高三数学分类复习(有答案)5.4.2 正弦函数的性质

正弦函数的性质和计算正弦函数是基本的三角函数之一，在数学和物理学中具有重要的应用。

本文将重点介绍正弦函数的性质和计算方法。

一、正弦函数的定义和图像特点正弦函数可以用以下函数表示：y = sin(x)其中，x 表示自变量，y 表示因变量。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，呈现周期性变化。

具体而言，正弦函数的图像在区间[-π/2, π/2] 上是递增的，而在区间[π/2, 3π/2] 上是递减的。

它的最大值为1，最小值为-1，且在x = kπ (k 为整数) 处取得这些特殊值。

二、正弦函数的性质1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。

这意味着正弦函数的图像每隔2π重复一次。

2. 奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即 sin(-x) = -sin(x)。

这意味着正弦函数的图像关于原点对称。

3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x) = sin(x)。

这意味着正弦函数的图像关于直线x = π/2 对称。

4. 临界点：正弦函数在一些特殊点上取得极值。

具体而言，当 x =kπ/2 (k 为整数) 时，正弦函数取得最大值 1 或最小值 -1。

三、正弦函数的计算方法1. 角度值和弧度值的转换：在计算正弦函数时，有时会遇到角度值和弧度值之间的转换。

通常使用以下公式：弧度= (π/180) * 角度角度= (180/π) * 弧度2. 倍角、半角和和差公式：正弦函数的计算可以利用倍角、半角和和差公式简化。

具体公式如下：（1）倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)（2）半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cos(x))/2]（3）和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)3. 特殊角度值的正弦值：一些特殊角度值的正弦值是常见的，可以通过记忆或计算得到。

例如：sin(0°) = 0，sin(30°) = 1/2，sin(45°) = √2/2，sin(60°) = √3/2，sin(90°) = 1四、正弦函数的应用正弦函数在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 音波和振动：正弦函数可以描述声音和振动的变化规律。

正弦函数的性质及其应用正弦函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。

本文将介绍正弦函数的性质，并探讨其在不同领域的应用。

一、正弦函数的定义及基本性质正弦函数可以用一个周期为2π的函数来描述，其定义如下：f(x) = A*sin(Bx+C)+D其中A、B、C和D是常数，A代表振幅，B代表周期，C代表相位差，D代表纵向平移。

1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在每个周期内，其函数值会重复。

2. 对称性：正弦函数关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即-f(x) = f(-x)。

4. 增减性：正弦函数在[0,π/2]上是增函数，在[π/2,π]上是减函数，在[π,3π/2]上是减函数，在[3π/2,2π]上是增函数。

5. 最值：正弦函数的最大值为A+D，最小值为-D-A。

二、正弦函数的应用1. 波动现象：正弦函数是描述波动现象的重要工具，例如光的传播、声音的传播等。

正弦函数可以用来描述波的振幅、频率、波长等特性。

2. 信号处理：正弦函数在信号处理中有着重要的应用，例如在频谱分析中，可以将任意周期信号分解为多个正弦函数的叠加。

3. 调和运动：调和运动是指物体按正弦函数规律进行振动的运动形式。

例如弹簧振子、摆锤等的运动可以用正弦函数来描述。

4. 电力工程：交流电路中的电流、电压变化可以用正弦函数来描述。

正弦函数在电力传输、变压器等领域有着广泛的应用。

5. 声音合成：正弦函数可以用来合成各种音调的声音，例如音乐合成器就是利用正弦函数的不同频率和振幅生成各种音调。

6. 数学建模：正弦函数可以用来对一些自然现象和社会现象进行数学建模，例如天气变化、经济波动等。

三、总结正弦函数作为一种基本的周期函数，在数学和物理领域具有重要的应用价值。

本文介绍了正弦函数的定义及基本性质，并探讨了其在波动现象、信号处理、调和运动、电力工程、声音合成和数学建模等领域的应用。

第五章 三角函数5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质一、选择题1．（2019·全国课时练）函数sin 2y x =-，x ∈R 是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【答案】A【解析】设()sin2,y f x x ==- 则()()()sin2sin2,f x x x f x -=--==- 故函数函数sin2y x =-，x R ∈是奇函数，由2,2T ππ== 故函数sin2y x =-，x R ∈是最小正周期为π的奇函数.故选A.2．（2019·全国课时练）函数()πcos 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（ ） A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．是非奇非偶函数 【答案】A【解析】∵()πcos sin 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-, ∴()f x 是奇函数．3．（2019·全国课时练习）在[]0,2π内，不等式sin x < ） A ．()0,π B ．π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．4π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．4π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】画出[]sin ,0,2πy x x =∈的草图如下：因为πsin3=，所以πsin π32⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，πsin 2π32⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即在[]0,2π内，满足sin x =4π3x =或5π3x =.可知不等式sin x <4π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭.故选C.4．（2016·全国课时练习）函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】由sin y x =图象易得函数单调递增区间为ππ,π+,2k k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ， 当1k =时，得3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭为sin y x =的一个单调递增区间．故选C. 5．（2019·全国课时练习）下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11sin168cos 77︒<︒<︒B ．sin168sin11cos 77︒<︒<︒C ．sin11cos 77sin168︒<︒<︒D ．sin168cos 77sin11︒<︒<︒ 【答案】A【解析】∵()sin168sin 18012sin12︒=︒-︒=︒，()cos77cos 9013sin13︒=︒-︒=︒， 由正弦函数的单调性得sin11sin12sin13︒<︒<︒，即sin11sin168cos 77︒<︒<︒. 6．（2019·全国高一课时练习）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（ ）A ．sin()2y x π=+ B ．cos()2y x π=+ C ．cos(2)2y x π=+ D ．sin(22)y x π=+【答案】D【解析】由题意得，函数的周期为π，只有C,D 满足题意，对于函数cos(2)sin 22y x x π=+=-在[,]42ππ上为增函数，函数sin(2)cos 22y x x π=+=在[,]42ππ上为减函数，故选D.二、填空题7．（2019·全国高一课时练）函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期是_____________.【答案】π【解析】∵函数sin y x =的周期为2π，∴函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期22T ππ==， 8．（2019·全国高一课时练）如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么|φ|的最小值为____________.【答案】6π【解析】∵函数y ＝3cos （2x +ϕ）的图象关于点403，π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，∴4232k ππϕπ⋅+=+，得136k πϕπ=-，k ∈Z ，由此得||6min πϕ=．9．（2012·全国高一课时练习）f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则ω＝________. 【答案】34【解析】函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集，∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭即2sin 3πω⎛⎫ ⎪⎝⎭∴3πω＝4π，∴ω＝34，故答案为34. 10．（2019·全国课时练）函数cos y x =在区间[]π,a -上为增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(]π,0-【解析】因为cos y x =在[]π,0-上是增函数，在[]0,π上是减函数，所以只有π0a -<≤时满足条件，故(]π,0a ∈-． 三、解答题11．（2019全国高一课时练）已知函数f (x )x －π4)，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值. 【答案】（1）π.，3[,]88k k ππ-+π+π（28x π=；最小值为1-，此时2x π=．【解析】 (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π.当2k π≤2x －π4≤2k π＋π，即k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z 时，f (x )单调递减，∴f (x )的单调递减区间是[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z.(2)∵x ∈[－π8，π2]，则2x －π4∈[－π2，3π4]，故cos(2x －π4)∈[1]，∴f (x )max ＝2x －π4＝0，即x ＝π8；f (x )min ＝－1，此时2x －π4＝3π4，即x ＝π.218．（2019·全国高一课时练）设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝8π.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 【答案】（1）34π-；（2）5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦；（3）图象见解析. 【解析】（I ）∵sin(2)18πϕ⨯+=±，∴,42k k ππϕπ+=+∈Z ．∵0πϕ-<<，∴34πϕ=-． （II ）3sin(2)4y x π=-．由3222,242k x k k πππππ-≤-≤+∈Z 得函数3sin(2)4y x π=-的单调增区间为5[,],88k k k ππππ++∈Z （Ⅲ）由3sin(2)y x π=-知故函数()y f x =在区间[0,]π上的图象如图所示．。

正弦函数的性质与应用解析正弦函数是数学中一种常见的三角函数，它在数学和物理等领域具有广泛的应用。

本文将从正弦函数的性质和应用两个方面进行解析。

一、正弦函数的性质正弦函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]。

它的图像是一条连续的曲线，通过(0, 0)点，且具有以下主要性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)。

这样的性质使得正弦函数在周期性现象的描述和分析中得到广泛应用。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。

这意味着正弦函数的图像关于原点对称，以(0, 0)为对称中心。

3. 对称轴：正弦函数的对称轴为x轴。

这意味着sin(x) = sin(π - x)，即正弦函数的图像关于x轴对称。

4. 增减性：在一个正周期内，正弦函数从最小值1开始逐渐增大，到最大值1结束。

同时，sin(x)在[0, π]区间上是单调递增的，而在[π, 2π]区间上是单调递减的。

5. 零点：正弦函数的零点是x = kπ，其中k为整数。

也就是说，当x等于n个π时，正弦函数的值为0。

二、正弦函数的应用正弦函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，下面列举几个典型的应用场景：1. 几何中的应用：正弦函数常用于解决三角形的边长和角度之间的关系问题。

通过正弦定理和余弦定理，可以通过已知条件求解未知数值。

例如在解决三角形的航海问题或建筑测量中，正弦函数都发挥着重要的作用。

2. 物理中的应用：正弦函数在波动现象的研究中具有重要地位。

光的干涉、电磁波的传播等都可以通过正弦函数的描述来分析。

此外，正弦函数还广泛应用于交流电路的分析和振动系统的研究中。

3. 信号处理中的应用：正弦函数在信号处理领域起着重要的作用。

通过将信号分解为不同频率的正弦波，可以实现信号的合成、滤波和时域频域转换等操作。

这在通信、音视频处理等领域都有广泛应用。

4. 统计学中的应用：正弦函数在统计学中的应用较为抽象，但也有着重要的作用。

专题6.8正弦函数的性质（2）（5个考点九大题型）【题型1 sinx（型）函数的最小正周期】【题型2 sinx（型）复合函数的最小正周期】【题型3 已知sinx（型）函数的最小正周期-求值】【题型4 sinx（型）函数的对称轴及对称中心】【题型5 sinx（型）函数的对称轴与单调性最值】【题型6 sinx（型）函数的对称性-求单调性】【题型7 sinx（型）函数的对称性-求参数】【题型8 sinx（型）函数的对称性-求最值】【题型9 sinx（型）函数的对称性应用】(2023f++上海宝山·高一统考期末）函数4=⎝⎭.12⎝⎭π(3sinm=n=-m n⋅.(2sin(1)求函数的图象的对称中心；=，c= (2)在ABC中，角C的对边分别为0值.10．（2023春·高一射洪中学校考期中）已知函数在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：①：在(f已知平面向量a ，b 满足：a =r 若a b ∥，求sin x 的值；设函数()()f x a a b =⋅+，若(f 0x x =，求(f x ．（2021·高一单元测试）已知函数π高一校考期末）已知向量,a b 满足a)),(cos ,cos b x =函数()f x a b =⋅()x R ∈．时的值域； 高三专题练习）已知函数(0,6A πω⎫>⎪⎭6⎝⎭⎝⎭6【题型8 sinx（型）函数的对称性-求最值】【题型9 sinx（型）函数的对称性应用】,n x ，则n 12n x -+++高一统考期中）cos cos x x -的最大值及取得最大值时x 的值；的所有根的和．PA PB +的最大值为(2)将()f x 图像向左平移12个单位得到()g x 的图像，设()()f x g x m +=在250,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不同的实数根123,,x x x ，求()()123tan 2x x x π++的值.专题6.8正弦函数的性质（2）（5个考点九大题型）【题型1 sinx（型）函数的最小正周期】【题型2 sinx（型）复合函数的最小正周期】【题型3 已知sinx（型）函数的最小正周期-求值】【题型4 sinx（型）函数的对称轴及对称中心】【题型5 sinx（型）函数的对称轴与单调性最值】【题型6 sinx（型）函数的对称性-求单调性】【题型7 sinx（型）函数的对称性-求参数】【题型8 sinx（型）函数的对称性-求最值】【题型9 sinx（型）函数的对称性应用】）()2sin g x =π2sin cos 6x ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭1cos 22⎛- ⎝⨯ππ2x ⎛+-【详解】空一：sin y x =1sin 22x 的周期为()sin x x =2cos sin x +-(2023++f【分析】首先求出函数的周期，再求出()1sinx=-(2023++f)(2023f++上海宝山·高一统考期末）函数4⎝⎭112⎝⎭π(3sinm= (2sinn=-m n⋅.(1)求函数的图象的对称中心；(2)在ABC中，角C的对边分别为0=，c=值.【答案】(1)πZ 2kk⎛∈⎝26 +623sin m n ⋅=-，得π2k x =-的对称中心为π2k ⎛ ⎝，得sin 2πC ⎛+ 0πC <<π23C ∴<π23C ∴+sin sin a A =sin sin B =2a b ∴+=π【详解】函数将y y 已知平面向量a ，b 满足：a =r若a b ∥，求sin 的值；设函数()()f x a a b =⋅+，若(f 0x x =，求(f x 【答案】(1)255±5或15-）由a b ∥，得到sin ）根据题意，得到()215f x a a b =+⋅=+）解：由题意，向量(sin ,cos a x =r 因为a b ∥，可得1sin 2cos x x ⨯=⨯，所以sin1a =，5b =，2sin a b x ⋅=()2215sin a a b a a b x ϕ=+⋅=+⋅=++,2k k Z ππ+∈，可得,2x k k πϕπ=-+∈,k k Z ϕπ-+∈，)15sin k πϕπ⎡⎛⎫=+-++ ⎪⎢【详解】012π<<x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象关于12π>->0)，⎡-⎢⎣在区间(的图像关于直线=π+0)，⎡-⎢⎣在区间(的图像关于点=kπ，。