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第5节_迭代法的收敛性

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第5章 对流传热理论与计算-5-实验关联式与自然对流

第5章 对流传热理论与计算-5-实验关联式与自然对流
39
六 计算中需要注意的问题
3 注意的问题
（1）判断问题的性质
这是正确求解对流传热问题的关键。流体有无发生相 变？是自然对流还是强制对流？内部流动还是外部流动？ 流态是层流还是湍流？
（2）选择正确的实验关联式
切忌张冠李戴，特别注意公式的适用范围，切不可随
意外推
40
六 计算中需要注意的问题


f w
0.14



2
33
（2） Hausen公式
若 Ref Prf
L /d
10时
Nuf

3.66

1
0.0668
0.04
Ref dL
Prf d L Ref Prf


2
3
可用于热入口段或混合段的层流对流传热
34
四 过渡区强迫对流传热的计算
过渡区：难以找到既简便又精确的计算公式
气体被加热时
气体被冷却时
c t

T T 0.55 fw
ct 1
对液体
m
c t



f w


m 0.11 液体受热时
m 0.25
液体被冷却时
24
引入修正系数ct来考虑不均匀物性场对换热的影响
Nu f

0.023
Ref0.8
Prfn
c t
气体被加热时
气体被冷却时
5.5 管内强迫对流传热的实验关联式
说明：
（1）管槽的含义：流动截面是圆形、椭圆形、正 方形、矩形、三角形等
（2）本节内容的重要性： ——指导工程计算的基础、给出的关联式是工程计算 的依据，必须掌握 ——考试的必考内容

7.2 迭代法及其收敛性

7.2 迭代法及其收敛性

k4.1045
1/ 2
表 7.2.1 用不动点迭代法计算例7.2.1的结果
0 (a) 1.5 -0.625 6.447 -378.2 5.3697e7 -1.547e23 (b) 1.5 0.912871 2.454577 (c) (d) (e) 1.5 1.5 1.5 1.241638702 1.333333333 1.365079365 1.424290116 1.305205188 1.387624336 1.332682451 1.370291856 1.344991115 1.362217505 1.350582520 1.358732441 1.355350555 1.354767869 1.355301399 1.355384418 1.355301398 1.355288480 1.355303407 1.355301085 1.355301446 1.355301390
*
k
xk x L x0 x L max x0 a , b x0 ,
* k * k
从而 7.2.4 成立.
再由 7.2.3 , 对m k 1, 我们有
x m x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k Lm 1 x1 x0 Lm 2 x1 x0 Lk x1 x0 Lk x1 x0 1 L L2 Lm k 1 .
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.

计算方法-牛顿求根

计算方法-牛顿求根

1 3 1 3 ( 4) x k 1 x , ( x ) x , k 2 xk 2 x 3 1.7320508 1 3 ( x ) 1 2 , ( x ) ( 3 ) 0. 2 x 取x0=2, 对上式4种迭代法, 计算三步所得结果入下表. k xk 迭代法(1) 迭代法(2) 迭代法(3) 迭代法(4) 0 x0 2 2 2 2 1 x1 3 1.5 1.75 1.75 2 x2 9 2 1.73475 1.732143 3 x3 87 1.5 1.732361 1.732051 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆
( x ) ( 3 ) 2 3 1 1 . 3 3 3 ( 2 ) x k 1 , ( x ) , ( x ) 2 , ( x ) 1. xk x x 1 2 1 2 ( 3) x k 1 x k ( x k 3), ( x ) x ( x 3), 4 4 1 3 ( x ) 1 x , ( x ) 1 0.134 1. 2 2
f ( xk ) xk 1 =xk f ( xk )
(k 0,1,2)
局部收敛于 ，且为平方收敛。
牛顿迭代法的收敛性
牛顿迭代法的迭代函数为
f ( x) ( x) x f ( x )
设α是f(x)的一个单根，即f(α)=0有
f ( x ) f ( x ) ( x ) 0, * 2 [ f ( x )] f ( x ) (x ) 0. f ( x )
(2) 按公式 xk 1 得新的近似值xk+1 (3) 对于给定的允许精度，如果 | xk 1 xk | 则终止迭代，取 x* xk 1;否则k=k+1，再转 步骤(2)计算 允许精度

电力系统稳态分析--潮流计算

电力系统稳态分析--潮流计算

电力系统稳态分析摘要电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种重要的分析计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各母线的电压,各元件中流过的功率，系统的功率损耗。

所以，电力系统潮流计算是进行电力系统故障计算，继电保护整定，安全分析的必要工具。

本文介绍了基于MATLAB软件的牛顿—拉夫逊法和P—Q分解法潮流计算的程序，该程序用于计算中小型电力网络的潮流。

在本文中，采用的是一个5节点的算例进行分析,并对仿真结果进行比较,算例的结果验证了程序的正确性和迭代法的有效性。

关键词：电力系统潮流计算；MATLAB；牛顿—拉夫逊法;P-Q分解法；目次1 绪论 01.1背景及意义 01.2相关理论 01。

3本文的主要工作 (1)2 潮流计算的基本理论 (2)2。

1节点的分类 (2)2。

2基本功率方程式（极坐标下） (2)2.3本章小结 (3)3 潮流计算的两种算法 (4)3。

1牛顿—拉夫逊算法 (4)3.2PQ分解算法 (10)3。

3本章小结 (14)4 算例 (15)4.1系统模型 (15)4.2结果分析 (15)4。

3本章小结 (18)结论 (19)参考文献 (20)附录 (21)1 绪论1。

1背景及意义电力系统稳态分析是研究电力系统运行和规划方案最重要和最基本的手段。

电力系统稳态分析根据给定的发电运行方式和系统接线方式来确定系统的稳态运行状态，其中潮流计算针对电力系统的各种正常的运行方式进行稳态分析.潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算.通常给定的运行条件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。

待求的运行状态参量包括电网各母线节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等.电力系统潮流计算问题在数学上是一组多元非线性方程式求解问题,其解法都离不开迭代.潮流计算方法的改进过程中,经历了高斯-赛德尔迭代法、阻抗法、分块阻抗法、牛顿-拉夫逊法、改进牛顿法、P—Q分解法等。

配电网潮流计算方法概述

配电网潮流计算方法概述

配电网潮流计算方法概述-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1配电网潮流计算方法概述目前，传统的电力系统潮流计算方法，如牛顿-拉夫逊法、PQ分解法等，均以高压电网为对象；而配电网络的电压等级较低，其线路特性和负荷特性都与高压电网有很大区别，因此很难直接应用传统的电力系统潮流计算方法。

由于缺乏行之有效的计算机算法，长期以来供电部门计算配电网潮流分布大多数采用手算方法。

80年代初以来，国内外专家学者在手算方法的基础上，发展了多种配电网潮流计算机算法。

目前辐射式配电网络潮流计算方法主要有以下两类：(1)直接应用克希霍夫电压和电流定律。

首先计算节点注入电流，再求解支路电流，最后求解节点电压，并以网络节点处的功率误差值作为收敛判据。

如逐支路算法，电压／电流迭代法、少网孔配电网潮流算法和直接法、回路分析法等。

(2)以有功功率P、无功功率Q和节点电压平方V2作为系统的状态变量，列写出系统的状态方程，并用牛顿-拉夫逊法求解该状态方程，即可直接求出系统的潮流解。

如Dist flow算法等。

2 配电网络潮流计算的难点1.数据收集在配电网络潮流计算中，网络数据和运行数据的完整性和精确性是影响计算准确性的一个主要因素。

对实际运行部门来说，要提供出完整、精确的配电网网络数据和运行数据是很难办到的，这主要有下面几个原因：(1)由于配电网网络结构复杂，特别是10KV及以下电压等级的配电网络，用户多且分散，不可能在每一条配电馈线及分支线上安装测量表计，使得运行部门很难提供完整、精确的运行数据。

(2)在实际配电网中，有部分主干线安装自动测量表计，而大部分配电网络只能通过人工收集网络运行数据，很难保证运行数据的准确性。

因此限制了配电网潮流计算结果的精确性，使得大多数计算结果只能作为参考资料，而不能用于实际决策。

2.负荷的再分配由于配电网络的网络结构复杂、用户设备种类繁多、极其分散、以及各种测量表计安装不全等原因，使得运行部门无法统计出每台配电变压器的负荷曲线，只能提供较准确的配电网络根节点上(即降压变压器低压侧母线出口处)总负荷曲线。

超松弛迭代法课程设计

超松弛迭代法课程设计

超松弛迭代法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解超松弛迭代法的概念，掌握其基本原理和应用场景。

2. 学生能够运用超松弛迭代法解决线性方程组问题，并理解其收敛性。

3. 学生能了解超松弛迭代法在工程和科学计算中的重要性。

技能目标：1. 学生能够独立进行超松弛迭代法的计算步骤，包括设定松弛因子、构造迭代矩阵等。

2. 学生能够运用数学软件（如MATLAB）实现超松弛迭代法的算法，并进行简单的程序调试。

3. 学生通过实际案例分析，培养运用超松弛迭代法解决实际问题的能力。

情感态度价值观目标：1. 学生通过学习超松弛迭代法，培养对科学计算和数学建模的兴趣，增强对数学学科的学习信心。

2. 学生在小组讨论和合作中，学会尊重他人意见，培养团队协作精神。

3. 学生能够认识到超松弛迭代法在科技发展中的重要作用，增强科技创新意识和社会责任感。

课程性质：本课程为高中数学选修课，以培养学生解决实际问题能力和数学思维能力为目标。

学生特点：学生具备一定的线性代数基础，具有较强的逻辑思维能力和动手操作能力。

教学要求：教师应注重理论与实践相结合，引导学生通过实际案例掌握超松弛迭代法的应用。

同时，注重培养学生的团队协作能力和创新意识。

在教学过程中，关注学生的学习进度，及时调整教学策略，确保课程目标的实现。

通过课堂讲解、上机实践和小组讨论等多种教学方式，提高学生的学习效果。

二、教学内容1. 引言：介绍超松弛迭代法的背景和在实际问题中的应用，激发学生学习兴趣。

相关教材章节：第二章第四节“迭代法及其应用”。

2. 基本概念：讲解超松弛迭代法的基本原理，包括迭代格式、松弛因子选取等。

相关教材章节：第二章第四节“超松弛迭代法”。

3. 算法实现：详细讲解超松弛迭代法的计算步骤，并通过实例进行演示。

相关教材章节：第二章第四节“超松弛迭代法的计算步骤”。

4. 实践应用：分析实际案例，让学生动手实践，运用超松弛迭代法解决线性方程组问题。

相关教材章节：第二章第五节“迭代法解决实际问题”。

科学计算与数学建模_中南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

科学计算与数学建模_中南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.Euler法又称为Euler折线法。

答案:正确2.对于一般区间[a,b]上的积分，可以利用视频中的表3.5.1（Gauss型求积公式节点和系数表）写出对应的Gauss型求积公式。

答案:正确3.二分法是一种只能用来求解非线性方程根的数值解法答案:错误4.Romberg算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复合梯形产生的近似值进行加权平均，以获得精度更高的一种方法。

答案:正确5.以下不属于用迭代法求解线性方程组的优点的是_________.答案:迭代法不用考虑收敛问题6.高阶微分方程都可以转化成一阶微分方程组问题求解。

答案:正确7.Newton迭代法可以用于求解方程的重根和复根。

答案:错误8.二分法是一种能用来求解非线性方程根的数值解法。

答案:正确9.初值的选取影响Newton迭代法的收敛性。

答案:正确10.Newton迭代法在根的领域内是_____阶收敛的。

答案:二11.二分法计算简单方便，但它收敛较慢，且不能求_____.答案:复根和偶数重根12.若真值是10，则近似值9.9的绝对误差和相对误差分别是。

答案:0.1, 0.0113.下列说法正确的是____________.答案:14.层次分析法不适用于精度较高的问题。

答案:正确15.评价者构造两两比较矩阵时主要依据自己的主观看法。

答案:正确16.决策是指在面临多种方案时依据一定的标准选择决策者认为的最佳方案。

答案:正确17.Cotes求积系数与积分区间和被积函数无关。

答案:正确18.层次分析法构造两两比较矩阵允许出现不一致情况。

答案:正确19.下哪种情况在数值计算过程中可以不用避免______________.答案:大小相近的同号数相加20.使用层次分析法进行决策可以得出更好的新方案。

答案:错误21.层析分析法适用于多目标、多准则或无结构特性的决策问题。

答案:正确22.应用层次分析法解决方案评价问题的主要困难是。

第二节_牛顿迭代法


2 3 xk
2 f ( x) 3 x
k 0,1, 2,

4、牛顿迭代法的局部收敛性定理 设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 f ( x) 连 B ( x *) [ x , x ]， f ( x ) 0 续，且 ，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 x0 B ( x*)，由牛顿迭代法产生的序列xk 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*.
标即为 xk 1 。 y
( x0 , f ( x0 ))
x* x2 x x0 1
x
例2.5：写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式；写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。
2 f ( x ) x a 0 (a 0) 的正根 f ( x) 2x 解： 等价于求方程
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( ) ( x x 0 ) 2 ， 2!
在 x0 和 x 之间
* 取 x x ，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
lim x n 注意到ξn 在xn 及x*之间,及 n
x n1 x* x n x*
2
x*
,故
f" ( n ) f " ( x* ) * 2 f ' ( xn ) 2 f' ( x )
0(二阶收敛)若 f "( x* ) 0 0(大于二阶收敛)若 f "( x* ) 0
Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其 迭代函数为: f ( x) ( x) x f '( x )

计算方法课后习题集规范标准答案

习 题 一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。

注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。

可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。

高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计

题目：高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计摘要本文通过理论与实例对线性方程组的解法、收敛性及误差分析进行了探讨.在对线性方程组数值解法的讨论下用到了高斯-赛德尔迭代法，进一步研究和总结了高斯-赛德尔迭代法的理论与应用，使我们在分析问题与编辑程序时能更好的把握对高斯-赛德尔迭代法的应用。

关键词Gauss-Seidel迭代法；收敛性；误差分析；流程图；Mathematica编程目录第一章高斯-赛德尔迭代法 (1)§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出 (1)§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论 (1)§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式 (2)§1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性 (1)§1.3 高斯-赛德尔迭代法的误差分析 (1)第二章高斯-赛德尔迭代法的程序设计 (1)§2.1 高斯-赛德尔迭代法在上机中的应用 (1)§2.1.1 高斯-赛德尔迭代法的流程图 (1)§2.1.2 高斯-赛德尔迭代法的源程序 (1)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。

附录 .................................................. 错误！未定义书签。

第一章 高斯-赛德尔迭代法考虑线性方程组Ax b =其中A 为非奇异矩阵，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A 的阶数n 很大但零元素很多）,利用迭代法求解线性方程组Ax b =是合适的.在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A 中有大量零元素的特点.本章将介绍迭代法中的高斯-赛德尔法的思想理论、收敛性及误差分析.§1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出§1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论在研究雅可比迭代法时，计算1k i x +时，已得(1)(1)(1)121,,,k k k i x x x +++- （这些分别为121,,,i x x x - 的第k+1次近似），Gauss-Seidel 迭代法认为在计算时启用新值，从而产生1(1)(1)()111()i nk k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x a -++==+=--∑∑. 具体原理如下图所示图1.1 基本迭代原理§1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式定义1.1 我们注意到在雅可比迭代法中并没有对新算出的分量11k x +，12k x +， ，11k i x +-进行充分利用．不妨设想，在迭代收敛的条件下，我们把 (1)()()()11211331111(1)()()()22112332222(1)()()()1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k nn n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩式中第一个方程算出的11k x +立即投入到第二个方程中，代替()1k x 进行计算，当12k x +算出后代替()2k x 马上投入到第三个方程中计算，依次进行下去，这样也许会得到更好的收敛效果．根据这种思路建立的一种新的迭代格式，我们称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代公式，高斯=赛德尔迭代法的分量形式：(1)()()()11211331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)1122,111()1(1(k k k k n n k k k k n n k k k k n n n n n n nn x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a +++++++--⎧=---+⎪⎪⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎪=---+⎪⎩高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式：(1)(),(0,1,2,)k k x Bxf k +=+= 其中1()BD L U -=- ，1()f D L b -=- B称为高斯-赛德尔迭代矩阵，f 称为高斯-赛德尔迭代常量.. §1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性根据上节所述，高斯-赛德尔迭代法的迭代格式为(1)(),(0,1,2,)k k x Bx f k +=+= （1-1）其中1()B D L U -=-，1()f D L b -=- .本节要讨论的问题就是任意选取初始值(0)x ，利用迭代格式(1-1)得到的向量序列{}()k x 是否一定收敛，如果收敛的话需要满足什么条件？下面我们给出一般迭代收敛的条件:定理1.2 简单迭代法(1-1)收敛的充分必要条件是迭代矩阵B 的谱半径()1B ρ<．定理1.3 若迭代矩阵B 的某种范数1<B 则（1-2-1）确定的迭代法对任意初值(0)X 均收敛于方程组x Bx f =+的唯一解*x 。

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x ≠0
Bx x
≥
Bx1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
= 1,与已知矛盾！
线性方程组迭代法收敛性
推论1：对任意初始向量x (0)和右端项g，若 M < 1, 由迭代式 x ( k +1) = Mx ( k ) + g产生的向量序列{ x ( k ) }收敛.
证明：矩阵范数性质3：ρ ( A) ≤ || A ||
迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向 量及右端项无关。 对同一方程组，由于不同的迭代法迭代矩阵不同，可能 出现有的方法收敛，有的方法发散的情形。
且至少有一个i值，使上式中不等号严格成立，则称A为弱 对角占优阵。若对所有i，上式不等号均严格成立，则称A 为严格角占优阵。
定义：如果矩阵A不能通过行的互换和相应的列互换成 A11 为形式 A = 0 A12 ,其中A11，A22为方阵，则称A为不可约。 A22
1 1 0 2 1 0 P = I13 例： A = 1 1 0 PT AP = 0 1 1 → 0 1 2 0 1 1
k →∞
证：设u为A特征值λ对应的特征向量， 则：Ak u = λ Ak -1u =...=λ k u 即：λ k为矩阵Ak的特征值。
ρ 所以：（Ak） [ ρ ( A)]k =
线性方程组迭代法收敛性
1- ρ ( A) > 0， 2 定理：设A为任意n阶方阵， 存在矩阵范数 ，使得 则对任意正数ε , 存在矩阵 1 + ρ ( A) A ≤ ρ ( A) + ε = <1 范数 ，使得： 2 证： 充分性：若ρ ( A) < 1 ，取ε = 则有： A = 0 lim
Gauss-Seidel迭代收敛性：
其特征方程
λ
1 λI - B = 2 1 2
1 2
λ
1 2 1 1 3 3 =λ - λ+ 2 4 4
1 λ 2 1 = (λ - ) 2 (λ + 1) = 0 2 1 得λ1 = λ2 = , λ3 = -1, 因而ρ ( B) = 1 2 ⇒ Jacobi迭代法不收敛。
k →∞ k →∞
谱半径
引理：设A为 n阶方阵，则lim Ak = 0的充要条件为ρ ( A) < 1。
k →∞
由矩阵收敛的定义知 lim Ak = 0 又因 ρ(A) ≤ A ⇒ 0 ≤ ρ ( Ak ) ≤ Ak
k →∞
由夹逼定理，有 lim[ ρ ( Ak )]=0 。 又由于： ρ ( Ak ) = [ ρ ( A)]k 则： lim[ ρ ( A) k ]=0 ⇒ ρ ( A) < 1
步迭代与第k步迭代关系 第1步迭代与第 步迭代关系。 步迭代与第 步迭代关系。
线性方程组迭代法收敛性
定理：对任意初始向量x (0)和右端项g，由迭代式x ( k +1) = Mx ( k ) + g产生的 向量序列{x ( k ) }收敛的充要条件是ρ ( M ) < 1.
证: 必要性 : 设存在n维向量x* ,使得 lim x ( k ) = x*
迭代法收敛性：
Jacobi迭代法的迭代矩阵为 0 -2 2 B = I - D -1 A = -1 0 -1 -2 -2 0 λ 2 -2 其特征方程为 λ I - B = 1 λ 1 = λ 3 = 0 2 2 λ 因此有λ1 = λ2 = λ3 = 0,于是ρ ( B) = 0 < 1, 所以Jacobi迭代法收敛。
k k →∞
A ≤ ρ ( A) + ε
k -1
由算子范数相容性，可得： 0≤ A ≤ A
k
A ≤ ... ≤ A ,
k
由夹逼定理，可得： lim Ak = 0.
k →∞
线性方程组迭代法收敛性
性质：x ( k ) − x* = M k ( x (0) − x* ) 证明：如果x*存在，则x*满足： x* = Mx* + g x ( k ) - x* = Mx ( k -1) + g − Mx* − g = M ( x ( k -1) − x* ) = M 2 ( x ( k -2) − x* ) = ... ... = M k ( x (0) - x* )
-1
(1- ω ) D + ωU = (1- ω ) n a11a22 ...ann ⇒ det( M ) = (1- ω ) n < 1 ⇒ 0 < ω < 2。
特殊矩阵收敛性的判定：
定义：若n阶方阵A = (aij )满足 aii ≥ ∑ aij (i = 1, 2, L, n)
j =1 j ≠i n
法为SOR法的特例。 法的特例。 注：Gauss-Seidel法为 法为 法的特例
Gauss-Seidel迭代收敛性：
1 1 1 2 2 1 1 例：Ax = b, A = 讨论用三种迭代法求解的收敛性。 1 2 2 1 1 1 2 2 解：因A为对称且其各阶主子式皆大于零，故A为对称正定矩阵。 由判别条件3，Gauss - Seidel迭代法与松弛法(0 < ω < 2)均收敛。 A不是严格对角占优阵，故不能用条件1判断。 1 1 0 - 2 2 1 1 Jacobi迭代法的迭代矩阵为B = I - D -1 A = 0 2 2 1 1 0 2 2
第三章 线性方程组求解的数值方法
第五节 迭代法的收敛性
迭代法收敛性
• 收缩映射原理（Contraction Principle）：
∀x1 , x2 , ∃ 0 < L < 1, f ( x)满足： f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ L x1 − x2 ，则x ( k +1) = f ( x ( k ) )收敛
三种算法收敛性各有优劣。 三种算法收敛性各有优劣。
Gauss-Seidel迭代收敛性：
注意：改变方程组中方程的次序，即将系数矩阵作行交换， 会改变迭代法的收敛性。 3 -10 例：Ax = b, A = 9 -4 Jacobi与Gauss - Seidel迭代的迭代矩阵分别为 10 0 -3 B= , - 9 0 4 谱半径分别是ρ ( B) = 10 0 3 M = 0 15 2 30 15 , ρ ( M ) = ，均不收敛。 2 2
Gauss-Seidel迭代收敛性：
设有线性方程组Ax = b,下列结论成立： 1.若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则 Jacobi迭代法和Gauss - Seidel迭代法均收敛。（教材定理3.3） 2.若A为严格对角占优阵， < ω ≤ 1, 则松弛法收敛。 0 3.若A为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为0 < ω ≤ 2。
k →∞ k →∞
即由迭代公式x ( k +1) = Mx ( k ) + g产生的向量序列{ x ( k ) }收敛.
线性方程组迭代法收敛性
性质：若矩阵B的某个算子范数 B < 1, 则必有I ± B可逆 证明：反证法：设( I ± B) x = 0有非零解，即： ∃x1 ≠ 0, 使得( I ± B ) x1 = 0,即： ± Bx1 = x1 B max
线性方程组迭代法收敛速度
性质：x ( k ) − x* = M k ( I − M )-1 ( x (0 ) − x (1) ) 证明：如果x*存在，则x*满足： x* = ( I - M )-1 g x ( k ) - x* = M k ( x (0 ) − x* ) = M k [ x (0) − ( I − M )-1 g ] = M k ( I − M )-1[( I − M ) x (0) − g ]
证明：
x ( k +1) − x ( k ) = f ( x ( k ) ) − f ( x ( k −1) ) ≤ L x ( k ) − x ( k −1) ≤ L f ( x ( k −1) ) − f ( x ( k − 2) ) ≤ L2 x ( k −1) − x ( k − 2) ...... ≤ Lk −1 f ( x (1) ) − f ( x (0) ) ≤ Lk x (1) − x (0)
Gauss-Seidel迭代收敛性：
若交换方程的次序，得Ax = b的同解方程组A' x = b' , 3 -10 9 -4 ' A= → A = 3 -10 9 -4 A'为严格对角占优阵，因而对方程组A' x = b'用 Jacobi与Gauss - Seidel迭代求解均收敛。
迭代法收敛性：
x1 + 2 x2 - 2 x3 = 1 例：对方程组 x1 + x2 + x3 = 2 2 x + 2 x + x = 3 2 3 1 讨论Jacobi迭代法与Gauss - Seidel迭代法的收敛性。 解：求迭代矩阵判别其谱半径是否小于1。 1 A = 1 2 0 L = -1 -2 2 -2 1 1 2 1 0 0 0 -2 0 0 1 0 D = 0 1 0 0 0 -2 U = 0 0 0 0 0 0 1 2 -1 0
f ( x)
f ( x)
ξ ∀ξ > 0, ∃K = log L ( x1 − x0
) , ∀k > K ,满足：
f ( x)
x ( k +1) − x ( k ) ≤ ξ
∴序列{x ( k ) } 收敛
x 表示取大于x的整数
收缩映射
线性方程组迭代法收敛性
证：必要性： 若 lim Ak = 0
k →∞