如图所示的可行域.令z=0,得l0:2x+3y=0,平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值.5x+6y=50又由 ，得A 点坐标为（4，5）.10x +20y =140所以z max =4×200+5×300=2300.探索延拓创新命题方向 线性规划中的整点问题［例3］ 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规格类型钢板类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板2 1 2 第二种钢板 1 23 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少.［解析］ 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张.2x+y ≥15可得 x +2y ≥18 ，且x,y 都是整数，2x +3y ≥27x ≥0,y ≥0求目标函数z=x+y 取最小值时的x,y .作出可行域如图所示：平移直线z=x+y 可知直线经过点（518，539）时，z 取最小值.此时x+y =557，但518与539都不是整数，所以可行域内点（518，539）不是最优解.如何求整点最优解呢？法一：平移求解法：首先在可行域内打网格，其次找出A （539518，）附近的所有整点，接着平移直线l :x+y =0，会发现当移至B （3，9），C （4，8）时，直线与原点的距离最近，即z 的最小值为12.法二：特值验证法:由法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A 0（0，15），A 1（1，13），A 2（2，11），A 3（3，9），A 4（4，8），A 5（5，8），A 6（6，7），A 7（7，7），A 8（8，7），A 9（9，6），A 10（10，6），…A 27（27，0）.将这些点的坐标分别代入z=x+y ，求出各个对应值，经验证可知，在整点A 3（3，9）和A 4（4，8）处z 取得最小值.法三：调整优值法: 由非整点最优解（539518，）知，z =557, ∴z ≥12，令x+y =12,则y =12-x 代入约束条件整理，得3≤x ≤29,∴x =3,x =4，这时最优整点为（3，9）和（4，8）.变式应用3 某人有楼房一幢,室内面积共计180 m 2，拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名旅客每天住宿费40 元；小房间每间面积为15 m 2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？［解析］ 设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元，则x,y 满足18x +15y ≤1806x +5y ≤601 000x +600y ≤8 000，即 5x +3y ≤40 x ≥0，y ≥0， x ≥0，y ≥0 z =200x +150y . 作出可行域，如图所示.当直线z =200x +150y 经过可行域上的点M 时，z 最大.6x +5y =60解方程组 ，得点M 的坐标为（760720，）， 5x +3y =40由于点B 的坐标不是整数，而最优解（x,y ）是整点，所以可行域内点M （760720，）不是最优解. 经验证：经过可行域内的整点，且使z =200x +150y 取得最大值，整点是（0，12）和（3，8），此时z max =1800元.答：应只隔出小房间12 间，或大房间3 间、小房间8 间，可以获得最大利润，最大利润为1800元.名师辨误做答［例4］ 已知一元二次方程x 2+ax +b =0的一个根在-2与-1之间，另一个根在1与2之间，如图示以a,b 为坐标的点（a,b ）的存在范围.并求a+b 的取值范围.［误解］ 令f （x ）=x 2+ax+b .由题设f （-2）＞0 2a-b -4＜0 f （-1）＜0 ，∴ a-b -1＞0 ，f （1）＜0a+b +1＜0f （2）＞0 2a+b +4＞0 作出平面区域如图.令t=a+b ，则t 是直线b=-a+t 的纵截距，显然当直线b=-a+t 与直线a+b +1=0重合时，t 最大，t max =-1.当直线b=-a+t 经过点（0，-4）时.t 最小， ∴t min =-4，∴-4≤t ≤-1.［辨析］误解中忽视了点（a,b）的存在范围不包含边界. ［正解］令f（x）=x2+ax+b.由题设f（-2）＞0 2a-b-4＜0f（-1）＜0，∴a-b-1＞0f（1）＜0 a+b+1＜0f（2）＞0 2a+b+4＞0 ,作出平面区域如图.令t=a+b，则t是直线b=-a+t的纵截距，显然当直线b=-a+t与直线a+b+1=0重合时，t最大，t max=-1.当直线b=-a+t经过点（0，-4）时.t最小，∴t min=-4，又∵点（a,b）的范围是如图阴影部分且不含边界，∴-4<t<-1.课堂巩固训练一、选择题1.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元D设生产甲产品x吨，乙产品y吨时，则获得的利润为z ＝5x+3y.x≥0由题意，得y≥0 ，3x+y≤132x+3y≤18可行域如图阴影所示.由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3,y=4, z=5×3+3×4＝27（万元）.2.有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，设需载重6吨的汽车有x辆，载重4吨的汽车y辆，则完成这项运输任务的线性目标函数为（）A.z=6x+4yB.z=5x+4yC.z=x+yD.z=4x+5y ［答案］ A3.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱［答案］B［解析］设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知x+y≤7010x+6y≤480，x≥0y≥0甲、乙两车间每天总获利为z=280x+200y.画出可行域如图所示.点M（15，55）为直线x+y=70和直线10x+6y=480的交点，由图像知在点M（15，55）处z取得最大值.二、填空题4.(2010·陕西)铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：a b(万吨) c(百万元)A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为（百万元）.［答案］15［解析］设购买A,B两种矿石分别为x万吨、y万吨,购买铁矿石的费用为z百万元，则z=3x+6y.由题意可得约束条件为y x10721 ≥1.9 x +21y ≤2 ， x ≥0 y ≥0作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z =3x +6y 在点A （1，2）处取得最小值,z min =3×1+6×2=15.课后强化作业一、选择题1.在△ABC 中，三顶点分别为A （2，4），B （-1，2），C （1，0），点P （x ，y ）在△ABC 内部及其边界上运动，则m=y-x 的取值范围为（ ） A.［1，3］ B.［-3，1］ C.［-1，3］ D.［-3，-1］［答案］ C［解析］ ∵直线m=y-x ,斜率k 1=1＞k AB =32，∴经过C时m最小为-1，经过B时m最大为3.x+y-3≥02.设z=x-y，式中变量x和y，则z的最小值为（）x-2y≥0A.1B.-1C.3D.-3［答案］A［解析］作出可行域如图中阴影部分.直线z=x-y即y=x-z.经过点A（2，1）时，纵截距最大，∴z最小. z min=1.3.(2011·安徽理，4)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为（）A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1［解析］本题主要考查线性规划问题.不等式|x|+|y|≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z=x+2y过点(0,-1),(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x+2y的最大值和最小值分别为2,-2,故选B.4.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（）A.4，1B.3，2C.1，4D.2，4［答案］ A5x-11y≥-225.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件2x+3y ≥9 ，则z=10x+10y2x ≤11的最大值是（）A.80B.85C.90D.95［答案］ C5x -11y ≥-22［解析］ 画出不等式组 2x +3y ≥9 表示的平面2x ≤11区域，如右图所示.x =211 由 ，解得A (29,211) 5x -11y =-22而由题意知x 和y 必须是正整数，直线y=-x +10z向下平移经过的第一个整点为（5，4）.z =10x +10y 取得最大值90，故选C. x+y -1≤0 6.已知 x-y +1≥0,z =x 2+y 2-4x -4y +8，则z 的最小值为（ ）y ≤1A.223 B.29C.22 D.21［答案］ B［解析］ 画出可行域如图所示.z =(x -2) 2+(y -2) 2为可行域内的点到定点（2，2）的距离的平方， ∴z min = (2211|122|+-+)2=29.7.某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种用品应各买的件数为（ ） A.2件，4件B.3件，3件C.4件，2件D.不确定［答案］ B［解析］ 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则x ≥1y ≥1，100x +160y ≤800求z =800-100x -160y 取得最小值时的整数解（x,y ），用图解法求得整数解为（3，3）.8.(2011·四川理，9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A.4650元 B.4700元 C.4900元 D.5000元［答案］C［解析］设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得2x+y≤19x+y≤1210x+6y≥720≤x≤8 .0≤y≤7x,y∈N设每天的利润为z元，则z＝450x+350y.画出可行域如图阴影部分所示．x+y=12由图可知z=450x+350y=50(9x+7y),经过点A时取得最大值，又由得2 x+y=19x=7．即A(7，5)．y=5∴当x=7,y=5时，z取到最大值，z max=450×7＋350×5＝4900（元）. 故选C.二、填空题x+y≤19.设x、y满足约束条件y≤x ，则z=2x+y的最大值是.y≥0［答案］2［解析］可行域如图,当直线z=2x+y即y=-2x+z经过点A（1，0）时，z max =2.y ≥x ,10.(2011·湖南文，14)设m >1, y ≤mx ，下，目标函数z=x +5y 的最大值为4，x+y ≤1 则m 的值为 .［答案］ 3［解析］ 本题是线性规划问题.先画出可行域，再利用最大值为 4求m .由m >1可画出可行域如图所示，则当直线z =x +5y 过点A 时z 有 最大值.由y=mx得A (1,11++m m m ),代入得1511+++m mm =4, x+y =1 即解得m =3.11.某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180t 支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元，B型卡车为504元.每天调配A型卡车辆，B 型卡车辆，可使公司所花的成本费用最低.［答案］5 2设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，x≤8y≤40≤x≤8x+y≤10 0≤y≤4依题意有4x·6+3y·10≥ x+y≤10 .x≥0,y≥04x+5y≥30x,y∈N x,y∈N目标函数z=320x+504y(其中x,y∈N).作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示，即可行域.由图易知，直线z=320x+504y在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使z＝320x+504y取得最小值，z最小值＝320·5＋504·2＝2608（元）.12.购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张.如果小明带有10元钱，共有种买法．［答案］12［解析］设购买8角和2元邮票分别为x张、y张，则0.8x+2y≤102x+5y≤25x,y∈N，即x≥2 .x≥2,y≥2 y≥2x,y∈N∴2≤x≤12，2≤y≤5，当y=2时，2x≤15，∴2≤x≤7，有6种；当y=3时，2x≤10，∴2≤x≤5，有4种；当y=4时，2x≤5，∴2≤x≤2，∴x=2有一种；当y=5时，由2x≤0及x≥0知x=0，故有一种.综上可知，不同买法有：6+4+1+1=12种.三、解答题13.制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C 药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g.已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g.甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.［解析］设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则3x+2y≤1204x+11y≤4004x+6y≤240 ，作出可行域如图所示.x≥0y≥0目标函数为：z=2x+y.作直线l：2x+y=0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A且与原点的距离最大.此时z=2x+y取最大值.方程组4x+6y-240=0x=24得.3x+2y-120=0 y=24故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大.14.（2012·开封高二检测）某人承包一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？［解析］设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌（x+2y）个，绘画标牌（2x+y）个.2x+y≥5由题意可得：x+2y≥4所用原料的总面积为z=3x+2y,作出可行域如图.x≥0y≥0在一组平行直线3x+2y=t中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点（2,1）,∴最优解为：x=2,y=1∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.15.电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间（含广告时间）.（1）问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多？（2）在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b（万元）的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S =a 1+b1为效益调和指数，求效益调和指数的最小值.(取2＝1.41)［解析］ （1）设片集甲、乙分别播放x 、y 集，则有x+y ≥6 21x +11y ≤86， x,y ∈N要使收视观众最多，则只要z =60x +20y 最大即可.如图作出可行域，易知满足题意的最优解为（2，4），z max =60·2+20·4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多. （2）由题意得：2a +4b =1, S =a1+b1=(a1+b1)·(2a +4b )=6+b a 2+ab4≥6+42＝11.64（万元）.所以效益调和指数的最小值为11.64万元.。