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第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
第三章 刚体定轴转动前面几章主要介绍了质点力学的基本概念和原理，以牛顿定律为基础，建立了质点和质点系的动量定理、动能定理和相应的守恒定律。
对于机械运动的研究，只限于质点和质点系的情况是非常不够的。
质点的运动规律事实上仅代表物体的平动。
当我们考虑了物体的形状、大小后，物体可以作平动、转动，甚至更复杂的运动，而且在运动过程中物体的形状也可能发生改变。
一般固体在外力的作用下，形状、大小都要发生变化，但变化并不显著。
所以，研究物体运动的初步方法是把物体看成在外力的作用下保持其大小和形状都不变，这样的物体叫刚体。
刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，仍是一个理想模型。
本章主要在质点力学的基础上讨论刚体的定轴的转动及其运动规律，为进一步研究更复杂的机械运动奠定基础。
3.1 刚体的定轴转动的描述3.1.1 刚体的基本运动形式刚体是一种特殊的质点系统，它可以看成是由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点就在于无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质元之间的相对位置始终保持不变。
既然是一个质点系，所以以前讲过的关于质点系的基本定理就都可以应用。
刚体的这个特点使刚体力学和一般质点系的力学相比，大为简化。
因此，对于一般质点系的力学问题，求解往往很困难，而对于刚体的力学问题却有不少是能够求解的。
刚体的运动可分为两种基本形式：平动和转动。
刚体的运动一般来说是比较复杂的，一般可分解为平动和绕瞬时轴的转动，比如行进中的自行车轮子，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。
因此，研究刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础。
下面分别介绍刚体的平动和刚体的定轴转动。
当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动就(b)(a)图3-1 刚体的平动和定轴转动是平动，如图3-1(a)所示。
在日常生活中，我们常见的升降机的运动就是平动。
平动的特点是，在任意一段时间内，刚体内所有质点的位移都是相同的，而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。
第三章刚体定点转动§3.1定点转动运动学一、什么是定点转动？刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转动。
由于做定点转动时刚体上有一点固定不动，一般以定点为基点。
陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方面）等，都是刚体绕定点转动的实例。
它们都只有一点不动。
如图3.1.1所示的常平架中的圆盘可绕对称轴z O ′转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕固结于外悬架的图3.1.1此，ON 轴转动而外悬架又可绕固定轴Oz 转动，此三轴的交点O 则是始终不动的，所以这种运动和定轴转动的情形不同。
二、定点转动和定轴转动的联系与区别1．联系：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。
把某一瞬时角速度ω的取向，亦即在该瞬时的转动轴叫转动瞬轴。
跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和刚体内各描绘一个定点在O 的锥面，前者叫空间极面，后者则叫本体极面。
刚体绕固定点的转动，也可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，如图3.1.2所示。
2．区别：（1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但其在空间的取向随着时间的改变而改变，定轴转动的转轴在空间的取向不变。
（2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向都是时间的函数。
而定轴转动的角速度方向恒沿着固定的转动轴，量值可以是时间的函数。
ω三、定点转动时刚体上任一点的速度r dt r d v v vv ×==ωυ （3.1.1）P图3.1.3如图3.1.3所示,刚体上任一点P 的运动可以看成是绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为R ωυ=.四、定点转动时刚体上任一点的加速度由加速度的定义知r r r dtd r r dt d r dt d dt d a vv v v v vv v v v v v v v v v v 2)()(ωωωωωωωυωωυ−⋅+×=××+×=×+×==而 R r r v v v v v 22)(ωωωω−=−⋅则R r dtd a v v v v 2ωω−×= (3.1.2)上式中的第一项r dtd vv×ω为转动加速度,第二项R v 2ω−为向轴加速度. 例:半径为a 的碾盘在水平面上做无滑滚动,长为b 的水平轴OA 绕竖直轴OE 以匀角速度1ω转动,如图3.1.4所示.求碾盘最高点P 的速度和加速度.x图3.1.4解: 碾盘绕定点O 运动,取如图所示的直角坐标系,OA=b,AB=OE=a,j a i b r P ˆˆ+−=v 要使碾盘在水平面上做无滑滚动,则瞬时角速度的方向为BO 方向,且iab j j i ˆˆˆˆ1121ωωωωω+=+=v.则 kb j a i b i ab j r P P ˆ2)ˆˆ()ˆˆ(111ωωωωυ=+−×+=×=vv v . 或用瞬轴法:P 点速度大小:b PD P 12ωωυ=⋅=. 方向:oz 轴方向.加速度: ja b i b r dt d dt d a P P Pˆˆ321221ωωυωωυ−=×+×==v v v v v v§3.2定点转动刚体对定点的动量矩一、刚体的动量矩图3.2.1刚体是一特殊的质点系，刚体作定点转动时对定点O 的动量矩（角动量）等于刚体上的各质点对定点O 的动量矩之和（矢量和）。
第3章 刚体的转动一. 选择题1. 飞轮绕定轴作匀速转动时, 飞轮边缘上任一点的 (A) 切向加速度为零, 法向加速度不为零 (B) 切向加速度不为零, 法向加速度为零(C) 切向加速度和法向加速度均为零(D) 切向加速度和法向加速度均不为零 [ ]2. 一飞轮从静止开始作匀加速转动时, 飞轮边缘上一点的法向加速度n a 和切向加速度ιa 的值怎样?（A) n a 不变, ιa 为0 (B) n a 不变, ιa 不变(C) n a 增大, ιa 为0 (D) n a 增大, ιa 不变 [ ]3 关于刚体的转动惯量J , 下列说法中正确的是[ ] (A) 轮子静止时其转动惯量为零 (B) 若m A ＞m B , 则J A ＞J B(C) 只要m 不变, 则J 一定不变 (D) 以上说法都不正确4. 地球的质量为m , 太阳的质量为0m ，地心与太阳中心的距离为R , 引力常数为G , 地球绕太阳转动的轨道角动量的大小为 (A) R m G m 0 (B)R m m G 0 (C) R Gm m 0 (D) Rmm G 20[ ] 5. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是(A) 刚体不受外力矩作用 (B) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零(C) 刚体所受合外力矩为零； (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 [ ]6. 绕定轴转动的刚体转动时, 如果它的角速度很大, 则(A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大(C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小 [ ]7. 在外力矩为零的情况下, 将一个绕定轴转动的物体的转动惯量减小一半, 则物体的(A) 角速度将增加三倍 (B) 角速度不变, 转动动能增大二倍(C) 转动动能增大一倍 (D) 转动动能不变, 角速度增大二倍 [ ] 8如图1粘土垂直于板面撞击板, 并粘在板上. 对粘土和板系统, 守恒的量是(A) 动能 (B) 绕长方形板转轴的角动量(C) 机械能 (D) 动量 [ ]9. 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图2所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小图2(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 [ ] 10. 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零 (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零 (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零 (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零在上述说法中(A) 只有(1)是正确的(B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误(C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误(D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确 [ ]二、填空题1. 一个唱片转盘在电动机断电后的30 s 内由1min r 3133-⋅减慢到停止，它的角加速度是 ；它在这段时间内一共转了 圈．2. 半径为r 的圆环平放在光滑水平面上, 如图3所示，环上有一甲虫, 环和甲虫的质量相等, 并且原先都是静止的. 以后甲虫相对于圆环以等速率爬行, 当甲虫沿圆环爬完一周时, 圆环绕其中心转过的角度是 ．23. 如图4所示，两个完全一样的飞轮, 当用98 N 的拉力作用时，产生角加速度1α; 当挂一重98 N 的重物时, 产生角加速度2α．则1α和2α的关系为 ．4 如图5所示，两人各持一均匀直棒的一端, 棒重W , 一人突然放手, 在此瞬间, 另一人感到手上承受的力变为 ．5. 一质量为m 的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为j t b i t a rωωsin cos +=，其中ω、、b a 皆为常数．则此质点所受的对原点的力矩M= ；该质点对原点的角动量L = ．6. 长为l 、质量为0m 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为2031l m ，开始时杆竖直下垂，如图6所示．现有一质量为m 的子弹以水平速度0v射入杆上A 点，并嵌在杆中，32lOA =，则子弹射入后瞬间的角速度=ω ．图34图5图6三、计算题1. 如图7所示，两个匀质圆盘质量分别为m 1， m 2，半径分别为R 1，R 2，各自可绕互相平行的固定水平轴无摩 擦地转动，今对圆盘1相对其转轴施加外力矩M ，圆盘、 皮带都被带动，设圆盘、轻皮带间无相对滑动， 求圆盘1，2的角加速度。
2. 物体A 和B 叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接，如图8所示．今用大小为F 的水平力拉A ．设A 、B 和滑轮质量都为m ，滑轮的半径为R ，对轴的转动惯量221mR J =，AB 之间、A 与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，且绳子不可伸长．已知F ＝10 N ，m ＝8.0 kg ，R ＝0.050 m ，求：(1) 滑轮的角加速度；(2) 物体A 与滑轮之间的绳中的张力； (3) 物体B 与滑轮之间的绳中的张力．3. 质量分别为m 和2 m 、半径分别为r 和2 r 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为229mr ，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，如图9所示．求盘的角加速度的大小．4. 如图10所示，一长为l 、质量为m 的均匀细棒，可绕光滑轴O 在竖直面内转动．棒由水平位置从静止下落，转到竖直位置时与原静止于地面上的质量也为m 的小滑块碰撞，碰撞时间极短．滑块与地面的摩擦系数为μ，碰后滑块移动s 后停止, 棒继续沿原方向转动．求碰后棒的质心C 离地面的最大高度h ．5. 如图11所示装置，定滑轮的半径为r ，绕转轴的转动惯量为J ，滑轮两边分别悬挂质m 1和m 2的物体A 、B 。
A 置于倾角为θ 的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ，若B 向下作加速运动时，求：（1）其下落的加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。
（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑）图8图9图10 图76. 如图12所示，质量为0.5kg 、长为0.40m 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴在竖直平面内转动先将棒放在水平位置，然后任其落下，求： (1)当棒转过60。
时的角加速度和角速度； (2)下落到竖直位置时的动能；(3)下落到竖直位置时的角速度7. 如图13所示，质量为m 半径为R 的均质圆盘，初角速度为0ω，不计轴承处的摩擦，若空气对圆盘表面单位面积的摩擦力f F 正比于该处的线速度v ，即f F k =v ，k 为常量，试求：(1) 圆盘所受的空气阻力力矩M ； (2) 圆盘在停止前所转过的圈数。
8. 如图14所示，长为l 、质量为m 的均匀细杆可绕水平光滑固定轴O 转动，开始时杆静止在竖直位置．另一质量也为m 的小球，用长也为l 的轻绳系于O 轴上．现将小球在竖直平面内拉开，使轻绳与竖直方向的夹角θ，然后使小球自由下摆与杆端发生弹性相碰，结果使杆的最大偏角为3π．求角度θ．图12图13图14第3章 刚体的转动答案一. 选择题1 .[ A ]2.[ D ]；3.[D ]；3.[ A ]；4.[ A ]；5.[ C ]；6.[ D ]；7.[ C ]；8.[ B ]；9.[A ] 10.[B ]二 填空题1.2min r 67-⋅-，8.3 2. π; 3. 12αα>; 4.14W ；5. 7.0m abk ω； 6.()lm m 00346+v ；三、计算题1. 解 设两圆盘边缘的切向加速度分别为1a 和2a 由转动定律得12111()M T T R J α--=12222()T T R J α-=1122R R αα=解得 222122121MR J R J Rα=+221222121MR R J R J Rα=+2. 解：各物体受力如图16所示．由牛顿定律和转动定律列方程如下：T T2T T 12F F ma F ma F R F R mR a R αα-=⎧⎪'=⎪⎪⎨'-=⎪⎪=⎪⎩ 由以上各式可以解出 (1) 滑轮的角加速度222210rad s 10rad s 5580.050F mR α--⨯==⋅=⋅⨯⨯(2) A 与滑轮之间绳中张力N 0.6N 510353T =⨯==F F (3) B 与滑轮之间绳中张力N 0.4N 510252T=⨯=='F F3 解 各物体受力如图17所示，由牛顿定律和转动定律列方程如下：T'TF 图16图15T22T112T2T1219222mg F ma F mg ma F r F r mr a r a r ααα-=-=⨯-⨯=== 联立以上方程，可以解得 219grα=4. 解 过程1：棒下摆．考查(棒---地球)系统，只有重力（保守内力）作功，系统机械能守恒．设地面为重力势能零点，则有 )2(212lmg J mgl +=ω (1) 式中J 为棒的转动惯量 231ml J =，解得 lg3=ω (2)过程2：棒和滑块的碰撞．考察(棒、滑块)系统，外力(重力、轴力)力矩均为零，系统角动量守恒．l m J J v +'=ωω (3)过程3：滑块运动且棒上摆．考察滑块，仅摩擦力作用，由动能定理2f 210 v m s F -=⋅- (4) 其中摩擦力 mg F f μ=考察(棒、地球)系统， 只有重力（保守内力）做功，系统机械能守恒．mgh lmg J =+')2(212ω (5) 联立(2) ~ (5)式可得 sl s l h 6 3μμ-+=5. 解 分别作A 、B 和滑轮的受力分析，如图18所示，根据质点的牛顿定律和刚体定轴转动定律可得11111sin cos T F m g m g m a θμθ--= ①2222T m g F m a -= ②21T T F r F r J α''-= ③αr a a ==21 ④1122T T T T F F F F''==， ⑤解上述方程组可得12a 0m图1722111221/cos sin r J m m g m g m g m a a ++--==θμθ21211212(1sin cos )(sin cos )//T m m g m gJ r F m m J r θμθθμθ++++=++21222212(1sin cos )//T m m g m gJ r F m m J r θμθ+++=++6. 解 (1)当棒转到600时，如图19所示，所受重力矩为cos602l M mg =由转动定律M J α=得21cos6023l mg ml α= 02339.8cos6018.4rad/s 240.4g l α⨯===⨯对于转轴O ，棒在转动过程中只受到重力矩的作用，故机械能守恒。
