1.3.2正弦函数的性质 (3)
- 格式：ppt
- 大小：3.16 MB
- 文档页数：25
下载文档原格式
合集下载
正弦函数的性质
例如
:
sin(
)
sin
, 但是
sin(
)
sin
.
42 4
32 3
就是说 不能对x在定义域内的每一个值使
2
sin( x ) sin x,因此 不是y sin x的周期.
2
2
(2) T往往是多值的（如y=sinx, T=2, 4, … , －2, － 4, …都是周 期）周期T中最小的正数叫做f (x)的 最小正周期（有些周期函数没有最小 正周期,如常值函数 f(x)=1 ）.
根据上述定义，可知：正弦函数是周期函 数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π.
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数, 因此正弦曲线关于原点O对称.
y
1
Байду номын сангаас
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y=sinx
(5) 单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(三)单调性
观察图象可知： 当 x∈ 时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1 增大到 1； 当 x∈ 时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由 1 减小到－1. 推广到整个定义域可得： 当 x∈ 时，余弦函数 y＝cos x 是增函数，函数值由－1 增大到 1； 当 x∈ 时，余弦函数 y＝cos x 是减函数，函数值由 1 减小到－1. 【正弦函数、余弦函数的性质】 函数 y＝sin x y＝cos x
4
18
) _____ sin(
10
)
（2） cos(
23 17 ) _____ cos( ) 5 4
3. y sin( x ), （0 ）是R上的偶函数，则 的值是 _______ π x＋ 的一个递减区间是 4. 函数 f(x)＝sin 6 5. 求y sin x sin x的值域 是
鸡西014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
1.4.2 学习 目标 重点 难点
正弦函数、余弦函数的性质(三)单调性
1．掌握 y＝sin x，y＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最 值．2．掌握 y＝sin x，y＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3．会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 在研究正弦、余弦函数的性质时，要充分借助正弦、余弦曲线，注意 数形结合 思想方法的运用．
【正、余弦函数的定义域、值域】 在下图中利用平移画出正弦曲线
在下图中利用平移画出余弦曲线
观察图像填下列各空： 由正、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R ，值域都 是 ．对于正弦函数 y＝sin x，x∈R 有： 当且仅当 x＝ 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝ 时，取得最小值－1. 对于余弦函数 y＝cos x，x∈R 有： 当且仅当 x＝ 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝ 时，取得最小值－1. 【正、余弦函数的单调性】 正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是 2π，首先研究它们在一个周期区间上函 数值的变化情况，再推广到整个定义域． π 3π 如图补全函数 y＝sin x，x∈ －2， 2 的图象：
第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(三)
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1（三）
例 2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． 2π π (1)sin 27° sin 155° 与 ；(2)sin 与 cos . 7 5
解
本 课 时 栏 目 开 关
(1)sin 155° ＝sin 25° ，而 0° <25° <27° <90° ，在 0° <x<90° 的
把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间， 再利用单调性来比较大小．
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 比较下列各组数的大小． 37 49 (1)sin－ 6 π与 sin 3 π；(2)cos 875° sin 980° 与 . 37 π π 解 (1)sin－ 6 π＝sin－6π－6＝sin－6， 49 π π sin 3 π＝sin16π＋3＝sin 3， π π ∵y＝sin x 在－2，2上是增函数， π 37 π 49 － <sin ，即 sin－ π<sin ∴sin 6 π. 6 3 3
－sin 65° ，sin 980° ＝sin(720° ＋260° )＝sin 260° ＝sin(180° ＋80° )＝－sin 80° ， ∵sin 65° <sin 80° ，∴－sin 65° >－sin 80° ， ∴cos 875° >sin 980° .
1.3.1（三）
(2)cos 875° ＝cos(720° ＋155° )＝cos 155° ＝cos(90° ＋65° )＝
通过换元转化为二次函数 g(t)＝at2＋bt＋c 在闭区间[－1,1]上的 最值问题．要注意，正、余弦函数值域的有界性，即当 x∈R 时，－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1 对值域的影响．
1.3.2余弦、正切函数的图象与性质
π π y = 3tan u在u ?（kπ ，kπ + ），k Z 上单调递增. 2 2 1 π π 1 π π \ y = 3tan( x + )在kπ - 〈 x + 〈kπ + 2 4 2 2 4 2
即x ?（2kπ
3 π π，kπ + ）上单调递增. 2 2 2
课堂小结
π π 1、y = tanx的作图是平移在（ - ， ）上的图象得到的. 2 2
π y 例4:求下列函数的周期， = 3tan(2 x + ). 4
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周 期为π.
4 解：f（x） 3tan（2 x + ） = π
π = 3tan(2 x + + π) 4 轾 π π = 3tan 犏 x + ) + 2( 犏 2 4 臌
π \ 周期T = 2
π 周期T 2
π (1) y 3 tan(2 x ); 4
π f (x ) 2
1 π （2）变题y=3tan（ x + ） 2 4
1 π 解： f ( x) 3tan( x ) 2 4 1 π 3tan( x π) 2 4
1 π 3tan[ ( x 2π) ] 2 4
新课导入
提问： 1、正弦函数 性质？
y sin x, x R
都有哪些
2、正弦函数的两个代数性质：
sin( x 2 ) sin x,sin( x) sin x
反映了正弦函数图象的什么几何特征？
教学目标
知识与能力
利用正切函数已有的知识（如定义、诱 导公式、正切线等）研究性质，根据性质探 究正切函数的图象.
初三三角函数的图像与性质
初三三角函数的图像与性质三角函数是初中数学中重要的概念之一，它在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
理解三角函数的图像与性质对于解题和应用都具有重要意义。
本文将从图像的周期性、对称性以及性质的变化等方面进行探讨。
1. 正弦函数的图像与性质正弦函数表示为y = sinx，其中x为自变量，y为函数值。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，其特点如下：1.1 周期性正弦函数具有周期性，即在一个周期内，函数值会以波浪形态无限次重复。
它的一个周期为2π，所以正弦函数的图像在0到2π之间会完成一个完整的波浪。
1.2 对称性正弦函数具有轴对称性，即y = sinx在关于原点对称。
这意味着当自变量x的值变为负数时，函数值不变，即sin(-x) = -sinx。
1.3 取值范围正弦函数的取值范围在-1到1之间，即-1 ≤ sinx ≤ 1。
当自变量x为0、π、2π等整数倍的π时，正弦函数取得最大值1或最小值-1。
2. 余弦函数的图像与性质余弦函数表示为y = cosx，其图像与正弦函数有相似之处，但也有一些不同的特点：2.1 周期性余弦函数同样具有周期性，其一个周期也为2π，因此在0到2π之间会完成一个波浪的周期。
与正弦函数不同的是，余弦函数在自变量取得奇数个π倍数时，图像会经过坐标轴。
2.2 对称性余弦函数也具有轴对称性，即y = cosx在关于y轴对称。
这意味着当自变量x的值变为负数时，函数值仍然相等，即cos(-x) = cosx。
2.3 取值范围余弦函数的取值范围也在-1到1之间，即-1 ≤ cosx ≤ 1。
当自变量x 为0、π/2、π等奇数个π倍数时，余弦函数取得最大值1或最小值-1。
3. 正切函数的图像与性质正切函数表示为y = tanx，其图像和性质与正弦函数和余弦函数有明显的不同：3.1 周期性正切函数具有周期性，其一个周期为π，即tan(x+π) = tanx。
在0到π之间，正切函数会呈现一种连续且无穷增大或无穷减小的趋势。
1.3.2正弦函数的性质 (2)
正弦函数的性质 定义域 值域 R [-1,1]
奇偶性 周期性
单调性
奇函数 最小正周期2π
-11 在x 2k , 2k 上是增函数； 2 2 (k∈Z) 3 在x 2k , 2k 上是减函数； 2 2
最值
2 (k∈Z) 3 当x 2k 时，ymin 1 2
3 2
2
o
2
-1
3 2
2
5 2
3
7 2
4
9 2
x
一般地，对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使 得对于函数定义域内的任意 X，等式 f(X)=f(x+T)恒成立，那么称 函数 为周期函数.其中常数 T叫做该函数的周期.如果这样的常数 中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做该函数的最 小正周期.
当x 2k
1-1
时，ymax 1
作业： 1.高校作业 2.课本P43 B组第3题 3.预习下节课内容（图像变化）
(1)sin x 2
(2)2sin x 3
1 (3) sin x 2
2
例二 求出下列函数的最大值和最小值：
(1) y 1 sin x
(2) y 2sin x
(3) y 3 sin x (4) y 4sin x
y
1
7 4 2
3
5 2
2
§1.3. 2正弦函数的图象与性质
——第二课时
y
1
7 4 2
3
5 2
2
3 2
2
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
1.3.1正弦函数的图象和性质(3)
1.3.1正弦函数的图象和性质（3）-----正弦型函数y=A sin(ωx+φ)教学目的：1理解振幅、周期、频率、初相的定义；2理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律;3会用“五点法”画出y=A sin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和φ对函数图象的影响作用；4.培养学生数形结合的能力。
5.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。
教学重点：熟练地对y＝sin x进行振幅、周期和相位变换。
教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。
教学方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。
本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习正弦函数xy sin=的图象和性质教师提出问题，学生回答为学生认识正弦型函数奠定基础概念形成及应用举通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、频率、初相的概念。
在函数)sin(φω+=tRy中，点P旋转一周所需要的时间ωπ2=T，叫做点P的转动周期。
在1秒内，点P转动的周数πω21==Tf，叫做转动的频率。
OP与x轴正方向的夹角φ叫做初相。
1.教师演示观缆车旋转过程，指导学生认识和感受。
2.教师提问：通过分析，φω,,R对观缆车的旋转有什么影响？3.学生回答。
4.教师引导归纳。
函数y＝A sin(ωx＋φ)，其中,0>>ωA表示一1.要求学生通过实例，将问题转化为数学问题，引出数学概念，培养学生数学例例1画出函数y =2sin x x ∈R ；y =21sin x x ∈R 的图象（简图）解：画简图，我们用“五点法”∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π ∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表：作图：x 0 2π π 23π 2πsin x 0 1 0 -1 0 2sin x 02-221sin x 021 0-21 0个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间ωπ2=T ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数πω21==T f ，称为振动的频率；φω+x 称为相位；0=x 时的相位φ称为初相。
教案正弦型函数的图像和性质
教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图像1.2 教学内容正弦函数的定义：y = sin(x)正弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性1.3 教学步骤1. 引入正弦函数的概念，解释正弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正弦函数的图像3. 分析正弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性1.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正弦函数图像完成课后练习题，巩固对正弦函数图像的理解第二章：正弦函数的性质2.1 教学目标了解正弦函数的性质能够应用正弦函数的性质解决问题2.2 教学内容正弦函数的单调性：增减区间正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数正弦函数的周期性：周期为2π正弦函数的值域：[-1, 1]2.3 教学步骤1. 介绍正弦函数的单调性，利用图像进行解释2. 解释正弦函数的奇偶性，利用数学公式进行证明3. 强调正弦函数的周期性，引导学生理解周期为2π4. 分析正弦函数的值域，解释正弦函数的取值范围2.4 练习与作业练习判断正弦函数的单调性、奇偶性和周期性完成课后练习题，应用正弦函数的性质解决问题第三章：余弦函数的定义与图像3.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图像3.2 教学内容余弦函数的定义：y = cos(x)余弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性3.3 教学步骤1. 引入余弦函数的概念，解释余弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制余弦函数的图像3. 分析余弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性3.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的余弦函数图像完成课后练习题，巩固对余弦函数图像的理解第四章：正切函数的定义与图像4.1 教学目标了解正切函数的定义能够绘制正切函数的图像4.2 教学内容正切函数的定义：y = tan(x)正切函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性4.3 教学步骤1. 引入正切函数的概念，解释正切函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正切函数的图像3. 分析正切函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性4.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正切函数图像完成课后练习题，巩固对正切函数图像的理解第五章：正弦型函数的应用5.1 教学目标了解正弦型函数的应用能够解决与正弦型函数相关的问题5.2 教学内容正弦型函数在物理、工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等5.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例2. 解释正弦型函数在振动、波动、音乐等方面的作用3. 示例解决与正弦型函数相关的问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像5.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第六章：正弦型函数的积分与微分6.1 教学目标理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数6.2 教学内容正弦型函数的不定积分：基本积分公式正弦型函数的定积分：利用积分公式计算面积正弦型函数的导数：求导法则6.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数的不定积分，讲解基本积分公式2. 通过例题演示如何计算正弦型函数的定积分3. 讲解正弦型函数的导数，引导学生理解求导法则6.4 练习与作业练习计算正弦型函数的不定积分和定积分完成课后练习题，巩固对正弦型函数积分和导数的理解第七章：正弦型函数在坐标系中的应用7.1 教学目标学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像能够利用正弦型函数解决实际问题7.2 教学内容利用直角坐标系绘制正弦型函数的图像解决实际问题：如测量角度、计算物理振动等7.3 教学步骤1. 讲解如何在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像2. 通过实例演示如何利用正弦型函数解决实际问题7.4 练习与作业练习绘制不同类型的正弦型函数图像完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第八章：正弦型函数在三角变换中的应用8.1 教学目标理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换8.2 教学内容三角恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1 等正弦型函数的三角变换：和差化积、积化和差等8.3 教学步骤1. 讲解三角恒等式的含义和应用2. 讲解如何利用正弦型函数进行三角变换8.4 练习与作业练习运用三角恒等式进行计算完成课后练习题，巩固对正弦型函数在三角变换中应用的理解第九章：正弦型函数在工程和技术中的应用9.1 教学目标了解正弦型函数在工程和技术领域的应用学会解决与正弦型函数相关的工程问题9.2 教学内容正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的工程问题：如信号分析、电路设计等9.3 教学步骤1. 讲解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例2. 示例解决与正弦型函数相关的工程问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像9.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的工程问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际工程问题第十章：总结与拓展10.1 教学目标总结正弦型函数的图像和性质的主要内容了解正弦型函数在其他领域的拓展应用10.2 教学内容总结正弦型函数的图像和性质的关键点介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用：如地球物理学、天文学等10.3 教学步骤1. 回顾正弦型函数的图像和性质的主要内容，强调重点和难点2. 介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用，提供相关实例10.4 练习与作业复习正弦型函数的图像和性质的主要内容，巩固所学知识完成课后练习题，探索正弦型函数在其他领域的拓展应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像理解正弦函数的定义：y = sin(x)掌握正弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节二：正弦函数的性质掌握正弦函数的单调性：增减区间理解正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数认识正弦函数的周期性：周期为2π了解正弦函数的值域：[-1, 1]重点环节三：余弦函数的定义与图像理解余弦函数的定义：y = cos(x)掌握余弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节四：正切函数的定义与图像理解正切函数的定义：y = tan(x)掌握正切函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节五：正弦型函数的应用了解正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等重点环节六：正弦型函数的积分与微分理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数重点环节七：正弦型函数在坐标系中的应用学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像学会利用正弦型函数解决实际问题重点环节八：正弦型函数在三角变换中的应用理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换重点环节九：正弦型函数在工程和技术中的应用了解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的工程问题重点环节十：总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质的关键点了解正弦型函数在其他领域的拓展应用全文总结和概括：本教案涵盖了正弦型函数的图像和性质的各个方面，从基本定义到图像特点，再到性质和应用，每个环节都进行了深入的讲解和演示。
1.4.2正弦函数余弦函数的性质(三)应用举例
§1.4 .2正弦余弦函数的性 质（三） ——应用举例
y
正弦曲线 1 y sinx , x R
x
-2
-
o
2 3
4
-1
余弦曲线 y 1 y cosx , x R
-2
-
o
2
3
x
-1
正弦函数的性质：y=sinx
1、定义域：R
2、值 域: 1， 1
3、周 期：2π
4、奇偶性：偶函数
5、对称性：对称轴： ，
对称中心
2
，0
6、单调性：单调增区间
2，2
单调减区间
2， 2
例1、下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大 值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别
4、奇偶性：奇函数
5、对称性：对称轴：
2
，
对称中心，0
6、单调性：单调增区间
2
2，
2
2
单调减区间
2
2，3
2
2
余弦函数的性质：y=cosx
1、定义域：R
2、值 域: 1， 1
3、周 期：2π
(2)
cos- 23π cos 23π cos 3π 5 5 5
cos - 17π cos17π cosπ 4 4 4
因为0＜π＜ 3π＜π， 45
且函数y cosx，x 0，π是减函数
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
y
正弦曲线 1 y sinx , x R
x
-2
-
o
2 3
4
-1
余弦曲线 y 1 y cosx , x R
-2
-
o
2
3
x
-1
正弦函数的性质：y=sinx
1、定义域：R
2、值 域: 1， 1
3、周 期：2π
4、奇偶性：偶函数
5、对称性：对称轴： ，
对称中心
2
，0
6、单调性：单调增区间
2，2
单调减区间
2， 2
例1、下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大 值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别
4、奇偶性：奇函数
5、对称性：对称轴：
2
，
对称中心，0
6、单调性：单调增区间
2
2，
2
2
单调减区间
2
2，3
2
2
余弦函数的性质：y=cosx
1、定义域：R
2、值 域: 1， 1
3、周 期：2π
(2)
cos- 23π cos 23π cos 3π 5 5 5
cos - 17π cos17π cosπ 4 4 4
因为0＜π＜ 3π＜π， 45
且函数y cosx，x 0，π是减函数
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识探究二：
正弦函数是否是周期函数？说明原因？
正弦函数是周期函数 最小正周期T=2π
y=1
y
2
4
7 2
3
5 2
2
3 2
2
3 2
2
5 2
7 2
3
4
x
x
y=-1
知识探究三：
观察正弦函数图象分析图像对称性与奇偶性
（1）中心对称点 （2）轴对称方程
x k
2
5 2
7 2
3
4
x
x
y=-1 注意：
1 、根据函数的单调性比较函数值的大小，可以通过 图象来判断； 2 、在角度（自变量）比较简单时，可以直接找单调 区间；若比较复杂，则 可以通过诱导公式将角度化得 简单后再比较。 强调：两个角度（自变量）必须在同一单调区间
练习．sin 1，sin 2，sin 3，sin 4 按从小到大的顺序排列为( C )
A．sin 1<sin 2<sin 3<sin 4 B．sin 4<sin 3<sin 2<sin 1 C．sin 4<sin 3<sin 1<sin 2 D．sin 4<sin 2<sin 3<sin 1
解析
π 3π ∵0<1< <2<3<π<4< ， 2 2
∴sin 4<0，sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3) π π 0 ， 而 0<π－3<1<π－2< ，正弦函数 y＝sin x 在 2上为增函数． 2 ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即 sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.
对点讲练
知识点一 求三角函数的周期 例 1 求下列函数的周期． π (1)y＝sin2x＋ (x∈R)； 3 (2)y＝|sin 2x| (x∈R)．
π 解 (1)方法一 令 z＝2x＋ ， 3 ∵x∈R，∴z∈R，函数 f(x)＝sin z 的最小正周期是 2π， 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π， 函数 f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得， π π 而 z＋2π＝2x＋ ＋2π＝2(x＋π)＋ ，所以自变量 x 只要 3 3 且至少要增加到 x＋π，函数值才能重复取得，从而函数 π f(x)＝sin2x＋3 (x∈R)的周期是 π.
y
y=1
4
7 2
3
5 2
2
3 2
2
2
3 2
2
5 2
7 2
3
4
x
y=-1 一般地，对于函数 y=f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使 得对于函数定义域内的任意 X，等式 f(x)=f(x+T)恒成立，那么称 函数 为周期函数.其中常数 T叫做该函数的周期.如果这样的常数 中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做该函数的最 小正周期.
2
3 2
2
5 2
7 2
3
4
x
y=-1
例三：比较下列各对正弦值的大小
(1) sin(
14 15 4 3 sin (2) sin 5 4 ____
sin( ) ____
)
y=1
4
7 2
y
2
3
5 2
2
3 2
2
3 2
知识点二
判断三角函数的奇偶性
例 2 判断下列函数的奇偶性． 1 π (1)f(x)＝cos－ x＋ ； 2 2 (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； 1＋sin x－cos2x (3)f(x)＝ . 1＋sin x
1 解 (1)显然 x∈R，f(x)＝sin x， 2 1 1 f(－x)＝sin－2x ＝-sin x＝-f(x) 2 ∴f(x)是奇函数．
解
(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 1－2sin x≥0 1 (2)由 ，得 sin x＝ . 2 2sin x－1≥0 π 5 ∴函数 f(x)的定义域为{x|x＝2kπ＋ 或 x＝2kπ＋ π，k∈Z}． 6 6 ∵f(x)的定义域不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．
ymin 2(sin x)min 2
(3) y 3 sin x
ymax 3 (sin x)max 4 ymin 3 (sin x)min 2
(4) y 4sin x
ymax 4(sin x)min 4
ymin 4(sin x)max 4
作业：
1.课本P43 B组第3题 3.预习下节课内容（图像变化）
知识点三 求三解函数的最值（或值域） 例 3 求函数 y＝cos2x＋3sin x 的最大值和最小值．
解 y＝cos2x＋3sin x ＝1－sin2x＋3sin x ＝－sin2x＋3sin x＋1 3 2 13 ＝－sin x－2 ＋ . 4
3 ∵－1≤sin x≤1，sin x≠ ， 2 π ∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝3； 2 π 当 sin x＝－1，即 x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymin＝－3. 2
2
5 2
7 2
3
4
x
y=-1
知识探究四：
观察正弦函数图像，讨论交流正弦函数的单调性 （1）单调递增区间 （2）单调递减区间
[2k
, 2k ]kZ 2 2
3 [2k , 2k ]kZ 2 2
y=1
4
7 2
y
2
3
5 2
2
3 2
(2)2sin x 3
1 (3)sin x 2
2
例题二 求出下列函数的最大值和最小值：
(1) y 1 sin x
ymax 1 (sin x)min 2 ymin 1 (sin x)max 0
(2) y 2sin x
ymax 2(sin x)max 2
回顾归纳 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于 原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前 提条件．然后再判断 f(－x)与 f(x)之间的关系．
变式训练 2 判断下列函数的奇偶性． 3 2 (1)f(x)＝cos π＋2x ＋ x · sin x； 2 (2)f(x)＝ 1－2sin x＋ 2sin x－1.
方法二
π 2π f(x)＝sin2x＋3的周期为 ＝π. 2
(2)作出 y＝|sin 2x|的图象．
π 由图象可知, y | sin 2 x | 的周期为 . 2 回顾归纳 对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)， ω≠0 时的周期求 2π 法常直接利用 T＝ 来求解， 对于 y＝|Asin ωx|的周期情况常 |ω|
正弦函数的性质 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 R [-1,1] 奇函数 最小正周期2π
-11 在x 2k , 2k 上是增函数； 2 2 (k∈Z) 3 在x 2k , 2k 上是减函数； 2 2 1-1
1－ sin (2)由 1＋ sin
x>0 x>0
，得－1<sin x<1.
π 解得定义域为x|x∈ R且x≠kπ＋ ， k∈Z. 2
∴ f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋ sin x) ∴ f(－ x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋ sin(－x)] ＝ lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)． ∴ f(x)为奇函数． (3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－ 1， π ∴ x∈R 且 x≠ 2kπ－ ，k∈Z. 2 ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．
结合图象法来求解．
变式训练 1 求下列函数的周期： 3 2 (1)y＝cos 2π－3x ； 1 π (2)y＝sin－2x＋3.
2 2π 解 (1)y＝－sin x，T＝ ＝3π. 3 2 3 1 π 2π 1 (2)y＝sin2x－3，T＝ × ＝2π. 1 2 2
最值
2 (k∈) 3 当x 2k 时，ymin 1 2
当x 2k
时，ymax 1
课堂小结 1．求函数的最小正周期的常用方法： (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数 所具有的某些性质推出使 f(x＋T)＝f(x)成立的 T. (2)图象法，即作出 y＝f(x)的图象，观察图象可求出 T.如 y ＝|sin x|. (3)结论法，一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ) (其中 A、ω、φ 2π 为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期 T＝ . ω 2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定 义域，看它是否关于原点对称． 3．求形如 f(x)＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数值域，换元后转 化为二次函数在闭区间[－1,1]上的值域问题
回顾归纳 形如 f(x)＝asin2x＋bsin x＋c (a≠0)的函数的值 域问题，可以通过换元转化为二次函数 g(t)＝at2＋bt＋c 在 闭区间[－1,1]上的最值问题．若解析式中含有参数，要注意 分类讨论．