用十字相乘法解一元二次方程演示教学

十字相乘法因式分解解一元二次方程
求一元二次方程的解可以使用十字相乘法因式分解。

首先，假设方程为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a不等于0。

我们可以利用十字相乘法将方程进行因式分解。

首先，将方程的二次项系数a与常数项c相乘，得到ac的结果。

然后，找出两个数的乘积等于ac，并且它们的和等于一次项系数b。

这两个数即为我们要找的因式分解的两个因子。

将这两个因子分别代入方程得到两个一次方程，并解这两个一次方程即可得到方程的解。

具体步骤如下：
1. 计算ac的值。

2. 找出两个数的乘积等于ac，并且它们的和等于b。

设这两个数为m 和n。

3. 将方程进行拆分：ax²+bx+c = (x+m)(x+n) = 0。

4. 解方程(x+m) = 0和(x+n) = 0，得到x的值。

通过十字相乘法因式分解，我们可以将一元二次方程拆解为多个一次方程，从而求得方程的解。

用“十字相乘法”解一元二次方程回顾：1.一元二次方程 的一般形式是：2.一元二次方程 的根的个数的判断：（1）当 时，方程无解（2）当 时，方程一解（3）当 时，方程两解3.根与系数的关系（韦达定理）是：作用：有根可求系数4.求根公式：作用：求根5..求一元二次方程 的根的方法有：6.常用求根方法是“十字相乘法”新课讲解：用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解一、二次项系数是1型：例1：()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

写成十字相乘形式是：一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到写成十字相乘形式是：练习一 用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式：（1）2x -7x+6=0 （2）2x -5x+6=0（3） 2x +8x+16=0 （4）=++892x x 0（5）=+-24102x x 0 （6）2x +(1+3)x+3=0（7）=-+1522x x 0 （8）=--2832x x 0二：二次项系数不是1型：例2：()()4312++x x =反过来我们就得到 因式分解的结果： ()()431241162++=++x x x x 。

我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：（1）把二次项26x 拆成x x 32⋅，分别写在十字交叉的左边上下两角，（2）把常数项4拆成41⨯，写在右边上下两角。

上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！ 1.因式分解竖式写2.交叉相乘验一次项3.横向写出∴ ()()431241162++=++x x x x 二、用“十字相乘法”解某些特殊的一元二次方程例2 解方程：0453142=--x x解： ()()0549=+-x x∴练习二解下列一元二次方程：（1）3722++x x =0 （2）3722+-x x =0（3）01692=++x x (4)=+-1442x x 0（5）3522-+x x =0（6）2384a a -+=0（7）06722=+-x x（8）04432=+--x x（9）38162=+x x（10）09642=--x x（11）()116116=+x x（12）0132=+-x x三：带字母的（1）0)1(2=++-a x a x （2）0)1(2=+++a x a x(3)0)(322=++-m x m m x （4）0)(322=+++m x m m x（5）022=+--a a x x (6）022=+-+a a x x总结：（1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数为正则拆成两个数同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。

用十字相乘法解一元二次方程我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。

把2x px q ++分解因式时：如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。

如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解。

我们知道，反过来，就得到我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它们正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于上图的上一行，2a ，2c 位于下一行。

像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

一般地我们也可以用这种方法进行解一元二次方程。

例1 （1）232x x ++=0 （1） 2421x x --=01、解方程(1) 2273x x -+=0 (2) 2675x x --=0(3) 03522=--x x (4)22157x x ++=0(5) 2384a a -+=0 (6) 2576x x +-=0(7) 261110y y --=0 (8) 05522=+-x x(9) 02522=+-x x (10) 0652=--x x(11)01682=++x x (12) 0262=-+x x (13)03)31(2=+++x x。

三.十字相乘法分解因式－解方程（1）
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5x2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解：1x 2x 4 0
x 2 0 x 4 0
x1 2, x2 4
解
3x 5x 4 0
x 5 0, x 4 0 x1 5, x2 4
4x 4x 2 0
x 4 0, x 2 0 x1 4, x2 2
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5x2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
=例2 分解因式 3x2 －10x＋3
解：3x 2－10x＋3
1
－3
=(x－3)(3x－1)
3
－1
－9－1=－10
例3 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5
＋3
=(5x＋3)(x－4) 1
－4
－20＋3=－17
三.十字相乘法分解因式－解方程（2）
例 解下列方程
(1)2 y2 3y 2 0 (2)3x2 10 x 8 0
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab旳反 向运算，它合用于分解二次三 项式。
例1、把 x2＋6x－7分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式旳措施）
例一：
环节：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
1 7
1 1
②交叉相乘，再相加等于 一次项系数 ③检验拟定，横写因式
2－y2－4y＋12=0 答案－ (y＋6)(y－2)=0