数值分析简述及求解应用
摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法
一、引言
随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。运用数值分析解决问题的过程包括：
实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。迭代法包括Jacobi法SOR法、SSOR法等多种方法。非线性是实际问题中经常用到出现的并在科学和工程中的低位也越来越重要，很多线性模型都是在一定条件下由非线性简化得到的。所以往往需要非线性的研究。非线性的数值解法有牛顿法，迭代收敛的加速解法，弦解法和抛物线法等。还有很多问题都可用常微分方程的定解来描述，主要有处置问题和边值问题。常微分方程是描述连续变化的数学语言，微分方程的求解是确定满足给定方程的可微函数y(x)。下面就数值分析中常用的一些方法和实例进行阐述。
二、数值分析中的一些方法
1、插值法
许多实际问题都用y=f(x)来表示，有的函数虽然有解析式，但由于计算复杂实用不方便，为了找一个既能反映函数的特性又便于计算的函数，我们利用插值法可以得到这个简单函数，插值法包括拉格朗日插值，牛顿插值，Hermite插值等多种方法。
拉格朗日插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了
求n 次多项式插值函数问题。牛顿插值也是n 次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange 插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。Hermite 插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:给定n+1个互异的节点x0,x1,……,xn 上的函数值和导数值。
2、解线性方程组的方法
关于线性代数方程组的数值解法一般分为两大类：直接法和迭代法。
例如用高斯消元法解线性方程组，先通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，以使A 对角线以下的元素化为零，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下：
第一步：消元过程
将(1)/3使x 1的系数化为1,再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由
(2)-2×(1)(1)得 由(3)-4×(1)(1)得 将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1得 再将(3)(1)式中x 2系数化为零，由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)得
将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得
经消元后，得到如下三角代数方程组：
第二步：回代过程
由(3)(3)得 x 3=1,将x 3代入(2)(2)得x 2=-2,将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1,
所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T
)1(321)1(......23132=++x x x )
1(32)2( (03)
432=+x x )
1(32)3( (63)
10314-=--x x )
2(32)2(......02=+x x )
2(3)3( (63)
18-=x )3(3)3(......1-=x
第三步：用矩阵演示进行消元过程
先将方程写成增广矩阵的形式
然后对矩阵进行初等行变换，再将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：
即原方程组被等价转化成为上三角方程组，然后，逐步回代得原方程组的解即可。
3、解非线性方程组的方法
解非线性方程组的方法包括牛顿法，迭代收敛的加速解法，弦解法和抛物线法等 牛顿法实质是一种非线性方程逐步归结为线性方程来求解的，牛顿迭代法原理如下：
设已知方程f(x)=0的近似根X 0则在X 0附近f(x)可用一阶泰勒多项式))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程f(x)=0可近似地表示为P(x)=0.用X 1表示P(x)=0的根,它与0)(=x f 的根差异不大.
设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得 )(')(0001x f x f x x -= 重复这一过程,得到迭代格式：)(')(1n n n n x f x f x x -
=+
这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为：
