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工程力学第三单元

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工程力学(静力学部分第三章)

工程力学(静力学部分第三章)

方向 作用点
cos( FR, i
)
Fix FR
cos( FR,
j)
Fiy FR
作用于简化中心上
主矩
MO MO (Fi )
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
cos(F
, i
)
F x
R
FR
cos(F , R
j) (Fix Fiy Fiy Fix ) (3 2)
Fy 0 FAy P F cos 60 0
解得 FAy 300kN
MA 0
MA M F1l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得 MA 1188kN m
例3-2 已知: F=20kN, q=10kN/m,M 20kNm, L=1m; 求: A,B处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图.
节点法与截面法
1、节点法 2、截面法
例3-1 已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求： 固定端A处约束力。 解：取T型刚架，画受力图。
其中
1
F1
F x
q 3l 30kN 2
0 FAx F1
F
sin 600
0
解得 FAx 316.4kN
解得 F1 10kN (压)
Fix 0 F2 F1 cos 300 0
解得 F2 8.66kN(拉)
取节点C,画受力图.
Fix 0 F4 cos 300 F1' cos 300 0
解得 F4 10kN (压)
Fiy 0 F3 F1' F4 sin 300 0
解得 F3 10kN(拉)

工程力学-第3章

工程力学-第3章

TSINGHUA UNIVERSITY A
C
B C
FR
但是由于 A 、 B 、 C 三点不共线， 所以力系也不可能简化为一合力。 因此，样满足上述方程的平面力系 只可能是一平衡力系。

平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系平衡方程的其他形式－例题 3
例题3 l/2 l/2
A 45° D
TSINGHUA UNIVERSITY

平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
例题2
A 端固定的悬臂梁 AB 受力如 图示。梁的全长上作用有集度为 q 的均布载荷；自由端B处承受一集 中力和一力偶 M 的作用。已知 FP ＝ql，M=ql2；l为梁的长度。试求 固定端处的约束力。 求：固定端处的约束力。
TSINGHUA UNIVERSITY

平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁， BC 为钢索， A 、处为固定铰链支座， B 处为铰链约束。已知起重电动电动 机 E 与重物的总重力为 FP( 因为两滑轮 之间的距离很小， FP 可视为集中力作 用在大梁上)，梁的重力为FQ。已知角 度θ=30º 。
B A A、B 连线 不垂直于x 轴
FR
TSINGHUA UNIVERSITY
这是因为，当上述3个方程中 的第二式和第三式同时满足时，力 系不可能简化为一力偶，只可能简 化为通过AB两点的一合力或者是平 衡力系。 但是，当第一式同时成立时， 而且AB与x轴不垂直，力系便不可 能简化为一合力FR，否则，力系中 所有的力在x轴上投影的代数和不可 能等于零。因此原力系必然为平衡 力系。
l/2 FP B

第三章力系的平衡介绍

第三章力系的平衡介绍

工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学

工程力学第3章 静力学平衡问题答案

工程力学第3章 静力学平衡问题答案

第 3 章 静力学平衡问题3－1 图 a 、b 、c 所示结构中的折杆 AB 以 3 种不同的方式支承。

假设 3 种情形下，作用在折杆 AB 上的力偶的位置和方向都相同，力偶矩数值均为 M 。

试求 3 种情形下支承处的 约束力。

习题 3－1 图BB习题 3－1a 解图习题 3－1b 解图BD习题 3－1c 解 1 图习题 3－1c 解 2 图)解：由习题 3－1a 解图M F A = F B = 2l由习题 3－1b 解图MF A = F B = l将习题 3－1c 解 1 图改画成习题 3－1c 解 2 图，则MF A = F BD =l∴ F B M= F BD = l，F D =2 M2 F BD =l3－2 图示的结构中，各构件的自重都略去不计。

在构件 AB 上作用一力偶，其力偶矩 数 值 M ＝800 N·m 。

试求支承 A 和 C 处的约束力。

FCAB '习题 3－2 图习题 3－2 解 1 图习题 3－2 解 2 图解：BC 为二力构件，其受力图如习题 3－2 解 1 图所示。

考虑 AB 平衡，由习题 3－2 解图，A 、B 二处的形成力偶与外加力偶平衡。

F = F ′ = M = 800 = 269.4 N A BBD 1.2 × 1.83－3 图示的提升机构中，物体放在小台车 C 上，小台车上装有 A 、B 轮，可沿垂导轨 ED 上下运动。

已知物体重 2 kN 。

试求导轨对 A 、B 轮的约束力。

F A F B习题 3－3 图解：W = 2kN ，T = W ΣF x = 0， F A = F B习题 3－3 解图ΣM i = 0， W × 300 − F A × 800 = 0 ，方向如图示。

F = 3 W = 0.75kN A 8，F B = 0.75 kN ，3－4 结构的受力和尺寸如图所示，求：结构中杆 1、2、3 杆所受的力。

工程力学第三章总结

工程力学第三章总结

第三章力系的平衡3—1平衡与平衡条件3—1—1平衡的概念概念：物体静止或做等速直线平移运动，这种状态称为平衡。

3—1—2平衡的充要条件力系的平衡是刚体和刚体系统平衡的充要条件力系平衡：力系的主矢和力系对任意一点的主距都等于零F R =∑=n i Fi 1=0 M o=∑=ni MoFi 1=03—2任意力系的平衡方程3—2—1平衡方程的一般形式∑Fx =0，)(F Mx ∑=0 ∑=0Fy ，∑=0)(F My ∑=0Fz ，∑=0)(F Mz3—2—2空间力系的特殊情况一个力通过距心，力到该点的力矩为零。

空间汇交力系交与点O ，平衡方程：∑=0Fx ，∑=0Fy ，∑=0Fz 空间力偶系的平衡方程：∑=0Mx ，∑=0My ，∑=0Mz 3—3平衡力系的平衡方程3—3—1平衡力系平衡方程的一般形式平面任意力系：所有的作用线都位于同一平面的力系。

两投影一距式：∑=0Fx ，∑=0Fy ，∑=0)(F Mo3—3—2平衡力系平衡方程的其他形式 一投影二距式：∑=0Fx ，∑=0)(F MA ，∑=0)(F MB ；（条件:x 轴不垂直AB 的连线）。

三距式：∑=0)(F MA ，∑=0)(F MB ，∑=0)(F MZ ；（条件：A ，B ，C 三点不在同一条直线上）。

3—4平衡方程的应用3—5静定和超静定问题的概念静定问题：未知力的个数正好等于独立平衡方程的数目，由平衡方程可以解出全部的未知数。

超静定问题：仅由静力学平衡方程无法求得全部未知约束力。

超静定次数：未知量的个数为Nr与独立平衡方程的数目Ne之差。

i=Nr—Ne3—6简单的刚体系统平衡问题刚体系统：由两个或两个以上的刚体所组成的系统。

刚体系统平衡的特点：仅仅考察系统的整体或某个局部，不能确定全部未知力。

3—7结论与讨论3—7—1受力分析的重要性3—7—2求解刚体系统平衡问题需要注意的几个问题✧理解掌握“力系整体平衡，组成系统的每个局部必然平衡。

电子课件-《工程力学(第六版)》 第三章 平面一般力系

电子课件-《工程力学(第六版)》 第三章 平面一般力系
2．当力在刚体上平移时，力的大小、方向都不变， 但附加力偶矩的大小与正负会因为指定点O的位置的不同 而不同。
3．力的平移定理是把作用在刚体上的平面一般力系 分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系的依据。
§3－1 平面一般力系的简化
力的平移定理揭示了力对刚体产生移动和转动 两种运动效应的实质。以乒乓球运动中的“削球” 为例，当球拍击球的作用力没有通过球心时，按照
第三章 平面一般力系
工程中经常遇到作用于物体上的力的作用线都在同一平 面内（或近似地在同一平面内），且呈任意分布的力系，这 样的力系称为平面一般力系。当物体所受的力均对称于某一 平面时，也可以视作平面一般力系问题。
§3－1 平面一般力系的简化
一、力的平移定理 二、力的平移性质 三、平面一般力系的简化
§3－1 平面一般力系的简化
三、平面一般力系的简化
设刚体上作用有平面一般力系（F1、F2、…Fn），在 平面内任取一点O，O点称为简化中心。根据力的平移定理， 将力系中各力分别平移到简化中心O，得到一个平面汇交 力系和一个附加力偶系。
§3－1 平面一般力系的简化
平面汇交力系：
FRˊ= F1ˊ+F2ˊ+ … + Fnˊ
物体在平面一般力系作用下，既不发生移动， 也不发生转动的静力平衡条件为：力系中的各力在 两个不同方向的x 轴、y 轴上投影的代数和均为零， 且力系中的各力对平面内任意点之矩的代数和也等 于零。
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
§3－2 平面一般力系的平衡和应用
解题前须知：
求解平面一般力系平衡问题的主要步骤及注意点： （１）确定研究对象，画出受力图。 （２）选取坐标系和矩心，列平衡方程。 （３）求解未知量，讨论结果。 可以选择一个不独立的平衡方程对计算结果进行验算。

工程力学第三章


2.多个力偶的合成 =
=
如同右图
FR Fi
i 1
n 有 M R M1 M 2 M n M i
M R 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
合力偶矩矢的解析表达式：
M R M Rx i M Ry j M Rz k
例１： 已知：F , l , a,
求： x M

F ,My F ,Mz F
解：把力
F 分解如图


Mx

F F l a cos
My

F Fl cos
M z F F l sin
xC r sin 300 , yC r cos 300 , zC h
三、力偶的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零，力偶没有合 力，力偶不能用一个力来平衡，力偶只能由力偶来 平衡.力和力偶是静力学的两个基本要素。 2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改 变而改变。
力偶矩矢 M rBA F
3.只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂 的长短，对刚体的作用效果不变.
力偶系
第三章 力偶系
§3-1 力对点之矩矢与力对轴之矩
§3-2 力偶
§3-3 力偶系的合成与平衡条件
§3-1 力对点之矩矢与力对轴之矩
一、平面中力对点之矩（力矩）
１.基本概念 矩心：O 力臂：ｈ 力矩作用面 ２.两个要素： （１）大小：力与力臂的乘积 （２）方向：转动方向
３.表示形式
M O F Fh M O F 2OAB

工程力学第三章


如图3-8（a），在同一平面内作用两个力偶（F1，F′1）和（F2， F′2），其力偶臂分别为d1、d2，两个力偶的矩分别为M1、M2。
M1=F1d1 M2=-F2d2 保持力偶不变的情况下同时改变力的大小和力偶臂的长短，使 两个力偶的力偶臂均为d，如图3-8（b）所示。 M1 M2 , F4 根据推论1和推论2可得： F3 d d
二、平面力对点的矩 如图3-1 所示，平面上一作用力F，在 同一平面内任取一点O，点O称为矩 心； 点O到力F的作用线的垂直距离h 称为力臂。
平面力对点的矩的定义为： 平面力对点的矩是一代数量，其绝 对值等于力的大小与力臂的乘积。 其正负号规定为： 力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩为正， 反之为负。用MO(F)表示。 MO(F)=F· h 三、合力矩定理
解题说明：
求解平面力偶问题时，在已知一个力的方向时，可以利用力 偶的定义，确定另一个与已知力组成力偶的未知力的方向。
例3-2：圆弧杆AB与直角杆BCD在B处铰接，A、D处均为固 定铰链支座，如图3-11（a）所示。若已知r、M，并不计各 杆的自重，求A、D处的约束力。 解： （1）选取研究对象： 杆BCD为二力杆。分析 得，杆BCD受力如图3-11 （b）所示 再以杆AB为研究对象。 分析得，杆AB受力如图3-11（c）所示
M Mi
i 2
n
（3-3）
三、平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的充要条件：平面力偶系中各力偶矩的代数 和为零。
M
i 1
n
i
0
（3-4）
上式为平面力偶系的平衡方程。
例3-1：如图3-9（a）、图3-9（b）所示，已知长为l的梁AB 上作用一矩为M的力偶，不计梁的自重。求支座A、B的约 束力。 解： （1）以梁AB为研究对象 分析得，梁AB受力如图 3-10所示

工程力学03ppt精选课件

衡 ， 则 局 部 也
.
3.1 平面力系的平衡条件和平衡方程
平衡条件： 力系的主矢和对任一点的主矩同时为零。
平衡力系： 满足平衡条件的力系。
平衡方程的基本形式：
n
F
' R
Fi 0
i 1
n
矢量形式
M O M O (Fi ) 0 i 1
.
改写为力的投影的形式：
n
F ix 0
i1
n
F iy 0
ΣFy ＝0，FAy－ql－P＝0
解得 FAy＝ql＋P 由 ΣMA＝0，
mA－ql2／2－Pl－m＝0 解得 mA＝ql2／2+Pl+m
.
平衡方程的其他形式: （1）二矩式方程
Fx 0 M A(F ) 0
M B (F ) 0
两矩心的连线与x投影轴不垂直
（2）三矩式方程
M A (F ) 0 M B (F ) 0
D
B
E P
Q
例题二： 一端固定的悬臂梁如图a所示。梁上作用均布荷载， 荷载集度为q，在梁的自由端还受一集中力P和一力偶矩 为m的力偶的作用。试求固定端A处的约束反力。
F Ax
F Ay
解： （1）取梁AB为研究对象。 （2）受力图及坐标系的选取 如图b所示。
（3）列平衡方程 由 ΣFx＝0，FAx＝0
例题四：图示结构 ，若 F P 和 l 已知，试确定四种情 形下的约束力
l A lC
l B
FP
l
l
A
B
l
M=FP l
C
l
l FP
A
B
D
C
.
l
l
A
B
D

工程力学第3章习题解答

3-3在图示刚架中，已知kN/m3=mq，26=F kN，mkN10⋅=M，不计刚架自重。

求固定端A处的约束力。

mkN12kN60⋅===AAyAxMFF，，3-4杆AB及其两端滚子的整体重心在G点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。

对于给定的θ角，试求平衡时的β角。

Aθ3lGβGθBBFARF32lO解：解法一：AB为三力汇交平衡，如图所示ΔAOG中βsinlAO=，θ-︒=∠90AOG，β-︒=∠90OAG，βθ+=∠AGO由正弦定理：)90sin(3)sin(sinθβθβ-︒=+ll，)cos31)sin(sinθβθβ=+l即βθβθθβsincoscossincossin3+=即θβtantan2=)tan21arctan(θβ=解法二：：=∑xF，0sinR=-θGF A（1）=∑yF，0cosR=-θGF B（2）)(=∑FAM，0sin)sin(3R=++-ββθlFlG B（3）解（1）、（2）、（3）联立，得)tan21arctan(θβ=3-5 由AC和CD构成的组合梁通过铰链C连接。

支承和受力如图所示。

已知均布载荷强度kN/m 10=q ，力偶矩m kN 40⋅=M ，不计梁重。

kN 15kN 5kN 40kN 15===-=D C B A F F F F ；；；解：取CD 段为研究对象，受力如图所示。

0)(=∑F CM，024=--q M F D ；kN 15=D F取图整体为研究对象，受力如图所示。

0)(=∑F AM ，01682=--+q M F F DB；kN 40=BF 0=∑yF ，04=+-+DBAyF q F F ；kN 15-=AyF 0=∑x F ，0=AxF3-6如图所示，组合梁由AC 和DC 两段铰接构成，起重机放在梁上。

已知起重机重P1 = 50kN ，重心在铅直线EC 上，起重载荷P2 = 10kN 。

如不计梁重，求支座A 、B 和D 三处的约束反力。

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3
62°
单位：
C 0 100kPa
kPa
(a)
(b)
(c)
解：首先选定坐标系的比例尺，由坐标(200,-300)和(-
200,300)分别确定C和C'点(图b）。然后以CC'为直径画圆，即
得相应的应力圆。从应力圆量得主应力及方位角，并画出主应
力的应力状态如图。
1 360 kPa ,
3 360 kPa ,
1 28 ,
max 360 kPa
11
对于图示的平面应力状态单元体，作出相应的 应力圆，并求斜截面上的正应力和切应力。
(a)
图示单元体的应力圆可按如下方法作出：
1)在σ-τ坐标系 的平面内，由单元体x截面上的应力x,x按某一比
例尺定出点D1；
2)由单元体y截面上的应力y,y(取y = -x)定出点D2； 3)然后连接D1和D2，与 轴的交点为C；
x
sin 2
6
E点纵坐标：
EF CE sin20 2
CD1 sin 20 cos 2 CD1 cos 20 sin 2
x
cos
2
x
2
y
sin
2
7
α
A
B
τ
b
2 a
σ
O
C
当单元体内截面A和B的夹角为 时，应力圆上相 应点a和b所夹的圆心角则为2 ，且二角之转向相同。
因此，单元体上两个相互垂直的截面在应力圆上的对 应点所夹圆心角为180˚，即它们必位于同一直径的两 端。
8
几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元 体某一方向截面上的正应力和切应力； 转向对应——应力圆上半径旋转方向与截面法线旋 转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角 度的两倍。
前面提到的通过解析法可以求得的两个α0，哪个 是σmax作用面的方位角，那个 是σmin作用面的方位角，可以从 应力圆中通过观察给出。
4)以C为圆心，以 CD1 或CD2 为半径可作出应力圆(图b)。
D1 x , x
O
C
2 y , y
(b)
4
利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，
时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的
点D1所对应的半径CD1按方位角的转向转动2a
角，得到半径CE，那么圆周上E点的坐标便代表
了单元体斜截面上的应力。
第三单元 应 力 圆
对于平面应力状态也可以利用图解法进行分析。
一、应力圆
将平面应力状态下斜截面上的应力改写成如下形式：
σα
σx
σy 2
σx
σy 2
cos 2α τ x sin 2α
(a)
τα
0
σx
2
σy
sin
2α
τx
cos 2α
(b)
将以上二式各自平方后再相加可得：
x
y
2
2
(
0)2
(1) 若 x＞ y ，则有 |0max|＜45°
(2) 若 x＜ y ，则有 |0max|＞45°
(3) 若 x = y ，则有
0 max
45 45
( x ( x
0) 0)
(13−7)
10
例题13−4 试用图解法求解图示应力状态单元体的主
应力。
τ
200
C′
300 200
DO
1
σ
28º x
5
现在我们来证明一下上 述确定斜截面应力 的方法是否正确。
E点横坐标：
OF OC CF OC CE cos20 2
OC CE cos 20 cos 2 CE sin 20 sin 2
OC CD1 cos 20 cos 2 CD1 sin 20 sin 2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
y
2
2
2 x
(c)
1
这是一个以正应力σ、切应力τ为坐标的圆的方程，
其圆心坐标为
x
2
y
2
2 x
x
2
，y 半, 0 径 为
x
y
2
2
。x2
圆上任意一点的纵、
横坐标分别代表单元体相 应截面上的切应力和正应 力，此圆称为应力圆或莫 尔(O.Mohr)圆。
O
C
x y 2
图 13−4
2