线性规划问题求解结课大作业

线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。

下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。

一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。

其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。

二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。

其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。

（2）画出目标函数的等值线。

（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。

例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。

线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。

在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。

以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。

每天的加工时间总共有16个小时。

产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。

工厂的目标是最大化每天的总利润。

解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。

3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。

b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。

4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。

最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。

通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。

同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。

此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。

例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。

在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。

这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。

总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。

通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。

线性规划习题及答案线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要用于解决资源分配问题，以达到最大化或最小化目标函数。

下面是一个线性规划的习题及答案：习题：某工厂生产两种产品A和B，每种产品都需要使用机器时间和劳动力。

产品A每件需要3小时的机器时间和2小时的劳动力，产品B每件需要2小时的机器时间和3小时的劳动力。

工厂每天有24小时的机器时间和18小时的劳动力。

设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。

1. 建立目标函数和约束条件。

2. 求解线性规划问题，找出最优生产计划。

答案：1. 目标函数：设目标是最大化利润，产品A的利润为40元/件，产品B的利润为30元/件。

因此，目标函数为：\[ \text{Maximize } P = 40x + 30y \]2. 约束条件：- 机器时间约束：\[ 3x + 2y \leq 24 \]- 劳动力时间约束：\[ 2x + 3y \leq 18 \]- 非负约束：\[ x \geq 0, y \geq 0 \]3. 图解法求解：- 首先在坐标系中画出约束条件所形成的可行域。

- 可行域的顶点坐标为：(0,0), (0,6), (4,2), (8,0)。

- 将这些点代入目标函数计算利润：- P(0,0) = 40*0 + 30*0 = 0- P(0,6) = 40*0 + 30*6 = 180- P(4,2) = 40*4 + 30*2 = 200- P(8,0) = 40*8 + 30*0 = 3204. 最优解：- 通过比较各点的利润，发现当生产8件产品A和0件产品B时，利润最大，为320元。

5. 结论：- 工厂应该生产8件产品A和0件产品B，以实现最大利润320元。

注意：本题答案仅为示例，实际解题时需要根据具体题目条件进行分析和计算。

线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。

在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。

本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。

一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。

每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。

问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。

通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。

二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。

公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。

通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。

三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。

仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。

通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。

四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。

线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种常见的数学建模方法，用于解决优化问题。

它在工程、经济学、运筹学等领域中得到了广泛应用。

本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相应的答案。

一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。

1.2 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。

例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为决策变量向量，b为常数向量。

1.3 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。

可行解的集合称为可行域。

二、线性规划问题的解题方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。

首先绘制可行域的图形，然后通过挪移目标函数的等高线来确定最优解。

最优解通常浮现在可行域的顶点处。

2.2 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。

该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。

单纯形法的基本思想是通过交换基本变量和非基本变量来改变目标函数值，直到找到最优解。

2.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法求解。

整数规划问题通常比线性规划问题更难解决，因为整数解的集合通常是离散的。

三、线性规划题的实例分析3.1 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的生产时间，每单位产品B需要2小时的生产时间。

工厂每天有8小时的生产时间，且产品A和B的利润分别为10元和8元。

求工厂每天应生产多少单位的产品A和B，才干最大化利润。

3.2 运输问题：某物流公司有3个仓库和4个配送点，每一个仓库的库存和每一个配送点的需求如下表所示。

每单位产品的运输成本如下表所示。

求如何安排运输，使得总运输成本最低。

仓库 | 库存----|----A | 50B | 80C | 70配送点 | 需求------|-----D | 30E | 40F | 50G | 60运输成本 | 仓库A | 仓库B | 仓库C--------|------|------|------配送点D | 10 | 12 | 15配送点E | 14 | 8 | 11配送点F | 7 | 16 | 9配送点G | 13 | 10 | 63.3 资源分配问题：某公司有3个项目需要分配资源，每一个项目的利润和资源需求如下表所示。

第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。

简单的线性规划问题附答案 Did you work harder today, April 6th, 2023简单的线性规划问题学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法;并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by b≠0对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!;在y轴上的截距是错误!;当z变化时;方程表示一组互相平行的直线．当b>0;截距最大时;z取得最大值;截距最小时;z取得最小值；当b<0;截距最大时;z取得最小值;截距最小时;z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下;解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步;即;1画：根据线性约束条件;在平面直角坐标系中;把可行域表示的平面图形准确地画出来;可行域可以是封闭的多边形;也可以是一侧开放的无限大的平面区域．2移：运用数形结合的思想;把目标函数表示的直线平行移动;最先通过或最后通过的顶点或边界便是最优解．3求：解方程组求最优解;进而求出目标函数的最大值或最小值．4答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型1给定一定数量的人力、物力资源;问怎样运用这些资源;使完成的任务量最大;收到的效益最大；2给定一项任务;问怎样统筹安排;使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如;已知两煤矿每年的产量;煤需经两个车站运往外地;两个车站的运输能力是有限的;且已知两煤矿运往两个车站的运输价格;煤矿应怎样编制调动方案;才能使总运费最小②产品安排问题例如;某工厂生产甲、乙两种产品;每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量;此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的;这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产;才能使每月获得的总利润最大③下料问题例如;要把一批长钢管截成两种规格的钢管;应怎样下料能使损耗最小2．解答线性规划实际应用题的步骤1模型建立：正确理解题意;将一般文字语言转化为数学语言;进而建立数学模型;这需要在学习有关例题解答时;仔细体会范例给出的模型建立方法．2模型求解：画出可行域;并结合所建立的目标函数的特点;选定可行域中的特殊点作为最优解．3模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中;设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x;y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最大值为A．12 B．11C．3 D．－1答案B解析首先画出可行域;建立在可行域的基础上;分析最值点;然后通过解方程组得最值点的坐标;代入即可．如图中的阴影部分;即为约束条件对应的可行域;当直线y＝－3x＋z经过点A时;z取得最大值．由错误!错误!此时z＝3x＋y＝11.跟踪训练1 1x;y满足约束条件错误!若z＝y－ax取得最大值的最优解不．唯一．．;则实数a的值为A.错误!或－1 B．2或错误!C．2或1 D．2或－12若变量x;y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最小值为________．答案1D 21解析1如图;由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距;故当a>0时;要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一;则a＝2；当a<0时;要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一;则a＝－1.2由题意;作出约束条件组成的可行域如图所示;当目标函数z＝3x＋y;即y ＝－3x＋z过点0;1时z取最小值1.题型二非线性目标函数的最值问题例2 设实数x;y满足约束条件错误!求1x2＋y2的最小值；2错误!的最大值．解如图;画出不等式组表示的平面区域ABC;1令u＝x2＋y2;其几何意义是可行域ABC内任一点x;y与原点的距离的平方．过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x;则垂足为错误!的解;即错误!;又由错误!得C错误!;所以垂足在线段AC的延长线上;故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝错误!＝错误!;所以;x2＋y2的最小值为错误!.2令v＝错误!;其几何意义是可行域ABC内任一点x;y与原点相连的直线l 的斜率为v;即v＝错误!.由图形可知;当直线l经过可行域内点C时;v最大;由1知C错误!;所以v max＝错误!;所以错误!的最大值为错误!.跟踪训练2已知x;y满足约束条件错误!则x＋32＋y2的最小值为________．答案10解析画出可行域如图所示．x＋32＋y2即点A－3;0与可行域内点x;y之间距离的平方．显然AC长度最小;∴AC2＝0＋32＋1－02＝10;即x＋32＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元;每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中;要求每天消耗A;B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划;从每天生产的甲、乙两种产品中;公司共可获得的最大利润是多少解设每天分别生产甲产品x桶;乙产品y桶;相应的利润为z元;于是有错误!z＝300x＋400y;在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0;平移该直线;当平移到经过该平面区域内的点4;4时;相应直线在y轴上的截距达到最大;此时z＝300x＋400y取得最大值;最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800;即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数直线求出最优解；⑥实际问题需要整数解时;应适当调整;以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子;希望使桌子和椅子的总数尽可能的多;但椅子数不少于桌子数;且不多于桌子数的1.5倍;问桌子、椅子各买多少才行解设桌子、椅子分别买x张、y把;目标函数z＝x＋y;把所给的条件表示成不等式组;即约束条件为由错误!解得错误!所以A点的坐标为错误!.由错误!解得错误!所以B点的坐标为错误!.所以满足条件的可行域是以A错误!;B错误!;O0;0为顶点的三角形区域如图．由图形可知;目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B错误!;但注意到x∈N;y∈N;故取错误!故买桌子25张;椅子37把是最好的选择．1．若直线y＝2x上存在点x;y满足约束条件错误!则实数m的最大值为A．－1 B．1 C.错误! D．22．某公司招收男职员x名;女职员y名;x和y需满足约束条件错误!则z＝10x＋10y的最大值是A．80 B．85C．90 D．953．已知实数x;y满足错误!则z＝x2＋y2的最小值为________．一、选择题1．若点x; y位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域; 则2x－y的最小值为A．－6 B．－2 C．0 D．22．设变量x;y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为A．－4 B．0 C.错误! D．43．实数x;y满足错误!则z＝错误!的取值范围是A．－1;0 B．－∞;0C．－1;＋∞ D．－1;14．若满足条件错误!的整点x;y整点是指横、纵坐标都是整数的点恰有9个;则整数a的值为A．－3 B．－2 C．－1 D．05．已知x;y满足错误!目标函数z＝2x＋y的最大值为7;最小值为1;则b;c 的值分别为A．－1;4 B．－1;－3C．－2;－1 D．－1;－26．已知x;y满足约束条件错误!使z＝x＋aya＞0取得最小值的最优解有无数个;则a的值为A．－3 B．3 C．－1 D．1二、填空题7．若x;y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的取值范围是________．8．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3;则z＝2x－3y的取值范围是________答案用区间表示．9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组错误!给定．若Mx;y为D上的动点;点A的坐标为错误!;1;则z＝错误!·错误!的最大值为________．10．满足|x|＋|y|≤2的点x;y中整点横纵坐标都是整数有________个．11．设实数x;y满足不等式组错误!则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．三、解答题12．已知x;y满足约束条件错误!目标函数z＝2x－y;求z的最大值和最小值．13．设不等式组错误!表示的平面区域为D.若指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点;求a的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3;五合板600 m2;准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3;五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3;五合板1 m2;出售一张方桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元．1如果只安排生产书桌;可获利润多少2如果只安排生产书橱;可获利润多少3怎样安排生产可使所得利润最大当堂检测答案1．答案B解析如图;当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时;m取到最大值;此时;即m;2m在直线x＋y－3＝0上;则m＝1.2．答案C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x;y∈N;计算区域内与错误!最近的点为5;4;故当x＝5;y＝4时;z取得最大值为90. 3．答案错误!解析实数x;y满足的可行域如图中阴影部分所示;则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方;故z min＝错误!2＝错误!.课时精练答案一、选择题1．答案A解析画出可行域;如图所示;解得A－2;2;设z＝2x－y;把z＝2x－y变形为y＝2x－z;则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×－2－2＝－6;故选A.2．答案D解析作出可行域;如图所示．联立错误!解得错误!当目标函数z＝3x－y移到2;2时;z＝3x－y有最大值4.3．答案D解析作出可行域;如图所示;错误!的几何意义是点x;y与点0;1连线l的斜率;当直线l过B1;0时k l最小;最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行;∴k l＜1.综上;k∈－1;1．4．答案C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示;当a＝0时;只有4个整点1;1;0;0;1;0;2;0．当a＝－1时;正好增加－1;－1;0;－1;1;－1;2;－1;3;－15个整点．故选C.5．答案D解析由题意知;直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点;且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点;即经过点3;1和点1;－1;∴错误!解得错误!6．答案D解析如图;作出可行域;作直线l：x＋ay＝0;要使目标函数z＝x＋aya＞0取得最小值的最优解有无数个;则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合;故a＝1;选D.二、填空题7．答案2;6解析如图;作出可行域;作直线l：x＋2y＝0;将l向右上方平移;过点A2;0时;有最小值2;过点B2;2时;有最大值6;故z的取值范围为2;6．8．答案3;8解析作出不等式组错误!表示的可行域;如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x－3y＝0;当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A3;1时;目标函数有最小值z min＝2×3－3×1＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B1;－2时;目标函数有最大值z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈3;8．9．答案4解析由线性约束条件错误!画出可行域如图中阴影部分所示;目标函数z＝错误!·错误!＝错误!x＋y;将其化为y＝－错误!x＋z;结合图形可知;目标函数的图象过点错误!;2时;z最大;将点错误!;2代入z＝错误!x＋y;得z的最大值为4.10．答案13解析|x|＋|y|≤2可化为作出可行域为如图正方形内部包括边界;容易得到整点个数为13个．11．答案21解析作出可行域如图;即△ABC所围区域包括边界;其顶点为A1;3;B7;9;C3;1方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方;∴x＋2y－4＞0;则目标函数等价于z＝x＋2y－4;易得当直线z＝x＋2y－4在点B7;9处;目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝错误!·错误!;令Px;y为可行域内一动点;定直线x＋2y－4＝0;则z＝错误!d;其中d为Px;y到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知;区域内的点B与直线的距离最大;故d的最大值为错误!＝错误!.故目标函数z max＝错误!·错误!＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z;z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数;故当z取得最大值和最小值时;应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l;经上下平移;可得：当l移动到l1;即经过点A5;2时;z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2;即过点C1;4.4时;z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域;如图所示;y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A2;9;∴9＝a2;∴a＝3.∵a＞1;∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：1则错误!错误!0≤x≤300.所以当x＝300时;z max＝80×300＝24 000元;即如果只安排生产书桌;最多可生产300张书桌;获得利润24 000元．2设只生产书橱y个;可获得利润z元;则错误!错误!0≤y≤450.所以当y＝450时;z max＝120×450＝54 000元;即如果只安排生产书橱;最多可生产450个书橱;获得利润54 000元．3设生产书桌x张;书橱y个;利润总额为z元;则错误!错误!z＝80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域;即可行域如图．作直线l：80x＋120y＝0;即直线l：2x＋3y＝0.把直线l向右上方平移至l1的位置时;直线经过可行域上的点M;此时z＝80x＋120y取得最大值．由错误!解得;点M的坐标为100;400．所以当x＝100;y＝400时;z max＝80×100＋120×400＝56 000元．因此;生产书桌100张、书橱400个;可使所得利润最大．。

线性规划常见题型及解法（较全⾯及时上课⽤）线性规划常见题型及解法温故1．不在3x+ 2y < 6 表⽰的平⾯区域内的⼀个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线3x–2y + m = 0 的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤243．在△ABC中，三顶点坐标为A（2 ，4），B（－1，2），C（1 ，0 ），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z= x– y 的最⼤值和最⼩值分别是（）A．3，1 B．－1，－3 C．1，－3 D．3，－14．在直⾓坐标系中，满⾜不等式x２－y2≥0 的点（x，y）的集合（⽤阴影部分来表⽰）的是（）5．如图所⽰，表⽰阴影部分的⼆元⼀次不等式组是（）A．23260yx yx≥--+><B．23260yx yx-+≥≤C．23260yx yx>--+>≤D．23260yx yx>--+<<线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可⾏域，进⽽通过平移直线在可⾏域内求线性⽬标函数的最优解是最常见的题型，除此之例1、若x、y满⾜约束条件222xyx y≤≤+≥，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可⾏域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上⽅平移，过点A（2,0）时，有最⼩值2，过点B（2,2）时，有最⼤值6，故选 A⼆、求可⾏域的⾯积例2、不等式组260302x yx yy+-≥+-≤表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A、4B、1C、5D、⽆穷⼤解：如图，作出可⾏域，△ABC的⾯积即为所求，由梯形OMBC的⾯积减去梯形OMAC的⾯积即可，选 B三、求可⾏域中整点个数例3、满⾜|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥-≤≥-+≤≥?--≤作出可⾏域如右图，是正⽅形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、已知最优解成⽴条件，探求⽬标函数参数范围问题。

简单的线性规划问题班级___________ 姓名_____________ 学号_________层级一 学业水平达标1．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数个 2．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( )A ．(2,0)B ．(－1,2)C ．(1,1)D ．(－1,1)3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )4．已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系 5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥1，x ＋2y ≤4，则该不等式组所表示的平面区域的面积为( )A.12 B.32 C ．2D ．36．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有________个．7．平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是________．8．已知实数x ，y 满足不等式组Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．层级二 应试能力达标1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≥3y ≥1 B.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0x ＋y ≤3y ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3y ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≥3y ≥12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．453．4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是( )A ．0.5元B ．1元C ．4.4元D ．8元4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定5．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．6．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 7．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是________．参考答案1．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3D ．无数个解析：选A 作⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ，y ∈N 的平面区域，如图所示，符合要求的点P 的个数为10.2．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(2,0) B ．(－1,2) C ．(1,1)D ．(－1,1)解析：选D 将点(－1,1)代入3x ＋5y <4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x ＋5y <4表示的平面区域内，故选D.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )解析：选C 取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C 表示的阴影中，故选C.4．已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系解析：选B 因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M 与原点在直线l 的异侧，故选B.5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥1，x ＋2y ≤4，则该不等式组所表示的平面区域的面积为( )A.12 B.32 C ．2D ．3解析：选B 根据题中所给的不等式组，画出其对应的平面区域，如图中阴影部分的三角形区域所示．解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(2,1)，(4,0)，根据三角形的面积公式可以求得S ＝12×(4－1)×1＝32.故选B.6．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有________个．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x ＋y －10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点(5,0)．答案：17．平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形8．已知实数x ，y 满足不等式组Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫67，107， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫95，45， 所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AEF －S △BCF －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970.层级二 应试能力达标1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≥3y ≥1 B.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0x ＋y ≤3y ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3y ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≥3y ≥1解析：选B 由图易知平面区域在直线2x －y ＝0的右下方，在直线x ＋y ＝3的左下方，在直线y ＝1的上方，故选B.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z 5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z 5过点P 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即P (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21.3．4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是( )A ．0.5元B ．1元C ．4.4元D ．8元解析：选B 设1支水笔与1支铅笔的价格分别为x 元、y 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥22，6x ＋3y ≤24，x ，y ≥0.不等式组表示的可行域如图中阴影部分．设1支水笔与1支铅笔的价格之差为z ＝x －y ，即y ＝x －z ，则直线经过点A (3,2)时，z 取得最大值，为3－2＝1，所以1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是1元．故选B.4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定解析：选B 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *.求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)． 5．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A (1,3)，B (2,5)，C (3,4)，设目标函数为z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2,5)时，n －m 的最大值为3.答案：36．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示． 设z ＝2y －x ，即y＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案：37．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t 2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x＋2y的最小值为1.答案：1。

实验课题：（一）线性规划问题1.用lingo求解下列线性规划问题：2. 某班男同学30人、女同学20人，植树。

工作效率（个/人、天）如下表。

如何安排，植树最多？3.某牧场饲养一批动物，平均每头动物至少需要 700g 蛋白质、30g 矿物质和100g 维生素。

现有A、B、C、D、E五种饲料可供选用，每千克饲料的营养成分(单位：g)与价格(单位：元/kg)如下表所示：试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。

4.在以色列，为分享农业技术服务和协调农业生产，常常由几个农庄组成一个公共农业社区。

在本课题中的这个公共农业社区由三个农庄组成，我们称之为南方农庄联盟。

南方农庄联盟的全部种植计划都由技术协调办公室制订。

当前，该办公室正在制订来年的农业生产计划。

南方农庄联盟的农业收成受到两种资源的制约。

一是可灌溉土地的面积，二是灌溉用水量。

这些数据由下表给出。

注：英亩-英尺是水容积单位，1英亩-英尺就是面积为1英亩，深度为1英尺的体积；1英亩-英尺≈1233.48立方米。

南方农庄联盟种植的作物是甜菜、棉花和高粱，这三种作物的纯利润及耗水量不同。

农业管理部门根据本地区资源的具体情况，对本联盟农田种植规划制定的最高限额数据由下表给出。

三家农庄达成协议：各家农庄的播种面积与其可灌溉耕地面积之比相等；各家农庄种植何种作物并无限制。

所以，技术协调办公室面对的任务是：根据现有的条件，制定适当的种植计划帮助南方农庄联盟获得最大的总利润，现请你替技术协调办公室完成这一决策。

对于技术协调办公室的上述安排，你觉得有何缺陷，请提出建议并制定新的种植计划。

5．有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如下表所示：前舱中舱后舱最大允许载重量（t）2000 3000 1000容积（m3）4000 5400 1000现有三种货物待运，已知有关数据如下表所示：商品数量（件）每件体积（m3/件）每件重量（t/件）运价（元/件）A 600 10 8 1000B 1000 5 6 700C 800 7 5 600又为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。

线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下寻找最优解。

它通常用于解决资源分配、生产计划、运输问题等实际应用中的决策问题。

下面我将为您提供一道线性规划题及其答案，详细解析每一步的计算过程。

题目：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的加工时间和2小时的装配时间；每单位产品B需要2小时的加工时间和4小时的装配时间。

每天工厂的加工时间为40小时，装配时间为30小时。

产品A的利润为1000元/单位，产品B的利润为1500元/单位。

工厂希望在满足时间约束的前提下，最大化利润。

请问应该生产多少单位的产品A和B才能达到最优解？解答：首先，我们需要定义决策变量。

设x为生产的产品A的单位数，y为生产的产品B的单位数。

其次，我们需要建立目标函数和约束条件。

目标函数：最大化利润利润 = 1000x + 1500y约束条件：加工时间约束：3x + 2y ≤ 40装配时间约束：2x + 4y ≤ 30非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0接下来，我们使用线性规划的方法求解最优解。

1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 1000x + 1500y约束条件：3x + 2y ≤ 402x + 4y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 绘制约束条件的图形：根据约束条件，我们可以绘制出两个不等式的图形。

在图纸上绘制出两个不等式的直线，并标出可行域。

3. 找出可行域的顶点：可行域是由两个不等式的交集所形成的区域。

我们需要找出可行域的顶点，以便确定最优解。

顶点是可行域上的极值点。

4. 计算各个顶点的目标函数值：计算每个顶点的目标函数值，找出使目标函数取得最大值的顶点。

经过计算，我们得到以下可行域的顶点及其目标函数值：顶点1：(0, 0)，目标函数值为0顶点2：(0, 7.5)，目标函数值为11250顶点3：(10, 5)，目标函数值为17500顶点4：(20, 0)，目标函数值为200005. 比较各个顶点的目标函数值：比较各个顶点的目标函数值，找出使目标函数取得最大值的顶点。

线性规划法在救援物资调运问题中的应用【摘要】线性规划法是物资调运问题中最常用的一种方法，本文通过建立线性规划模型，用LINGO数学软件求出了最优解，得到了一个最佳的物资调运方案。

【关键词】:线性规划法；LINGO；调运一、引言由于近几年来地壳运动剧烈，各种自然灾害频频发生，其中各地的地震灾害尤其严重。

汶川地震发生后，为了尽可能的减小国家和人民的损失，各级政府对灾区进行物资救助。

为了解决大规模物资调运的实际问题(通常要处理的实际问题都是大规模的物资调运问题)以及物流管理中的类似问题，我们必须先建立这类问题的数学模型，而后选择合适的计算方法并利用计算机工具求解。

这种数学模型称为规划问题，规划问题中涉及的线性函数关系，我们就称为线性规划问题。

本文将在物资调运中的实际问题建立数学模型，用LINGO数学软件求出物资调用的最优方案。

一下是LINGO软件的简介。

LINGO是LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司（Lindo System Inc.）推出的，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。

其特色在于内置建模语言几个内部函数，可以允许决策变量是整数(即整数规划，包括 0-1 整数规划)，方便灵活，而且执行速度非常快。

能方便与EXCEL，数据库等其他软件交换数据。

二、一个物资调运问题现有三家企业捐献物资调运到四个受灾点。

企业A，B，C捐赠物资量分别为100吨、60吨、90吨四个受灾点I， Il，III，Ⅳ，需求量分别为60吨、70吨、50吨、70吨。

企业A往受灾点I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为l0元、15元、20元、25元；企业 B到受灾点I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为2O元、10元、l5元、15元：企业 C 到受灾点I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为25元、30元、20元、25元。

线性规划作业解题技巧线性规划（Linear programming）是一种常见的优化问题求解方法，广泛应用于生产、运输、供应链管理、金融等领域。

它的基本思想是通过构建数学模型，求解最优解来满足各种约束条件。

在解决线性规划问题时，可以采用以下技巧：一、明确问题的目标：首先要明确问题要解决的目标，是最大化还是最小化一些目标函数。

这可以通过解决问题的具体背景和需求来确定。

二、确定变量和约束条件：确定需要进行决策的变量，并给出相应的约束条件。

这些变量和约束条件是构建线性规划模型的基础。

三、构建目标函数：根据问题的目标，构建合适的目标函数。

目标函数一般是一个线性函数，代表了问题要优化的目标。

四、确定约束条件：根据问题的要求，明确约束条件。

约束条件一般包括等式和不等式两种形式，限制了问题的可行解空间。

五、画出可行区域：根据约束条件可以得到问题的可行解区域，一般是在二维或三维坐标系上画出。

六、确定最优解区域：在可行解区域内，确定最优解的区域。

最优解一般位于目标函数的等高线或等高面上。

七、求解最优解：通过一些优化算法，如单纯形法、内点法等，求解出最优解。

这些算法可以使用专业软件进行计算。

八、检验最优解：得到最优解后，需对其进行检验。

检验是否满足目标函数和约束条件的要求。

九、分析灵敏度：通过对目标函数和约束条件的变动，分析最优解的鲁棒性和灵敏度。

十、求解扩展问题：对于一些复杂的线性规划问题，可以根据具体情况进行适当的扩展和拓展，使用相应的求解方法。

除了以上的基本技巧外，还可以采用以下一些方法来简化线性规划问题：一、参数调整：通过调整参数的方式，可以简化问题的复杂度，使得计算更容易进行。

二、变量替换：当问题中的变量过多时，可以通过替换变量的方式来简化问题。

三、松弛变量：通过引入松弛变量，将原问题转化为等价的标准形式，简化计算。

四、对偶性：利用线性规划中的对偶理论，可以将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的求解来简化计算。

线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下寻觅使目标函数取得最大（最小）值的变量值。

在实际生活和工作中，线性规划往往被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。

本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。

一、资源分配问题1.1 问题描述：某公司有两个生产部门A和B，每天生产产品X和Y。

部门A 每天生产产品X需要消耗3个单位的资源，生产产品Y需要消耗2个单位的资源；部门B每天生产产品X需要消耗2个单位的资源，生产产品Y需要消耗4个单位的资源。

公司每天有20个单位的资源可供分配，如何分配资源才干使得产出最大化？1.2 解答：设部门A每天生产产品X的数量为x，生产产品Y的数量为y；部门B每天生产产品X的数量为u，生产产品Y的数量为v。

根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 3x + 2y + 2u + 4vSubject to:3x + 2y + 2u + 4v <= 20x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。

二、生产计划问题2.1 问题描述：某工厂有两个生产车间，每天生产产品P和Q。

车间1每天生产产品P需要花费5个单位的时间，生产产品Q需要花费3个单位的时间；车间2每天生产产品P需要花费4个单位的时间，生产产品Q需要花费6个单位的时间。

工厂每天有40个单位的时间可供分配，如何安排生产计划才干使得产量最大化？2.2 解答：设车间1每天生产产品P的数量为x，生产产品Q的数量为y；车间2每天生产产品P的数量为u，生产产品Q的数量为v。

根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 5x + 3y + 4u + 6vSubject to:5x + 3y + 4u + 6v <= 40x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。

三、运输问题3.1 问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个仓库有一定数量的产品可供销售点购买。

P11.3（1）将下列线性规划模型化成标准形式：⎩⎨⎧=+≤+--=10352..3max 212121x x x x t s x x z 解：令"2'22"1'11,,'x x x x x x z z -=-=-=，代入上面的线性规划，得标准形式⎪⎩⎪⎨⎧≥=-+-=+-++--++-=0,,,,1033522..33'min 3"2'2"1'1"2'2"1'13"2'2"1'1"2'2"1'1x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z P14:1、用图解法求解下列线性规划问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤-≤+-≤++-=0,013721042242..23min 212121212121x x x x x x x x x x t s x x f 利用图解法：于是得最优解为(4,1),最优值为-10。

P15：2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥-≥+-=06063222..26max 21212121x x x x x x t s x x z 解：利用图解法于是最优解为（6，0），最优值为36。

P15.3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+≤+--=0,0121272172..27min 21212121210x x x x x x x x t s x x x 解：利用图解法求得有无穷多最优解，都落在一个线段上，该线段的两个端点是：)3/7,3/7(),0,3()2()1(==x x于是全部的最优解可以表示成)1(x与)2(x的凸组合，即.10,)1()2()1(*≤≤-+=αααx x x最优值都是-21。

P16:1、 解：设ij x 表示第i 台机床加工第j 类产品的产量，于是可得数学模型⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤+≤++++++++++++++++=.6,5,4,3,2,1,0900600700850..)(80)(64)(72)(32)(28)(40max 464335322421161514131211461635152414431332122111j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x x x f j P16:2、 解：设j x 表示第j 食品的采购量，于是可得数学模型13、某养鸡场有一万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均吃混合饲料0.5公斤，其中动物饲料占的比例不得少于1/5。

线性规划习题及答案
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线性规划
线性规划答案。

简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.认识线性规划的意义以及拘束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本看法 .2.认识线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实责问题．知识点一线性规划中的基本看法名称意义拘束条件关于变量 x， y 的一次不等式 (组 )线性拘束条件关于 x， y 的一次不等式 (组 )目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x， y 的函数解析式线性目标函数关于变量 x，y 的一次解析式可行解满足线性拘束条件的解(x， y)可行域由所有可行解组成的会集最优解使目标函数获取最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性拘束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ ax＋ by (b≠ 0)对应的斜截式直线方程是y＝－a z，在 y 轴上的截距是z，bx＋b b当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 获取最大值，截距最小时，z 获取最小值；当 b<0，截距最大时， z 获取最小值，截距最小时，z 获取最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性拘束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤能够概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：依照线性拘束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形正确地画出来，可行域能够是封闭的多边形，也能够是一侧开放的无量大的平面地域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行搬动，最先经过或最后经过的极点(或界线 )即是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的本质应用1．线性规划的实责问题的种类(1)给定必然数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样兼备安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常有问题有：①物质调动问题比方，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外处，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题比方，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的 A、B、C 三种资料的数量，此厂每个月所能供应的三种资料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应怎样安排这两种产品的生产，才能使每个月获取的总利润最大？③下料问题比方，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使耗费最小？2．解答线性规划本质应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转变成数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细领悟模范给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特别点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反响到详尽的实例中，设计出最正确的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x， y 满足拘束条件y≤ 2，x＋ y≥ 1，x－ y≤1，则 z＝ 3x＋ y 的最大值为( )A ． 12B ．11C．3 D．－ 1答案 B解析第一画出可行域，建立在可行域的基础上，解析最值点，尔后经过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为拘束条件对应的可行域，当直线y＝－ 3x＋z 经y＝2，x＝ 3，过点 A 时， z 获取最大值．由? 此时z＝3x＋ y＝ 11.x－y＝ 1 y＝ 2，x＋y－ 2≤ 0，追踪训练 1 (1)x，y 满足拘束条件x－ 2y－ 2≤ 0，若z＝y－ax获取最大值的最优解不唯一，．．．2x－y＋ 2≥ 0，则实数 a 的值为 ()1 1A. 2或－ 1 B ．2 或 2C．2 或 1 D． 2 或－ 1x－y＋ 1≤ 0，(2)若变量 x，y 满足拘束条件x＋2y－ 8≤ 0，则 z＝ 3x＋ y 的最小值为 ________ ．x≥0，答案(1)D (2)1解析(1) 如图，由 y＝ax＋ z 知 z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使z＝ y－ ax 获取最大值的最优解不唯一，则a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 获取最大值的最优解不唯一，则a＝－ 1.y＝－ 3x＋ z 过点(2)由题意，作出拘束条件组成的可行域以下列图，当目标函数z＝ 3x＋ y，即(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x－ y－2≤ 0，例2 设实数 x， y 满足拘束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求2y－ 3≤ 0，(1)x2＋y2的最小值；y(2)x的最大值．解如图，画出不等式组表示的平面地域ABC，(1)令 u＝ x2＋ y2，其几何意义是可行域ABC 内任一点 (x， y)与原点的距离的平方．x＋2y－ 4＝ 0，4，8 过原点向直线 x＋ 2y－ 4＝0 作垂线 y＝ 2x，则垂足为y＝2x 的解，即 5 5 ，x＋ 2y－ 4＝ 0， 3又由2y－ 3＝0，得 C 1，2 ，因此垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝1＋3 2 213＝2，13因此， x2＋y2的最小值为4 .yABC 内任一点 (x， y)与原点相连的直线l 的斜率为 v，即 v (2)令 v＝x，其几何意义是可行域y－ 0＝x－0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点 C 时， v 最大，3由(1) 知 C 1，2，因此 v max＝3 y 3，因此的最大值为.2 x 2x≥ 0，追踪训练 2 已知 x， y 满足拘束条件y≥ 0，则(x＋3) 2＋ y2的最小值为 ________．x＋ y≥ 1，答案10解析画出可行域 ( 以下列图 ) ． (x＋ 3)2＋ y2即点 A(－ 3,0)与可行域内点(x， y)之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC2＝ (0＋ 3)2＋ (1－ 0)2＝ 10，即 (x＋ 3)2＋y2的最小值为 10.题型三线性规划的本质应用例 3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克．每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天耗费A， B 原料都不高出 12 千克．经过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获取的最大利润是多少？x＋ 2y≤ 12，解设每天赋别生产甲产品x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为2x＋ y≤ 12，z 元，于是有x≥ 0， y≥ 0，x∈ N ， y∈ N ，z＝ 300x＋ 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面地域及直线300x＋400y＝ 0，平移该直线，当平移到经过该平面地域内的点(4,4)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 获取最大值，最大值是 z＝ 300× 4＋ 400× 4＝ 2 800，即该公司可获取的最大利润是 2 800 元．反思与感悟线性规划解决实责问题的步骤：① 解析并依照已知数据列出表格；②确定线性拘束条件；③ 确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数 (直线 )求出最优解；⑥ 实责问题需要整数解时，应合适调整，以确定最优解．追踪训练 3 估量用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数很多于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x 张、 y 把，目标函数z＝ x＋ y，把所给的条件表示成不等式组，即拘束条件为50x＋20y≤ 2 000，y≥ x，y≤，x≥ 0，x∈ N*，y≥0， y∈ N* .x＝200，50x＋ 20y＝2 000，7由解得200 y＝ x，y＝，7因此 A 点的坐标为 200，200 .7 750x ＋ 20y ＝2 000，x ＝ 25，由解得75y ＝，y ＝ 2 ，因此 B 点的坐标为 7525， 2 .200 20075因此满足条件的可行域是以 A 7 ，7 ， B 25， 2 ， O(0,0) 为极点的三角形地域 (如图 )．75由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 2 ，但注意到 x ∈ N * ， y ∈ N * ，x ＝ 25， 故取y ＝ 37.故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．x ＋ y － 3≤ 0，1．若直线 y ＝ 2x 上存在点 ( x ， y)满足拘束条件 x － 2y － 3≤0， 则实数 m 的最大值为 ()x ≥ m ，3A ．－ 1B ． 1C.2D ． 25x － 11y ≥－ 22，2x ＋ 3y ≥ 9， 2．某公司招收男职员x 名，女职员 y 名， x 和 y 需满足拘束条件则 z2x ≤ 11，x ∈ N * ， y ∈ N * ，＝ 10x ＋ 10y 的最大值是 ( )A ． 80B ．85C ．90D ． 95y≤1，3．已知实数x，y 满足x≤1，则z＝x2＋y2的最小值为________．x＋y≥ 1，一、选择题1．若点 (x, y)位于曲线 y＝ |x|与 y＝ 2 所围成的封闭地域，则 2x－ y 的最小值为 ( ) A ．－ 6 B．－ 2 C． 0 D． 2x≥ 1，2．设变量 x， y 满足拘束条件x＋ y－ 4≤ 0，则目标函数 z＝ 3x－ y 的最大值为 ()x－ 3y＋4≤ 0，4A ．－ 4 B． 0 C.3 D． 4x≥ 1，则 z＝y－1的取值范围是 (3．实数 x， y 满足 y≥ 0，)x－ y≥ 0，xA ． [ － 1,0]B ．( －∞， 0]C．[ －1，＋∞ ) D． [ － 1,1)x－ y≥ 0，4．若满足条件x＋ y－ 2≤ 0，的整点 (x， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有 9 个，y≥ a则整数 a 的值为 ()A ．－ 3 B．－ 2C．－ 1 D． 0x≥ 1，5．已知 x， y 满足x＋ y≤ 4，目标函数z＝ 2x＋ y 的最大值为7，最小值为1，则 b，c x＋ by＋ c≤ 0，的值分别为( )A ．－ 1,4B ．－ 1，－ 3C．－ 2，－ 1 D．－ 1，－ 26．已知x，y 满足拘束条件x＋ y≥ 5，x－ y＋ 5≥0，x≤ 3，使 z＝ x＋ ay(a＞ 0)获取最小值的最优解有无数个，则 a 的值为( )A ．－ 3 B． 3 C．－ 1 D． 1二、填空题x≤ 2，7．若 x， y 满足拘束条件y≤2，则 z＝ x＋ 2y 的取值范围是 ________．x＋ y≥2，8．已知－ 1≤ x＋y≤ 4 且 2≤ x－y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．0≤ x≤ 2，9．已知平面直角坐标系 xOy 上的地域 D 由不等式组y≤ 2，给定．若 M(x， y)为 Dx≤ 2y上的动点，点 A 的坐标为 (→ →2， 1)，则 z＝ OM ·OA的最大值为 ________．10．满足 |x|＋ |y|≤ 2 的点 (x，y)中整点 (横纵坐标都是整数)有 ________个．x－ y＋ 2≥ 0，11．设实数 x， y 满足不等式组2x－ y－ 5≤ 0，则 z＝ |x＋ 2y－ 4|的最大值为 ________．x＋ y－ 4≥ 0，三、解答题x－ 4y≤－ 3，12．已知x， y 满足拘束条件3x＋ 5y≤ 25，目标函数z＝ 2x－ y，求z 的最大值和最小值．x≥ 1，x＋ y－ 11≥ 0，13．设不等式组3x－ y＋ 3≥0，表示的平面地域为 D.若指数函数y＝ a x的图象上存在地域5x－ 3y＋ 9≤0D 上的点，求 a 的取值范围．14．某家具厂有方木材90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书厨销售．已知生产每张书桌需要方木材0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书厨需要方木材0.2 m3，五合板 1 m2，销售一张方桌可获利润80 元，销售一个书厨可获利润120 元．(1)若是只安排生产书桌，可获利润多少？(2)若是只安排生产书厨，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1． 答案B解析 如图，当 y ＝ 2x 经过且只经过x ＋ y － 3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直线 x ＋ y － 3＝ 0 上，则 m ＝ 1.2． 答案 C解析 该不等式组表示的平面地域为以下列图的阴影部分．由于 x ， y ∈ N * ，计算地域内与11 9 近来的点为 (5,4)，故当 x ＝5， y ＝ 4 时， z 获取最大值为90.2 ，213． 答案2解析实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方，故 z min ＝ 12＝ 1.2 2课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，以下列图，解得A(－ 2,2)，设 z＝ 2x－ y，把z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，则直线经过点 A 时 z 获取最小值；因此 z min＝2× (－ 2)－ 2＝－ 6，应选 A.2．答案 D解析作出可行域，以下列图．x＋ y－ 4＝0，x＝2，联立解得x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.当目标函数z＝ 3x－ y 移到 (2,2)时， z＝ 3x－ y 有最大值4.3．答案 D解析作出可行域，以下列图，y－1的几何意义是点 (x， y)与点 (0,1)连线 l 的斜率，当直线l 过 B(1,0) 时 k l最小，最小为－ 1. x又直线 l 不能够与直线x－ y＝ 0 平行，∴ k l＜ 1.综上， k∈ [－ 1,1)．解析不等式组所表示的平面地域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点 (1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－ 1 时，正好增加 (－ 1，－ 1)，(0，－ 1)，(1 ，－ 1)，(2，－ 1)，(3，－ 1)5 个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋ c＝ 0 经过直线2x＋ y＝ 7 与直线x＋ y＝ 4 的交点，且经过直线2x＋ y＝1 和直线x＝ 1 的交点，即经过点(3,1)和点 (1，－ 1)，3＋ b＋ c＝ 0，b＝－ 1，∴解得1－ b＋ c＝ 0，c＝－ 2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线l：x＋ ay＝0，要使目标函数z＝ x＋ ay(a＞ 0)获取最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x＋ y＝ 5 重合，故a＝ 1，选 D.二、填空题7．答案[2,6]解析如图，作出可行域，作直线 l ：x＋ 2y＝ 0，将 l 向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故 z 的取值范围为[2,6] ．解析作出不等式组－1≤ x＋ y≤ 4，表示的可行域，如图中阴影部分所示．2≤ x－ y≤ 3在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，当直线经过 x－ y＝ 2 与 x＋y＝ 4 的交点 A(3,1)时，目标函数有最小值z min＝2× 3－ 3× 1＝ 3；当直线经过 x＋ y＝－ 1 与 x－ y＝ 3 的交点 B(1，－ 2) 时，目标函数有最大值z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.因此 z∈[3,8] ．9．答案 4解析由线性拘束条件0≤ x≤ 2，y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数→ →2x＋ y，将其化为z＝OM ·OA＝x≤ 2yy＝－ 2x＋ z，结合图形可知，目标函数的图象过点( 2， 2)时， z 最大，将点 ( 2， 2)代入 z ＝ 2x＋ y，得 z 的最大值为 4.10．答案13解析|x|＋ |y|≤ 2 可化为x＋ y≤ 2 x－ y≤ 2x≥ 0， y≥0x≥ 0， y＜ 0 ，，－x＋ y≤ 2 x＜0， y≥ 0 ，－x－ y≤ 2 x＜0， y＜ 0 ，作出可行域为如图正方形内部(包括界线 )，简单获取整点个数为13 个．11．答案 21解析作出可行域 (如图 )，即△ABC 所围地域 (包括界线 )，其极点为A(1,3)， B(7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋ 2y－ 4＝0 上方，∴x＋ 2y－ 4＞ 0，则目标函数等价于 z＝ x＋ 2y－4，易合适直线 z＝ x＋2y－ 4 在点 B(7,9)处，目标函数获取最大值z max＝ 21.方法二z＝ |x＋ 2y－4|＝|x＋ 2y－ 4|· 5，5令 P( x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－ 4＝ 0，则z＝ 5d，其中 d 为 P(x， y)到直线 x＋2y－ 4＝ 0 的距离．由图可知，地域内的点 B 与直线的距离最大，故d的最大值为 |7＋ 2× 9－4|＝ 21.5 5故目标函数z max＝ 21 · 5＝ 21.5三、解答题12．解z＝ 2x－ y 可化为y＝ 2x－ z， z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 获取最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别获取最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－ y＝0 平行的直线系l，经上下平移，可得：当l 搬动到l1，即经过点A(5,2) 时， z max＝ 2× 5 － 2＝ 8.当l 搬动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，z min＝ 2× 1－＝－ 2.4.13．解先画出可行域，以下列图，y＝ a x必定过图中阴影部分或其界线．∵A(2,9) ，∴ 9＝ a2，∴a＝ 3.∵a＞ 1，∴ 1＜ a≤ 3.14．解由题意可画表格以下：方木材 (m3) 五合板 (m2) 利润 (元 ) 书桌 (张 ) 2 80书厨 (个 ) 1 120(1)设只生产书桌x 张，可获取利润z 元，≤ 90，x≤ 900，2x≤ 600，? x≤300，? 0≤ x≤ 300.则z＝ 80x，x≥0x≥ 0因此当 x＝ 300 时， z max＝ 80× 300＝ 24 000(元 ) ，即若是只安排生产书桌，最多可生产300 张书桌，获取利润24 000 元．(2)设只生产书厨y 个，可获取利润z 元，≤ 90，y≤ 450，1·y≤ 600，? y≤ 600，? 0≤ y≤ 450.则z＝ 120y，y≥ 0y≥ 0因此当 y＝ 450 时， z max＝ 120× 450＝ 54 000(元 )，即若是只安排生产书厨，最多可生产450 个书厨，获取利润54 000 元．(3)设生产书桌 x 张，书厨 y 个，利润总数为z 元，＋≤ 90，x＋ 2y≤ 900，2x＋ y≤ 600，2x＋ y≤ 600，则?x≥ 0，x≥ 0，y≥ 0 y≥ 0.z＝ 80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面地域，即可行域(如图 )．作直线 l ：80x＋ 120y＝0，即直线 l： 2x＋ 3y＝0.把直线 l 向右上方平移至 l1的地址时，直线经过可行域上的点M，此时 z＝ 80x＋ 120y 获取最大值．x＋ 2y＝ 900，由2x＋ y＝ 600，解得，点M 的坐标为 (100,400) ．因此当 x＝ 100，y＝ 400 时，z max＝ 80×100＋ 120×400＝ 56 000(元 )．因此，生产书桌100 张、书厨400 个，可使所得利润最大．。

线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。

在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。

本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。

一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X和3个单位的资源Y。

公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。

假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。

1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。

二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。

工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。

产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。

2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。

三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。

产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。

问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。