最小费用流算法-数学建模共45页文档

费用=20+2 9=38
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路

最大流问题
Maximum Flow Problem
最大流问题
与最小费用流问题一样，最大流问题也与网 络中的流有关。 最大流的目标不是使得流的成本最小化，而 是寻找 个流的方案 使得网络的流量最大 是寻找一个流的方案，使得网络的流量最大。 除了目标不一样之外，最大流问题的特征与 最小费用流问题的特征非常相似。
最小费用流的可行解
这类问题的解需要确定通过每一条弧的流有 多大。 具有可行解的特征：在上述假设下，当且仅 当供应点所提供的流量总和等于需求点所需 要的流量总和。 对于每一个可行解，通过每一条弧的流量都 不得超过该弧的容量。 每一个节点产生的净流量必须等于该节点标 明的流量。
为了简化网络图形，我们用每一个设施旁边方括号里的数字表示净 流出的单位数，于是，每一个末端仓库的产品单位数都是用负数来 表示，如下图所示。
最小费用流的特殊类型
转运问题：有一个附加特征，即从出发地运 输到目的地过程中可能会经过中间转运点， 此外，与运输问题基本上一样。 最大流问题：最大流的源点和收点的流量不 最大流问题 最大流的源点和收点的流量不 是固定的。 最短路径问题：在两点之间寻求最短路径， 且两个节点中的边（对应“弧”）允许双向 流动，而弧只允许沿着箭头方向流动。
RN公司是一家电子公司，它的工厂分别 位于下图中的1和2。在工厂生产出的部件 可能被运送到位于3或4仓库中的任意一个 仓库 通过这些仓库 公司向5、6、7、8 仓库，通过这些仓库，公司向 等地区的零售商发货。 图中给出了每个供应点和需求点的流量 以及每一条发货线路上每一个部件的运输 成本。 公司的目标是使总运输成本达到最小。
转载节点的约束条件
运出弧线
x
运入弧线
x

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000 3.000000 0.000000 0.000000
结果说明，最小费用为12，此时，流值为3。
例6.8.6 用MATLAB软件求解例6.5.1。 解： MATLAB编程如下： f=zeros(7,1);f(1)=1;f(2)=1; g=-f; aeq=[1,0,-1,-1,0,0,0 0,1,0,1,-1,0,-1 0,0,1,0,1,-1,0]; beq=zeros(3,1);lb=zeros(7,1); ub=[2 1 6 3 2 4 3]';
( vi , v j )A

cij xij
（6.5.3）
n n X ij X ji 0 s.t. j 1 j 1 0 x w , (v , v ) A ij ij i j
§6.5.2 最小费用最大流问题的算法
寻求最大流的方法 最小 费用 最小费用最大流
运行结果如下：
z= 2.0000 1.0000 0.0000 2.0000 0.0000 0.0000 3.0000 favl1 = 12.0000
结果说明最大流值为3，最小费用为12。 可以看出，最小费用最大流问题其实就是在最 大流问题基础上，再进行一次线性规划问题的计算 得出。
例：求图中从vs vt的最小费用最大流。
解: 取 X (0) 0, 见图6.4.7（a）， 构造 D( X (0) ).
v2
(1, 2, 0)

(5,6,0)
v 4
(3, 4,0)
(2,3,0) (3,1, 0)
(1, 2, 0)
v1
v3 (1,3, 0)

2019/10/25
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5
L（f）的构造方法如下：L（f）中的顶点是原 网络中的点，而把G中的每一条弧（vi，vj） 变成两个方向相反的弧（vi，vj）和（vj， vi）。定义
L（f）中弧（vi，vj）和（vj，vi）的权lij和 lji为：
4
vs
2
1
v2
1
6
3
(a) w(f0)
V(f 1 ) = 5
vt
2
v1 (7,5)
（10，0）
（2，0）
v3 vs
（5，5）
(8，5)
v2 (10,0)
lij

ij

若 fij <cij fij =cij
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l ji

ij

若 fij 0 fij= 0
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6
求流量为V目标的最小费用流的算法
第一步：k=0，从一流量为 V ( f （ (0) ) V ( f (0)≤) V目标）为最小 费用初始可行流 （一f（0般） 取零流）开始。
V ( f (k) )
V ( f (k) )
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7
例 求下图所示的网络G中，求从vs到vt的目标流值为 25的最小费用流，弧上括号内的数字第一个为容 量，第二个为弧上单位流的费用。
V1 (18,3)
(20,5) V2
(14,5)
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vt : 0 x1t x3t w
v1
vs
(10, 4) xs1 xs2
(8, 1)
x21(5,
(7, 1) x1t
2) x13(2, 6) x23
x3t (4, 2)
vt
v2 (10, 3) v3
定义
Vi：从 vi发出的所有边的终节点指标集合 Vi: 进入 vi的所有边的始节点的指标集合
如下图：
最小费用流问题
例、 最小费用流问题
v1
(10, 4)
(7, 1)
vs
(5, 2) (2, 6)
vt
(8, 1)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
括号内第一个数字是容量，第二个是单位流量费用
目标：从发点到收点的总的流量费用最小
约束：1）容量约束，各边流量不大于容量 2）流量平衡约束，各点进出流量总和相等 3）从发点到收点的总流量为 w
成从 vs 到 vt 的下述道路
dij
vt
vi
vj
vs
那么 dij 构成路长的一部分，就象 dij 构成
d() 的一部分一样
情况3）此时既可能属于前向边，也可能属于后向 边，所以上述两种可能的等价转化方式都应 该保留
总结前面讨论，可以把容量网络的每条边按以下规 则等价转换成长度网络（求最短路的网络）中的边
如果 xij 0
vi xij v j
cij , dij
vi dij v j
如果 xij cij
vi xij v j
cij , dij
如果 0 xij cij
vi xij v j
cij , dij
vi dij v j
dij

vt
（0,4,2）
v3 T (v3) [v2,3,4]
第三次迭代
T(v1) [vs,10,4] P
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
T (vt ) [v3,1,7] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 8,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（3,10,3）
v2
T (v2 ) [v1,5,2] P
vt
（0,4,2）
v3
T (v3) [v2,8,4]
第二次迭代
T (v1) [vs ,10,4] P
v1
（0,10,4）
（5,5,1）
T (vt ) [v3,3,6] P
（5,5,2）
（0,6,2）
vs（ 5,8,1）
P(vs ) [0,,0]
（0,10,3）
v2
T (v2 ) [vs ,3,1] P
fsj
f js v( f )
( s, j )A
( j ,s)A
ftj
f jt v( f )
(t , j )A
( j ,t )A
fij
f ji 0, i s, t
(i, j )A
( j ,i )A
0 fij Cij
二、求解最小费用流的赋权图法
基本思想：
从零流量开始，在始点到终点的所有可能增加流 量的增广链中寻求总费用最小的链，并首先在这 条链上增加流量，得到流量为 f (1) 的最小费用流。
运输问题和指派问题可以用最小费用流 问题建模，请将它们化为最小费用流问 题。
v1
4
D=4
1
vs
2
6
vt

(
vs
(
5,2)
(
(
2,6)
8,1)
V2 10,3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV3
4,2)
第一轮：f 0为初始可行流，作相应的费用有向图网络L(f 0)，如 图（a）。 在L(f 0)上用DijksTra标号法求出由vs到vt的最短路（最小费用链） 0 m i n 8，5， 5 7 μ0=(vs,v2,v1, （ vt)v ，并对 μ 按 进行流量的调整， 0 ， v ） ，（ v ， v ） ，（ v ， v ） s 2 0 2 1 0 1 t 0 由于， (1) (1) 所以有 fs2 f12 f1t(1) 5，其余不变，得新的可行流f1的流量 有向图（b）。
vs
vt
2.下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价 表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网 络图并求数值解。 2 3 产量 1 产地 销地
A B 销量 20 30 4 24 22 5 5 20 6 8 7
最小总费用为240
(20,8) A (0,8) s (30,7) (0,7) (5,8) (24,8)
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs

vt
） 2 , 4 , 3 （
（3,10,3）
v2
v3
第三次剩s
-1
-2
vt
2
6
3
v2
-3
v3
第三次调整网络流
v1
1 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 8,8 ,1）
（4,5,2）
vt
） 2 , ,4 4 （
（4,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
v1
三、求解最小费用流的复合标号法
修正如下： 标号过程中，永久标号和临时标号一样 是可以改变的。对任一顶点而言，它有 可能反复变成T标号和P标号，顶点每次 变成P标号，标号过程都要从该顶点重新 开始。 所有顶点变为P标号，算法停止。
三、求解最小费用流的复合标号法
P(vs ) [0, ,0]
正向弧是非饱和弧： 反向弧是非零流弧：
（0 ，5 ， 1）
( f ij ,cij ,bij )
（0，5，2）
1
0，
4）
（
vs （
（
6） 2， 0，
0， 8，
vt
） 2 ， 4 ， 0 （
1）
（0，10，3）
v2
v3
第一次剩余网络最短路
v1
1
D=4
4
vs
1
2
vt
2
6
3
v2
v3
第一次调整网络流
v1
（5,5,2）
0, （ , 0 1 4）
P(vs ) [0, ,0]
0, 8, 1）
vt
（ 0 ） 2 , ,4
T (v2 ) [vs ,8,1] P

6
最大流=f1+f2+f3=4+2+2=8
最小费用=48+26+30=104
算法设计：贪心策略
设p是图的一条增广路径，定义路径p的长度为：

w[i, j ]

w[i, j ]
i , j P
i ,。
如果p是一条最短（单位费用最小）的可增广路径， 称p是一条最小费用可增广路。
(4,6)
实例：
（容量，单位费用）
(2,5)
2
(5,7)
3
(4,3)
1
(6,2)
6 5
(8,5)
4
(7,6)
①、最小费用可增广路（最短路径） 1436 长度（单位流量总费用） =2+7+3=12 f 1=4 cost1=4*12=48
(4,6) (2,5)
2
4
(5,7) 4
3
4
(4,3)
1
(6,2)
6 5
(8,5)
4
(7,6)
(4,6)
(2,5)
2
4 (5,7) 4
3
4
(4,3)
1
②、最小费用可增广路 1456 长度（单位流量总费用） =2+6+5=13 f2 =2 cost2=2*13=26
6 5
(8,5)
(6,2)
4
(7,6)
(4,6)
(2,5)
2
(5,7) 2 4 2 (7,6)
// short[i]:i到源点1的最短距离(最小费用);
b:array[1..maxn] of integer; // b[i]:最小费用可增广路 径上结点i的前驱

, ,
若(vi 若(vi
, ,
v v
j j
) )
,
fij ,若(vi , v j ) .
去掉全部旳标号,对新旳可行流 f ' { fij '}, 重新进入标号过程.
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算 例 用标号法求右下图所示网络旳最大流.弧旁旳数是 (cij , fij ).
解:(一)标号过程
b(
f
*)
min f
bij
(vi ,v j )A
f ij
怎么求解这个问题?
1、定义 增广链 旳费用为 bij bij
结论:若 f 是流量为v( f )旳全部可行流中费用最小者,而 是有关 f 旳全部增广链中费用最小旳增广链,则沿 去调 整 f ,得到旳可行流 f ' ,就是流量为 v( f ')旳全部可行流中旳最 小费用流.这么,当 f ' 是最大流时,它即为所求旳最小费用最 大流.
cij ,即正向弧集中每一条弧是非饱和弧; cij ,即反向弧集中每一条弧是非零流弧.
四、截集
1 、设 S,T V , S T , 把始点在 S ,终点在 T 中旳全 部弧构成旳集合,记为 (S,T ).
2 、给定网络 D (V , A,C)若点集 V 被剖分为两个非空集合
__
__
__
v1 (2,2)
v2
(3,3)
(4,3)
vs
(0,)
(1,0) (1,0)
(5,2) v1 (vs ,3) (2,2)
v4
(5,3)
(3,0)
vt
(2,2)
v3
v4 (5,3) vt
(3,0) (2,2)