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运筹学最小费用最大流流问题

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实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题

实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题

北京联合大学实验报告项目名称: 运筹学专题实验报告学院: 自动化专业：物流工程班级： 1201B 学号：2012100358081 姓名：管水城成绩：2015 年 5 月 6 日实验三:使用matlab求解最小费用最大流算问题一、实验目的：(1）使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，学习Matlab语言进行程序设计求解最大流最小费用问题。

二、实验用仪器设备、器材或软件环境计算机，Matlab R2006a三、算法步骤、计算框图、计算程序等1.最小费用最大流问题的概念。

在网络D(V，A）中，对应每条弧(vi，vj)IA，规定其容量限制为cij(cij\0)，单位流量通过弧(vi，vj）的费用为dij(dij\0)，求从发点到收点的最大流f，使得流量的总费用d（f)为最小,即mind（f）=E（vi，vj）IA2。

求解原理。

若f是流值为W的所有可行流中费用最小者，而P是关于f的所有可扩充链中费用最小的可扩充链,沿P以E调整f得到可行流fc,则fc是流值为（W+E)的可行流中的最小费用流.根据这个结论，如果已知f是流值为W的最小费用流,则关键是要求出关于f 的最小费用的可扩充链。

为此,需要在原网络D的基础上构造一个新的赋权有向图E（f),使其顶点与D的顶点相同,且将D中每条弧(vi，vj)均变成两个方向相反的弧（vi,vj)和(vj，vi)1新图E（f)中各弧的权值与f中弧的权值有密切关系,图E（f)中各弧的权值定义为：新图E(f)中不考虑原网络D中各个弧的容量cij。

为了使E（f）能比较清楚，一般将长度为]的弧从图E(f）中略去.由可扩充链费用的概念及图E(f)中权的定义可知，在网络D中寻求关于可行流f的最小费用可扩充链，等价于在图E（f）中寻求从发点到收点的最短路.因图E(f）中有负权,所以求E(f)中的最短路需用Floyd算法。

1.最小费用流算法的框图描述。

图一2.计算最小费用最大流MATLAB源代码，文件名为mp_mc.mfunction[Mm，mc，Mmr]=mp_mc（a，c）A=a; %各路径最大承载流量矩阵C=c; %各路径花费矩阵Mm=0; ％初始可行流设为零mc=0； %最小花费变量mcr=0;mrd=0；n=0;while mrd~=inf %一直叠代到以花费为权值找不到最短路径for i=1:（size(mcr’，1)—1)if a(mcr（i）,mcr(i+1）)==infta=A(mcr（i+1)，mcr（i）)—a(mcr(i+1）,mcr（i））； elseta=a（mcr(i）,mcr（i+1));endn=min（ta,n）；％将最短路径上的最小允许流量提取出来endfor i=1：(size（mcr’，1）-1）if a(mcr(i),mcr(i+1））==infa(mcr（i+1),mcr(i））=a（mcr（i+1）,mcr（i))+n；elsea(mcr（i），mcr(i+1）)=a(mcr(i），mcr(i+1)）—n；endendMm=Mm+n；％将每次叠代后增加的流量累加，叠代完成时就得到最大流量 for i=1：size（a，1）for j=1：size（a’，1）if i～=j&a（i，j）～=infif a(i，j)==A(i,j） %零流弧c（j，i）=inf;c(i,j）=C（i，j)；elseif a（i,j)==0 %饱合弧c（i,j）=inf;c(j，i）=C(j，i)；elseif a(i，j)~=0 %非饱合弧c（j，i）=C（j，i)；c（i,j）=C(i,j)；endendendend［mcr,mrd]=floyd_mr（c) %进行叠代，得到以花费为权值的最短路径矩阵(mcr）和数值（mrd）n=inf;end％下面是计算最小花费的数值for i=1:size(A,1)for j=1：siz e(A’，1)if A(i,j）==infA（i，j）=0;endif a（i，j）==infa(i,j)=0；endendendMmr=A—a； %将剩余空闲的流量减掉就得到了路径上的实际流量，行列交点处的非零数值就是两点间路径的实际流量for i=1：size(Mmr，1）for j=1:size(Mmr’，1)if Mmr(i，j）~=0mc=mc+Mmr(i，j）*C(i,j)；％最小花费为累加各条路径实际流量与其单位流量花费的乘积endendend利用福得算法计算最短路径MATLAB源代码,文件名为floyd_mr。

最小费用最大流问题的算法_运筹学_[共7页]

最小费用最大流问题的算法_运筹学_[共7页]

∑ ∑ cij − cij 。称 Δ（c μ）是沿增广链 μ 当可行流增加单位流值时费用的增量。简称为增广链 μ
u+
u−
的单位费用增量。
可以证明，若 X 是流量为 （f X）的所有可行流中费用最小者，而 μ 是关于 X 的所有增广
链中费用最小的增广链，则沿 μ 去调整 X ，得到的可行流 X ′ 就是流量为 （f X ′）的所有可行流
中的最小费用流。这样，当 X ′ 是最大流时，它也是我们所要寻找的最小费用最大流了。
注意到 cij ≥ 0 ，故 X = 0 必是流量为 0 的最小费用流。这样，总可以从 X = 0 开始。一般 地，若已知 X 是流量 （f X）的最小费用流，为了寻求关于 X 的最小费用增广链，我们构造一
个赋权有向图 D（X），它的顶点是原网络 D 的顶点，而把 D 中的每一条弧（vi，v j）变成两个相
反方向的弧（vi，v j）和（vj，vi），定义 D（X）中弧的权 wij′ ：
wij′
=
w（′ vi
,v j）=
⎧⎪⎨⎪⎩c+i∞j ,若,若xijxi<j =wwij ij
，
w
′
ji
=
w（′ v
j，vi）=
⎨⎪⎩⎧⎪+−∞cij，，若若xxijij
> 0
0
在 D（X）中长度为 +∞ 的弧可以略去。
故在网络 D 中寻找关于 X 的最小费用增广链就等价于在赋权有向图 D（X）中，寻找从 v1 到 vn 的最短路。这样，我们有如下算法。
第 6章 图 与 网 络 分 析
181
运
筹
Step1 确定初始可行流 X (0) = 0 ，令 k := 0 ；

运筹学最大流问题例题

运筹学最大流问题例题

运筹学最大流问题例题摘要：1.运筹学最大流问题简介2.最大流问题的基本概念和方法3.最大流问题的求解步骤4.最大流问题在实际应用中的案例分享5.总结与展望正文：【提纲1：运筹学最大流问题简介】运筹学最大流问题是一种求解网络中最大流量的问题。

在有向图中，有一个发点（源）和一个收点（汇），其他点称为中间点。

给定每条边的容量，我们需要找到一条从发点到收点的路径，使得这条路径上的流量最大。

最大流问题在物流、交通、通信等领域具有广泛的应用。

【提纲2：最大流问题的基本概念和方法】在最大流问题中，我们需要了解以下几个基本概念：1.流量：表示在一条边上流动的单位数量。

2.容量：表示一条边能承受的最大流量。

3.增广链：从发点到收点的路径，路径上的每条边都有剩余容量。

求解最大流问题的基本方法是：1.初始化：将所有边的流量设为0。

2.寻找增广链：在图中寻找一条从发点到收点的路径，使得路径上的每条边都有剩余容量。

3.更新流量：将找到的增广链上的流量增加，同时更新路径上其他边的剩余容量。

4.重复步骤2和3，直到无法再找到增广链。

【提纲3：最大流问题的求解步骤】以下是求解最大流问题的具体步骤：1.构建网络图：根据题目给出的条件，构建有向图。

2.初始化：将所有边的流量设为0，记录发点和收点。

3.寻找增广链：使用深度优先搜索或广度优先搜索等算法，在图中寻找一条从发点到收点的路径。

4.更新流量：找到增广链后，将路径上的流量增加，同时更新路径上其他边的剩余容量。

5.重复步骤3和4，直到无法再找到增广链。

6.输出结果：最大流即为所有增广链上的流量之和。

【提纲4：最大流问题在实际应用中的案例分享】最大流问题在实际应用中具有广泛的价值，例如：1.物流配送：通过最大流问题优化配送路线，降低物流成本。

2.交通规划：通过最大流问题优化交通网络，提高出行效率。

3.通信网络：通过最大流问题优化网络资源分配，提高通信质量。

【提纲5：总结与展望】运筹学最大流问题是一种重要的优化问题，其在实际应用中具有广泛的价值。

最小费用最大流问题

最小费用最大流问题

近似算法和启发式算法
要点一
近似算法
近似算法是一种用于求解NP-hard问题的有效方法，它可 以在多项式时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流 问题的近似算法包括Ford-Fulkerson算法、EdmondsKarp算法等。
要点二
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的算法，它可以在合理 的时间内找到一个近似最优解。最小费用最大流问题的启 发式算法包括基于增广路径的算法、基于贪婪的算法等。
研究如何将最小费用最大流问题 应用于计算机科学领域，例如计 算机网络、云计算等。
物理学
研究如何借鉴物理学中的理论和 思想，解决最小费用最大流问题， 例如利用流体动力学中的思想来 研究网络中的流。
谢谢观看
Hale Waihona Puke 06未来研究方向和展望算法优化和改进
动态规划算法
研究如何优化动态规划算法，减少时间复杂度 和空间复杂度，提高求解效率。
近似算法
研究近似算法，在保证求解质量的前提下，提 高求解速度。
并行计算和分布式计算
研究如何利用并行计算和分布式计算技术，加速最小费用最大流问题的求解。
新的问题定义和模型
考虑更复杂的情况
和技术。
有界容量和无界容量
总结词
有界容量和无界容量是指在网络中节点之间 的容量是否有限制。
详细描述
在最小费用最大流问题中，如果节点之间的 容量有限制，即为有界容量问题；如果节点 之间的容量没有限制，即为无界容量问题。 有界容量问题可以通过增广路径算法、预流 推进算法等求解，而无界容量问题则需要采
用其他算法和技术进行求解。
算法概述
最小费用最大流问题是一种网络流问 题，旨在在给定有向图中寻找一条路 径，使得从源节点到汇点之间的总流 量最大，同时满足每个节点的流入量 等于流出量，以及每条边的容量限制。

运筹学课后习题答案 熊伟(第二版)

运筹学课后习题答案 熊伟(第二版)
v4
v5
v6
v1
0
8.8
8.6
5.6
8
6
v2
0
8
5
13
4
v3
0
3
4.8
12
v4
0
7.8
9
v5
0
9
v6
0
v1、v2、…、v6到各点的最优路线图分别为：
6.9设图6－43是某汽车公司的6个零配件加工厂，边上的数字为两点间的距离(km)。现要在6个工厂中选一个建装配车间。
（1）应选那个工厂使零配件的运输最方便。
距离表C
1
2
3
4
5
6
1
∞
8.8
9
5.6
8
6
2
8.8
∞
10
5
∞
4
3
9
10
∞
3
4.8
14
4
5.6
5
3
∞
12
∞
5
8
∞
4.8
12
∞
9
6
6
4
14
∞
9
∞
在C中行列分别减除对应行列中的最小数，得到距离表C1。
距离表C1
1
2
3
4
5
6
1
∞
3.2
3.4
0
0.6
0.4
2
2.8
∞
6
1
∞
0
3
4
7
∞
0
0
11
4
0.6
2
0
∞
7.2
A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22；A到I的最短路PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。

运筹学课后习题及答案

运筹学课后习题及答案

运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。

在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。

下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。

以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。

2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。

以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。

3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。

以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。

边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。

在该例中，最小费用为5，最大流量为3。

运筹学课件最小费用流问题概要


vt
） 2 , 4 , 3 （
（3,10,3）
v2
v3
第三次剩s
-1
-2
vt
2
6
3
v2
-3
v3
第三次调整网络流
v1
1 （ ） 4 , ,10
（5 ,5 ,1 ）
vs
（ 8,8 ,1）
（4,5,2）
vt
） 2 , ,4 4 （
（4,10,3）
（ ,6） 0,2
v2
v3
v1
三、求解最小费用流的复合标号法
修正如下： 标号过程中，永久标号和临时标号一样 是可以改变的。对任一顶点而言，它有 可能反复变成T标号和P标号，顶点每次 变成P标号，标号过程都要从该顶点重新 开始。 所有顶点变为P标号，算法停止。
三、求解最小费用流的复合标号法
P(vs ) [0, ,0]
正向弧是非饱和弧： 反向弧是非零流弧：
（0 ，5 ， 1）
( f ij ,cij ,bij )
（0，5，2）
1
0，
4）
（
vs （
（
6） 2， 0，
0， 8，
vt
） 2 ， 4 ， 0 （
1）
（0，10，3）
v2
v3
第一次剩余网络最短路
v1
1
D=4
4
vs
1
2
vt
2
6
3
v2
v3
第一次调整网络流
v1
（5,5,2）
0, （ , 0 1 4）
P(vs ) [0, ,0]
0, 8, 1）
vt
（ 0 ） 2 , ,4
T (v2 ) [vs ,8,1] P

运筹学实验总结

运筹学实验总结引言：运筹学是一门综合了数学、经济学和工程学等多学科知识的学科，它通过建立数学模型和运用各种优化方法，帮助我们在现实问题中寻找最优解决方案。

在这学期的运筹学课程中，我们进行了一系列实验。

这些实验不仅加深了对运筹学理论的理解，还提供了一种应用运筹学方法解决问题的实践平台。

在本文中，我将总结我参与的运筹学实验，并分享我的体会和收获。

实验一：线性规划问题求解在这个实验中，我们学习了线性规划的基本概念和求解方法。

我选择了一个典型的生产调度问题作为实验题目。

通过建立数学模型，并运用线性规划软件，我成功地解决了这个问题。

通过这个实验，我深刻理解了线性规划问题的本质，以及如何利用线性规划方法找到最优解。

实验二：整数规划问题求解整数规划是线性规划的扩展，它在决策问题中更加实用。

在这个实验中，我选择了货物配送路线问题作为研究对象。

通过构建整数规划模型，并运用求解软件，我得到了最佳的货物配送方案。

这个实验不仅对我的数学建模能力提出了要求，还培养了我的实际问题解决能力。

实验三：动态规划动态规划是一种重要的优化方法，它广泛应用于最优化问题的求解。

在这个实验中，我们学习了动态规划的基本原理和设计思想。

我选择了旅行商问题作为研究对象，通过建立递推关系和寻找最优子结构，我成功地解决了该问题。

这个实验让我意识到了动态规划方法的强大威力，同时也对我的算法设计能力提出了更高的要求。

实验四：模拟退火算法模拟退火算法是一种全局搜索优化算法，具有很强的应用能力。

在这个实验中，我选择了旅行商问题作为研究对象，通过模拟退火算法的迭代和优化，我得到了一个较好的解。

通过这个实验，我掌握了模拟退火算法的基本原理和实现过程，也了解到了算法的优越性。

实验五：遗传算法遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法。

在这个实验中，我选择了装箱问题作为研究对象。

通过运用遗传算法的交叉、变异和适应度选择，我得到了一个较好的装箱方案。

这个实验不仅对我的算法设计能力提出了更高的要求，还让我意识到了遗传算法的创新性和解决复杂问题的能力。

运筹学最大流问题例题

运筹学最大流问题例题摘要：一、运筹学最大流问题的基本概念二、最大流问题的求解方法三、最大流问题例题详解四、总结与展望正文：一、运筹学最大流问题的基本概念运筹学最大流问题是一种在网络中寻找最大流量的问题。

给定一个有向图G（V，E），其中仅有一个点的入次为零，称为发点（源），记为vs；仅有一个点的出次为零，称为收点（汇），记为vt；其余点称为中间点。

对于G 中的每一条边（vi，vj），相应地给一个数cij（cij≥0），称为边（vi，vj）的容量。

最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。

二、最大流问题的求解方法求解最大流问题的方法有很多，其中最著名的方法是Ford-Fulkerson 算法。

该算法的基本思想是寻找增广链，即在网络中找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上的每条边的容量都没有被完全利用。

通过不断地寻找增广链并更新流量，最终可以得到最大流量。

另一种求解最大流问题的方法是最小费用最大流问题。

该方法通过将流量问题转化为费用问题，利用最小费用最大流问题的求解方法求解最大流问题。

在最小费用最大流问题中，每条边的容量被视为费用，目标是找到从源点到汇点的最大流量，同时使总费用最小。

三、最大流问题例题详解假设有如下网络图：```A -- 1 --B -- 2 --C -- 3 --D -- 4 --E -- 5 -- F| | | | | | | | | |4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5```其中，箭头表示流向，数字表示容量。

从A 点到F 点的最大流量是多少？通过Ford-Fulkerson 算法，我们可以得到如下的增广链：A ->B ->C ->D ->E -> F该链的容量为：4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10当前流量为：4 + 3 + 2 + 1 = 10由于该链的容量等于当前流量，所以无法继续寻找增广链。

因此，从A 点到F 点的最大流量为10。

运筹学最大流问题例题

运筹学最大流问题例题一、问题描述在运筹学领域，最大流问题是一种重要的网络流问题，其目标是在给定有向图中，找到从源点到汇点的最大流量。

求解最大流问题可以应用于许多实际场景，比如物流调度、电力网络分配等。

二、问题分析最大流问题可以通过使用流网络模型来求解。

流网络由一组有向边和节点组成，其中每条边都带有一个容量值，代表该边所能通过的最大流量。

流量值表示通过该边的实际流量。

为了求解最大流问题，我们需要使用网络流算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。

这些算法通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法找到增广路径为止。

三、问题实例为了更好地理解最大流问题，以下是一个具体的例子：假设有一个物流网络，由多个节点和边构成。

每条边都带有一个容量值，表示该边所能通过的最大流量。

网络中有一个源点和一个汇点，我们需要找到从源点到汇点的最大流量。

节点和边的关系如下：源点 -> A: 容量为5源点 -> B: 容量为3A -> C: 容量为2A -> D: 容量为4B -> C: 容量为2B -> E: 容量为3C -> 汇点: 容量为4D -> 汇点: 容量为5E -> 汇点: 容量为3根据以上描述，我们可以通过使用Ford-Fulkerson算法来求解最大流问题。

算法的基本步骤如下：1. 初始化流网络，将所有边上的流量设为0。

2. 寻找增广路径：通过深度优先搜索或广度优先搜索，寻找从源点到汇点的一条路径，使得路径上的边上仍有剩余容量。

3. 计算路径上的最小容量值，即可通过的最大流量。

4. 更新路径上的边的流量，即增加最小容量值。

5. 重复步骤2-4，直到无法找到增广路径为止。

6. 最后，计算源点流出的总流量，即为最大流量。

通过以上例子，我们可以清楚地了解最大流问题的基本思想和求解步骤。

在实际应用中，可以根据具体情况使用不同的网络流算法来求解最大流问题。

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第五节 最小费用最大流流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
Db(i5中j,k2s虚t)r线a 求所出示。从(v4s,
d(u) dij dij
(u)
(u)
v1
v2
3
51 4
vs
vt
d(u)=(3+1+4)-(5)=3
实际上在一个网络G中，当沿可行流 f 的一条 增广链μ，以调整量θ=1改进f ，得到的新可行流 f ’ 的流量，有 w(f ’ )=w(f )+1，而此时总费用b(f ’ ) 比b(f)增加了
b(f)b(f) bij(fij fij) bij(fij fij)
条方向相反的边（vi , vj）和(vj , vi)代替，各边的权
Lij为： 1、边（vi , vj） ∈E
li
j
di j
, ,
当fij cij 当fij cij
2、边（ vj , vi ）为原图 G中（vi,vj）的反向边
l ji
di j
, ,
当fi j 当fi j
0 0
并且将权为+∞的边去掉。
这样，在网络G中寻找关于f 的最小费用增广链就等于 价于在长度网络L(f )中寻求从vs 到vt 的最短路。 对偶算法基本步骤：
是指要寻求一个最大流 f ，使流量w(f)=v,且流的总费用
达到最小。 d(f)
dij fij
(vi,vj)E
如果要求f为最大流，问题转化为最小费用最大流。
其算法有：原始算法和对偶算法。
定义24：已知网络G=（V，E，C，d），f是G上的一
个可行流，u为从vs 到vt的可增广链，d(u)为链u的费 用。
并且分别构造相对应的赋权有向图L( f(1 )) ,
L(f (2) ) , L(f(3)),L(f(4))。
由于在L(f(4))中已经不存在从vs到vt的最短路，
因此，可行流f (4)，v(f(1))=11是最小费用最大 流。
v1 (5)
(0)
(0)
vt
vs
(5)
(0)
(5)
s
v2
vt v3
v2 (0)
（1）、取零流f (0) ={0}.
（2）、如果在第K-1步得到最小费用流f (K-1),流量 w(f(k))<v,则构造长度网络L(f (k-1))。
（3）、 在长度网络L(f (k-1))中，寻求从vs到vt的最短路。如 果不存在最短路，则f (k-1)就是最小费用最大流。如果存在 最短路，则在原网络G中得到相对应的增广链μ。
m m i n (ciij nfi(jk 1 )),m (fii(jkn 1 ))
θ=min{8,5,7}=5，得到新可行流f (1)，如图b所示。
f (k) ij
f (k1) ij
f (k1) ij
， 在上 ，在 上
其 它 不 变
按照以上的算法，依次类推，可以得到f (1)， f (2)，f( 3)，f (4)，流量分别为5，7，10，11，
（4）、在G中与这条最短路相应的可增广链μ上，对f (k–1)进行 调整， f(k) = f(k)uθ,取调整量
m m i n (ciij nfi(jk 1 )),m (fii(jkn 1 ))
令：
f (k) ij
f (k1) ij
f (k1) ij
， 在上 ，在 上
其 它 不 变
得到一个新的可行流f(k)，其流量为w(f(k-1))+θ;
如果w(f(k-1))+θ=v，则停止；否则令f(k)代替f(k-1)返回2 。
例 求图所示网络中的流量为10的最小费用流，
弧旁的权是（ cij , dij ）.
v1
(10, 4)
(7, 1)
(2, 6)
(cij, dij) vt
vs
(8, 1)
v2
f(1),w( f (1))=5
图 c d( f (1))=5*1+5*2+5*3
f (1) =5
v1
(1)
(4) ( -1)
(6)
vs
(-1) (-2)
到 2)
vt
的
最
短
路
v1
(1) v2 (10, 3) v3
v1
(4)
vt
(6)
vt
vs
vs
(2)
(2)
(1)
v2 (3)
v3 L(f(0))
v2
v3பைடு நூலகம்
图b
f (0) =0
（2）在原网络G中，与这条最短路相对应的增广链为μ= （vs ,v2 ,v1 ,vt ）。
（3）在μ上对f (0)={0}进行调整，
最小费用流，不断进行到w(f(k))=v为止。
定理12：如果f是流量为w(f)的最小费用流，u是关于f的从 vs到vt的一条最小费用可增广链，则f经过u调整流量θ得
到新可行流f’(f’=fuθ),一定是流量为w(f)+θ可行流中
的最小费用流。
定义25：网络G=（V，E，C，d），f是G上的一个
可行流，保持原网络各点，每一条边 ( vi , vj )用两