计算方法教案新疆医科大学
数学教研室
张利萍
一、课程基本信息
1、课程英文名称：Numerical Analysis
2、课程类别：专业基础课程
3、课程学时：总学时54
4、学分：4
5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》
二、课程的目的与任务：
计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
三、课程的基本要求：
1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法
2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理
3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力
4．了解科学计算的发展方向和应用前景
四、教学内容、要求及学时分配：
(一) 理论教学：
引论（2学时）
第一讲（1-2节）
1．教学内容：
计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。
2．重点难点：
算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标：
了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。
A 算法
B 误差
第二讲
典型例题
第二章线性方程组的直接法（4学时）
第三讲
1．教学内容：
线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。
2．重点难点：
约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法
3．教学目标：
了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。
1、约当消去法
2、Gauss消去法
3、Gauss列主元素消去法
典型例题
第三讲
1．教学内容：
三对角方程组及其解的唯一性定理、追赶法的计算公式、追赶法的代数基础。
2．重点难点：
唯一性定理、追赶法的计算公式、追赶法的代数基础
3．教学目标：
了解追赶法的基本思想、掌握追赶法的计算公式，能运用追赶法对线性方程组进行求解。
1、三对角方程组
2、追赶法的计算公式
3、追赶法的代数基础
典型例题
第三章插值方法
第一讲
1.教学内容：
代数插值多项式的存在唯一性；Lagrange插值及其误差估计。
2．重点难点：
Lagrange插值基函数、插值公式的构造、插值余项。
3．教学目标：
了解插值问题的背景及提法、代数插值多项式的存在唯一性；掌握Lagrange插值基函数及其构造法。
1．问题的提出
2．拉格朗日查值公式
3．插值余项
典型例题
第二讲
教学内容：
差商、差分的概念与性质，Newton插值公式及其余项。
重点难点：
差商表、差分表，Newton插值公式的构造。
教学目标：
理解差商、差分的定义及其性质，掌握Newton插值公式及其余项。
4．牛顿插值公式
5．埃尔米特插值
典型例题
第三讲（7-8节）
1．教学内容：
曲线拟合的概念、直线拟合、多项式拟合、正则方程组。
2．重点难点：
拟合曲线的类型、正则方程组的建立、拟合多项式的求解。
3．教学目标：
了解曲线拟合的概念、对给出的一组数据点，能判断其拟合曲线的类型、建立相应的正则方程组、求得拟合多项式
6．曲线拟合的最小二乘法
典型例题
第四章数值积分与数值微分（6学时）
第五讲（9-10节）
1．教学内容：
代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。
2．重点难点：
代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。
3．教学目标：
了解代数精度的概念、掌握插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式；对给出的一组数据点，能正确使用插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式进行数值计算，并能够进行误差分析。
1．机械求积
2．牛顿—柯特斯公式
典型例题
第六讲（11-12节）
1．教学内容：
梯形法的递推化、龙贝格公式、龙贝格算法程序设计
2．重点难点：
龙贝格算法的思想、龙贝格算法加速的过程、龙贝格算法程序设计
3．教学目标：
了解梯形法的递推化的方法、掌握龙贝格算法的加速过程、能利用变步长的梯形法和龙贝格公式计算实际问题、编写龙贝格算法程序
3．龙贝格算法
典型例题
第七讲（13-14节）
1．教学内容：
通过对高斯公式的定义的讲解，介绍什么是高斯公式、什么是高斯点、什么是高斯求积系数；然后对高斯点的基本特性进行分析分析，推导出节点是高斯点的充分必要条件，从而引导出几种求高斯点的方法及勒让德多项式。
从微分的定义出发，用差商引导出几个微分的数值方法；再对中心差商公式，介绍一种加速的方法；然后利用插值公式，推导出插值型的数值微分公式并进行误差估计。
2．重点难点：
高斯点的基本特性、正交多项式、高斯点的计算
3．教学目标：
理解高斯公式的定义、掌握高斯点的基本特性、能利用梯形法的递推化的方法、掌握龙贝格算法的加速过程、能利用勒让德多项式得出几个低阶的高斯公式并能利用高斯公式解决实际问题。了解差商公式及插值型求导公式，并能利用它们进行数值微分的计算。
4．高斯公式
5．数值微分
典型例题
第五章常微分方程数值解（4学时）
第八讲（15-16节）
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行微分方程数值求解
1．欧拉法
2．改进欧拉法
