初中数学竞赛专题复习第一篇代数第4章方程组试题1新人教版

初中数学代数专题复习(答案)
1. 代数基础知识
- 数的分类：自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数
- 数及运算：加、减、乘、除、乘方、开方、分数、比例、百分数、整式、分式
- 代数式的概念及基本性质：代数式、同类项、合并同类项、系数、常数项、单项式、多项式
2. 一元一次方程式
- 方程式及解的概念：方程式、解、未知量
- 一元一次方程式的解法：加减消元法、倍数消元法、公式法
3. 一元一次不等式
- 不等式及解的概念：不等式、解、解集
- 一元一次不等式的解法：加减法、倍数法、分式法、倒数法
4. 一元二次方程式
- 一元二次方程式的概念及一般式
- 一元二次方程式的解法：配方法、公式法、完全平方公式
5. 一元二次不等式
- 一元二次不等式的概念及解法
6. 笛卡尔坐标系
- 直角坐标系的概念、性质、坐标表示
- 解直线方程：解析法、斜率公式、截距公式
- 解圆方程：标准式、一般式
7. 实数集合及数轴
- 实数的分类及性质
- 数轴的绘制及应用
8. 几何初步
- 等腰三角形、等边三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形的定义及判定
- 余弦定理、正弦定理、勾股定理
9. 附加题及答案
以上是初中数学代数专题的复习材料及答案，希望能帮助大家顺利完成复习，获得优异成绩。

七年级人教版数学第四单元测试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A. x + y = 5 x^2 + y^2 = 13B. x - 2y = 1 xy = 2C. x = 2 x - 3y = 1D. (1)/(x)+(1)/(y)=2 x - y = 1解析：- 二元一次方程组是指方程组中每个方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组。

- 选项A中，x^2 + y^2 = 13中未知数的次数是2，不是二元一次方程组。

- 选项B中，xy = 2中未知数的次数是2，不是二元一次方程组。

- 选项C中，符合二元一次方程组的定义，有两个未知数x和y，且方程中含未知数的项次数都是1。

- 选项D中，(1)/(x)+(1)/(y)=2是分式方程，不是二元一次方程组。

答案：C。

2. 方程2x - 3y = 5，x+(3)/(y)=6，3x - y+2z = 0，x^2 + y = 6中是二元一次方程的有（）个。

A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.解析：- 二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

- 方程2x - 3y = 5是二元一次方程。

- 方程x+(3)/(y)=6是分式方程，不是二元一次方程。

- 方程3x - y+2z = 0有三个未知数x、y、z，不是二元一次方程。

- 方程x^2 + y = 6中x的次数是2，不是二元一次方程。

答案：A。

3. 已知x = 2 y = 1是方程2x+ay = 5的解，则a的值为（）A. 1.B. -1.C. 2.D. -2.解析：- 把x = 2，y = 1代入方程2x+ay = 5得：- 2×2 + a×1=5- 4 + a = 5- a=5 - 4 = 1答案：A。

4. 用代入法解方程组y = 1 - x x - 2y = 4时，代入正确的是（）A. x - 2 - x = 4B. x - 2 - 2x = 4C. x - 2 + 2x = 4D. x - 2+x = 4解析：- 把y = 1 - x代入x - 2y = 4，得：- x-2(1 - x)=4- 展开括号得x - 2 + 2x = 4答案：C。

第一篇代数第1章实数1．1实数的运算 1．1．1★计算：201320142014201420132013⨯-⨯．解析 将20142014及20132013分别分解为两数的积，得 201420142014100002014201410001-⨯+=⨯， 201320132013100002013201310001=⨯+=⨯，所以，原式201320141000120142013100010⨯⨯-⨯⨯==． 评注一般地有101abab ab =⨯；1001abcdc abc =⨯；10001abcdabcd abcd =⨯；…1.1.2★计算：12324671421135261072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯．解析 原式()()12312227771351222777⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯25=． 1.1.3★计算：111122399100+++⨯⨯⨯． 解析原式111111991122399100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 评注 在做分数加减法运算时，根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把()11n n ⨯+拆成111n n -+，即有()11111n n n n =-⨯++． 其他常用的拆项方法如： (1)()11d n n d n n d =-⨯++()1111n n d d n n d ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⨯++⎝⎭⎢⎥⎣⎦或．它经常用于分母各因子成等差数列，且公差为d 的情形． (2)()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥⨯+⨯+⨯++⨯+⎢⎥⎣⎦．1.1.4★计算：11111111111854108180270378504648810990+++++++++． 解析原式111111136699121215151818212124=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111242727303033+++⨯⨯⨯ 111111336369⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111391233033⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11110333399⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯．解析因为()()()()()1111122112k k k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭，所以 原式11111111121223223342989999100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭11149492129910019800⎛⎫=-=⎪⨯⨯⎝⎭． 1.1.6★★计算：111112123123412100+++++++++++++．解析因为()121121211n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，所以 原式2222233445100101=++++⨯⨯⨯⨯119922101101⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.7★★设2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，求与A 最接近的正整数．解析 对于正整数3n ≥，有 211114422n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭， 所以2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭111111481429856102⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭1111251299100101102⎛⎫=-⨯+++ ⎪⎝⎭．因为111141121299100101102992⎛⎫⨯+++<⨯< ⎪⎝⎭，所以，与A 最接近的正整数为25．1.1.8★★2008加上它的12得到一个数，再加上所得的数的13又得到一个数，再加上这次得数的14又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的12008．最后得到数为111342009200820092008111200820170362320082320082⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．1111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯．解析 因为111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯1111112012112232012201320132013⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以120131111201212233420122013=++++⨯⨯⨯⨯． 1.1.10★计算：123420072008S =-+-++-．解析()()()()()()10041234200720081111004S =-+-++-=-+-++-=-共个1.1.11★★计算：1223341920⨯+⨯+⨯++⨯．解析 因为1121233⨯=⨯⨯⨯，()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯， ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯， ……()119201920211819203⨯=⨯⨯-⨯⨯， 所以 1223341920⨯+⨯+⨯++⨯ ()()111123234123192021181920333=⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯ 119202126603=⨯⨯⨯=． 1.1.12★★计算：123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯． 解析 123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ ()()1111234234512342829303127282930444=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 1282930314188790=⨯⨯⨯⨯=． 1.1.13★★计算：21001111222++++．解析设21001111222S =++++，则 21001011111122222S =++++， 所以10111122S S -=-，故100122S =-． 评注一般地，对于求和：21n q q q ++++，我们常常采用如下方法，令21n S q q q =++++， 则21n n qS q q q q +=++++，于是11n S qS q +-=-， ()1111n q S q q+-=≠-．1.1.14★★计算：2101111333++++． 解析设2101111333S =++++，则210111111133333S =++++，所以 1111133S S -=-，1031223S =-⨯． 1.1.15★计算：1111111111112319992199821999231998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解析设111231999a =+++， 111231998b =+++， 则原式()()1111999a b a b a b =+-+=-=．1.1.16★★计算下列繁分数： 111111111131355-----（2008个减号）．解析 先耐心地算几步，从中发现规律．可将355113用字母a 代替（这样可以得到更一般的结论）．自下而上逐步算出111a a a--=， 1111111a a a a a--=-=---， ()111111a a a -=+-=--． 由此可见，每计算3步，a 又重新出现，即3是一个周期．而200836691=⨯+，所以，原式111a a a -=-=．特别地，在355113a =时，得出本题的答案是1132421355355-=．1.1.17★★比较1234248162n n nS =+++++与2的大小． 解析先将n S 中的每一个数拆成两数的差：13222=-，234424=-，345848=-，45616816=-，，112222n n n n n n -++=-． 所以，133445561222244881622n n n n n S -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2222nn +-<， 好2n S <1.1.18★★★已知1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，问：a 的整数部分是多少？解析 我们只要估算出a 在哪两个相邻整数之间即可．1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()()()()()116511266113671146811569110011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭11651112661213671314681415691510011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭1112131415110011651266136714681569++++⎛⎫=+⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭100b =+．这里111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭，下面进一步估计b 介于哪两个相邻整数之间．111213141511121314151001001165126613671468156911651265136514651565b ++++++++⎛⎫⎛⎫=⨯<⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭()1112131415100100211121314156565++++=⨯=<++++⨯，111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭111213141510011691269136914691569++++⎛⎫>⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()1112131415100100111121314156969++++=⨯=>++++⨯． 所以，12b <<，101102a <<．即a 的整数部分是101．1.1.19★★在数210，310，410，510，610，710，810，910的前面分别添加“+”或“-”，使它们的和为1，你能想出多少种方法？解析这8个有理数的分母都是10，只要2，3，4，5，6，7，8，9这8个整数的代数和为10即可，而23944+++=，所以添加“+”或“-”后，正数的和应为()12744102⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．方法很多．如2345678911010101010101010+++++--=， 2345678911010101010101010-+++-++-=， 2345678911010101010101010-+-+++-=， 2345678911010101010101010-++-+-+=， 2345678911010101010101010+-+--++=等． 1.1.20★★计算()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．解析 因为()()()()()244222222226416641681648482424a a a a a a a a a a a a +=++-=+-=++-+⎡⎤⎡⎤=++-+⎣⎦⎣⎦，所以，原式等于()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222222222225494134174214254294334374414145494134174214254294334374+++++⋅++++++++++⋅+++++2241433714+==+． 1.1.21★★★求和：242424241231001111221331100100++++++++++++．解析因为()()()22422221111k k k k k k k k ++=+-=-+++，所以 ()()24111121111kk k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪++-+++⎝⎭， 原原式111111120111211212319910011001011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦115050121010110101⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.22★★已知21122221nn n n na ++=--+，其中n 为正整数，证明： 1220131a a a +++<．解析 注意到()()1121121212121n n n n n na ++==-----， 所以 122013a a a +++22320132014111111212121212121=-+-++-------201411121=-<-．1.1.23★★★求下列分式的值：222222129911005000220050009999005000+++-+-+-+． 解析 由于()()()222210010050001001001005000k k k k k k -+-+---+ ()()()222222210022100100k k k k k k-=+=+--+．由此， 原式2222222222199495150110050009999005000494900500051510050005050005000⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪-+-+-+-+-+⎝⎭⎝⎭99121992-=⋅+=． 评注 对通项的分子分母同乘2，发现可以首尾配对是本题的关键． 1.1.24★★设3333111112399S =++++，求4S 的整数部分． 解析对于2k =，3，，99，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎛⎫<=- ⎪ ⎪-+-⎝⎭， 所以333111112399S <=++++11112299100⎛⎫<+- ⎪⨯⎝⎭54<， 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．1.2实数与数轴 1.2.1★数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．解析 由图可知0a <，0b >，而且由于a 点离原点的距离比b 点离原点的距离大，因此0a b +<．我们有a b b a b a a ++-+-- ()()()a b b a b a a =-++-+---()2a b b a b a --+-+--b =．评注本题由图，即数轴上a 、b 两点的位置，“读”得0a <，0b >，0a b +<等条件，从而去掉绝对值符号，解决问题．1.2.2★已知3x <-，化简：321x +-+． 解析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．原式()321x =+++（因为10x +<） ()3333x x =++=-+（因为30x +<）x x =-=-．1.2.3★若0x <，化简23x x x x---．解析因为0x <，所以30x -<，从而 x x =-，()333x x x -=--=-， ()333x x x x --=---=， 2233x x x x x x -=--=-=-．因此，原式33xx -==-． 评注根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对值符号．若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号（如本题中的分子2x x -），通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号．1.2.4★化简：3121x x ++-． 解析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分13x -≥是一个分界点．类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即13x <-，1132x -<≤，12x ≥．32这样我们就可以分类讨论化简了．（1）当13x <-时，原式()()31215x x x =-+--=-；（2）当1132x -<≤时，原式()()31212x x x =+--=+；（3）当12x ≥时，原式()()31215x x x =++-=． 即15,31131212,3215,2x x x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪++-=+<⎨⎪⎪⎪⎩-当时;当-≤时当≥时评注 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．1.2.5★设0a <，且ax a≤，试化简 12x x +--．解析 因为0a <，a a =-，所以1a a a a ==--．a x a≤，即1x -≤，所以 10x +≤，20x -<，因此()()1212x x x x +--=-+---⎡⎤⎣⎦123x x =--+-=-．1.2.6★★化简121x x --++． 解析先找零点．由10x -=得1x =．由120x --=即12x -=，得12x -=±， 从而1x =-或3x =．由10x +=得1x =-．所以零点共有1-，1，3三个．因此，我们应将数轴分成4个部分，即 1x <-，11x -<≤，13x <≤，3x ≥． 当1x <-时，原式()()121x x =---+-+⎡⎤⎣⎦ 11x x =----1122x x x =----=--． 当11x -<≤时，原式()12111x x x x =---++=--++1122x x x =+++=+． 当13x <≤，原式121x x =--++ 31x x =-++314x x =-++=． 当3x ≥时，原式121x x =--++ 313122x x x x x =-++=-++=-．即原式22,1,22,114,1322,3x x x x x x x --<-⎧⎪+-<⎪=⎨<⎪⎪-⎩≤≤≥评注 由于本例中含又重绝对值，采用零点分段法时，不要忘了考虑12x --的零点．1.2.7★★若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值． 解析要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零，故本题只有2530x x x -+=一种情况．因此必须有4545x x -=-且1331x x -=-．故x 应满足的条件是450,310x x -⎧⎨-⎩≥≥ 解得1435x ≤≤．此时，原式()()2451347x x x =+---+=．1.2.8★★如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大和最小值． 解析（1）当10x -<≤时，有122y x x x =+-+-()12223x x x x =++--=+，所以13y <≤． （2）当02x ≤≤时，有 ()12212232y x x x x x x x=+-+-=+---=-，所以13y -≤≤．综上所述，y 的最值是3，最小值是1-．1.2.9★★求代数式111213x x x ++-++的最小值．-11-13解析设111213y x x x =++-++，根据绝对值的几何意义，我们知道y 表示数轴上对应x 的点到对应12、11-、13-的点的距离之和，下面分类讨论：当12x ≥时，1325y x >+≥； 当13x -≤时，1225y x >-≥；当1312x -<<时，121325y x x -++=≥． 因此，当11x =-时，y 取最小值25．1.2.10★★如果m 为有理数，求代数式1356m m m m -+-++++的最小值．解析 分6m -≤，65m -<-≤，51m -<≤，13m <≤，3m >五个部分进行讨论．去掉绝对值符号，经过化简得到：当6m -≤时，原式47m =--，最小值为17； 当65m -<-≤时，原式25m =-+，最小值为15； 当51m -<≤时，原式15=，是一固定值；当13m <≤时，原式215m =+，最小值大于15； 当3m >时，原式47m =+，最小值大于15． 综上所述，原代数式的最小值为15．评注 此题还可以用绝对值的向何意义求解．本题就是要在数轴上找一点x ，使它到6-、5-、1、3的距离之和最小．这一点显然应在5-与1之间（包括这两点）的任意一点，它到6-、5-、1、3的距离之和为15，就是要求的最小值．1.2.11★★已知1x ≤，1y ≤，且 124k x y y y x =++++--，求k 的最大值和最小值．解析由题设条件知：11x -≤≤，11y -≤≤．于是10y +≥，240y x --<．所以 （1）当0x y +≤时，有 124k x y y y x =++++-- ()()124x y y y x =-+++---25y =-+，所以 37k ≤≤． （2）当0x y +≥时，有()12425k x y y y x x =+++---=+，所以 37k ≤≤．因此，k 的最大值是为7，最小值为3． 1.2.12★★已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值．解析 首先使用“零点分段法”将y 化简，然后在各个取值范围内求出y 的最大值，再加以比较，从中选出最大者．有三个分界点：3-，1，1-．（1）当3x -≤时，()()()261411y x x x x =-+--++=-，由于3x -≤，所以14y x =--≤，y 的最大值是4-．（2）当31x --≤≤时，()()()26141511y x x x x =+--++=+，由于31x --≤≤，所以45116x -+≤≤，y 的最大值是6．（3）当11x -≤≤时，()()()2614133y x x x x =+---+=-+，由于11x -≤≤，所以0336x -+≤≤，y 的最大值是6．（4）当1x ≥时，()()()261411y x x x x =++--+=-+，由于1x ≥，所以10x -≤，y 的最大值是0． 综上可知，当1x =-时，y 取得最大值为6． 1.2.13★★★设a b c d <<<，求 x a x b x c x d -+-+-+-的最小值．解析 设a 、b 、c 、d 、x 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C 、D 、X ，则x a -表示线段AX之长，同理，x b -，x c -，x d -分别表示线段BX ，CX ，DX 之长，现要求x a -，x b -，x c -，x d -这和的值最小，就是要在数轴上找一点X ，使该点到A 、B 、C 、D 四点距离之和最小．因为a b c d <<<，所以A 、B 、C 、D 的排列应如图所示：所以当X 在B 、C 之间时，距离和最小，这个最小值为AD BC +，即()()d a c b -+-． 1.2.14★★a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值． 解析当0a b +≥时，由a b a b a b +=+=-得b b =-，故此时0b =．当0a b +<时，由()a b a b a b a b +=-+=--=-，得a a -=，故此时0a =． 所以，不管是0a b +≥还是0a b +<，a 、b 中至少有一个为0，因此，0ab =． 1.2.15★★若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a-+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值．解析因为a 、b 、c 均为整数，则a b -，c a -也应为整数，且19a b -，99c a -为两个非负整数，和为1，所以只能是190a b -=且991c a-=，① 或者191a b -=且990c a -=．②由①有a b =且1c a =±，于是1b c c a -=-=；由②有c a =且1a b =±，于是1b c a b -=-=．无论①或②都有1b c -=且1a b c a -+-=，所以 2c a a b b c -+-+-=．1.2.16★★★将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()12a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．解析代数式()12a b a b -++的值就是a 、b 中的较大数，为保证所计算出的50个值之和最大，分组时不要把51，52，…，100这50个数中任两个分成一组即可．对于任意一组中的两个数a 、b ，不妨设a b >，则代数式()()1122a b a b a b a b a -++=-++=． 于是这50个值之和与大数a 有关，所以，这50个值的和的最大值为 51521003775+++=．1.2.17★★★设n 个有理数1x ，2x ，…，n x 满足()11,2,,i x i n <=，且121219nnx x x x x x +++=++++，求n 的最小值． 解析先估计n 的下界，由1i x <，及120n x x x +++≥，知12n n x x x >+++ 121919n x x x =++++≥，所以，20n ≥． 又当20n =时，取 0.95,1,3,5,,19,0.95,2,4,6,,20,i i x i =⎧=⎨-=⎩ 满足已知条件，所以，正整数n 的最小值为20． 1.3实数的判定1.3.1★★证明循环小数2.61545454 2.6154=是有理数．解析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．设2.6154x =，①两边同乘以100得100261.54264.5454x ==．② ②-①得99261.54 2.61258.93x =-=， 所以258939900x =． 既然x 能写成两个整数比的形式，从而也就证明了2.6154是有理数．1.3.2★★已知x 是无理数，且()()13x x ++是有理数，在上述假定下，分析下面四个结论是：（1）2x 是有理数；（2）()()13x x --是无理数； （3）()21x +是有理数； （4）()21x -是无理数． 哪些是正确的？哪些是错误的？ 解析取无理数2x ，这时()())13112x x ++==是有理数，而)2214x ==-1）不正确．仍取2x =，仿上可知结论（3）不正确．由于()()()()221343438138x x x x x x x x x x --=-+=-+-=++-，且()()13x x ++是有理数，8x 是无理数，故()()13x x --是无理数，即结论（2）正确．同样，由()()()211362x x x x -=++--，知结论（4）正确． 1.3.3)11112225n n -个个是有理数．解析 要证明所给的数能表示成mn （m ，n 为整数，0n ≠）的形式，关键是要证明()1111n -个2225n 个是完全平方数．()11112225n n -个个()1111110222105n n n +-=++⨯+个个1110110110210599n n n -+--=⨯+⨯⨯+()2111101021020459n n n ++=-+⨯-+ ()()22111010102510599n n n =+⨯+=+， 所以)131112225105nn n -=+个个．因为105n +与3)11112225n n -个个是有理数．1.3.4解析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．pq（p、q是互质的正整数），两边平方有222p q=，①所以p一定是偶数．设2p m=（m是正整数），代入①得2242m q=，222q m=，所以q也是偶数．p、q均为偶数和p与q是无理数．评注只要p就一定是无理数，这个结论的证明并不困难，请自行完成．1.3.5★★设n是有理数，则n必是完全平方数；反过来，如果n是有理数（而且是正整数）．qp=（p、q为互质的正整数），从而22np q=．①我们知道，任何一个平方数的质因数分解式中，每一个质因数的指数都是正偶数（反过来也成立）；而非平方（自然）数的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数．由此可见，如果n不是完全平方数，那么无论n与2p有无相同的质因数，在2np的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数，即2np不是平方数．这样①式不可能成立．所以，n是完全平方数．评注本题是一个重要的结论，它可作为定理使用，读者应熟悉它．有了这个结论，1.3.6★★设a、b解析由于负数不能开平方，故由题设知a、b都是非负整数．若0a=或0b=，易知结论成立．若a、b=2b a =-+，2a b+-．由所设a 、b从而a 是平方数，是整数．1.3.7★★求满足等式1=+的有理数x 、y ．解析把原式两边立方，得())23251632y y y =++．因x 、y 是有理数，故231625,32y x y y⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 解得22x =，2y =或22x =-，2y =-，易检验它们都满足原式． 1.3.8★★求满足条件的正整数a 、x 、y ． 解析将原式两边平方得 ax y -+-．①显然，a -x y +-为无理数．由①式变形为 2x y a +-=．假设0x ya +-≠()0k k ≠k ，所以有k =，两边平方得 262xy k =+，所以226xyk --．因为0k ≠，所以226xy k --是有理数，矛盾．所以0x y a +-=0． 所以,6.x y a xy +=⎧⎨=⎩0>，所以x y >，所以满足条件的正整数为：6x =，1y =，7a =或3x =，2y =，5a =．1.3.9★★若1122a b a b αα+=+（其中1a 、2a 、1b 、2b 为有理数，α为无理数），则12a a =，12b b =，反之，亦成立．解析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．将原式变形为()1221b b a a α-=-．若12b b ≠，则2112a ab b α-=-．因为α是无理数，而2112a ab b --是有理数，矛盾．所以必有12b b =，进而有12a a =． 反之，显然成立．评注 本例的结论是一个常用的重要运算性质． 1.3.10★★设a 与b 是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由．解析是有理数，设其为A ，即A =．整理得a Ab +由1.3.9题知 a Ab =，1A =，即a b =，这与已知a b ≠是无理数．评注本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结论．解这样的问题时，可以先找到一为有理数作为立足点，以其作为推理的基础．1.3.11★★★已知a 、b 是两个任意有理数，且a b <，求证：a 与b 之间存在着无穷多个有理数（即有理数集具有稠密性）．解析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明． 因为a b <，所以22a a b b <+<，所以2a ba b +<<． 设12a ba +=，1a 显然是有理数（因为a 、b 为有理数）．因为1a b <，所以，同理可证112a b a b +<<．设122a ba +=，2a 显然也是有理数，依此类推，设12n n ab a ++=，n 为任意正整数，则有12n a a a a b <<<<<<，且n a 为理数，所以在a 和b 之间存在无穷多个有理数．1.3.12★★★已知在等式ax bS cx d+=+中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，问：（1）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，S 是有理数； （2）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，S 是无理数． 解析（1）当0a c ==，0d ≠时，bS d=为有理数． 当0c ≠时，有()ax b a bc adS cx d c c cx d +-==+++， 所以，只有当0bc ad -=，即ad bc =时，S 为有理数．故当0a c ==，且0d ≠；或0c ≠，且ad bc =时，S 为有理数． （2）当0c =，0d ≠，0a ≠时，a bS x d d=+为无理数． 当0c ≠时，有()a bc adS c c cx d -=++， 故只有当0bc ad -≠，即ad bc ≠时，S 为无理数．所以，当0c =，0a ≠，0d ≠；或0c ≠，ad bc ≠，S 为无理数．1.3.13★★已知a 、b 是两个任意有理数，且a b <，问是否存在无理数α，使得a b α<<成立？解析 因为a b <10>，所以))11a b <，)1b a <+．①又因为a b b <=+，所以a b +-<，即)1b a +<．②由①，②有)1b a <-+<，所以1b aa b -+<<． 取)122b ab a b α+-==()2a b b -=+因为b 、2a b -是有理数，且02a b -≠，所以2a bb -+即存在无理数α，使得a b α<<成立．1.3.14b ，求4321237620b b b b +++- 的值．解析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这类涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分（这是容易确定的），然后再寻求其小数部分的表示方法．因为91416<<，即34<33b +，两边平方得 21496b b =++， 所以265b b +=．()()()()4324322222123762026366206620b b b b b b b b b b b b b +++-=+⋅+++-=+++- 2552010=+-=．1.3.15★★已知：p、q 是有理数，x =，且满足30x px q -+=，试求p q -的值． 解析将x =代入方程30x px q -+=，得30p q -+=⎝⎭，化简，得(2420p p q --+=． 因为p 、q 都是有理数，则 20,420p p q -=⎧⎨-+=⎩解方程组，得2,1.p q =⎧⎨=-⎩所以3p q -=．评注 本题应用到了性质：若a 、b 为有理数，p 为无理数，00a bp a b +=⇔==．1.3.16★★若n 为正整数，求证：必为无理数．解析 只需证4322221n n n n ++++为非完全平方数．而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可．因为()()()43224322432222212212n n n n n n nnn n n n n n ++++=+++++>++=+，又因为()2432432423222221232112221n n n n n n n n n n n n n n n ++++<++++=+++++=++， 所以()()222432222211n n n n n n n n +<++++<++．而()22n n +与()221n n ++是两个相邻的整数的完全平方数，它们之间一定没有完全平方数．因则对任意的正整数n ，数4322221n n n n ++++不可能是完全平方数，1.3.17★★★若m 、n 是正整数，a 、d 是实数，问是否存在三个不的素数p 、q 、r a =，a md =+a nd +？解析 假设存在三个不同的素数p 、q 、r a a md =+a nd =+．其中，a 、d 为实数，m 、n 是正整数．消去a 、d ，得mn=，即(m n -． ①①式的两边立方，得()3333m r n q m n p --=-．②将①式中的 (()3333mn m n m r n q m n p -=---．p 、q 、r a ，a md =+a nd =+．1.3.18★★★★设n a 是2222123n ++++的个位数字，1n =，2，3，…，求证：0．123na a a a 是有理数．解析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证1230.na a a a 是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．计算n a 的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…．发 现：200a =，211a a =，222a a =，233a a =，…，于是猜想：20k k a a +=，若此式成立，说明120.na a a 是由20个数字组成循环节的循环小数，即120.0.15405104556095065900na a a =．下面证明20k k a a +=． 令()22212f n n =+++，当()()20f n f n +-是10的倍数时，表明()020f n +与()f n 有相同的个位数，而()()20f n f n +- ()()()2221220n n n =++++++()()2222102421220n n =+⋅++++．由前面计算的若干值可知：2221220+++是10的倍数，故20k k a a +=成立，所以120.na a a 是一个有理数． 1.3.19★★已知x y +、x y -、xy 、xy均为有理数，如果它们中有三个数相等，求x 、y 的值．解析 依题意，0y ≠，否则xy无意义． 若x y x y +=-，则0y =，矛盾． 所以x y x y +≠-．若0x =，则由x y xy +=或x y xy -=都得到0y =，矛盾．所以0xy ≠．因此，三个相等的代数式只能是：（1）x x y xy y +==或（2）xx y xy y -==．由,0x xy y x ⎧=⎪⎨⎪≠⎩得211y y =⇒=±． 当1y =时，由（1）得x y x +=，矛盾；由（2）得1x x -=，矛盾．所以1y ≠． 当1y =-时，由（1）得1x x -=-，21x =，12x =． 由（2）得1x x +=-，21x =-，12x =-．所以12x =±，1y =-．1.3.20★★★[]x 表示不超过实数x 的最大整数，令{}[]x x x =-．（1）找出一个实数x 满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭；（2）证明：满足上述等式的x ，都不是有理数．解析 设[]x m =，{}x α=，1n x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1x β⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则m 、n 是整数，0α≤，1β<．由题设1αβ+=，所以11x m n m n xαβ+=+++=++， ()2110x m n x -+++=，(112x m n =++．令13m n ++=，则(132x =，再验证它满足 {}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． （1）取x，则1x ，于是{}2x =-=，1x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以 {}11x x ⎧⎫+==⎨⎬⎩⎭． （2）设x m α=+，1n x β=+，其中m 、n 是整数，0α≤，1β<．则1αβ+=，11x m n x+=++．于是()2110x m n x -+++=，(112x m n =++．当()214m n ++=时，1x =±，均不满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． 当()214m n ++>时，若()2214m n k ++-=，其中k 为正整数，则()()114m n k m n k ++-+++=．由于11m n k m n k ++-<+++，且1m n k ++-与1m n k +++同奇偶，所以12,12m n k m n k ++-=-⎧⎨+++=-⎩或12,12m n k m n k ++-=⎧⎨+++=⎩均不可能．故()214m n ++-不是完全平方数，从而x 是无理数． 1.3.21★★★★设a 、b 是实数，对所有正整数()2n ≥，n n a b +都是有理数，证明：a b +是有理数．解析 由题意，22a b +，33a b +，44a b +，…都是有理数．而n n a b +有如下“递推关系”：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+，所以()()()443322a b a b a b ab a b +=++-+， ()()()554433a b a b a b ab a b +=++-+，从中解出a b +即可．设x a b =+，y ab =，则有()()443322a b a b x a b y +=+-+， ()()554433a b a b x a b y +=+-+，消去y ，得()()()2224433a b a b a b x ⎡⎤++-+⎢⎥⎣⎦()()()()22553344a b a b a b a b =++-++．所以，当()()()22244330a b a b a b ++-+≠，即()0ab a b -≠时，()()()()()()()225533442224433a b a b a b a b x ababab++-++=++-+是有理数．当()0ab a b -=时，若a 、b 全为0，则结论成立；若a 、b 中恰有一个为0，不妨设0a =，则3322a b b a b +=+为有理数，从而a b b +=为有理数；若0a b -=，且a 、b 均不为0，则3322a b a b a b ab ++=+- ()()33222222a b a b a ba b +=--+++()33222a b a b +=+是有理数． 从而命题得证． 评注本题分析中给出的递推关系：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+非常重要．遇到涉及n n a b +类型的问题时，利用这一递推关系，可以帮助我们解题．1.3.22★★★★设A 是给定的正有理数．（1）若A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x 、y 、z ，使得2222x y y z A -=-=；（2）若存在3个正有理数x 、y 、z ，满足 2222x y y z A -=-=．证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长，a 、b 、c 都是有理数，且222a b c +=，12ab A =．若a b =，则222a c =，ca．这与a 、b 、c 都是有理数的假定矛盾，故a b ≠． 不妨设a b <，取2a b x +=，2c y =，2b az -=，则x 、y 、z 都是正有理数，且 ()2222142a b c x y ab A +--===， ()2222142c b a y z ab A ---===．（2）设三个正有理数x 、y 、z 满足2222x y y z A -=-=，则x y z >>．取a x z =-，b x z =+，2c y =，则a 、b 、c 都是正有理数，且()22222224a b x z y c +=+==，()221122ab x z =- ()()222212x y y z ⎡⎤=-+-⎣⎦ A =，即存在一个三边长a 、b 、c 都是正有理数的直角三角形，它的面积等于A ．。

初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。

解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。

∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。

解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。

证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。

例5：证明是无理数。

证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。

p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。

例6：；；。

解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。

解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。

（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。

设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，正数是（）A. -1/2B. -√2C. √2D. 02. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -1/2B. -√2C. √2D. 03. 若a=3，b=-3，则a-b的值为（）A. 0B. 6C. -6D. -94. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，则第10项an的值为（）A. 19B. 23C. 27D. 315. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，-4），则线段AB的中点坐标是（）A. （1，-1）B. （3，2）C. （1，2）D. （2，3）6. 若x^2+4x+4=0，则x的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 47. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°8. 若a+b=5，ab=4，则a^2+b^2的值为（）A. 21B. 25C. 29D. 339. 已知一元二次方程x^2-3x+2=0的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题（每题5分，共25分）11. 若a=√2，b=√3，则a^2+b^2的值为______。

12. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则第10项an的值为______。

13. 在直角坐标系中，点P（3，4），点Q（-2，-1），则线段PQ的长度为______。

14. 若x^2-6x+9=0，则x的值为______。

15. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C的度数是______。

三、解答题（每题10分，共20分）16. （10分）已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，求该数列的通项公式。

初中代数第四章“一元一次方程”能力自测题（满分100分，时刻90分）1． 选择题：（每小题4分，共32分）（1）下列各式中，不是等式的式子是（ ）（A ）3+2=6； （B ） ba ab =；（C ）x x 2112+=-； （D ）().315+-x（2）下列说法中，正确的是（ ）（A ） 方程是等式； （B ） 等式是方程； （C ） 含有字母的等式是方程； （D ） 不含字母的方程是等式。

（3）当2=x 时，代数式2-ax 的值是4，那么，当2-=x 时，这代数式的值是（ ）（A ）-4； （B ）-8； （C ）8； （D ）2。

（4）某商场上月的营业额是a 万元，本月比上月增长15%，那么本月的营业额是（ ） （A ）()%151•+a 万元； （B ）a •%15万元； （C ）()a %151+万元； （D ）()a 2%151+万元。

（5）假如1=x 是方程23=+x ax 的解，那么a 的值（ ） （A ）1-； （B ）5； （C ） 1； （D ）5-（6）某同学到农贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用所带钱的一半，而其余的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价是每千克（ ）（A ）6.2元； （B ）5.2元； （C ）4.2元； （D ）3.2元 （7）学生a 人，以每10人为一组，其中有两组各少1人，则学生共有（ ） （A ）102-a 组； （B ）102+a 组；（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-210a 组；（D ）⎪⎭⎫⎝⎛+210a 组 （8）假如41升桔子浓法冲入431升水制成桔子水，可供4人饮用，现在要为14人冲入同样“浓度”（那个地点，“浓度”=%100⨯溶液体积溶质体积）的桔子水，需要用桔子浓缩汁（ ） （A ）2升； （B ）7升； （C ）72升； （D ）87升 2． 填空题：（每空4分，共20分）（1） 已知右边两个加法竖式差不多上正确 7 x 的，则y z -的值为______。

数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。

解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。

根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。

由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。

代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。

已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。

代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。

第2章 代数式2.1整式的运算2.1.1★化简()()12311n x x x x x -⎡⎤+-+-++-⎣⎦，其中n 为大于1的事数． 解析 原式()()()1123231n n n x x x x x x x x x --=-+-++-+-+---+-()1nx =+-．评注本例可推广为一个一般的形式：()()1221n n n n n n a b a a b ab b a b -----++++=-．2.1.2★计算（1）()()a b c d c a d b -+----； （2）()()()422422816x y x y x x y y +--+．解析 （2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．原式()()c b d a c b d a =--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()22c b d a =---2222222c b d bd bc cd a =+++---．（2）()()22x y x y +-的结果是224x y -，这个结果与多项式4224816x x y y -+相乘时，不能直接应用公式，但()24224228164x x y y x y -+=-与前两个因式相乘的结果224x y -相乘时就可以利用差的立方公式了． 原式()()()23222222444x y x y x y =--=-()()()()()222322222234344x x y x y y =-+-642246124864x x y x y y =-+-．2.1.3★设()2321g x x x =-+，()3231f x x x =--，求用()g x 去除()f x 所得的商()q x 及余式()r x ． 解析1用普通的竖式除法2323222173932131213374133714739926299x x x x x x x x x x x x x x --+----+----+--- 因此，所求的商()1739q x x =-，余式()26299r x x =--．解析2 用待定系数法由于()f x 为3次多项式，首项系数为1，而()g x 为2次，首项系数为3，故商()q x 必为1次，首项系数必为13，而余式次数小于2，于是可设商式()13q x x a =+，余式()r x bx c =+．根据()()()()f x q x g x r x =+，得 ()()3223113213x x x x x x a bx c ---⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭()32213233x a x b a x a c ⎛⎫⎛⎫=+-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．比较两端系数，得 233312131a b a a c ⎧-=-⎪⎪⎪-+=-⎨⎪⎪+=-⎪⎩解得79a =-，269b =-，29c =-，故商式()1739q x x =-，余式()26299r x x =--．2.1.4★已知当7x =时，代数式58ax bx +-的值为4，求当7x =时，代数式5322a bx x ++的值． 解析 比较两个代数式，发现它们的相同与不同．当7x =时，()551387222a b x x ax bx ++=+-+ 14792=⨯+=． 2.1.5★若23y zx ==，且12x y z ++=，试求234x y z ++的值．解析 2y x =，3z x =，代入 12x y z ++=得2x =，故4y =，6z =，所以23440x y z ++=．2.1.6★★试确定a 和b ，使422x ax bx +-+能被232x x ++整除． 解析由于()()23212x x x x ++=++，因此，若设()422f x x ax bx =+-+，假如()f x 能被232x x ++整除，则1x +和2x +必是()f x 的因式，因此，当1x =-时，()10f -=，即120a b +++=，①当2x =-时，()20f -=，即164220a b +++=，② 由①，②联立，则有6,3a b =-⎧⎨=⎩2.1.7★若()()()32115x x x x bx cx d -++=+++，求b d +的值． 解析()()()()()2321151555x x x x x x x x -++=-+=+--， 所以b =，5d =-． 0b d +=．2.1.8★将2357x x +-表示成()()222a x b x c -+-+的形式． 解析()()223573225227x x x x +-=-++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()23217215x x =-+-+．2.1.9★已知210a a +-=，求3222a a ++的值．解析1 由21a a +=，有()32322222a a a a a ++=+++()()22222123a a a a a a=+++=++=+=．解析2由21a a =-，有()()()3222222122a a a a a a ++=++=-++22224a a a a =--+=-- ()41413a a a a =---=--+=．评注 解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法．这两种方法在整式恒等变形中常用．2.1.10★★已知x y m +=，33x y n +=，0m ≠，求22x y +的值． 解析因为x y m +=，所以()()33333m x y x y xy x y =+=+++3n mxy =+，所以233m nxy m =-． 所以()2222x y x y xy +=+- 22233m n m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2233m n m=+． 2.1.11★★若214x xy y ++=，228y xy x ++=，求x y +的值． 解析把两个方程相加，得()()242x y x y +++=，于是有()()670x y x y +-++=，故6x y +=或7x y +=-．2.1.12★★★已知1x y +=，222x y +=．求77x y +的值． 解析因为222x y +=，所以()2221222x y x y xy xy =+=++=+，从而12xy =-．所以()()3333x y x y xy x y +=+-+31513122⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪⎝⎭．()24422222x y x y x y +=+-22172222⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭．故()()()3773344335717112228x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++-+=⨯--⨯= ⎪⎝⎭．2.1.13★★已知19992000a x =+，19992001b x =+，19992002c x =+，求多项式222a b c ab bc ca ++---的值．解析 由222a b c ab bc ca ++--- ()()()22212a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，又因为1a b -=-，1b c -=-，2c a -=，故原式()()222111232⎡⎤=-+-+=⎣⎦．2.1.14★★已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，求()()2222a b xy ab x y +++的值．解析由2a b x y +=+=，得()()4a b x y ax by ay bx ++=+++=．因为5ax by +=，所以1ay bx +=-． 因而，()()2222a b xy ab x y +++ ()()5ay bx ax by =++=-．2.1.15★★已知()77657651031x a x a x a x a x a -=+++++，试求76510a a a a a +++++的值．解析多项式()f x 的系数和，就是()1f ．()77651073112128a a a a a +++++=⨯-==．2.1.16★★求一个关于x 的二次三项式()f x ，它被1x -除余2；被()2x -除余8；并且被1x +整除．解析 设这个二次三项式为()2f x ax bx c =++．则()()()12,2428,10,f a b c f a b c f a b c =++=⎧⎪=++=⎨⎪-=-+=⎩①②③①-③得代入②、③得 46,1,a c a c +=⎧⎨+=⎩④⑤④-⑤得 53a =，代入⑤得23c =-．所求二次三项式为25233x x +-．2.1.17★未知数x 、y 满足()()2222220xy m y x n m y n +-+++=，其中m 、n 表示非零已知数，求x 、y 的值．解析 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为222222220m x m y mxy mny y n +--++=，()()222222220m xmxy y m y mny n -++-+=，即()()220mx y my n -+-=． 所以0,0.mx y my n -=⎧⎨-=⎩因为0m ≠，所以n y m =，2nx m=． 2.1.18★★已知x 、y 、z 满足x y z xyz ++=，求证： ()()()()()()222222111111x y z y x z z x y --+--+--4xyz =．解析 因为x y z xyz ++=，所以左边()()()222222222222111x z y y z y z x x z z y x x y =--++--++--+ ()222222222222x y z xz xy xy z yz yx yx z zy zx zx y =++--+--+--+()()()()xyz xy y x xz x z yz y z xyz xy yz zx =-+-+-++++ ()()()()xyz xy xyz z xz xyz y yz xyz x xyz xy yz zx =------+++xyz xyz xyz xyz =+++4xyz ==右边．2.1.19★已知222a b c ab bc ca ++=++，证明a b c ==． 解析 因为222a b c ab bc ca ++=++，所以()()222220a b c ab bc ca ++-++=，即()()()2220a b b c c a -+-+-=， 因此0a b b c c a -=-=-=， 即a b c ==． 2.1.20★证明：()()()333222y z x z x y x y z +-++-++-()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-．解析 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令2y z x a +-=， ① 2z x y b +-=， ② 2x y z c +-=， ③则要证的等式变为3333a b c abc ++=． 因为()()3332223a b c abca b c a b c ab bc ca ++-=++++---，所以将①，②，③相加有2220a b c y z x z x y x y z ++=+-++-++-=， 所以33330a b c abc ++-=，所以()()()333222y z x z x y x y z +-++-++- ()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-．2.1.21★★已知44444a b c d abcd +++=，且a 、b 、c 、d 都是正数，求证：a b c d ===． 解析 由已知可得 444440a b c d abcd +++-=，()()22222222222240ab c d a b c d abcd -+-++-=，所以()()()222222220a b c d ab cd -+-+-=．因为()2220ab -≥，()2220c d -≥，()20ab cd -≥，所以22220a b c d ab cd -=-=-=，所以()()()()0a b a b c d c d +-=+-=．又因为a 、b 、c 、d 都为正数，所以0a b +≠，0c d +≠，所以 a b =，c d =． 所以()()220ab cd a c a c a c -=-=+-=，所以a c =．故a b c d ===成立． 2.1.22★★已知0a b c ++=，求证 ()()24442222a b c a b c ++=++．解析 用作差法，注意利用0a b c ++=的条件． 左-右()()24442222a b c a b c =++-++444222222222a b c a b b c c a =++--- ()2222224a b c b c =---()()22222222a b c bc a b c bc =--+---()()2222a b c a b c ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦()()()()a b c a b c a b c a b c =-++---++0=．所以等式成立． 2.2因式分解2.2.1★分解因式：（1）5131214242n n n n n n x y x y x y --+-+-+-； （2）33386x y z xyz ---； （3）222222a b c bc ca ab ++-+-； （4）752257a a b a b b -+-．解析（1）原式()1422422n n n n x y x x y y -=--+()()221222222n n n n x y x x y y -⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦()21222n n n x y x y -=--()()2212n n n n x y x y x y -=--+．（2）原式()()()()333232x y z x y z =+-+----()()2222422x y z x y z xy xz yz =--++++-．（3）原式()()()()()2222222222a ab b bc ca c a b c a b c a b c =-++-++=-+-+=-+．本小题可以稍加变形，解法如下： 原式()()()()2222222a b c b c ca a b a b c =+-++-++-=-+．（4）原式()()752257a a b a b b =-+-()()522522a a b b a b =-+- ()()2255a b a b =-+()()()()432234a b a b a b a a b a b ab b =+-+-+-+ ()()()2432234a b a b a a b a b ab b =+--+-+．2.2.2★分解因式：66x y -． 解析1原式()()2233x y =-()()()()()()33332222x y x y x y x xy yx y xxy y=+-=+-+-++．解析2原式()()3322x y =-()()()22222222x y x x y y ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦ ()()()22222x y x y x y x y ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦()()()()2222x y x y x y xy x y xy =+-+++-．评注解析2中，()()42242222x x y y x y xy x y xy ++=+++-是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的．2.2.3★★分解因式：()()()333222222x y z x y z ++--+．解析 原式中()22xy +与()22zx -的和等于()22yz +，所以考虑用立方和公式()()3333a b a b ab a b +=+-+变开后，再进行分解．原式()()()()()33222222222222223x y z x x y z x x y z x y z =++--+-⋅++--+()()()()()3322222222223y z x y z x y z y z =+-+-+-+()()()()22223x y z x z x y z =-++-+．2.2.4★★分解因式：3333a b c abc ++-． 解析原式()()3333a b ab a b c abc =+-++- ()()333a b c ab a b c ⎡⎤=++-++⎣⎦()()()()223a b c a b c a b c ab a b c ⎡⎤=+++-++-++⎣⎦()()222a b c a b c ab bc ca =++++--- 3评注 3333a b c abc ++- ()()22212222222a b c a b c ab bc ca =++++--- ()()()()22212a b c a b b c c a ⎡⎤=++-+-+-⎣⎦． 显然，当0a b c ++=时，则3333a b c abc ++=；当0a b c ++>时，则33330a b c abc ++-≥，即3333a b c abc ++≥，而且，当且仅当a b c ==时，等号成立． 如果令20x a =≥，30y b =≥，30z c =≥，则有3x y z ++ 等号成立的充要条件是x y z ==．这也是一个常用的结论． 2.2.5★★分解因式：15141321x x x x x ++++++．解析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项15x 开始，x 的次数顺次递减到0，由此想到应用公式n n a b -来分解．因为()()161514132111x x x x x x x -=-++++++，所以 原式()()15142111x x x x x x -+++++=-1611x x -=- ()()()()()842111111x x x x x x ++++-=-()()()()8421111x x x x =++++．评注在本题分解过程中，用到先乘以()1x -，再除以()1x -的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2.2.6★分解因式：398x x -+．解析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．方法1 将常数项8拆成19-+． 原式3919x x =--+()3199x x =--+()()()21191x x x x =-++-- ()()218x x x =-+-．方法2 将一次项9x -拆成8x x --．原式388x x x =--+()()388x x x =-+-+()()()1181x x x x =+---()()218x x x =-+-．方法3 将三次项3x 拆成3398x x -．原式339898x x x =--+()()339988x x x =-+-+()()()()2911811x x x x x x =+---++()()218x x x =-+-方法4 添加两项22x x -+．原式()()()()()332222989818118x x x x x x x x x x x x x =-+=-+-+=-+--=-+-．评注 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．2.2.7★★分解因式：（1）9633x x x ++-；（2）()()22114m n mn --+；（3）()()()2442111x x x ++-+-； （4）33221a b ab a b -+++．解析（1）将3-拆成111---．原式963111x x x =++---()()()963111x x x =-+-+-()()()()()36333311111x x x x x x =-+++-++-()()363123x x x =-++()()()2631123x x x x x =-++++．（2）将4mn 拆成22mn mn +．原式()()221122m n mn mn =--++2222122m n m n mn mn =--+++()()2222212m n mn m mn n =++--+()()221mn m n =+-- ()()11mn m n mn m n =+-+-++．（3）将()221x -拆成()()2222211x x ---． 原式()()()()22442212111x x x x =++---+- ()()()()()242242121111x x x x x ⎡⎤=+++-+---⎣⎦ ()()()22222111x x x ⎡⎤=++---⎣⎦ ()()()()222222221313x x x x =+--=++． （4）添加两项ab ab +-．原式33221a b ab a b ab ab =-++++-()()()33221a b ab a ab ab b =-+-+++()()()()21ab a b a b a a b ab b +-+-+++()()()211a a b b a b ab b =-+++++⎡⎤⎣⎦()()211a a b ab b =-+++⎡⎤⎣⎦()()2211a ab b ab =-+++评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加ab ab +-，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是无将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在．2.2.8★分解因式：4322221x x x x ++++．解析原式()()4232122x x x x =++++()()222121x x x =+++ ()()22112x x x =+++()()2211x x =++ 2.2.9★★分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++--+．解析原式()()()()bc b c ca b c a b ab a b =+++-+-+⎡⎤⎣⎦()()()()bc b c ca b c ca a b ab a b =+++-+-+()()()()c b c a b a a b c b =++-++()()()a b b c c a =++-．2.2.10★★分解因式：()()()333x y z y z x z x y -+-+-．解析原式()()()333333x y y x y z x z z x z y =-+-+- ()()()22333xy x y z x y z x y =---+-()()()223x y xy x y z x xy y z ⎡⎤=-+-+++⎣⎦()()()()222x y x y z xy y z z y z ⎡⎤=--+---⎣⎦()()()22x y y z x xy zy z =--+--()()()()x y y z z x x y z =----++．2.2.11★★分解因式：()22331x x x x +++-． 解析原式()()223263121x x x x x x x =++++++- ()()()2232331211x x x x x x x =++++++- ()()()22331121x x x x x x x ⎡⎤=++++++-⎣⎦()()223411x x x x x x =++++++．2.2.12★★分解因式：()()221212x x x x ++++-．解析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将2x x +看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．设2x x y +=，则原式()()21212310y y y y =++-=+-()()()()222525y y x x x x =-+=+-++()()()2125x x x x =-+++．评注本题也可将21x x ++看作一个整体，比如令21x x u ++=，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．2.2.13★★分解因式：()()223248390x x x x ++++-．解析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．原式()()()()12212390x x x x =++++-()()()()12322190x x x x =++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2225325290x x x x =++++-．令2252y x x =++，则原式()219090y y y y =+-=+-()()109y y =+-()()222512257x x x x =+++-()()()22512271x x x x =+++-．评注 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元()y 的基础．()()()2221a b ab a b ab +-+-+-．解析 令a b x +=，ab y =，则原式()()()2221x y x y =--+-2222421x xy x y y y =--++-+()()22211x x y y =-+++()21x y =-+⎡⎤⎣⎦()21x y =--，所以，原式()21a b ab =+--．2.2.15★★分解因式：()()()2212121a a b a a b --+--．解析 令1a x -=，则()2222212122a a a a x a --=--=-．原式()()222221x a b ax b =-+-22222x b a b ab x ax =-+-()()22222x b ax ab x a b =-+-()()2xb a x ab =-+．所以，原式()()112a b a a ab =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()21ab a b a ab =--+-．2.2.16★★分解因式：()()4413272x x +++-．解析令2y x =+，则原式()()4411272y y =-++-()()22222121272y y y y =-++++-()()423242324142441424272y y y y y y y y y y =++-+-++++++- 42212270y y =+-()4226135y y =+-()()222915y y =-+()()()223315y y y =+-+．所以，原式()()()2251419x x x x =+-++．2.2.17★★分解因式：()()2222483482x x x x x x ++++++．解析 设248x x y ++=，则原式()()22322y xy x y x y x =++=++()()226858x x x x =++++()()()22458x x x x =++++．评注 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．2.2.18★★分解因式：432673676x x x x +--+．解析1原式()()422617136x x x x =++--()()4222262127136x x x x x x ⎡⎤=-+++--⎣⎦()()222226127136x x x x x ⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦ ()()2222617124x x x x =-+-- ()()22213318x x x x ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦()()22232383x x x x =--+-()()()()212313x x x x =+--+．评注 本解法实际上是将21x -看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解析2 原式222766736x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭ 222116736x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 令1x t x -=，则22212x t x+=+，于是 原式()2262736x t t ⎡⎤=++-⎣⎦()()()22267242338x t t x t t =+-=-+2112338x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝()()22232383x x x x --+-()()()()212313x x x x =+--+． 2.2.19★★分解因式：()()222224x xy y xy x y ++-+． 解析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u x y =+，v xy =，用换元法分解因式．原式()()22242x y xy xy x y xy ⎡⎤⎡⎤=+--+-⎣⎦⎣⎦． 令x y u +=，xy v =，则原式()()22242u v v u v =--- ()24222693u u v v u v =-+=- ()()22222223x xy y xy x xy y =++-=-+． 2.2.20★分解因式：22232108x xy y x y --++-．解析 原式()()32108x y x y x y =-+++-()()342x y x y =-++-．其十字相乘图为3x yx y -+42- 评注 凡是可以化成()2x a b x ab +++或()2abx ac bd x cd +++形式的二次三项式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成()()x a x b ++或()()ax d bx c ++的形式．对于某些二元二次六项式()22ax bxy cy dx ey f +++++，我们也可以用十字相乘法分解因式，通常称为双十字相乘法．其因式分解的步骤是：首先用十字相乘法分解22ax bxy cy ++，得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数项f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey ，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx ．2.2.21★分解因式：226136222320x xy y x y -++-+．解析原式()()2332222320x y x y x y =--+-+()()234325x y x y =-+-+．其十字相乘图为-2y -3y 3x 2x 542.2.22★分解因式：22267372x xy y xz yz z ---+-．解析 原式()()223372x y x y xz yz z =-+-+-()()2332x y z x y z =-++-．其十字相乘图为z-2z2x 3x -3y y2.2.23★分解因式：()()()()123424x x x x ++++-．解析 原式()()22545624x x x x =++++- ()()225454224x x x x ⎡⎤=+++++-⎣⎦＝()()2225425424x x x x +++++- ()()22546544x x x x ⎡⎤⎡⎤=+++++-⎣⎦⎣⎦()()25510x x x x =+++．对于形如()()()()e x a x b x c x d f +++++（a 、b 、c 、d 、e 、f 为常数），当a b c d +=+时，则把()()x a x b ++与()()x c x d ++分别相乘后，构成有相同部分：()()22x a b x x c d x ++=++的项，使原式得到简化，再用十字相乘法进行分解．2.2.24★★分解因式：()()()()2238124x x x x x ++++-．解析原式()()222142411244x x x x x =++++-()()2221424142434x x x x x x ⎡⎤=++++--⎣⎦ ()()22221424314244x x x x x x =++-++- ()()22142441424x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦()()2210241524x x x x =++++()()46x x x x ⎛⎛=++⋅ ⎝⎭⎝⎭． 对地形如()()()()2e x a x b x c x d fx +++++（a 、b 、c 、d 、e 、f 为常数），当a b c d ⋅=⋅时，则把()()x a x b ++与()()x c x d ++分别先作法，构成具有相同部分22x ab x cd +=+的项，再用十字相乘法进行分解．2.2.25★★分解因式：222382214x y z xy xz yz --+++．解析 由于()()22233x xy y x y x y +-=+-．若原式可以分解因式，那么它一定是()()3x y mz x y nz ++-+的形式．应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决．设()()2223822143x y z xy xz yz x y mz x y nz --+++≡++-+()()222233x xy y m n xz n m yz mnz =-++⋅+-+．比较两边对应项的系数，则有2,314,8m n n m mn +=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩解之，得 2m =-，4n =．所以，原式()()324x y z x y z =+--+．2.2.26★★分解因式：432435x x x x -+++．解析 这是关于x 的四次多项式，若它可以因式分解，则必为关于x 的两个二次式之积．可用待定系数法求之．设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =++++()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++．比较两边对应项的系数，则有1,64,53a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解之，得1a =，2b =-．所以，原式()()22125x x x x =++-+．如果设原式()()2215x ax x bx =+-+-，那么由待定系数法解题后知关于a 与b 的方程组无解，所以设原式()()2215x ax x bx =++++．2.2.27★★k 为何值时，2237x y x k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积？解析 因为()()22x y x y x y -=+-，所以如果2237x y x y k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积，那么它的两个一次因式一定是()x y m ++与()x y n -+的形式，其中m 、n 都是待定系数．设 2237x y x y k -+-+()()x y m x y n =++-+，2237x y x y k -+-+22x xy mx xy y my nx ny mn =++---+++()()22x y m n x n m y mn =-+++-+．比较两边对应项的系数，得3,7,m n n m mn k +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解之，得5,2,10.m n k =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩因此，当10k =-时，2237x y x y k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积()()52x y x y ++--．2.2.28★★分解因式：()444a a b b +++．解析 因为()4443223464a b a b a b a b ab +=+---()()()42242a b ab a b ab =+-++，所以，原式()444a b a b =+++()()()()422442a b ab a b ab a b =+-++++()()()42222a b ab a b ab ⎡⎤=+-++⎣⎦()222a b ab ⎡⎤=+-⎣⎦ ()2222a b ab =++． 2.2.29★★分解因式：()5555x y z x y z ++---．解析 这个式子是关于x 、y 、z 的五次齐次对称式，令x y =-，则原式0=．故原式有因式x y +．同理，亦有因式y z +，z x +．这样原式还有一个二次齐次对称式()()222k x y z l xy yz zx +++++．所以，可设原式()()()()()222x y y z z x k x y z l xy yz zx ⎡⎤=++++++++⎣⎦．当1x y ==，0z =时，得152k l =+． ①当2x =，1y =，0z =时，得3552k l =+．②由①式与②式可解得5k =，5l =． 所以，原式()()()()2225x y y z z x x y z xy yz zx =++++++++．2.2.30★★分解因式：()()()222222ab a b bc b c ca c a -+-+-．解析 当a b =时，易知原式0=，所以原式有因式a b -．同理，b c -与c a -也都是原式的因式．但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为a b c ++，故可设()()()222222ab a b b b c ca c a -+-+-()()()()k a b c a b b c c a =++---．令0a =，1b =，2c =，得()()()233112k ⨯-=⨯-⨯-⨯．解得1k =-．所以，原式＝()()()()a b c a b b c c a -++---．2.2.31★★分解因式：()()()()()()222222222a b c b c a c a b abc a b c a b c ab bc ca +++++++++++⋅++． 解析所给的式子是一个四次对称式．若令a b =-，则原式()()()()2222222222b b c b c b b c b c b =++--++⋅-()()2222222b b c c b c c b ⎡⎤=++----⎣⎦()22222222222b b c bc b bc c c b =+++-+--0=．所以，原式含有因式a b +．同理，原式含有因式b c +，c a +．于是，原式含有因式()()()a b b c c a +++．由于原式为四次对称式，故还有因式()k a b c ++，其中k 为待定系数．所以，原式()()()()k a b b c c a a b c =+++++．比较等式两边3a b 的系数，得1k =．所以，原式()()()()a b b c c a a b c =+++++．2.3分式2.3.1★计算：（1）9333a b a bab ab ++-；（2）2216322a a a a a --++--．解析（1）9362333a ba bbab ab ab a ++-==．（2）2216322a a a a a --++--()()()()161221a a a a a -=-++-+()()()()()()1262122a a a a a a ---+=++-()()()2910122a a a a a --=++-()()()()()2101101224a a a a a a a -+-==+-+-．2.3.2★计算：（1）211x x x +--；（2）2233x yx yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦．解析（1）()()22111111111x x x x x x x x x +---+-===----．（2）2233x y x y x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ ()2233x y x x y x x y x x y ⎧⎫+⎡⎤=--+⨯⎨⎬⎢⎥+-⎣⎦⎩⎭ 22233x x x x y ⎡⎤⎛⎫=--⨯ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22x x x y x y=⨯=--． 2.3.3★★化简分式：222223253452851223a a a a a a a a a a a a ++-----+--+++--． 解析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．原式22222211236136241262611223a a a a a a a a a a a a a a a a +++++--+-+----+-=-=+++-- ()()()()111121332221223a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++--+-+-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()111121332221223a a a a a a a a ⎡⎤=+---++-+-+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥++--⎣⎦ 11111223a a a a =-+-++-- ()()()()111223a a a a -=+++-- ()()()()()()()()23121223a a a a a a a a ---++=++-- ()()()()841223a a a a a -+=++--． 评注 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．2.3.4★★求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++ 当2a =时的值．解析 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式()()()()248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++22481622481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816222121481611111a a a a a a a ++-=++++++-+ 44816448161111a a a a =+++-+++ 881616168816161611111a a a a a =++=+-++-+ 32323232112a ==--． 2.3.5★计算：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+． 解析 本题如果直接通分化为同分母，去处较繁．而通过分子拆项，分母分解之后，利用11x y xy x y+=+，比较简洁．由此可看出，有时需要把分式按分母不变，分子相加减的法则倒过来运用，把一个分式拆成几个分式的和差．原式()()()()()()()()()()()()a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-=++------ 111111a c a b b a b c c b c a=+++++------ 0=． 2.3.6★已知2310x x -+=．求221x x +的值． 解析 由已知2310x x -+=得0x ≠且213x x +=可得213x x +=，即13x x+=，所以 2221127x x x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭． 评注 这里利用x 与1x互为倒数的特点．巧妙地运用乘法公式加以变形，使问题变得较简单．同样地，32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()37118=⨯-=，2424211247x x x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭． 2.3.7★已知115x y +=．求2322x xy x x xy y-+++的值．解析由5x y xy+=可得5x y xy +=．故 ()()232322537122527x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy +--+⨯-====+++++． 评注 本题同样通过将已知的条件作适当变形，代入所求的分式中．由此可看出，在已知条件与所求的式子中寻找桥梁是非常关键的，往往需要作整体的代换，而不一定要一一求出每个字母的数值．2.3.8★计算：()()()()()()()()()222x y y z z x z x z y x y x z y x y z ---++------． 解析 直接通分比较繁，考虑到这里主要涉及x y -，y z -，z x -三个式子，不妨用换元法．使所求式子的形式变得简单一些．设x y a -=，y z b -=，z x c -=，则0a b c ++=，所以 原式222333a b c a b c bc ac ab abc++=++=---- ()()333a b ab a b c abc⎡⎤+-++⎣⎦=- 3333c abc c abc-++=-=-． 2.3.9★★已知1xyz =，2x y z ++=，22216x y z ++=． 求111222xy z yz x zx y+++++的值． 解析 因为2x y z ++=，两边平方得2222224x y z xy yz zx +++++=．已知22216x y z ++=，所以，6xy yz zx ++=-．又2z x y =--，所以()()111242222xy z xy x y x y ==++----． 同理，()()11222yz x y z =+--，()()11222zx y z x =+--．故 原式()()()()()()111222222x y y z z x =++------()()()()()()222222x y z x y z -+-+-=--- ()()6248x y z zyx xy yz zx x y z ++-=-+++++- 2641128813-==-++-． 2.3.10★★若1abc =，求 11a b c ab a bc b c ca c ++++++++的值．解析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．方法1 因为1abc =，所以a 、b 、c 都不为零． 原式111a ab abc ab a a bc b ab ca c =+⋅+⋅++++++ 1a ab abc ab a abc ab a abca abc ab =++++++++ 1111a ab ab a ab a a ab =++++++++ 111a ab ab a ++==++． 方法2 因为1abc =，所以0a ≠，0b ≠，0c ≠． 原式11a b b c ab a abc bc b b ca c =++⋅++++++ 111b bc b bc bc b bca bc b =++++++++ 11111b bc b bc bc b bc b=++=++++++． 方法3 由1abc =，得1a bc =，将之代入原式 原式1111111b c bc bc b b c c bc bc bc =++++⋅++⋅++ 11111b bc b bc bc b bc b=++=++++++． 2.3.11★化简分式： 2221113256712x x x x x x ++++++-+． 解析 三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．原式()()()()()()111212334x x x x x x =++++++++111111122334x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21131454x x x x =-=++++． 评注本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有()()11x n x n +++的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成1x n +与11x n ++两项，这样，前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．2.3.12★★若实数x 、y 、z 满足14x y +=，11y z +=，173z x +=，求xyz 的值． 解析 因为114111z x x x y z z=+=+=+-- 7173371431x x x x x x x--=+=+---， 所以()()4434373x x x x -=-+-，241290x x -+=，()2230x -=， 故32x =．从而53z =，25y =．所以1xyz =． 2.3.13★★已知：3x y z a ++=（0a ≠，且x 、y 、z 不全相等），求()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值． 解析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成()()()0x a y a z a -+-+-=，那么题目只与x a -，y a -，z a -有关，为简化计算，可用换元法求解．令x a u -=，y a v -=，z a w -=，则分式变为222uv vw wu u v w ++++，且由已知有0u v w ++=．将0u v w ++=两边平方得()22220u v w uv uw wu +++++=． 由于x 、y 、z 不全相等，所以u 、v 、w 不全为零，所以2220u v w ++≠，从而有22212uv vw wu u v w ++=-++， 即所求分式的值为12-． 评注 从本题中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．2.3.14★★已知x y z a b b c c a==---，求x y z ++的值． 解析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．设x y z k a b b c c a===---，于是有 ()x a b k =-，()y b c k =-，()z c a k =-．所以()()()0x y z a b k b c k c a k ++=-+-+-=．2.3.15★★已知1x y z a b c++=，0a b c x y z ++=，求222222x y z a b c ++的值． 解析 令x u a =，y v b =，z w c=，于是条件变为 1u v w ++=， ① 1110u v w++=． ② 由②有0uv vw wu uvw++=， 所以0uv vw wu ++=．把①两边平方得()22221u v w uv vw wu +++++=，所以2221u v w ++=， 即 2222221x y z a b c ++=． 2.3.16★★已知实数a 、b 、c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，求222a b c ++的值．解析 因为()223133a a a a abc a bc a --=-+=+- ()()()111a bc b c a b c =--+=--， 所以()()213111a a a b c =----． 同理可得()()213111b b b a c =----， ()()213111c c c a b =----． 结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得 ()()()()()()11141111119b c a c a b ++=------，所以()()()()()()41111119a b c a b c ---=-+-+-． 结合1abc =-，4a b c ++=，可得14ab bc ac ++=-．因此， ()()22223322a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 实际上，满足条件的a 、b 、c 可以分别为12-、12、4． 2.3.17★★已知1xyzt =，求下面代数式的值：11111111x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy+++++++++++++++． 解析 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．11t x xy xyz t xt xyt xyzt=++++++ 1t t xt xyt =+++， 同理111tx y yz yzt tx txy t=++++++， 111txy z zt ztx txy t tx=++++++． 所以 原式111t tx txy t tx txy+++==+++．2.3.18★★若x =4322621823815x x x x x x --++-+的值．解析 x ==4=，所以4x -=()243x -=，即28130x x -+=． 原式分子()()()4323228132162681310x x x x x x x x =-++-++-++ ()()()2222813281381310x x x x x x x x =-++-++-++10=，原式分母()281322x x =-++=，所以原式1052==． 评注 本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．2.3.19★★若a b c a b c a b c c b a+--+-++==，求()()()a b a c b c abc +++的值． 解析1 利用比例的性质解决分式问题．（1）若0a b c ++≠，由等比定理有 a b c a b c a b c c b a+--+-++== ()()()a b c a b c a b c a b c+-+-++-++=++ 1=，所以a b c c +-=，a b c b -+=，a b c a -++=，于是有()()()2228a b a c b c c b a abc abc+++⋅⋅==． （2）若0a b c ++=，则a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，于是有()()()()()()1a b a c b c c a b abc abc+++---==-． 评注 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解析2 设参数法．令a b c a b c a b c k c b a+--+-++===， 则()1a b k c +=+， ①()1a c k b +=+，② ()1b c k a +=+． ③①+②+③有()()()21a b c k a b c ++=+++，所以()()10a b c k ++-=，故有1k =或0a b c ++=．当1k =时，()()()2228a b b c c a c a b abc abc+++⋅⋅==． 当0a b c ++=时，()()()()()()1a b b c c a c a b abc abc+++---==-． 评注 引进一个参数k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．2.3.20★★一列数1a ，2a ，3a ，…满足对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++=， 求23100111111a a a +++---的值．1 解析 当2n ≥时，有312n a a a n +++=，()31211n a a a n -+++=-， 两式相减，得2331n a n n =-+， 所以()1111113131n a n n n n ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭，2n =，3，… 故23100111111a a a +++---1111111133132323399100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。

人教版 初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程（含答案）[例1]　已知关于x 的方程3[x －2(x －)]＝4x 和－＝1有相同的解，那3a 312x a +158x -么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例2]　已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1(3)方程ax ＝1的解是x ＝(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±11a结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3(江苏省竞赛试题)[例3]　a 为何值时，方程＋a ＝－(x －12)有无数多个解？无解？3x 2x 16[例4]　如果a ，b 为定值时，关于x 的方程＝2＋，无论k 为何值时，它的23kx a +6x bk -根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)[例5]　已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例6]　(1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．2003200419971999200020012002…… (36)37383940414219962930313233343522232425262728151617181920218910111213141234567图②(湖北省黄冈市中考试题)能力训练A 级1．若关于x 的方程(k －2)x |k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －[x －(x －)]＝(x －)的解是______．34143731637(广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解7．方程＋＋…＋＝1995的解是( )．12x ⨯23x ⨯19951996x ⨯A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．19988．若关于x 的方程＝0的解是非负数，则b 的取值范围是()．21x b x --A ．b ＞0B ．b ≥0C ．b ≠2D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )．A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D ．＝0a b10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )．A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程＋a ＝x －(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有3x ||2a 16无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______．2．已知关于x 的方程＝的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式－的2a x -33bx -b a a b 值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果＋＋＋…＋＝，那么n ＝______．12161121(1)n n +20032004(江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝＋，如果2※1＝，那么1A B +(1)(1)x A B ++533※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．第6题图(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程①x －2＝－1②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1)③x ＝0④x －2＋＝－1＋11x -11x -其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子的值都是一个定值，其中m －n ＝6，23ma na -+求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子必为同一定值，求的值．35ax bx ++a b b+(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：第11题图 (142144146148150152154)30323436384042161820222426282468101214用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？参考答案例1 提示：两方程的解分别为x ＝a 和x ＝，由题意知a ＝，27282727221a -2727221a -得a ＝.从而可以得到x ＝a ＝×＝.27827272782728例2 A 提示：当a ＝0时，各题结论都不正确.例3 提示：原方程化为0x ＝6a －12（1）当6a －12＝0，即a ＝2时，原方程有无数个解.（2）当6a －12≠0，即a≠2时，原方程无解．例4 原方程整理可得：(4x ＋b)k ＝12＋x －a ． ∵ 无论k 为何值时，它的根总是1． ∴ x ＝1且k 的系数为0．∴ 4＋b ＝0，13－2a ＝0．∴ ，．132a =4b =例5 提示：把x ＝1代入方程px ＋5q ＝97，得p ＋5q ＝97，故p 与5q 之中必有一个数是偶数（1）若p ＝2，则5q ＝95，q ＝19，；215p q -=-（2）若5q 是偶数，则q ＝2，p ＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去；因此．215p q -=-例5 （1）a －7，a ，a ＋7； （2）①44×8＝352；②设框出的16个数中最小的一 个数为a ，则这16个数组成的正方形方框如右图所示，因为框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a ＋24，所以这16个数之和为8×（2a ＋24）＝16a ＋192．当16a ＋192＝2000时，a ＝113；当16a ＋192＝2004时，a ＝113.25．∵a 为自然数，∴ a ＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由长方形阵列的排列可知，a 只能在1，2，3，4列，则a 被7整除的余数只能是1，2，3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．A 级1．0；2．x ＝0 3．8 4．6；54565．10；26；8；－8 提示：，能被17整除，则，或179x k=-9k -91k -=±917k -=±6．D 7．B 提示：原方程化为111111199522319951996x ⎛⎫-+-++-= ⎪⎝⎭8．D 9．A10．B11．原方程的解为 ，31221333k x k k +==+-- 显然 k －3＝±1，±3，±7，±21，a a ＋1a ＋2a ＋3a ＋7a ＋8a ＋9a ＋10a ＋14a ＋15a ＋16a ＋17a ＋21a ＋22a ＋23a ＋24即 k ＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．12．提示：原方程化为()()121a x a -=-（1）当a ＝－1时，方程无解；（2）当a ＝1时，方程有无穷多解．B 级1．10.5 2． 提示：当x ＝2时，代入得． 712-34b a =3．16提示：为整数，2001＝1×3×23×29，故k 可取±1，±3，±23，±29，20011x k =+±3×23，±3×29，±23×29，±22001共16个值．4．2003 提示：()()11111111126121122334451n n n n ++++=++++++⨯⨯⨯⨯+ ＝，得．1111111120031122334112004n n n -+-+-++-=-=++ 1112004n =+5．提示：，解得 x ＝8．1935()()152********x =+=+++※6．207．A8．C9．（1）取a ＝0，则；取a ＝1，则，2233ma na -=-+2233m n -=-+ 得 ，又，解得，．()()32230m n -++=6m n -=125m =185n =- （2）令x ＝0，则；令x ＝1，则，3355ma na +=+3355m n +=+ 得，即，故．()()5335a b +=+35a b =381155a b a b b +=+=+=10．设乙队原有x 人，则80＝k(x ＋16)＋6，解得．7416kx k-=∵x 必须为正整数且k≠1，∴ ，，得出k ＝2或37，7416x N k=-∈＋74k 只有当k ＝2时，x ＝21人．11．（1）能，这四个数分别是100，102，116，118． （2）不能．。

§4.2应用题4．2．1★小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍，”小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍．”其中n 为正整数．求n 的可能值的个数．解析设小倩、小玲分别所拥有的钱数为x 元、y 元，x 、y 为非负整数．于是由题设可得()()22,2,x n y y n x n ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩ 消去x 得()274y n y -=+，()27151521272y n y y -+==+--7． 所以271y -=，3，5，15，得4y =，5，6，11，从而n 分别为8、3、2、1，x 分别为14、7、6、7． 4．2．2★甲、乙两人从相距120千米的两地同时相对而行，6小时后相遇．如果甲、乙每人各多行2千米，那么相遇地点距前一次相遇的地点3千米，求原来甲、乙的速度． 解析设原来甲、乙的速度分别为1v 千米／时，2v 千米／时，则有12120206v v +==． 如果甲、乙每人各多行2千米，则有()111212023622v v v v +±=+++,解得1213,7v v =⎧⎨=⎩或127,13.v v =⎧⎨=⎩所以，甲、乙原来的速度分别是13（千米／时）、7（千米／时）；或者7（千米／时）、13（千米／时）．4．2．3★长90米的列车速度是每小时54千米，它追上并超过长50米的列车用了14秒，如果这两列火车相向而行，从相遇到完全离开要用多少时间？ 解析 两列火车的追及问题中，（车速1-车速2）⨯追及时间=两列火车的长度之和．丙列火车的相向 相遇问题中，（车速1+车速2）⨯相遇时间=两列火车的长度之和． 设长90米的列车速度为154000153600v ==(米/秒)，长50米的列车速度为2v （米／秒）． 对于追及，则有12905014v v +=-，解得25v =（米/秒）． 所以，两列火车相向而行从相遇至完全离开时所用时间为1290501407155v v +==++（秒）． 评注对于火车行程问题，首先将火车的运动情况分析清楚，再运用一些常用的数量关系式来求解即可． 4．2．4★火车通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了 16秒，求这列火车原来的速度和它的长度．解析设这列火车原来的速度为v 米／秒，它的长度为l 米．则依题意有 8222,16216,2l vl v+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得8,94.v l =⎧⎨=⎩．即这列火车原来的速度为8米／秒，它的长度为94米．4．2．5★某人骑自行车从A 地到B 地，途中都是上坡或下坡路，他以每小时12千米的速度下坡，以每小时4千米的速度上坡．从A 地到B 地用了50分钟，从B 地返回A 地用了112小时．求A 、B 两地相距多少千米？解析设从A 地到B 地，上坡路有x 千米，下坡路有y 千米，则 50,412603.1242x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得 1.5,5.5,x y =⎧⎨=⎩ 1.5 5.57+=（千米）． 所以，A 、B 两地相距7千米．4．2．6★★甲、乙二人骑车在400米环形跑道上进行万米比赛．同时出发后，乙速大于甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙到达终点时所用的时间是多少分钟？解析设出发时甲的速度为a 米／分，乙的速度为b 米／分，第15分钟甲加速后的速度为c 米／分，依题意得()()()18151815,2318400,51523151000,6b a c c b a c ⎧⎪=+-⎪⎪--=⎨⎪⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩解得384a =，400b =，480c =.所以，乙到达终点的时间为1000040025÷=（分）．4．2．7★★甲、乙两人在圆形跑道上从同一地点A 出发，按相反方向跑步．甲速每秒6米，乙速每秒7米，直到它们第一次又在A 处相遇之前，在途中共相遇多少次？解析假设跑道长为s ，甲、乙第一次又在A 处相遇时所用时间为t ，甲、乙相遇一次，则跑过的路程为一圈即s ．设甲、乙第一次又在A 点相遇时共跑了n 圈，则甲、乙两人第一次又在A 点相遇所跑过的路程为ns ，即()67t ns +⨯=．甲、乙第一次又在A 处相遇时，乙比甲多跑了一圈，()76t s -=，解得13n =，则途中相遇次数为112n -=（次）．即他们第一次又在A 点相遇之前，在途中共相遇12次．评注因为每圈相遇一次，最后一圈相遇A 点，故为1n -次（起始点不算在内）4．2．8★★某船往返于甲、乙两港之间，顺水而下需用8小时，逆水而上需要12小时，由于暴雨后水速增加，该船顺水而行是逆水而行所花时间的12，那么逆水而行需几小时？解析 设甲、乙两港之间距离为s ，该船在静水中的速度为a 千米／时，水速为b 千米／时，水速增加后为c 千米／时． 依题意得 8,12,1,2sa b sa b s s a c a c ⎧=⎪+⎪⎪=⎨-⎪⎪=⨯⎪+-⎩解得548s a =，48s b =，5144s c =． 所以水速增加后，该船逆水而行所需时间为 7255548144s s s s a c ==--（小时）． 评注 解流水问题只要抓住基本公式：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速，则很多该类型 题目都可以通过列方程组迎刃而解，上下坡问题跟流水问题也有类似之处．4．2．9★★★甲、乙两人同时从圆形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过了一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转身子，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跪了4圈，试问甲的速度是乙的几倍？解析 本题是甲、乙两人跑圆圈，先同向，后反向．就问题的实质来说，跑圆圈和跑直线的思考方法相同．如果设甲的速度为1x ，乙的速度为2x ，跑道一圈的长为y ．则有，乙跑4圈的速度是2x ，距离为4y ．再设乙跑4圈所用的时间为2t ，于是224t x y ⋅=.所以，问题转化为如何根据已知条件列出关于1x 、2x 、y 的表示时间的关系式就可以了． 设甲的速度为1x ，乙的速度为2x ，跑道一圈的长为y ，那么有 212124y yx y x x x x ⎛⎫+⋅=⎪-+⎝⎭． 由于0y ≠，所以原方程可化为 2212124x x x x x x +=-+， 即22121222x x x x =-．本题要求的是甲的速度是乙的多少倍，所以，我们只需求出12x x 为某一常数即可．于是，方程可化为 21122220x xx x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 解得12x x，或12x x =（舍去）．评注 本题中y 是多设的未知数，它对于列方程来说起到了桥梁作用，使列方程变得思路简单，易于理解，在方程列出后，直接相约（或相消），又立即去掉了多设的未知数．这种方法称为设辅助元法． 4．2．10★★小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车， 问：发车间隔的时间是多少分钟？解析 设18路公交车的速度是x 米／分，小王行走的速度是y 米／分，同向行驶的相邻两车的间距为 s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 66x y s -=．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则 33x y s +=．②由①，②可得4s x =，所以4sx=． 即18路公交车息站发车间隔的时间是4分钟．4．2．11★★AB 两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时 50千米，摩托车后座可带一人．问有三人并配备一辆摩托车从A 地到B 地最少需要多少小时？（保留1位小数）解析 记此三人为甲、乙和丙，甲开摩托车后座带乙人，三人同时出发，甲和乙到C 地所用时间设为x 小时，并且放下乙，乙继续步行，到达B 地所用时间设为y 小时，而甲马上折返，在E 地遇到丙后，携带丙乘摩托车驶向B 地，为了与乙同时到达B 地，x 和y 应当满足如下方程： ①甲和乙到达C 地时，丙到达D 地（见下图）步行的路程是5x 千米；A②DC 之间的距离是()1205x y -+千米； ③甲折返与丙在E 地相遇所用时间是()120555x y -+小时；④丙步行到E 地，所用时间是()120555x y x -++小时；从E 地乘摩托车到B 所用时间是()120555x y y -+-小时；而乙乘摩托车到C 地，所用时间是x 小时；从C 地步行到达B 地所用时间是y 小时．从上述分析，可以列出二元一次方程组()()505120,12051205550120,5555x y x y x y x y +=⎧⎪-+-+⎛⎫⎛⎫⎨++-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得13265x =，4813y =．所以，有三人并配备一辆摩托车从A 地到B 地最少需要47565小时． 4．2．12★★一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做10个，则提前142天完成，若他每天少做5个，则要误期3天．问他要做多少个零件？比定期是多少天？解析 设这个工人要做x 个零件，定期为y 天，则他每天做xy 个零件．根据题目条件，若他每天多做10个，则可减少142天工期．所以11042x x y y ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理，可列另一个方程．即可得方程组()1104,253.x y x y x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得 1350,27.x y =⎧⎨=⎩所以，工人要做1350个零件，此定期为27天．4．2．13★★某项工程，如果由甲、乙两队承包，225天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，334天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，627天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？ 解析 设甲、乙、丙单独承包各需x 、y 、z 天完成，则 115,12114,15117.20x y y z z x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得 4,6,10.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u 、v 、w 元，则 ()()()12180000,515150000,420160000.7u v v w w u ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得45500,29500,10500.u v w =⎧⎪=⎨⎪=⎩于是，由甲队单独承包，费用是455004182000⨯=（元）． 由乙队单独承包，费用是295006177000⨯=（元）． 而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少．4．2．14★★已知甲、乙、丙三人，甲单独做这件工作所用时间是乙、丙两人合作做这件工作所用时间的a 倍，乙单独做这件工作所用时间是甲、丙两人合作做这件工作所用时间的b 倍，求丙单独工作所用时间是甲、乙两人合作做这件工作所用时间的几倍．解析 甲、乙、丙独立完成这一工作分别需x 、y 、z 天，再设整个工程是1．于是，乙单独做一天完成的工作量是1y ，丙是1z ，这样乙、丙合做一天完成的工作量是11y z ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么乙、丙合作这项工作所用的时间应是111y z+天，依题意有1,111,11x a y z y b x z ⎧=⋅⎪+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪+⎪⎩解得()111,1111,11b x ab z a ab y ab z ⎧+⎛⎫=⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎪⎨+⎛⎫⎪=⋅≠ ⎪⎪-⎝⎭⎩所以()21.1111a b z ab ab x y++=⋅≠-+故丙独立完成这一工作需要的时间是甲、乙两人合作完成同一工作所需的时间的21a b ab ++-倍．(1)ab ≠.4．2．15★★某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是多少？解析 本题虽然题干很短，但牵涉到的商业方面的概念及公式还是很丰富的．这里，写出几个与利润有 关的“盈亏”公式：(1)利润=售出价-进货价； (2)利润率=利润进货价100%⨯；(3)进货价1=+售出价利润率．本题涉及两种情况，可设原进价为x 元，销售价为y 元，并表示出按原价销售的利润率和按新价销 售的利润率，再根据两者之间的关系，得出x 与y 的数量关系，最后代入求值． 设原进货价为x 元，销售价为y 元，由公式(2)有 按原价销售的利润率为：100%y xx-⋅； 按新价销售的利润率为：93.6%100%93.6%y xx-⋅⋅⋅．依题意列方程93.6%100%8%100%93.6%y x y xx x --⋅⋅+=⋅⋅． 解方程得 1.17y x =.因此，原来经销这种商品的利润率1.17100%17%x xx-⋅=． 评注 随着市场经济体制的建立，有关营销类应用问题已屡见不鲜，对这类问题，学生首先要了解一些 日常的基本常识和有关名词，如进货、售出价、利润、利润率、盈利、亏本等，同时要掌握好基本关系公式，巧妙地建立关系式．4．2．16★★现有一块黄铜和一块青铜的混合物，其中含有74%的铜，16%的锌和10%的锡．已知青铜含80%的铜，4%的锌和16%的锡，而黄铜是铜和锌的合金．求黄铜含有铜和锌之比． 解析 设黄铜中含铜%x ，则含锌(100)%x -．黄铜和青铜的混合物中含黄铜a ，青铜b ．则 ()8016,7410100416,1610ax b ba xb b +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩①② 由①，得1925bx a=，③ 由②，得1081005bx a-=，④ 由③、④，得161009x x =-．所以，黄铜含有铜和锌之比是169． 4．2．17★★李明、张斌、王钢三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮，李明买了4本练习本、一支圆珠笔和10块橡皮，共付了11元，张斌买了3本练习本、一支圆珠笔和7块橡皮，共付了8.9元，王钢买了一本练习本、一支圆珠笔和一块橡皮共付了多少钱？解析 设x 、y 、z 分别表示1本练习本、1支圆珠笔和1块橡皮的价钱（以角为单位），得方程组 410110,3789,x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② 这是一个三个未知数二个方程的不定方裎，想从中求出x 、y 、z 是很难的，但问题是要我们求x y z ++的值，故②3⨯-①2⨯得 47x y z ++=.因此，王钢买1本练习本，1支圆珠笔和1块橡皮共付了4.7元．4．2．18★★学校用一笔钱买奖品，若以一支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或日记本，可买多少？ 解析 由于这笔钱是未知的，若直接依题目要求去设未知数，则不易列方程．故像这类题目必需间接设元．设钢笔x 元／支，日记本y 元／本，则这笔钱可表示为：()602x y +或()503x y +． 所以()()602503x y x y +=+． 得3x y =．于是，这笔钱全用于买钢笔，可买 ()602100x y x+=(支)； 这笔钱全用于买日记本，可买 ()602300x y y+=（本）．4．2．19★★甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？ 解析设有x 道难题，y 道容易题，中等的（两人解出的）题为z 道，则由题意可得方程组： 100,3260 3.x y z x y z ++=⎧⎨++=⨯⎩①② ①2⨯-②，得20018020x y -=-=.所以，难题多，难题比容易题多20道．4．2．20★现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件，乙7件，丙1件共需315元；若购买甲4件， 乙10件，丙1件共需420元，问要购买甲、乙、丙各一件共需多少元？ 解析 设甲、乙、丙三种货物每件分别为x 元、y 元、z 元．依题意，得 37315,410420.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②①3⨯-②2⨯，得31534202105x y z ++⨯-⨯==．所以，购买甲、乙、丙各一件共需105元．4．2．21★★甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解析 设四个人的年龄分别为a 、b 、c 、d ，根据题意有 ()()()()129,3123,3121,3117.3a b c d a b c a a b c b a b c c ⎧+++=⎪⎪⎪+++=⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎪+++=⎩①②③④ 由上述四式可知()()()()1229,331223,331221,331217.33a b c d d a b c d a a b c d b a b c d c ⎧++++=⎪⎪⎪++++=⎪⎨⎪++++=⎪⎪⎪++++=⎩⑤⑥⑦⑧比较⑤、⑥、⑦、⑧知，d 最大，c 最小，⑤-⑧得()2123d c -=． 所以18d c -=，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18.4．2．22★★★现在父母年龄的和是子女年龄和的6倍；2年前，父母年龄和是子女年龄和的10倍；6年后，父母年龄的和是子女年龄和的3倍，问共有多少子女？解析 设现在父母年龄之和为x 岁，子女年龄之和为y 岁，子女共有z 人，由题意得 ()()6,22102,6.x y x y z x y z ⎧=⎪-⨯=-⎨⎪+6⨯2=3+⎩①②③① 代入②、③，得 ② 51,64,y z y z -=-⎧⎨-=-⎩两式相减，得3z =，所以，子女共有3人．4．2．23★★★★一次数学竞赛出了A 、B 、C 三道题目，25个学生每人至少能解出一道题目．在这些不能解A 的学生中，能解B 的人数等于能解C 的二倍；在能解A 的学生中，至少还能解别的一题的人数比不能解别的题目的人数少一个．如果正好能解一道题目的学生中，有一半不能解A ．问有多少学生正好能解出B 这道题目？解析 由题意可知，本题涉及的量很多，如果采用直接成间接设元都很难列出方程，因此我们可以采用 设辅助未知数，以此作为桥梁建立等量关系，列出方程．最后，消去辅助未知数，从而获得所要的答案．设A ，()AB ，()ABC 分别表示正好能解A ，A 与B ，A 与B 与C 的学生人数，则依题意可得 ()()()()()()()()()()()25,2,1,2,A B C AB BC AC ABC B BC C BC A AB AC ABC A B C B C ⎧++++++=⎪+=+⎪⎨-=++⎪⎪++=+⎩①②③④其中A ，B ．C ，()AB ，()AC ，()BC ，()ABC 都是非负数． 由①和③，得()2125A B C BC +++-=,⑤而②可写成 ()2BC B C =-,⑥ 而④可写成A B C =+⑦由⑤、⑥、⑦得426B C +=,即264C B =-．⑧代入⑥，得()952BC B =-.⑨因为0C ≥，()0BC ≥，所以由⑧和⑨分别得261642B =≤，527599B =≥． 但是B 是整数，所以6B =．所以，有6个学生正好能解出B 这道题目．§4.3含绝对值的方程组 4．3．1★方程组12,6x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4 解析若0x ≥，则12,6,x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是6y y -=-，这不可能．若0x <，则12,6,x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-．所以，原方程组的解为(x ，y )=（3-，9），只有1个解．故选A.4．3．2★如果x 和y 是非零实数，使得3x y +=和30x y x +=，那么x y +等于（ ）． A ．3BCD．4解析 将3y x =-代入30x y x +=，得3230x x x -+=． (1)当0x >时，3230x x x -+=，方程，230x x -+=无实根； (2)当0x <时，3230x x x -+=，得方程，230x x --=，解得x =，正根舍去，从而x =于是33y x =-=+=故4x y += 因此，结论(D)是正确的．4．2．3★★解方程组 2,2.x y x y x y x ⎧-=+-⎪⎨+=+⎪⎩①②解析 由①得 2x y x y +=-+．因为0x y -≥，所以0x y +>，所以x y x y +=+③ 把③代入②，得 2x y x +=+，即2y =．把2y =代入①，得222x x -=+-， 即2x x -=，于是0x ≥．由2x x -=±时，得1x =．故原方程组的解为1,2.x y =⎧⎨=⎩4．3．4★★解方程组21,2.x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①② 解析 由①得21x y -=或21x y -=-．即21x y =+或21x y =-．可得方程组(①)21,2,x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩或（②）21,2.x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩解方程组(①)：由212y y ++=，解得1y =-或13y =，再代入21x y =+，得方程组 （①）的解1,1,x y =-⎧⎨=-⎩或5,31.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解方程组(②)得1,1,x y =⎧⎨=⎩或5,31.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 综上所述，原方程组的解为1,1,x y =-⎧⎨=-⎩1,1,x y =⎧⎨=⎩5,31,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5,31.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4．3．5★★求方程组2250,50x x y y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩在实数范围内解的组数． 解析 设x a =．y b =，则原方程组可化为2250,50.a a b b b a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩两式相减并化为()()60a b a b -+-=，则0a b -=或60a b +-=．由此可得由第一个方程组解得(a ，b )=(0，0)，(4，4)；由第二个方程组解得(a ，b )=（3，3），（3，3．由(a ，b )的第一组解推得(x ，y )=(0，0)；其他三组解每组可推得(x ，y )的4组解．所以，原方程组共有13组不同的实数解．4．3．6★★★解方程组：1221331442112332443113223444114224331,1,1,1.a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x ⎧-+-+-=⎪-+-+-=⎪⎨-+-+-=⎪⎪-+-+-=⎩这里1a 、2a 、3a 、4a 是已知的两两不同的实数．解析因为1a 、2a 、3a 、4a 是两两不同的实数，又方程组中交换下标i 、j 的位置方程组不变，所以可先设1234a a a a >>>．此时方程组可写成()()()()()()()()()()()()1221331441212332441312323441412423431,1,1,1.a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x a a x ⎧-+-+-=⎪-+-+-=⎪⎨-+-+-=⎪⎪-+-+-=⎩①②③④ ①-②，得()()1223410a a x x x x -++-=．②-③，得()()2334120a a x x x x -+--=.③-④，得()()3441230a a x x x x ----=．由于1a 、2a 、3a 、4a 两两不同，所以2341341241230,0,0.x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩⑤⑥⑦ ⑤+⑦，得14x x =代入⑥式，得23x x =.更由⑤式，得220x =，20x =．故 320x x ==．将230x x ==代入①式，得4141x a a =-． 所以在1234a a a a >>>的条件下，已知方程组的解为14141x x a a ==-，230x x ==．在一般情况下，设i j k l a a a a >>>，这里i 、j 、k 、l 是1、2、3、4的一个排列，则方程组的解是 1i l i l x x a a ==-，0j k x x ==．。