金融数学第二章均值-方差资产选择模型

投资组合优化的数学模型一、引言投资组合优化是金融领域的一个重要问题，其目的是通过合理地分配不同资产的权重，使得投资组合的收益最大化或风险最小化。

在实际投资中，很多投资者都会采用投资组合优化方法进行资产配置，以期达到最优化的投资效果。

本文将对投资组合优化的数学模型进行分析和探讨。

二、投资组合优化模型投资组合优化模型可以分为两类：均值-方差模型和风险价值模型。

下面将分别进行介绍。

1.均值-方差模型均值-方差模型是目前最为广泛使用的投资组合优化模型。

其核心思想是通过计算投资组合的期望收益和风险来优化资产配置。

具体来说，该模型首先计算出每种资产的预期收益率和标准差，然后在给定预期收益率的条件下，通过调整各资产的权重，使得投资组合的方差最小化。

均值-方差模型的数学表达式如下：$$\begin{aligned} \min \frac{1}{2}w^{T}\Sigma w \\ s.t.\:w^{T}r= \mu,\: w^{T}\mathbb{1}=1, \:w_i \geq 0 \end{aligned}$$其中，$w$为资产权重向量，$\Sigma$为资产之间的协方差矩阵，$r$为资产的预期收益率向量，$\mu$为投资组合的预期收益率，$\mathbb{1}$为全1向量。

该模型通过最小化风险的方式，来达到最大化收益的目的。

但是，由于均值-方差模型假设资产收益率服从正态分布，并且只考虑了资产的一阶统计量，忽略资产之间的非线性关系，因此在实际应用中有着一定的局限性。

2.风险价值模型风险价值模型是一种相对新的投资组合优化模型，与均值-方差模型相比，其考虑的是投资组合的非对称风险。

与传统的风险度量方法不同，风险价值模型采用了风险价值（Value-at-Risk，VaR）作为风险度量。

VaR是指在一定置信水平下，某资产或投资组合的最大可能损失，即在置信水平为$\alpha$的条件下，VaR表示的是在未来一段时间里资产或投资组合可能出现的最大损失。

股票投资组合分析——基于均值-方差模型股票投资组合分析——基于均值-方差模型概述：在金融领域，股票投资是一种常见的投资方式。

投资者希望通过合理配置不同股票的组合来降低投资风险并获得更高的收益。

基于均值-方差模型，本文将对股票投资组合进行分析，以帮助投资者做出更明智的投资决策。

一、均值-方差模型简介均值-方差模型是一种常见的金融模型，用于评估资产组合的预期收益和风险。

该模型基于以下两个假设：1. 假设收益率服从正态分布，即所有的资产收益率都可以用均值和方差来衡量。

2. 假设投资者关注的是资产组合的整体风险和收益，而不是单个资产的风险和收益。

二、构建股票投资组合在构建股票投资组合之前，投资者首先需要选择合适的股票。

选择股票的关键是分析其基本面、行业前景和估值等因素，以确定是否具备投资潜力。

在选择股票后，投资者可以通过确定权重的方式将它们组合在一起。

三、计算投资组合的预期收益率和风险通过均值-方差模型，可以计算投资组合的预期收益率和风险。

预期收益率可以通过计算加权平均值得出，其中权重为各个股票的权重。

预期风险可以通过计算投资组合的方差得出。

四、有效前沿和最优投资组合有效前沿是指在给定风险水平下，能够获得最大预期收益的所有投资组合构成的边界。

在有效前沿上，每个投资组合的预期收益率都是相同的，但风险不同。

最优投资组合则是在风险水平给定的情况下，能够获得最大预期收益的投资组合。

五、资本市场线和风险资产定价模型资本市场线是连接无风险利率和最优投资组合的直线。

它描述了预期收益率与风险之间的关系。

在资本市场线上，每个投资组合的预期收益率都是最大的。

风险资产定价模型则是通过比较资产的预期收益率和风险，判断它们是否被正确定价。

六、买入和卖出策略通过股票投资组合的分析，投资者可以根据自己的风险承受能力和投资目标制定买入和卖出策略。

根据预期收益率和风险，投资者可以决定是否进行调整或平衡投资组合。

七、风险管理和监控风险管理和监控是投资组合管理的重要环节。

均值—方差证券资产组合理论1. 简介均值—方差证券资产组合理论，也被称为马科维茨模型，是现代投资组合理论的基础。

该理论由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出，并在1959年获得了诺贝尔经济学奖。

这一理论通过权衡资产组合的预期收益率和风险来寻找最佳的投资组合。

2. 理论原理均值—方差证券资产组合理论的核心原理在于风险与收益之间的平衡。

根据该理论，投资者可以通过有效的资产配置，实现在给定风险水平下最大化投资组合的预期收益率。

具体来说，均值—方差模型在计算资产组合时，考虑了以下两个重要指标：2.1 均值均值指的是资产组合的预期收益率。

通过对各个资产的历史数据进行分析和估计，可以计算出每个资产的预期收益率，并据此求得资产组合的整体预期收益率。

2.2 方差方差表示资产组合的风险程度。

在均值—方差模型中，方差用于衡量资产之间的波动性和相关性。

如果两个资产的收益变动具有较高的相关度，那么它们之间的方差较小；反之，如果两个资产的收益变动独立或者相关度较低，那么它们之间的方差较大。

3. 资产组合优化基于均值—方差证券资产组合理论，投资者可以通过优化资产组合来实现风险与收益之间的最佳平衡。

具体的资产组合优化包括以下几个步骤：3.1 数据准备在优化资产组合之前，首先需要收集并整理相关的数据。

这些数据包括各个资产的历史收益率、期望收益率以及方差。

通常，投资者可以通过金融数据提供商或者证券公司获取这些数据。

3.2 风险-收益曲线通过对各个资产的历史数据进行分析和计算，可以得到不同投资组合的风险和收益指标。

在优化资产组合之前，投资者可以绘制出风险-收益曲线，以便直观地了解不同投资组合之间的收益和风险的关系。

3.3 最优组合根据风险-收益曲线，可以找到在给定风险水平下具有最高预期收益率的投资组合。

这个投资组合被称为最优组合，也是均值—方差模型的核心输出。

3.4 边际效益在确定最优组合后，投资者可以通过计算边际效益来衡量每个资产对投资组合的贡献。

投资理论解析投资是指将资金投入到某种项目或资产中，以期望获得收益的行为。

投资理论则是对投资行为背后原理和方法的探索与总结。

在这篇文章中，我们将对几种常见的投资理论进行解析，以帮助读者更好地进行投资决策。

一、有效市场假说有效市场假说是由美国经济学家尤金·弗雷迪曼于20世纪60年代提出的。

该理论认为，市场上的价格反映了所有可获得的信息，投资者无法通过预测市场走势或选择优质的投资标的来获得超额收益。

因此，投资者应该采取被动投资策略，即通过指数型基金等方式来进行投资，以跟随市场波动。

二、均值-方差模型均值-方差模型是由马科维茨在1952年提出的投资组合理论。

该模型认为投资者在选择投资组合时应考虑预期收益和风险之间的均衡。

通过分析资产的收益率和方差，投资者可以找到最优的资产配置方案。

在均值-方差模型中，投资者需要根据个人的风险承受能力和投资目标来确定合适的资产配置比例，以达到最大化收益和最小化风险的目的。

三、行为金融学行为金融学是对传统金融理论的一种补充和扩展。

传统金融理论假设投资者在决策时是理性的，而行为金融学则认为投资者的决策常常受到情绪、心理偏差和群体行为等非理性因素的影响。

因此，行为金融学强调投资者应该认识到自己的行为偏差，并采取相应的措施来规避风险。

例如，投资者可以采用分散投资策略、定期检查投资组合等方式来降低非理性决策的负面影响。

四、资本资产定价模型资本资产定价模型（CAPM）是一种量化投资风险和预期收益之间关系的模型。

该模型通过衡量投资组合相对于市场的系统风险、特定风险以及预期的市场回报率，来确定一个合理的资本成本和预期收益率。

利用CAPM模型，投资者可以进行投资标的的评估和定价，以辅助投资决策。

总结：本文对几种常见的投资理论进行了解析，包括有效市场假说、均值-方差模型、行为金融学和资本资产定价模型。

这些理论为投资者提供了不同的思路和工具，以便在投资决策中更加理性地权衡风险和收益。

IT 大视野数码世界 P .38马科维兹的均值—方差数学模型邹世杰 成都外国语学校高新校区摘要：金融数学是一门应用性非常强的数学学科，有其独有的方法与理论基础。

另一方面，这门学科的发展常常得益于从其它的数学分支中吸取有启发性的方法与概念。

证券理论是金融数学研究中的一个重要的课题。

证券理论的研究方法主要来自于统计学，而统计学的基础是概率论。

我们这篇论文通过引入概率论中的一些最基础的概念，详细地描述著名的经济学家马科维兹提出的均值—方差数学模型。

1.引言金融数学是一门应用性很强的数学学科，有其独有的方法与理论基础。

而另一方面，这门学科的发展常常得益于从不同的数学分支中吸取有启发性的方法与概念。

证券理论是金融数学中的一个重要的研究课题。

证券理论的研究方法主要来自于统计学，而概率论则是统计学的基础。

我们这篇论文主要通过引入概率论中的一些最基础的概念，进而详细地描述著名的经济学家马科维兹提出的均值—方差数学模型。

均值—方差数学模型由经济学家马科维兹在二十世纪五十年代的时候引入到金融数学的研究中。

这个著名的金融数学模型因为同时考虑了金融市场中收益与风险两个主要的组成要素，并且这个模型本身的数学表达格外简单，所以它一经发表就迅速地发展成为了现代证券组合理论中的一块基石，并且为金融数学此后的发展开创了新的局面。

马科维兹本人也因这项工作获得了1990年度的诺贝尔经济学奖。

这篇论文的结构如下，在第二节中我们将主要介绍概率论中的一些最基础的概念，特别是均值与方差的概念，这主要是为了我们在接下来的章节里描述均值—方差模型做好必要的数学知识的准备。

第三节是我们这篇论文的核心，我们将详细地描述马科维兹提出的均值—方差数学模型。

最后一节我们将简要地对这篇论文进行总结，并讨论接下来可能的学习与研究方向。

2. 概率统计学的预备知识在这一章节中，我们将把我们的主要焦点放在对数学知识的介绍上，特别是概率论中的一些最基础的概念。

为了简便起见，我们假设整个论文中涉及的随机变量（稍后我们将给出它的正式定义）都是离散型的随机变量，介于我们这一篇论文的内容，这个假设也是合理的。

马克维茨均值-方差模型马克维茨均值方差模型（Markowitz MeanVariance Model）是投资组合理论中的一种经典模型，旨在求解投资组合中各个资产的权重，以达到最优的风险收益平衡。

本文将一步一步回答与该模型相关的问题，并详细探讨其应用和局限性。

第一步：理解均值方差模型的基本概念马克维茨均值方差模型的核心思想是基于投资者根据期望收益和风险偏好，通过构建有效前沿，选择最优的投资组合。

其中，均值是指资产的期望收益，方差是指资产收益的波动程度。

该模型假设投资者的决策基于"均值方差效用函数"，并将投资者的目标简化为寻找最大化投资收益或最小化投资风险的点。

第二步：计算资产预期收益率和协方差矩阵在马克维茨均值方差模型中，首先需要计算各个资产的预期收益率和协方差矩阵。

预期收益率可以通过历史数据或专业分析师的预测得出。

协方差矩阵则衡量不同资产之间的相关性和波动性，反映了资产收益的联动程度。

通过计算预期收益率和协方差矩阵，可以为后续的建模提供基础数据。

第三步：优化模型求解最优投资组合在构建投资组合时，需要设定投资者的目标和约束条件。

目标可以是最大化预期收益或最小化投资风险，约束条件可以包括资产权重的上下限、风险承受能力等。

利用数学优化方法，如线性规划或二次规划，可以求解出最优投资组合，即在给定约束条件下最大化预期收益或最小化投资风险。

第四步：有效前沿和资产配置通过改变投资组合中不同资产的权重，可以构建不同的投资组合。

根据马克维茨均值方差模型，我们可以绘制出一个被称为"有效前沿"的曲线，表示在给定风险水平下，能够达到的预期收益的最优组合。

有效前沿帮助投资者了解可行的投资组合，从中选择最佳的配置方案。

第五步：风险敞口和资产多样化马克维茨均值方差模型强调了通过资产多样化来降低投资风险。

投资者可以通过在投资组合中加入不同类型、不同行业、不同地域等各类资产，从而分散和平衡风险。

马柯维茨均值-方差模型在丰富的金融投资理论中，组合投资理论占有非常重要的地位，金融产品本质上各种金融工具的组合。

现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权衡关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。

从历史发展看，投资者很早就认识到了分散地将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。

但是第一个对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马柯维茨(Markowitz)以及他所创立的马柯维茨的资产组合理论。

1952年马柯维茨发表了《证券组合选择》，标志着证券组合理论的正式诞生。

马柯维茨根据每一种证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。

马柯维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时十分精确，但是在处理含有较多证券的组合时，计算量很大。

马柯维茨的后继者致力于简化投资组合模型。

在一系列的假设条件下，威廉·夏普(William F. Sharp)等学者推导出了资本资产定价模型，并以此简化了马柯维茨的资产组合模型。

由于夏普简化模型的计算量相对于马柯维茨资产组合模型大大减少，并且有效程度并没有降低，所以得到了广泛应用。

1 模型理论经典马柯维茨均值-方差模型为：21min max ()..1p T p n i i X XE r X R s t x σ=⎧⎪=∑⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑T 其中，12(,,...,)T n R R R R =；()i i R E r =是第i 种资产的预期收益率；12(,,...,)T n X x x x =是投资组合的权重向量；()ij n n σ⨯=∑是n 种资产间的协方差矩阵；()p p R E r =和2p σ分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。

点睛：马柯维茨模型以预期收益率期望度量收益；以收益率方差度量风险。

《数理金融》习题参考答案第一章〔P52〕题1-1 希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程〔1.2.13〕式后面的一个自然段。

题1-2 欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？解：参考方程〔1.5.9〕式和方程〔1.5.10〕式后面的一个自然段。

题1-3 假如你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。

那么一年后你欠了多少钱？解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。

因此，一个季度后你的欠款为： 1000(1+0.02)两个季度后你的欠款为： 21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)=三个季度后你的欠款为： 231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)+=四个季度后你的欠款为：341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40+==题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。

假如在一年的年初支付金额为P ，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？ 解：如此的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%=支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。

因此，一年后你的欠款为：12P(1+0.015)1.1956P =题1-5 假如一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地运算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为：0.050.05eff Pe P r e 10.05127P-==-≈ 即有效利率是每年5.127%。

题1-6 一家公司在以后的5年中需要一种特定型号的机器。

这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，以后3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。

该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。

该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。

在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。

但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。

从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。

本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。

人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。

投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。

所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。

当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。

所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。

我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。

人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。

投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。

所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。

因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。

这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。

这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。

投资组合有效边界一条单调递增的凹曲线。

如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。

A点对应于投资范围中收益率最高的证券。

如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。

C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。

M点对应的投资组合被称为“市场组合”。

如果市场允许卖空，那么AMB是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。

均值-方差模型理论及其在我国股票市场的应用一、引言均值-方差模型是现代投资组合理论的重要组成部分，它通过衡量资产的预期收益率和风险水平，援助投资者做出合理的资产配置决策。

本文将对均值-方差模型的理论基础及其在我国股票市场的应用进行探讨。

二、均值-方差模型的理论基础1.1 均值-方差模型的基本原理均值-方差模型是由美国经济学家马科维茨于1952年提出的一种金融投资组合选择方法。

其基本原理是通过计算资产的预期收益率和风险，以追求投资组合风险最小的预期收益率。

1.2 组合的风险与收益干系均值-方差模型假设资产的收益率听从正态分布，并通过方差衡量风险。

通过构建不同权重的资产组合，可以寻找到预期收益率最高，且方差最小的组合。

1.3 投资组合的有效边界均值-方差模型还引入了有效边界的观点。

有效边界是指在给定预期收益率水平下，最小化投资组合方差的全部可能投资组合的集合。

通过有效边界，投资者可以在风险和收益之间找到合适的平衡点。

三、均值-方差模型在我国股票市场的应用2.1 资产预期收益率的计算在我国股票市场，资产预期收益率可以通过对历史数据进行分析和对市场进步趋势的猜测来确定。

常用的方法包括股票收益率的历史平均值、市盈率、市净率等指标计算。

2.2 风险的器量均值-方差模型中，风险通过资产的方差来器量。

在我国股票市场，常用的风险器量方法有股票收益率的历史标准差、波动率等。

2.3 投资组合优化利用均值-方差模型，投资者可以计算不同权重下投资组合的预期收益和风险水平，并找到有效边界上的最优投资组合。

通过优化投资组合，投资者可以实现风险最小化与收益最大化的目标。

2.4 风险偏好和投资组合选择投资者的风险偏好对投资组合的选择有着重要影响。

依据投资者的风险承受能力和投资目标，可以选择不同风险水平下的投资组合，以达到最佳配置效果。

2.5 动态调整与重平衡在实际投资过程中，市场波动和投资者风险偏好的变化可能导致投资组合的变动。

主流的资产配置模型一、介绍资产配置是投资过程中的重要环节之一，指的是将投资资金分配到不同的资产类别中，以达到风险分散和收益最大化的目的。

主流的资产配置模型是指经过实践证明并被广泛接受的资产配置策略，在不同的资产类别之间分配投资资金的方法。

本文将对主流的资产配置模型进行全面、详细、完整、深入地探讨。

二、主流的资产配置模型主流的资产配置模型包括： 1. 马科维茨的均值-方差模型 2. 里奇特分配模型 3. 波顿模型 4. 股债权模型2.1 马科维茨的均值-方差模型马科维茨的均值-方差模型是资产配置领域最早也是最经典的模型之一。

该模型通过对资产的历史收益率和标准差进行统计分析，构建出有效边界，找到风险最小的投资组合。

该模型的核心思想是在风险不变的情况下，通过合理配置各类资产，以实现收益最大化。

该模型的具体步骤如下： - 收集各资产的历史数据，计算其收益率和标准差 - 构建资产的收益率和标准差的相关矩阵 - 利用投资者的风险偏好设定合适的风险厌恶系数 - 根据设定的风险厌恶系数和相关矩阵，求解出有效边界上的最优投资组合2.2 里奇特分配模型里奇特分配模型是将投资组合分为两部分，一部分投资于无风险资产，另一部分投资于风险资产。

该模型能够在收益和风险之间作出最优平衡，同时考虑了投资者的风险厌恶程度。

该模型的具体步骤如下： - 确定投资者的风险厌恶系数 - 根据投资者的风险厌恶系数和资产的期望收益率、标准差，计算出投资于无风险资产和风险资产的比例 - 根据计算结果，进行资产的分配2.3 波顿模型波顿模型是一种基于贝叶斯理论的资产配置模型。

该模型将投资者的观点和市场的信息进行综合考虑，有效地进行资产配置。

该模型的具体步骤如下： - 收集投资者的观点和市场的信息 - 对观点和信息进行概率转换，得到先验概率和后验概率 - 根据后验概率，计算出各个资产的期望收益率和协方差矩阵 - 根据投资者的风险偏好和资产的期望收益率、协方差矩阵，计算出最优投资组合2.4 股债权模型股债权模型是一种将投资组合分为股票、债券和权益类资产的资产配置模型。

⼀、马克威兹的均值⽅差模型马克威兹于1952年在《财务学杂志》上发表了《portfolio selection》的论⽂，这不仅是投资理论的重⼤进展，也标志着现代投资理论发展的开端。

马克威兹出⽣于1927年8⽉出⽣于芝加哥⼀个店主家庭，⾼中毕业后进⼊芝加哥⼤学读经济学，在考尔斯基⾦会研究负责⼈马查克教授门外等候接见时，有⼀个⾃称是股票经纪⼈的长者建议他研究股票市场，当马克威兹把这个想法告诉马查克时，马查克欣然同意，但认为⾃⼰的专长不适合做这个⽅向的导师，就将马克威兹介绍给了芝加哥⼤学商学院院长、《财务学杂志》主编凯彻姆教授，凯彻姆要求马克威兹去读⼀读《投资价值理论》⼀书。

马克威兹读书的时候想，为什么许多投资者并不是简单的选择内在价值最⼤的股票，并在投资时往往投资不同的股票，甚⾄还会同时投资于股票、债券等不同的⾦融⼯具呢?马克威兹终于想明⽩了，投资者不仅要考虑收益，还要考虑风险，分散投资是为了分散风险。

同时考率投资的收益和风险，马克威兹是第⼀⼈。

例如，当时在美国投资界⽐较有影响⼒的华尔街经纪⼈洛布认为，分散投资是投资者信⼼不⾜的表现。

曾经在股票市场投资并⼤有斩获的英国经济学家凯恩斯也主张集中投资，认为选择⼀家保险公司⽐很多家了解不⾜的公司要好很多。

马克威兹运⽤在库普曼教授课堂中学到的线性规划知识来处理收益和风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合⽅法，在此基础上完成了博⼠论⽂。

当时的答辩委员，也即以后的经济学家弗⾥德曼说，这不是经济学，也不是数学或企业管理的内容。

论⽂发表后，马克威兹继续研究这⼀问题，1959年出版了《投资组合选择：有效率分散投资的策略》⼀书，书中不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进⾏正确的分散⽅法。

1987年，马克威兹⼜发表了《投资组合选择与资本市场中的均值-⽅差分析》⼀书，全⾯阐述了她的观点，该理论建⽴在⼀系列严格的假说上，⽤证券或证券组合的期望收益表⽰其收益期望收益率的⽅差表⽰组合的⽅差，通过建⽴⼆次规划模型求解有效证券组合，并根据⽆差异曲线，求得最优解，主要内容包括：基本的均值⽅差模型、证券投资组合的可⾏性、有效组合与有效边界、最满意证券组合的选择。

Markowitz 均值—方差投资组合方法的简单应用摘 要：Markowitz 在他1959年出版的著作中提出的均值-方差投资组合方法是上世纪五十年代证券组合投资理论的一项最有意义的工作，本文对其理论模型进行了简单的应用，并提出一些思考，认为均值—方差模型在某种程度上的确为我们在进行投资组合时提供了一些参考，但是其中有些问题还是值得商榷的。

关 键 词：均值—方差模型 ；投资组合1.引言Markowitz 在他1959年出版的著作中提出的均值-方差投资组合方法可以说是上世纪五十年代证券组合投资理论的一项最有意义的工作，他的理论的独特之处在于他认为分散化投资可有效降低投资风险，但一般不能消除风险，而且在其论文中证券组合的风险用方差来度量。

另外，他是第一个给出了分散化投资理念的数学形式，即“整体风险不低于各部分风险之和”的金融版本。

2.Markowitz 均值—方差模型的简单概述Markowitz 的投资组合理论基于一些基本的假设：（1）投资者事先就已知道投资证券的收益率的概率分布。

这个假设蕴涵证券市场是有效的。

（2）投资风险用证券收益率的方差或标准差来度量。

（3）投资者都遵守占优原则，即同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。

（4）各种证券的收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用相关系数或收益率之间的协方差来表示。

（5）每种证券的收益率都服从正态分布。

（6）每一个证券都是无限可分的，这意味着，如果投资者愿意的话，他可以购买一个股份的一部分。

（7）投资者可以以一个无风险利率贷出或借入资金。

（8）税收和交易成本均忽略不计，即认为市场是一个无摩擦的市场。

以上假设条件中,（1）-（4）为Markowitz 的假设,（5）-（8）为其隐含的假设。

假如我们从金融市场上已经选出了N 种证券，i x 表示投资到第i （N i ,,2,1 =）种证券的价值比率,即权数。

第二章课件2：金融风险与收益的均值-方差分析风险与收益的协方差分析平均回报率和方差，或者标准差，提供了单只证券或者一个证券组合的回报分布的信息。

然而，这些数值并没有告诉我们不同证券回报之间的相互关联及其关联的方式。

假定在某个给定的月份之中，一个证券产生了高于其平均回报的回报。

假如我们知道发生了这样的结果，那么它对其他某个股票在同一时期产生的回报率的预期会有什么样的影响呢？当一个股票产生了高于其平均回报的回报，其他的股票也有出现同样结果的倾向吗？提供关于这个问题的一些信息的统计指标就是两个股票的协方差。

如果说方差是个绝对性的概念和分析方法的话，那么协方差就是个相对性的概念和分析方法。

因此，这个分析及其结果说明这样的基本思想：对于由不同风险的资产组成的投资组合，既要考虑它们各自的收益与风险之间的比较，又要考虑它们之间的相对收益比较和相对风险比较。

下面要研究的主要结果是，如何使一个投资组合的风险溢价是对应于状态价格密度的收益与投资组合收益之间的协方差。

现在考虑L 种不同的风险资产i Z ，1,2,,i L =⋅⋅⋅ （2.2.2）资产i Z 在投资组合中的数量是i k ，其现值是0i Z （即在日期0t =的价值）。

如果投资到该组合中的总财富是W ，则i k 和0i Z 应该满足 01L ii i k Z W ==∑ （2.2.3）在做金融资产收益和风险的研究中，人们都首先考虑无风险（金融术语是风险中性概率）的收益，然后再对比进行风险资产的研究。

下述字母和符号的含义分别为：ω—随机状态变量；()P ω—概率侧度，且()0P ω>；()Q ω—风险中性概率侧度；()()()Q L P ωωω=—状态价格向量。

因为风险资产的收益是随机变量，所以应该表示为 00()()i i i i i z T z R R z z -≡≡，1,2,,i L =⋅⋅⋅ （2.2.4） 类似地，可以把银行账户的收益定义为00()B T B R B -≡它们与公式 ()()()cov((),())j j j V Z E z q z E z V Z -≡比较，两者对风险资产收益的分析原理是一致的。

均值方差模型名词解释
你知道啥是“均值方差模型”不？听我给你讲讲哈。

有一回啊，我跟朋友聊天，聊到投资的事儿。

朋友就提到了均值方差模型，我当时一脸懵，啥玩意儿啊这是？
均值方差模型呢，简单来说就是一种分析投资风险和收益的方法。

比如说，你有一笔钱想投资，但是不知道投啥好。

这时候，均值方差模型就可以帮你分析不同投资产品的平均收益和风险大小。

我记得朋友给我举了个例子。

他说就像你去买水果，有苹果、香蕉、橘子啥的。

你不知道哪个好吃，哪个划算。

这时候你就可以看看这些水果的平均价格（均值）和价格波动大小（方差）。

如果苹果的平均价格比较高，但是价格波动小，那可能就比较稳定；如果橘子的平均价格低，但是价格波动大，那可能风险就高一些。

在生活中啊，我们虽然不一定会直接用到均值方差模型，但是这个道理还是很有用的。

比如说，你找工作的时候，要考虑工资的平均水平和工作的稳定性；你买东西的时候，要考虑价格和质量的平衡。

所以啊，均值方差模型就是一个帮我们做出更明智选择的小工具。

嘿嘿。

均值方差模型的解析解摘要：I.引言- 介绍均值方差模型- 阐述解析解的重要性II.均值方差模型的基本概念- 均值方差模型的定义- 均值方差模型的组成部分III.均值方差模型的解析解- 解析解的概念- 求解均值方差模型的解析解IV.解析解的意义和应用- 解析解在金融领域的应用- 解析解在经济学领域的应用V.结论- 总结均值方差模型的解析解- 展望均值方差模型在未来的发展正文：I.引言均值方差模型是金融学和经济学中一个重要的理论模型，用于描述资产收益率的分布。

在实际应用中，均值方差模型可以帮助投资者和政策制定者更好地理解和预测金融市场和经济体系的变化。

解析解作为数学模型的一种解决方案，为我们深入理解均值方差模型提供了重要依据。

本文将对均值方差模型的解析解进行详细解析。

II.均值方差模型的基本概念均值方差模型是一种资产定价模型，它基于投资者的风险厌恶程度来描述资产收益率的分布。

该模型由两部分组成：一是均值过程，描述资产收益率的均值变化；二是方差过程，描述资产收益率的方差变化。

这两个过程共同决定了资产收益率的分布形态。

III.均值方差模型的解析解解析解是指通过解析数学方程得到的解，它是一种具体的、明确的解。

在均值方差模型中，解析解可以为我们提供关于资产收益率分布的详细信息，包括均值、方差和相关系数等。

求解均值方差模型的解析解需要运用数学和统计学的方法，例如变分法、矩估计法等。

IV.解析解的意义和应用均值方差模型的解析解在金融和经济领域具有广泛的应用价值。

在金融领域，解析解可以帮助投资者评估不同资产的风险和收益，从而做出更明智的投资决策。

在经济学领域，解析解可以用于分析宏观经济变量的动态过程，为政策制定者提供理论依据。

此外，解析解还可以应用于风险管理、资产定价、实证研究等方面。

V.结论均值方差模型的解析解为我们深入理解资产收益率的分布提供了重要依据。

通过解析解，我们可以更好地评估金融市场和经济体系的风险和收益，从而为投资者和政策制定者提供有力支持。