实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问的题目

求解最大流问题的matlab程序（Matlab program for solvingmaximum flow problems）Maximum flow algorithmAlgorithm idea: the maximum flow problem is actually a feasible flow {fij}, which makes the V (f) reach the maximum. If you give a feasible flow F, as long as there is no judgment in N augmenting path on the F, if there is an augmented path, improved F, a new feasible flow rate increases; if there is no augmenting path, get the maximum flow.1. labeling method for maximum flow (Ford, Fulkerson)Starting with a feasible flow (a general zero flow), the following labeling procedure and the adjustment process are followed until no augmenting path about F can be found.(1) labeling processIn this process, the points in the network are divided into labeled and unlabeled points, and the labeled points are divided into two kinds: checked and unchecked. Each label label information points are expressed in two parts: the first label show that the label from which point to start the traceback path from the VT to find out is augmented; second label is said to have checked whether the vertex.At the start of the label, mark vs (s, 0), when vs is the label, but at the end of the check point, and the rest are unlabeled points, denoted as (0, 0).Take a label without checking the point VI, for all unlabeled points, vj:A. for arc (VI, VJ), if fij<cij, then give the VJ label (VI,0), then the VJ point becomes the label, which is not checked.B. for arc (VI, VJ), if fji>0, then give the VJ label (-vi, 0), then the VJ point becomes the label, which is not checked.Thus, VI becomes a labeled and checked point, and its second label is denoted as 1. Repeat the steps above and, once VT is marked, indicate an extended path from VI to P, and VT into the adjustment process.If all the labels have been checked and the label process fails, the algorithm ends with the feasible flow being the maximum flow.(2) adjustment processFrom the VT point, through the first label of each point, backward tracing, we can find the augmenting path P. For example, if the first label of VT is VK (or -vk), then the arc (VK, VT) (or correspondingly (VT, VK)) is the arc on the P. Next, check the first label of VK, and if it is VI (or -vi), find (VI, VK) (or VI (VK)). Check the first label of VI, and so on, until vs. At this point, the entire augmenting path is found. Calculate the Q at the same time as you look for the augmenting path:Q=min{min (cij-fij), minf*ij}Convective f is subject to the following modifications:F'ij = fij+Q (VI, VJ) set prior to the arc in P'sF'ij = fij-Q (VI, VJ) and P to arc setF'ij = f*ij (VI, VJ) does not belong to the set of PNext, all tags are cleared and the new feasible stream 'f' is re entered into the labeling process.Matlab procedures for solving the maximum flow problem. (2007-05-22 19:41:06) reprint label: maximum flow problem matlabCall way: need to be abstracted into graph matrix, abstract methods: (I, J, C, f) i--- nock, j--- arrow, c---v (I, J) the capacity of f---v (I, J) of the flow.main programFunction R=maxliu (R)While (1)VV=zengguang (R);If VV==inf return; endR (VV (1), 4) =R (VV ((1)) 4) +VV ((2) *min) (VV ((:: 3));EndThe outer function 1, the expansion matrix of the graph RFunction VV=zengguang (R)% for the shortest extension chain, requiring labeling, starting at 1, and ending at the maximumK=size (R, 1);N=max (R ((:: 2));B=R (:: 1:2);For i=1:k;A (I, 1) =R (I, 3) -R (I, 4);If R (I, 1) ~=1&&R (I, 2) ~=n;A (I, 2) =R (I, 4);ElseA (I, 2) =0;EndEndR=1;For i=1:nFor j=1:kIf (A (J, 1) (~=0) and B (J, 1) ==i) V (R::) =[i, B (J, 2)];r = r + 1.endif (i) = 0) & & (b, i, 2) = = 1)v (r) = (1, b), (d) (1);r = r + 1.endendendp = zeros (n, n).for i = 1: size (v, 1)p (v (i, 1), v (i, 2)) = 1.endq = dijkstra (p, 1, n).if q = inf (vv = inf); return; end for i = 1: length (q) (1).pi = (q (1, i), q (1, i + 1)];r1 = find (b (1) = p (1));r2 = find (b (2) = p (1));rr = intersect (r1, r2).d = 1.the isempty() (rr)r1 = find (b (1) = p (1));r2 = find (b (2) = p (1));rr = intersect (r1, r2).d = - 1.end(i) = rr.- (i) = -.endfor i = 1: size (vv. 1)if it (i) = = 1)aa (i, 1) = ((i, 1), (1);endif it (i) = = 1)aa (i, 1) = ((i, 1), (2);endend(:, 2) = tt.vv: (3) = sa;外部函数2, dijkstra方法求最段路. the foot = dijkstra (v, x, y)% 正权数m = size (v, 1).t = zeros (m, 1);% t的初始化 inft = t ^ - 1.dml =;% lmd的初始化 infp = t;% p的初始化 infs = zeros (n, 1);% s的初始化 (进入s集的点为1)s (x) = 1);% 根据本题已知的初始化p (x) = 0 (x) = 0,; french;k = x;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 计算 p"(1)a = find (s = 0).aa = find (s = 1).the size (a, 1) = mbreak;endfor i = 1: size (a, 1)pi = (i, 1).if v (k, l) = 0.if t (pp) (p (k) + v (k, l). (p) = (p (k) + v (k, l).dml (pi) = k;endendendmi = min (t (a));if mi = infbreak;elsed = find (t = e).d = d (1);p (d) = mi.(d) = inf, 为了避免同样的数字出现两次. k = d(d) = 1.endendthe mdl (y) = inffoot = inf.return;endfoot (1).g = 2; m = y;"(1)if h = x x x x x x xbreak;endfrench football (g) = (h).g = g + 1.h = (h); mdlendpace = foot);for i = 1: length (foot)foot (1, i) = (1) / length (foot) + 1 (i). end。

下面的最小费用最大流算法采用的是“基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法”，其基本思路为：把各条弧上单位流量的费用看成某种长度，用Floyd求最短路的方法确定一条自V1至Vn的最短路；再将这条最短路作为可扩充路，用求解最大流问题的方法将其上的流量增至最大可能值；而这条最短路上的流量增加后，其上各条弧的单位流量的费用要重新确定，如此多次迭代，最终得到最小费用最大流。

本源码由GreenSim团队原创，转载请注明function [f,MinCost,MaxFlow]=MinimumCostFlow(a,c,V,s,t)%%MinimumCostFlow.m% 最小费用最大流算法通用Matlab函数%% 基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法% GreenSim团队原创作品，转载请注明%% 输入参数列表% a 单位流量的费用矩阵% c 链路容量矩阵% V 最大流的预设值，可为无穷大% s 源节点% t 目的节点%% 输出参数列表% f 链路流量矩阵% MinCost 最小费用% MaxFlow 最大流量%% 第一步：初始化N=size(a,1);%节点数目f=zeros(N,N);%流量矩阵，初始时为零流MaxFlow=sum(f(s,:));%最大流量，初始时也为零flag=zeros(N,N);%真实的前向边应该被记住for i=1:Nfor j=1:Nif i~=j&&c(i,j)~=0flag(i,j)=1;%前向边标记flag(j,i)=-1;%反向边标记endif a(i,j)==infa(i,j)=BV;w(i,j)=BV;%为提高程序的稳健性，以一个有限大数取代无穷大endendendif L(end)<BVRE=1;%如果路径长度小于大数，说明路径存在elseRE=0;end%% 第二步：迭代过程while RE==1&&MaxFlow<=V%停止条件为达到最大流的预设值或者没有从s到t的最短路%以下为更新网络结构MinCost1=sum(sum(f.*a));MaxFlow1=sum(f(s,:));f1=f;TS=length(R)-1;%路径经过的跳数LY=zeros(1,TS);%流量裕度for i=1:TSLY(i)=c(R(i),R(i+1));endmaxLY=min(LY);%流量裕度的最小值，也即最大能够增加的流量for i=1:TSu=R(i);v=R(i+1);if flag(u,v)==1&&maxLY<c(u,v)%当这条边为前向边且是非饱和边时f(u,v)=f(u,v)+maxLY;%记录流量值w(u,v)=a(u,v);%更新权重值c(v,u)=c(v,u)+maxLY;%反向链路的流量裕度更新elseif flag(u,v)==1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为前向边且是饱和边时 w(u,v)=BV;%更新权重值c(u,v)=c(u,v)-maxLY;%更新流量裕度值w(v,u)=-a(u,v);%反向链路权重更新elseif flag(u,v)==-1&&maxLY<c(u,v)%当这条边为反向边且是非饱和边时 w(v,u)=a(v,u);c(v,u)=c(v,u)+maxLY;w(u,v)=-a(v,u);elseif flag(u,v)==-1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为反向边且是饱和边时 w(v,u)=a(v,u);c(u,v)=c(u,v)-maxLY;w(u,v)=BV;elseendendMaxFlow2=sum(f(s,:));MinCost2=sum(sum(f.*a));if MaxFlow2<=VMaxFlow=MaxFlow2;MinCost=MinCost2;[L,R]=FLOYD(w,s,t);elsef=f1+prop*(f-f1);MaxFlow=V;MinCost=MinCost1+prop*(MinCost2-MinCost1);returnendif L(end)<BVRE=1;%如果路径长度小于大数，说明路径存在elseRE=0;endendfunction [L,R]=FLOYD(w,s,t)n=size(w,1);D=w;path=zeros(n,n);%以下是标准floyd算法for i=1:nfor j=1:nif D(i,j)~=infpath(i,j)=j;endendendfor k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);endendendendL=zeros(0,0);R=s;while 1if s==tL=fliplr(L);L=[0,L];returnendL=[L,D(s,t)];R=[R,path(s,t)];s=path(s,t);end（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的支持）。

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN"><!-- saved from url=(0048)/yunyan8/shu/file/wlzxfy.htm --><HTML><HEAD><TITLE>求网络的最小费用最大流</TITLE><META http-equiv=Content-Type content="text/html; charset=gb2312"><META content="MSHTML 6.00.2800.1106" name=GENERATOR><META content=FrontPage.Editor.Document name=ProgId></HEAD><BODY background=求网络的最小费用最大流.files/bb.jpg><TABLE height=5124 cellSpacing=0 cellPadding=0 width=585 align=centerborder=0><TBODY><TR><TD width=585 height=33><P><A href="/yunyan8/shu/file/SHAI.HTM">首页</A>|<Ahref="/2/default.asp?name=yunyan8">留言</A>|<Ahref="/" target=_blank>论坛</A></P></TD></TR><TR><TD width=585 height=38><P align=center><FONT size=5><B><FONTcolor=#3366ff>求网络的最小费用最大流</FONT></B></FONT></P></TD></TR><TR><TD width=585 height=5053><FONTcolor=#3366ff>求网络的最小费用最大流，弧旁的数字是容量(运费)。

北京联合大学实验报告项目名称: 运筹学专题实验报告学院: 自动化专业：物流工程班级： 1201B 学号：2012100358081 姓名：管水城成绩：2015 年 5 月 6 日实验三:使用matlab求解最小费用最大流算问题一、实验目的：(1）使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，学习Matlab语言进行程序设计求解最大流最小费用问题。

二、实验用仪器设备、器材或软件环境计算机，Matlab R2006a三、算法步骤、计算框图、计算程序等1.最小费用最大流问题的概念。

在网络D(V，A）中，对应每条弧(vi，vj)IA，规定其容量限制为cij(cij\0)，单位流量通过弧(vi，vj）的费用为dij(dij\0)，求从发点到收点的最大流f，使得流量的总费用d（f)为最小,即mind（f）=E（vi，vj）IA2。

求解原理。

若f是流值为W的所有可行流中费用最小者，而P是关于f的所有可扩充链中费用最小的可扩充链,沿P以E调整f得到可行流fc,则fc是流值为（W+E)的可行流中的最小费用流.根据这个结论，如果已知f是流值为W的最小费用流,则关键是要求出关于f 的最小费用的可扩充链。

为此,需要在原网络D的基础上构造一个新的赋权有向图E（f),使其顶点与D的顶点相同,且将D中每条弧(vi，vj)均变成两个方向相反的弧（vi,vj)和(vj，vi)1新图E（f)中各弧的权值与f中弧的权值有密切关系,图E（f)中各弧的权值定义为：新图E(f)中不考虑原网络D中各个弧的容量cij。

为了使E（f）能比较清楚，一般将长度为]的弧从图E(f）中略去.由可扩充链费用的概念及图E(f)中权的定义可知，在网络D中寻求关于可行流f的最小费用可扩充链，等价于在图E（f）中寻求从发点到收点的最短路.因图E(f）中有负权,所以求E(f)中的最短路需用Floyd算法。

1.最小费用流算法的框图描述。

图一2.计算最小费用最大流MATLAB源代码，文件名为mp_mc.mfunction[Mm，mc，Mmr]=mp_mc（a，c）A=a; %各路径最大承载流量矩阵C=c; %各路径花费矩阵Mm=0; ％初始可行流设为零mc=0； %最小花费变量mcr=0;mrd=0；n=0;while mrd~=inf %一直叠代到以花费为权值找不到最短路径for i=1:（size(mcr’，1)—1)if a(mcr（i）,mcr(i+1）)==infta=A(mcr（i+1)，mcr（i）)—a(mcr(i+1）,mcr（i））； elseta=a（mcr(i）,mcr（i+1));endn=min（ta,n）；％将最短路径上的最小允许流量提取出来endfor i=1：(size（mcr’，1）-1）if a(mcr(i),mcr(i+1））==infa(mcr（i+1),mcr(i））=a（mcr（i+1）,mcr（i))+n；elsea(mcr（i），mcr(i+1）)=a(mcr(i），mcr(i+1)）—n；endendMm=Mm+n；％将每次叠代后增加的流量累加，叠代完成时就得到最大流量 for i=1：size（a，1）for j=1：size（a’，1）if i～=j&a（i，j）～=infif a(i，j)==A(i,j） %零流弧c（j，i）=inf;c(i,j）=C（i，j)；elseif a（i,j)==0 %饱合弧c（i,j）=inf;c(j，i）=C(j，i)；elseif a(i，j)~=0 %非饱合弧c（j，i）=C（j，i)；c（i,j）=C(i,j)；endendendend［mcr,mrd]=floyd_mr（c) %进行叠代，得到以花费为权值的最短路径矩阵(mcr）和数值（mrd）n=inf;end％下面是计算最小花费的数值for i=1:size(A,1)for j=1：siz e(A’，1)if A(i,j）==infA（i，j）=0;endif a（i，j）==infa(i,j)=0；endendendMmr=A—a； %将剩余空闲的流量减掉就得到了路径上的实际流量，行列交点处的非零数值就是两点间路径的实际流量for i=1：size(Mmr，1）for j=1:size(Mmr’，1)if Mmr(i，j）~=0mc=mc+Mmr(i，j）*C(i,j)；％最小花费为累加各条路径实际流量与其单位流量花费的乘积endendend利用福得算法计算最短路径MATLAB源代码,文件名为floyd_mr。

求最小费用最大流算法的MATLAB 程序代码如下（算例）：n=5;C=[0 15 16 0 00 0 0 13 140 11 0 17 00 0 0 0 80 0 0 0 0]; %弧容量b=[0 4 1 0 00 0 0 6 10 2 0 3 00 0 0 0 20 0 0 0 0]; %弧上单位流量的费用wf=0;wf0=Inf; %wf 表示最大流量, wf0 表示预定的流量值for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end %取初始可行流f 为零流while(1)for(i=1:n)for(j=1:n)if(j~=i)a(i,j)=Inf;end;end;end%构造有向赋权图for(i=1:n)for(j=1:n)if(C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j);elseif(C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)=-b(i,j);elseif(C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j);end;end;endfor(i=2:n)p(i)=Inf;s(i)=i;end %用Ford 算法求最短路, 赋初值for(k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs 到vt 的最短路for(i=2:n)for(j=1:n)if(p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)=j;pd=0;end;end;endif(pd)break;end;end %求最短路的Ford 算法结束if(p(n)==Inf)break;end %不存在vs 到vt 的最短路, 算法终止. 注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含负权回路, 所以不会出现k=ndvt=Inf;t=n; %进入调整过程, dvt 表示调整量while(1) %计算调整量if(a(s(t),t)>0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); %前向弧调整量elseif(a(s(t),t)<0)dvtt=f(t,s(t));end %后向弧调整量if(dvt>dvtt)dvt=dvtt;endif(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止计算调整量t=s(t);end %继续调整前一段弧上的流fpd=0;if(wf+dvt>=wf0)dvt=wf0-wf;pd=1;end%如果最大流量大于或等于预定的流量值t=n;while(1) %调整过程if(a(s(t),t)>0)f(s(t),t)=f(s(t),t)+dvt; %前向弧调整elseif(a(s(t),t)<0)f(t,s(t))=f(t,s(t))-dvt;end %后向弧调整if(s(t)==1)break;end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程t=s(t);endif(pd)break;end %如果最大流量达到预定的流量值wf=0; for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end;end %计算最大流量zwf=0;for(i=1:n)for(j=1:n)zwf=zwf+b(i,j)*f(i,j);end;end %计算最小费用f %显示最小费用最大流wf %显示最小费用最大流量zwf %显示最小费用, 程序结束。

最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow Problem）是一种在特定的多媒体网络中传送给定体积的流量，使总花费最小化的一种算法。

它能满足一些实际生活中的求解，比如电力系统的供求、工厂的物料的分配和两地之间的物品的运输问题，以及更加复杂的产品开发和行业分工中的分布问题等等。

最小费用最大流问题的目标是在满足给定的最大流量要求的前提下，找出具有最小成本的流量方案。

这种问题的解决步骤如下：
1. 在图形中定义网络：用图形表示整个网络，每条边的容量是边上的流量上限。

2. 尝试找出最大流量：在不超过容量限制的前提下，找出输出流量最大的允许方案，也就是最小费用最大流量。

3. 计算最小成本：对所有边的成本进行总结，计算出最小成本。

下面以一个最小费用最大流问题的例题来说明：
假设有一个三角形的网络，它由一个源点S、一个汇点T、一个中间点O以及三条边组成，边的名字分别是SO、OT、OS，它们的容量分别是10、15和5，费用分别是5、3和2。

要求我们在此条件下求解最小费用最大流问题。

解：首先，我们可以求出最大流量：在边SO的容量为10时，我们可以将费用最小的边OT累加，得到最大流量值为10+3=13。

接下来，计算最小费用：根据上述算法，所有边的费用应该都大于等于0，才能累加而得到最大流量。

也就是说，最小费用为
5+3+2=10。

最后，最小费用最大流问题的解为：最大流量13，最小成本10。

matlab最大流算法摘要：一、最大流算法简介1.最大流问题的定义2.最大流算法的基本原理二、MATLAB 中的最大流算法1.MATLAB 中最大流算法的实现a.网络数据的表示b.最大流算法的实现c.结果的输出与分析三、最大流算法在MATLAB 中的实际应用1.应用背景与需求2.最大流算法的具体应用a.网络流量优化b.网络资源分配c.其他应用场景四、MATLAB 中最大流算法的优缺点分析1.优点a.高效的计算能力b.灵活的图形界面c.丰富的函数库2.缺点a.参数设置不够灵活b.算法实现不够通用c.需要较高的编程能力正文：一、最大流算法简介在网络分析中，最大流问题是一个经典的问题。

给定一个有向图G=(V,E)，其中每条边(u, v) 都具有非负容量c(u, v)。

我们需要找到从源节点s 到汇节点t 的一条路径，使得该路径上的流量最大。

这就是最大流问题。

最大流算法是解决这个问题的有效方法。

最大流算法的基本原理是沿边进行松弛操作，并更新边上的流量。

当所有边的流量都达到最大值时，算法结束。

在实际应用中，最大流算法可以用于网络流量优化、网络资源分配等问题。

二、MATLAB 中的最大流算法MATLAB 提供了丰富的函数库，可以方便地实现最大流算法。

首先，我们需要用MATLAB 表示网络数据。

网络数据包括节点、边和容量信息。

我们可以用邻接矩阵或弧表来表示网络数据。

接下来，我们可以使用MATLAB 中的最大流算法求解最大流问题。

MATLAB 提供了`fmincon`函数，可以用于求解线性规划问题。

我们可以将最大流问题转化为线性规划问题，并使用`fmincon`函数求解。

最后，我们可以使用MATLAB 的图形界面功能，绘制网络图和最大流路径。

这样可以直观地展示最大流问题的解。

三、最大流算法在MATLAB 中的实际应用MATLAB 中的最大流算法可以应用于各种实际问题。

例如，在网络流量优化中，我们可以根据网络结构和流量需求，求解最大流问题，以实现流量的合理分配。

matlab floyd最短路算法例题【原创版】目录一、引言二、Floyd 算法的原理与实现1.Floyd 算法的基本思想2.Floyd 算法的实现过程三、MATLAB 中 Floyd 算法的实现1.构建邻接矩阵2.实现 Floyd 算法3.显示最短路径四、Floyd 算法的应用案例1.案例描述2.案例分析五、总结正文一、引言在最短路径问题中，Floyd 算法是一种经典的动态规划算法。

它可以用于求解加权连通图（有向图、无向图）中所有顶点之间的最短路径长度。

本文将介绍 Floyd 算法的原理与实现，并在 MATLAB 中进行演示，最后通过一个实际案例来说明 Floyd 算法的应用。

二、Floyd 算法的原理与实现1.Floyd 算法的基本思想Floyd 算法的基本思想是：对于任意两个顶点 i 和 j，如果从顶点i 到顶点 j 的路径中有一个顶点 k，使得从顶点 i 到顶点 k 的路径长度加上从顶点 k 到顶点 j 的路径长度小于从顶点 i 直接到顶点 j 的路径长度，那么就将当前路径的长度更新为从顶点 i 到顶点 k 的路径长度加上从顶点 k 到顶点 j 的路径长度。

不断更新所有顶点之间的路径长度，直到所有顶点之间的路径长度都达到最短。

2.Floyd 算法的实现过程Floyd 算法的实现过程分为三个步骤：（1）构建邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中邻接矩阵的元素 a(i, j) 表示顶点 i 到顶点 j 的权值。

如果顶点 i 到顶点 j 之间没有边相连，则 a(i, j) 为无穷大（如 float("inf")）。

（2）初始化距离：将邻接矩阵中所有元素设置为无穷大，然后将主对角线上的元素设置为 0（表示从顶点 i 到顶点 i 的距离为 0）。

（3）迭代更新距离：遍历所有顶点 k，对于每个顶点 i 和 j，如果从顶点 i 到顶点 k 的距离加上从顶点 k 到顶点 j 的距离小于从顶点i 到顶点 j 的距离，那么就将当前距离更新为从顶点 i 到顶点 k 的距离加上从顶点 k 到顶点 j 的距离。

MATLAB中的网络流与最大流最小割问题求解方法随着社会信息化的不断发展，网络已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分。

而网络的流量管理对于网络的高效运行至关重要。

在网络流领域中，最大流最小割问题是一种经典且重要的问题，它在图论和算法设计领域都具有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍MATLAB中的网络流与最大流最小割问题求解方法。

一、网络流与最大流最小割问题简介网络流问题是指在网络中有一定容量限制的边上，如何使得网络中的流量达到最大的问题。

最大流最小割问题则是网络流问题的一个特殊情况，其中要求找到一个最小割，使得割后网络中的流量达到最大。

通常情况下，网络流问题常常以有向图的形式表示，每条边上都被赋予了一个容量，并存在一个源点和一个汇点。

二、MATLAB中的网络流包在MATLAB中，有许多优秀的网络流包可以用来求解网络流与最大流最小割问题。

其中，最为常用的是Network Flow Toolbox和Combinatorial Optimization Toolbox。

这两个包提供了一系列的函数和算法，可以帮助我们解决各种类型的网络流问题。

三、网络流与最大流最小割问题的建模与求解在使用MATLAB解决网络流与最大流最小割问题之前，首先我们需要进行问题的建模。

通常情况下，我们需要确定图的结构、边的容量和源点与汇点的位置。

在建模完成后，我们可以使用MATLAB中的网络流包提供的函数进行求解。

1. 使用Network Flow Toolbox求解网络流问题Network Flow Toolbox是MATLAB中一个常用的网络流包，它提供了一系列函数用于求解网络流与最大流最小割问题。

其中最常用的函数是maxflow函数，它可以用来计算网络中的最大流。

首先，我们需要使用网络流对象来表示图结构。

在建立网络流对象后，我们可以使用addnode函数向图中添加节点，使用addedge函数向图中添加边。

同时，我们可以使用setcaps函数来指定边的容量。