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3 2 1 0 0 A 1 0 0 1 0
0 2 0 0 1
向量组 P2 , P4 , P5 是线性无关组
B2 P2,P4,P5 是此问题的一个基
x2 , x4 , x5 是基变量，
而 x1, x3 是非基变量。
9
注：（1）基不一定唯一
（2）设B是A的一个m阶子矩阵，则B是线性规划问题 的基阵，当且仅当B是可逆阵
1.3
记约束方程系数矩阵A的列向量是 P1, P2 , , Pn
即 A P1, P2 , , Pn ,
设 Pj1 , Pj2 ,L , Pjm 是A的m个列向量,
如果 Pj1, Pj2 , , Pjm 是线性无关的， 则称
Pj1, Pj2 , , Pjm 为基向量。
5
3、基变量(basic variables)
X 0
0
为一个基本可行解或基可行
(a basic feasible solution)；
相应的基B也称为可行基(feasible base)。
13
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
x1
x4
2x2
18 4 x5 12
3 A 1
0
2 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
向量组 P3, P4 , P5 是线性无关组
B1 P3,P4,P5 是此问题的一个基
其中x3 , x4 , x5 为基变量，而 x1 , x2 是非基变量。
8
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
x1
x4 4
2x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
设Pj1 , Pj 2 ,L , Pjm 构成线性规划问题的一组基向量,
则对应的变量 x j1 , x j 2 ,L , x jm 称为基变量， 其余的向量称为非基向量，其余的变量称为非基变量 (non-basic-variable)，
矩阵 B Pj1 , Pj2 ,L , Pjm
称为基或基阵(basic matrix)。
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
在上例1中，
对应于 B1 的基解为 X1 0, 0,18, 4,12T
是一个基可行解，
对应于 B2 的基解为X2 0, 9, 0, 4, 6。
而不是基可行解。
思考题：试列出例1中问题的所有基解、基可行解。
14
注：给定线性规划问题LP，其基可行 解的数目是有限个，不会超过 Cnm 。
阵，从而得出(1.4)的唯一解
XB B1b
得出约束方程(1.2)至少含有n-m个0元的解
X0
B1b 0
称之为相应于基B的一个基本解或基解(a basic solution)。
12
5、基可行解
设
X0
B1b
0
是对应于基阵B的一个基解，
如果
B b1
X 0
0
0
则称 解.
B b1
是线性规划问题LP的一基阵，
XB x j1 , x j2 ,L , x jm 表示基变量向量，
X N 表示非基变量向量。
现令所有的非基变量都等于0，即
XN 0
11
则约束方程(1.2)可化为：
Pj1 x j1 Pj 2 x j 2 L Pjm x jm b
பைடு நூலகம்
BXB b
1.4
它是一个m个变量m个方程组成的线性方程组，B又是可逆
图1给出了线性规划问题的解的关系。
非可行解
可基
行可
解
行 解
基 解
图1
15
1.设线性规划
max Z 5x1 2x2
2
x1
3x2
x3
50
4x1 2x2 x4 60
am1
x1
am2 x2
L
amn xn
bm
x1 0, x2 0,L , xn 0
1.2 1.3
满足约束条件的X称为线性规划问题的可行解;
X x1, x2, , xn T
所有可行解的集合称为可行域 (feasible region),
使目标函数(1.1)达到最大值的可行解称为最优解(an optimal
B 0。 （3）基的个数≤Cnm
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
x1
x4 4
2x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
3 2 1 0 0 A 1 0 0 1 0
0 2 0 0 1
10
4、基解
设 B Pj1, Pj2 , , Pjm
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm x1 0, x2 0,L , xn 0
1.2 1.3
3
1、可行解 (a feasible solution)
maxz = c1x1 + c2x2 +L + cnxn 1.1
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 s.t. L L L L
solution)。
4
2、基(base)
max z c1x1 c2x2 cn xn 1.1
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 a21x1 a22 x2 L a2n xn b2 s.t.L L L L
1.2
am1x1 am2 x2 L amn xn bm x1 0, x2 0,L , xn 0
6
例1 max z 3x1 5x2
3 x1 2 x2 x3
18
x1
x4 4
2 x2
x5 12
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
约束方程A的系数矩阵为：
其列向量：
3 2 1 0 0 A 1 0 0 1 0
0 2 0 0 1
3
2
1
0
0
P1
1
，P2
0
，P3
3.2 线性规划问题的基本解
1
基本概念：
可行解、可行域、最优解、基、基变量、基阵、基本可行 解
2
一、基本概念：
给定一个线性规划问题LP
max z c1x1 c2x2 L cnxn 1.1
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 s.t. L L L L
0
，P4
1
，P5
0
0
2
0
0
1
分别是变量 x1, x2 , x3, x4 , x5 的系数向量。
7
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
3 2 1 0 0
x1
x4 4
A 1 0 0 1 0
2x2
x5 12
0 2 0 0 1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
