3单纯形法基本概念与原理

单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于线性规划问题求解的数学方法，它的基本原理是通过不断地在可行解空间中移动，寻找到最优解的过程。

在实际应用中，单纯形法被广泛地应用于生产调度、资源分配、运输优化等领域，它的高效性和可靠性使得它成为了解决复杂实际问题的重要工具。

单纯形法的基本原理可以简单地概括为以下几个步骤：1. 初始可行解的构造。

在单纯形法中，首先需要构造一个初始的可行解。

这个可行解需要满足线性规划问题的约束条件，并且需要在可行解空间内。

构造初始可行解的方法有多种，常见的方法包括人工构造、单纯形表法等。

2. 迭代移动。

一旦得到了初始可行解，单纯形法就开始了迭代移动的过程。

在每一步迭代中，单纯形法会根据当前的可行解，寻找一个移动方向，并且沿着这个方向进行移动。

移动的目的是寻找到更优的解，直到找到最优解为止。

3. 优化目标的改善。

在每一步迭代中，单纯形法都会尝试改善优化目标的值。

优化目标通常是线性规划问题的目标函数值，单纯形法的目标是找到一个可行解，使得优化目标的值最小或最大。

4. 终止条件的判断。

单纯形法在迭代移动的过程中，需要不断地判断是否满足终止条件。

终止条件通常包括目标函数值不再改善、可行解空间已经被完全搜索等情况。

通过以上几个基本步骤，单纯形法可以在有限的迭代次数内找到线性规划问题的最优解。

它的高效性和可靠性使得它成为了解决实际问题的重要工具。

在实际应用中，单纯形法还可以通过一些改进的方法来提高求解效率，例如对初始可行解的选择、对移动方向的选择、对终止条件的判断等方面进行优化。

这些改进方法可以使得单纯形法更加适用于复杂的实际问题。

总的来说，单纯形法是一种强大的数学方法，它具有较高的求解效率和可靠性，可以被广泛地应用于各种领域的实际问题求解中。

通过深入理解单纯形法的基本原理，我们可以更好地应用它来解决复杂的实际问题，为各种决策问题提供科学的决策支持。

单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。

它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。

本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。

一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。

这些可行解形成一个点集，称为单纯形。

每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。

重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。

单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。

2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。

3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。

这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。

4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。

这可以通过解一个线性方程组来实现。

5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。

6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。

二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。

每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。

表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。

在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。

每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。

在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。

通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。

总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。

simplex 单纯形法单纯形法（Simplex Algorithm）是一种用于线性规划问题求解的有效算法。

它由美国运筹学家Dantzig于1947年提出，被广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。

本文将介绍单纯形法的基本原理、步骤与应用，并探讨其优缺点。

一、基本原理单纯形法是通过不断地在可行解空间中移动来逼近最优解的方法。

该方法从一个初始可行解出发，通过一系列迭代操作，每次改变一个基本变量以达到更优的目标函数值。

最终，算法将找到一个全局最优解或者判断问题无界或无可行解。

二、基本步骤1. 线性规划标准形式化：将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数最小化，约束条件为线性等式。

2. 初始可行解：找到一个满足约束条件的初始可行解，并将其称为基本可行解。

3. 进行迭代操作：通过改变基本变量来改善目标函数值，直到达到最优解或者判断问题无界或无可行解。

4. 基本变量的选择：在每一次迭代中，选择一个非基本变量作为入基变量，并选取一个基本变量作为出基变量。

5. 确定迭代终止条件：判断是否终止迭代，若目标函数值无法继续改善或者判断问题无界或无可行解，则终止迭代。

6. 输出最优解：若找到了最优解，输出最优解及最优目标函数值。

若判断问题无界或无可行解，则给出相应的判断结果。

三、应用领域单纯形法广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。

以下是一些典型应用案例：1. 生产计划优化：通过使用单纯形法，可以优化生产计划以最大化产出，同时考虑资源约束和成本限制。

这对于提高生产效率和降低成本非常重要。

2. 物流网络优化：单纯形法可以帮助优化物流网络的设计和运作，以最小化物流成本、最大化物流效率，并满足客户需求。

3. 能源系统调度：单纯形法可以应用于能源系统的调度问题，包括电力系统、天然气输送网络等，以最大化供应效率，并解决资源分配和运营问题。

4. 金融投资组合优化：通过单纯形法，可以优化金融投资组合以最大化收益或最小化风险，并满足投资者的需求。

教案四线性规划的单纯形法教学内容第三节单纯形法1．单纯形法2．单纯形法的基本原理3．单纯形解法4．大M法教学学时9学时教学目标1．理解单纯形法的解题思想2．掌握单纯形法的基本原理3．掌握单纯形解法和大M法重点难点重点单纯形法的基本原理、单纯形解法和大M法，难点单纯形法的基本原理教学方法及手段教师讲解使用多媒体课件教学过程一、复习巩固1．线性规划图解法的步骤（见课件）2．线性规划数学模型解的几种情况（见课件）二、讲授新课1．单纯形法基本概念（见课件）典型方程组一般线性规划问题标准形式的约束条件如下式（2-1），是一个有n个未知数、m个方程的线性方程组．如果这m个方程是独立的（即其中任一方程均不能由其它方程代替），则通过初等变换，必能使式（2-1）化成式（2-2）形式的同解方程组：∑==njijijbxa1mi,,2,1=（2-1）1x ' +11221111b x a x a x a n n m m m m '=''+⋅⋅⋅+''+''++++ 2x ' +22222112b x a x a x a n n m m m m '=''+⋅⋅⋅+''+''++++ （2-2） …………………………………………………………mx '+m n mn m mm m mm b x a x a x a '=''+⋅⋅⋅+''+''++++2211 式中n x x x '⋅⋅⋅'',,,21是重新排序后的变量．式（2-2）被称为典型方程组．即如果在一个线性方程组中的每一个方程中都有系数为1，并且不再出现在其它方程的一个未知量，则此方程组称为典型方程组．基本变量如果变量j x 在某一方程中系数为1，而在其它一切方程中的系数为零，则称j x 为该方程中的基本变量．否则为非基本变量．如式（2-2）中的m x x x '⋅⋅⋅'',,,21为基本变量，n m m x x x '⋅⋅⋅''++,,,21为非基本变量．基本变量的个数为线性无关的方程的个数．事实上，n 个变量中任意m 个都可能作为基本变量，因此由排列组合知识可知，基本变量的组数为mn c 个，n 为未知变量的个数，m 为线性无关的方程的个数．基本解在典型方程中，设非基本变量为零，求解基本变量得到的解，称为基本解．基本解的个数为mnc 个．基本可行解基本变量为非负的一组基本解称为基本可行解，基本可行解的个数最多不超过m n c 个．例如，对方程组32 4321=+-+x x x x ①13 2421=+x x x －② 施行初等变换[①×（－2）＋②],可以得到：32 4321=+-+x x x x ①572 432-=-+-x x x ③[③×(－1)] : 32 4321=+-+x x x x ① 572432=+-x x x ④ [④×（－1）＋①]: 25431-=-+x x x ⑤ 572432=+-x x x ④式⑤和④为典型方程组，基本变量是1x 和2x ，非基本变量为3x 和4x ．设非基本变量3x 和4x 为零，则1x 和2x 分别等于-2和5，即对应于典型方程组⑤和④，基本解为：X =()T0052-．因基本变量中1x 为负值，所以此解不是基本可行解．根据方程组①和②有4个未知变量，因此通过初等变换可得到24c 组（即6组）典型方程组和基本解．若令2x 和4x 为基本变量，通过初等变换，方程组①和②可变换为：[①×（－1）＋②]: 32 4321=+-+x x x x ① 25 431－=-+x x x ③ [③×（－1/5）]: 324321=+-+x x x x ① 4.0202.0431=+--x x . x ④ [④×（－2）＋①] : 2.2604.1321=-+ x . x x ⑤4.0202.0431=--x x .x ＋ ④ 此时，典型方程组的基本变量为2x 和4x ，非基本变量为1x 和3x ．基本解为：T X ）（0.4 0 2.2 0 =，因为基本变量为非负值，所以此基本解也为基本可行解．2．单纯形法的基本原理（见课件）理论上已经证明，线性规划的基本可行解与可行域的顶点是一对一的．这就决定了线性规划可行域的顶点个数最多也不超过m n c 个．上面讨论线性规划问题解的特点时已指出，如果线性规划有最优解，一定可以在可行域的某个顶点处达到．因此，单纯形法的基本思路是：根据问题的标准形式，从可行域中的一个基本可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基本可行解（顶点），并且使目标函数的值逐步增大；当目标函数达到最大值时，问题就得到了最优解．在用单纯形法求解线性规划问题时，应考虑的问题：建立初始基本可行解 在用单纯形法求解时，首先应将线性规划问题以标准形式表达、约束条件以右端常数非负的典型方程组表示，确定初始基本可行解．在前面的阐述中，已讨论了如何将一般线性规划问题转化为标准形式的线性规划问题，如何将约束条件通过初等变换以典型方程组形式表示，以及如何得出基本可行解（最初得到的基本可行解也称初始基本可行解），此处不再赘述．经过变换，典型方程组和初始基本可行解可用式（2-3）表示：1x +11221111b x a x a x a n n m m m m '='+⋅⋅⋅+'+'++++ 2x +22222112b x a x a x a n n m m m m '='+⋅⋅⋅+'+'++++ （2-3） ………………………………………………………m x +m n mn m mm m mmb x a x a x a '='+⋅⋅⋅+'+'++++2211 初始基本可行解：T mb b X )00(10 ''=． 最优性检验 得到一个基本可行解后，我们要判断它是不是最优解．一般情况下，经过迭代后式（2-3）变为∑+='-'=nm j jiji i xa b x 1（m i ,,2,1 =） （2-4）将式（2-4）代入目标函数式，整理后得∑∑∑+==='-+'=n m j mi j iji jmi i i x a c c b c Z 111)( （2-5）令 ∑='=m i i i b c Z 10 , ∑='=mi iji j a c Z 1, n m m j ,,2 ,1 ++= 于是 ∑+=-+=nm j j j jx Z cZ Z 10)( （2-6）由于当m j ,,2 ,1 =时，j mi ij i j c a c Z ='=∑=1，即0=-j j Z c （m j ,,2 ,1 =），所以式（2-6）也可写作再令 j j j Z c C -= n j ,,2 ,1 =j C 为变量j x 的检验数．则 ∑=+=nj j j x C Z Z 10 （2-7）（1）最优解判别 若)0(X ＝T m b b b )00(21⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''为基本可行解，且对一切n j ,,2 ,1 =,有0≤j C ，则)0(X 为最优解．（2）无有限最优解判别 若)0(X ＝T m b b b )00(21⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''为一基本可行解，有一个k C >0，且对一切m i ,,2,1 =有0≤ik β（ik β为约束条件方程中的系数，n k ,,2,1 =），那么该线性规划问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解）．事实上，应用向量的乘法，可以将检验数的求法表示得简明一些．令j c 表示目标函数中变量jx 的系数，B C 表示基本变量在目标函数中的系数行向量，j P 表示变量j x 在典型方程中的系数列向量，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⋅-=-=mj j j B j j B j j j j a a a C c P C c Z c C 21 n j ,,2 ,1 = （2-8）基本变量的检验数总等于0．目标函数值b C Z B ⋅=.基本可行解的改进 若初始基本可行解)0(X 不是最优解及不能判别无最优解时，需找一个新的基本可行解．具体方法是：首先确定进基变量，再确定出基变量．进基变量的确定：由式（2-7）可知，检验数j C 对线性规划问题的实际意义是：j C 表示当变量j x 增加1个单位时，目标函数的增加量；其经济意义表示相对利润．当0>j C 时，说明非基本变量j x 增加1个单位，目标函数可以增加，即现在的函数值不是最优，还能增加．这时要将某个非基本变量换到基本变量中去（称为进基变量）．为了使目标函数值增长最快，所以应选择j C 值最大的一项所对应的非基本变量进基,k C =>)0j C (max . 则对应的k x 为进基变量．进基变量所在的列（k ）称为枢列．出基变量的确定：当进基变量确定后（假设i x 是进基变量），出基变量的选定是应用“最小比值规则”．即用此时的各约束方程右端的常数项i b （非负数）与相应方程中k x 的正系数ik β相比，并选取最小商值的基本变量l x 为出基变量（将由基本变量变为非基本变量）．出基变量所在的行（l ）称为枢行．枢行与枢列交点处的元素（lk β）称为枢元．然后通过初等变换，将约束条件转为关于新的基本变量的典型方程组，并求得新的基本可行解．对于新的基本可行解可再进行上述的最优性检验．3． 单纯形解法（见课件）上面介绍的单纯形法原理看似复杂，但如用表格形式计算，则比较容易操作．单纯形法的计算步骤：第1步：找出初始基本可行解，建立初始单纯形表．第2步：检验对应于非基本变量的检验数j C ，若对所有的0≤j C ，则已得到最优解，计算最优值∑==mi i i b c Z 1，即可结束．否则，转入下一步．第3步：在所有0>j C 中，若有一个k C 对应k x 的系数列向量，即对m i ,,2,1 =均有0≤ik β，则此问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解），停止计算．否则转入下一步．第4步：根据()0max >j C ＝k C ，确定k x 为进基变量，再依据“最小比值规则”（{}lkl ik ik i i b b βββθ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0min min ）确定l x 为出基变量．第5步：实施以枢元素为中心的初等变换，使约束方程组变为关于新的基本变量的典型方程组，得到新的单纯形表，重复第二步…，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函数为止．若线性规划模型为：上述计算步骤仍有效，只是其中的第二步改为：若对所有的0≥j C （n j ,,2,1 =），则已得到最优解；第三步改为在所有0<j C 中，若有一个k C 对应k x 的系数列向量，即对m i ,,2,1 =均有0≤ik β，则此问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解）；第四步改为)0min(<j C ＝k C ，确定k x 为进基变量．例2-8 现以例2-1来说明单纯形法的表上解法．解 首先将线性规划问题标准化，引入松弛变量3x 、4x 、5x 、6x ，则：此时约束方程组已为典型方程组，根据上述线性规划模型可以列出初始单纯形表（表2-4）：表2-4 单纯形法求解例2-1（1）表2-4中：1004001000400102100012 为典型方程组中变量的系数，j x 为规划中出现的变量，j c 为变量j x 在目标函数中的系数，B X 为基本变量，B C 为基本变量在目标函数中的系数，b 为典型方程组右端常数项（非负值），θ为确定出基变量的商值，ikii b βθ=（0>ik β），j C 为变量j x 的检验数，j P C c C B j j ⋅-=，Z 为此时目标函数值，b C Z B ⋅=．根据初始单纯形表可以看出：初始基本可行解是01=x ，02=x ，123=x ，84=x ，165=x ，126=x此时目标函数值()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=12168120000Z ＝0检验数111P C c C B ⋅-=＝200－()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅04120000＝200222P C c C B ⋅-=＝300－()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅40220000＝3003C =4C =5C ＝6C ＝0（基本变量的检验数总等于零）由于01>C ，02>C ，所以初始基本可行解非最优解．又由于12C C >，所以确定2x 为进基变量．进一步求最小θ值：即从第4个方程中算出的商值最小，而第4个方程中的基本变量是6x ，于是6x 为出基变量．表中给第4个约束方程中2x 的系数4加上方括号以突出其为枢元．接下去是将2x 取代6x ，表2-4中的约束方程化为以3x 、4x 、5x 和2x 为基本变量，1x 和6x 为非基本变量的典型方程．从表2-4中可以看到，只需对方程组实行初等变换，使枢元位置变成1，而枢列中的其它元素变为零就可以了．此处可先将第4个方程除以4，使枢元位置变成1；然后用新得到的第4个方程乘以（-2）后分别加到第1个和第2个方程上，使枢列中的第1个和第二个方程所在位变为零．这样我们可以得到新的单纯形表（表2-5）．表2-5给出的新的基本可行解是1x ＝0，2x ＝3，3x ＝6，4x ＝2，5x ＝16，6x ＝0此时目标函数值()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=31626300000Z ＝900检验数111P C c C B ⋅-=＝200-()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅0412300000＝200666P C c C B ⋅-=＝0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅4102121300000＝75-2C ＝3C =4C =5C ＝0（基本变量的检验数总等于零）表2-5 单纯形法求解例2-1（2）由于01>C ，所以此时基本可行解非最优解，确定1x 为进基变量． 进一步计算最小θ值：即从第2个方程中算出的商值最小，而第2个方程中的基本变量是4x ，于是4x 为出基变量．接着进行第二次迭代，将1x 取代4x ，表2-5中的约束方程化为以3x 、1x 、5x 和2x 为基本变量，4x 和6x 为非基本变量的典型方程，以便求出新的单纯形表．重复单纯形法计算第2 步～第5步，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函数为止（见表2-6和表2-7）．表2-6 单纯形法求解例2-1（3）表2-7 单纯形法求解例2-1（4）表2-7中：目标函数值()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=244030002000Z =1400检验数444P C c C B ⋅-==0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅2120130002000=-150555P C c C B ⋅-==0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅8121414130002000=225- 1C =2C =3C =6C =0（基本变量的检验数总等于零）由于0≤j C ，6,,2,1 =j ，所以此基本可行解41=x ，22=x ，03=x ，04=x ，05=x ，46=x ，即为最优解，最优值为Z *＝1400．与前面图解法求解结果一致．为了加深对单纯形法基本思想的理解，不妨将表2-4、表2-5、表2-6、表2-7和图2-1进行对照，可以发现表2-4给出的基本可行解对应于图中可行域顶点0，表2-5给出的基本可行解对应于顶点A ，表2-6给出的基本可行解对应于顶点B ，表2-7给出的最优解对应于顶点C ．线性规划问题有无穷多个可行解，应用单纯形法可以高效率地求解此类问题．例2-9 用单纯形法求解下列规划问题（解略，见课件）4． 大M 法（1）人工变量 （见课件）单纯形法求解的一个重要前提是：线性规划问题必须是标准形式，并且约束条件必须化为典型方程组．这样才能得到初始基本可行解，并制作出初始的单纯形表．但许多线性规划问题不是以标准形式出现，约束条件也未以典型方程组形式表示，因此我们往往先要把线性规划问题化为标准形式，然后再使约束方程变为典型方程组．如果给定的线性规划问题中，约束条件都是“∑=≤nj i j ij b x a 1”型的，那么将每一个约束条件的左边添加一个松弛变量后，不仅约束条件化为了标准形式，而且也得到了典型方程组，如下列所示．但是，大多数的线性规划中的约束条件为∑=≥nj j ij x a 1（或＝）i b 的形式，化为典型方程组就不那么容易．在这种情况下，比较简单的方法是先将约束不等式化为等式，然后对每一个约束方程再添加一个非负变量（如果约束方程没有明显的基本变量），使方程组成为典型方程组形式．这种外加的变量不同于松弛变量（或剩余变量），没有实际意义，只是一种形式的存在，本质上应当等于零，所以被称为人工变量．（2）大M 法求解（见课件）在一个线性规划问题的约束条件中加入人工变量，成为典型方程组后，即可用单纯形表求解．由于一开始人工变量是作为基本变量的，而它们本质上应当为零，所以必须设法尽快将它们从基本变量中剔除，成为非基本变量（基本可行解中，非基本变量的值为零）．为此，将人工变量记入目标函数中，并赋予一个极大的负系数．习惯上，这种系数记作M -，其中M 是极大的正数．由于标准形式的线性规划是极大化问题，目标函数中添加1个或1个以上以M -为系数的人工变量后，人工变量取任何非负值均不可能为最优解．从而，在应用单纯形法过程中，人工变量一定会尽快地变成非基本变量，而对原问题的最优解不产生丝毫影响．对于目标函数为极小化时，规定人工变量在目标函数中的系数为极大的正系数（M +）．这种方法称为大M 法．例2-10 用大M 法求解下列问题．解 先通过加入松弛变量3x 和4x 使此线性规划问题化为标准形式然后通过加入人工变量5x 使约束方程组变为典型方程组2153M a xx x Z +=-5Mx 用单纯形法解之，结果如下表2-11：最后计算得出最优解21=x ，62=x ，23=x ，04=x ，05=x ，最优值Z *=36． 例2-11 有一线性规划问题 试用大M 法求解．解 在上述问题的约束条件中加入松弛变量、剩余变量和人工变量，得到这里M 是一个很大的正数． 大M 法计算见表2-12．最优解：1x ＝4，2x ＝1，3x ＝9，4x ＝5x ＝6x ＝7x ＝0；最优值：Z ＝-2．在用大M 法求解时，如果得到人工变量不为零的最优解，则说明原问题不可行，即原问题无解．另外，若极小比值相等，则人工变量先出基．在线性规划问题中，如果线性规划已化为标准形式而约束方程仍没有明显的基本变量，则除可用大M 法求解外，还可用二阶段法求解（可参阅其他运筹学书籍）．单纯形法是线性规划问题的通用解法．尽管求解效率较高，但由于在许多实际问题的应用过程中，往往有很多的决策变量和约束条件，人工计算费时且易出现计算错误．计算机技术的发展，使线性规划问题的求解可以通过有关计算机程序完成，极大地增强了线性规划方法解决实际问题的能力．本书第十三章就介绍了用Excel 以电子表格的形式建立与求解线性规划模型的方法．表2-12 大M 法计算例2-11三、课堂练习（见课件）四、本次课小结（见课件）五、作业（见课件）。

运筹学单纯形法的迭代原理讲解
单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法，其基本思想是通过迭代的方式逐步接近最优解。

下面是单纯形法的迭代原理的讲解：
1. 初始解的选择：首先需要选择一个初始解，通常选择的方法是构造一个基可行解，即使所有的约束条件都满足的解。

2. 判断最优性：在每一次迭代中，需要判断当前解是否为最优解。

首先，计算当前解对应的目标函数值。

然后，检查是否存在非基变量的系数大于等于0（对于最小化问题）或者小于等于0（对于最大化问题），如果存在这样的非基变量，则当前解不是最优解；如果不存在这样的非基变量，则当前解是最优解。

3. 生成新解：如果当前解不是最优解，则需要生成新的解。

首先，选择一个非基变量，使得目标函数的值可以通过增加（对于最小化问题）或减少（对于最大化问题）该变量的值来改善。

然后，需要计算这个非基变量能够增加或减少的最大量，称为变量的进步长度。

最后，通过调整基变量的值来生成新的解。

4. 更新目标函数和约束条件：在生成新解之后，需要更新目标函数和约束条件，以便于下一次迭代。

具体操作包括计算新解对应的目标函数值，计算新解对应的约束条件的值，调整目标函数和约束条件的系数。

5. 重复迭代：根据判断最优性的结果，进行下一次迭代。

如果当前解是最优解，
则算法结束；否则，继续进行下一次迭代。

通过不断重复这一迭代过程，直到找到最优解或者确定问题无解为止。

单纯形法的迭代过程一般会在有限次数内结束，并且能够得到最优解。

单纯形法原理
单纯形法是线性规划中常用的一种方法，用于求解极值问题。

它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近最优解。

单纯形法的基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准型。

标准型的约束条件为≤，目标函数为最大化，且所有变量的取值范围为非负数。

2. 利用人为变量引入的方法，将标准型问题转化为初始单纯形表。

3. 选择合适的初始基变量，并计算出对应的基变量解。

4. 计算单纯形表中的评价函数。

如果所有评价函数中的系数都为非负数，则当前基变量解为最优解，过程结束。

否则，继续进行下一步。

5. 选择进入变量和离开变量。

进入变量是指取值为负的评价函数系数对应的变量，离开变量是指进入变量在当前基变量解中最先达到0的变量。

6. 迭代计算，通过变换基变量，逐渐接近最优解。

具体的计算方式为将进入变量对应列调整为单位向量，同时更新初始单纯形表中其它列的数值。

7. 重复步骤4至步骤6，直至得到最优解为止。

值得注意的是，单纯形法的执行依赖于初始基变量的选择，不同的初始基变量可能会得到不同的最优解。

因此，在实际应用中，需要通过灵活选择初始基变量来提高求解效果。

单纯形法一、单纯形法的原理线性方程组的解：⎩⎨⎧=----=+-+-4322425432154321x x x x x x x x x x （1） 5个未知数，两个方程组。

方程的解多于1个。

两种初等变换：51）方程组的任一方程乘上一个不为零的数。

2）方程组的任一方程两边同乘上一个常数，分别加到另一个方程的两边。

式（1）做变换得到：（①×-1）⎩⎨⎧=-+-=+-+-2322242543254321x x x x x x x x x （2） 式（2）做变换得到：（②×2）⎩⎨⎧=-+-=---232642354325431x x x x x x x x （3）方程组（1）、（2）、（3）同解，可令0543===x x x 。

得到：61=x ，22=x 。

选择3x ，4x ，5x 不同的值，相应地有不同的1x 和2x 的值，因此方程组有多组解。

基本变量：如果变量i x 的系数在某一个方程为1，而在其它所有方程为0，则称i x 为该方程组中的基本变量。

非基本变量：凡不是基本变量的变量都叫做非基本变量。

1x ，2x 为基本变量；3x ，4x ，5x 为非基本变量。

旋转运算：运用初等变换，可使一给定变量化为基本变量，这一运算，成为旋转运算。

基本变量的个数，与方程的个数相同。

基本解：设非基本变量为0，求得相应的基本变量的值，得到一组解，这组解称为基本解。

基本可行解：基变量的值为非负时的基本解称为基本可行解。

单纯形法的思路；1）先不考虑目标函数，从满足约束条件开始，寻求一个初始基本可行解； 2）求具有较佳目标函数值的另一个基本可行解，以改进初始解；3）对目标函数做有限次的改善。

当某一个基本可行解不能再得到改善时，即求得最优解，单纯形法结束。

二、单纯形算法例：54321325max x x x x x Z +-++= 约束条件为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=+++=+++0,0,0,0,0743********53214321x x x x x x x x x x x x x （5） 以上线性规划问题中，具有： 1）全部变量非负；2）全部约束条件都是等式；5 3）右端常数都是正的。

单纯形法是一种线性规划的求解方法，其基本思想是在线性规划问题的可行域内，通过不断迭代，逐步找到最优解。

单纯形法的原理可以概括为以下几个步骤：1. 确定线性规划问题的可行域：对于一个线性规划问题，首先需要确定其可行域，即所有满足约束条件的解的集合。

可行域通常是一个凸多边形，也可以表示为一个凸锥。

2. 确定初始基：在单纯形法中，我们需要选取一个初始基，即一个初始的可行解，来开始迭代过程。

初始基可以是一个非基变量为零的点，也可以是通过某种启发式算法得到的一个初始可行解。

3. 判断最优解：在得到初始基之后，我们需要判断该基是否是最优解。

如果该基对应的目标函数值已经满足要求，则该基是最优解。

否则，我们需要找到一个非基变量，其对应的系数在约束条件下最小，来继续迭代。

4. 确定换入变量：在找到一个非基变量后，我们需要确定一个换入变量，即需要被替换掉的那个基变量。

通常情况下，我们选择当前基中对应的系数最小的非基变量作为换入变量。

5. 进行迭代：在确定了换入变量之后，我们需要进行迭代，将当前基中的某个基变量替换为非基变量，得到一个新的基。

具体来说，我们可以使用高斯消元法来计算新的基变量的系数，并更新当前基的矩阵表示。

6. 判断收敛：在完成一次迭代后，我们需要判断当前基是否已经收敛到最优解。

如果当前基已经满足精度要求，或者达到了一定的迭代次数上限，我们可以认为已经找到了最优解，停止迭代。

否则，我们需要回到步骤3，继续迭代过程。

单纯形法的原理比较简单，其核心思想是通过不断迭代，逐步逼近最优解。

该方法具有良好的数值稳定性和广泛的应用范围，是求解线性规划问题的一种常用方法之一。

需要注意的是，在实际应用中，单纯形法可能会面临一些问题，例如初始基的选择、系数矩阵的奇异性等问题，需要进行一定的处理和优化。

除了单纯形法外，还有许多其他的线性规划求解方法，例如内点法、外点法、椭球算法等。

这些方法各有优缺点和适用范围，可以根据具体问题的特点进行选择和组合使用。