等参单元
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第三章__等参数单元(等参元)
积分，还需把微分面积 dxdy 做相应的变换。
设任意四边形等参元1,2,3,4内任一点 P 沿局部坐标 , 方向 的微分矢量为 a , b ，由于在 方向上只有 变化，而 不变，故微 分矢量 a 在整体坐标系的 x, y 轴上的投影 a x , a y 分别为
y x a d , a d x y
故有
x J y
(3-12)
x J y
1
二．坐标变换矩阵及变换行列式 利用任意四边形等参元分析平面问题时，有了该单元的位移插 值函数式(3-3)和坐标变换式(3-5)，就可以应用第二章已导出的一系 列公式去求解。但是，这一系列公式都是在整体坐标 xoy 下导出的 ，其中，应变矩阵 B 的每个元素都是各结点形函数 N i 对整体坐标
设任意四边形在整体坐标下的位移插值函数式为
u u ( x , y ) ,v v ( x , y )
4 n
(3-6)
而该单元在局部坐标系下的位移插值函数式(3-3)可以写成：
u N ( ,) u u ( ,) ,v N ( ,) v v ( ,) i i i i
i 1 i 1
前面已谈到：无论是三角形单元还是矩形单元，其单元内位移 用形函数表示为
u
N u,
i i i 1
n
v
N v
i i i 1
n
(3-1)
实际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即
x
N x,
i i i 1
n
y
等参单元
等参单元
xN x
i 1 m m ' i i
y N y
i 1 m
' i i
z N z
i 1
' i i
式中，m是用以进行坐标变换的单元节点数，Ni’是 用于坐标变换的形函数，它也是用局部（自然）坐 标表示的插值函数。
等参单元
y η η
ξ
o
o
ξ
o
x
二维单元的变换
等参单元
z ζ o ζ ξ oη ξ η
二维情况下的有关公式可由上面各式相应退化得到。
等参单元
等参变换的条件
由微积分学知，两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi行形式∣J∣不得为0，等参变换作为一种坐标 变换也必须服从此条件。在二维的情况下，面积微元
dA J d d dξ dη dξ dη sin(dξ , dη)
Байду номын сангаас
等参单元
u N1 v 0 u1 v 1 0 u2 N 3 v2 u3 v3 x1 y 1 0 x2 y N3 2 x3 y3
V
e
G ( x, y, z )dxdydz
1 1
1
1
1 1
G * ( x( , , ), y ( , , ), z ( , , )) J d d d
1
A
g ( x, y, z )dS e
1 1
1
g * ( x(c, , ), y(c, , ), z (c, , )) Add
其中∣a∣表示向量a的模。
等参单元
等参单元1、等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。
优点：由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。
等参数单元（简称等参元）就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。
用于有限元法的分析。
优点由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算仍在前面所表示单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。
起源在有限元的网格划分中常用的一些单元，像三角形、矩形、六面体单元等，都是形状很规则的单元。
对于形状规则的连续体，用这些单元来离散可以获得比较好的结果。
但是，对于一些几何形状比较复杂的连续体，再用这些单元离散就比较困难了。
于是出现了坐标变换的方法来解决这个问题。
通过一一对应的坐标变换，把规则的单元转变成形状不规则的单元，就可以用它们来离散几何形状复杂的连续体。
有些求解问题的域的几何形状比较规则，那么采用原来的坐标进行积分运算就不是很复杂，但是有些几何形状比较畸形，会使运算处理很麻烦，于是就有这样的想法，能不能去把这个畸形的东东转换到一个比较规则，比较普遍的通用的形体上，在这个形体上去研究它的性质，却不改变原来的问题，这也就是等参单元的发明目的。
等参单元概述范文
等参单元概述范文等参单元是一种常见的线性快速查找算法，旨在在有序数组中查找指定元素的位置。
它的原理是将数组分成若干个等长的单元，然后在每个单元中进行查找，从而将查找的范围逐渐缩小。
等参单元算法的过程如下：1.首先，确定每个单元的长度。
这个长度可以根据数组的大小和查找的目标元素来确定。
通常情况下，单元的长度选择为数组长度的平方根。
2.将数组分成若干个等长的单元。
如果数组长度不能整除单元长度，最后一个单元的长度可以稍长一些。
3.对于每个单元，比较目标元素与单元中的最大值和最小值。
如果目标元素比最小值小，说明目标元素不在该单元中；如果目标元素比最大值大，说明目标元素也不在该单元中。
否则，继续进行下一步。
4.在该单元中进行二分查找，查找目标元素在单元中的位置。
5.如果在单元中找到了目标元素，算法结束；否则，重复步骤3和步骤4，直到在一些单元中找到目标元素或者所有的单元都查找完毕。
等参单元算法的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 为数组的大小。
这是因为等参单元算法每次将查找范围缩小至一半，所以需要的比较次数为O(log n)。
这使得等参单元算法比线性查找算法更加高效。
值得注意的是，等参单元算法适用于有序数组。
如果数组未排序，可以先对数组进行排序，然后再使用等参单元算法进行查找。
另外，等参单元算法还可以与其他查找算法结合使用，例如二分查找算法或插值查找算法，以进一步提高查找效率。
总的来说，等参单元算法是一种快速查找算法，通过将数组分成若干个等长的单元，能够高效地在有序数组中查找指定元素的位置。
它具有时间复杂度低、查找效率高等优点，是一种常见且实用的查找算法。
第五章-等参元单元法
3、单元分析
单元特性分析与结点力计算过程与上节四结点 等参数单元完全相同，具体公式形式也一致。 区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同。见 下表：
四结点单元
{δ} [B] [k] 面力
八结点单元 16×1列阵 16×16矩阵
分到3个结点
8×1列阵 8×8矩阵
分到2个结点
3×8矩阵， 4个分块 3×16矩阵，8个分块
u N i u i N i 1 (1 i )(1 i ) (i 1,2,3,4) 4 i 1 4 i 1;i 1 N 1 (1 )(1 ) v N i vi 4 i 1 单元的位移模式和坐标变换式采用等同的形函数 （阶次相等），同时用以规定单元形状的结点数等 于用以规定单元位移的结点数，这种单元称为等参 数单元。
y Ni yi N1 y1 N 2 y2
经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原来的平面将变成空间曲面。 母单元正六面体，将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。
例 相邻单元公共边连续性验证
1 xa {x1 (1 )(1 )(1 ) x2 (1 )(1 )(1 ) 8 x3 (1 )(1 )(1 ) x4 (1 )(1 )(1 ) x5 (1 )(1 )(1 ) x6 (1 )(1 )(1 ) x7 (1 )(1 )(1 ) x8 (1 )(1 )(1 )} 1 xb {x3 (1 )(1 )(1 ) x4 (1 )(1 )(1 ) 8 x9 (1 )(1 )(1 ) x10 (1 )(1 )(1 ) x7 (1 )(1 )(1 ) x8 (1 )(1 )(1 ) x11 (1 )(1 )(1 ) x12 (1 )(1 )(1 )} 1 xa ( 1) {x3 (1 )(1 ) x4 (1 )(1 ) x7 (1 )(1 ) x8 (1 )(1 )} 4 1 xb ( 1) {x3 (1 )(1 ) x4 (1 )(1 ) x7 (1 )(1 ) x8 (1 )(1 )} 4 xa ( 1) xb ( 1)
等参数单元
(6.18)
三个节点的等效载荷为
Qi {Q
e e ix
式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。 在上述分析的基础上，利用结构中所有等参元的单元刚度矩阵集成 结构整体刚度矩阵。列写结构有限元方程、引入约束条件，进而进 行结构整体分析。
qx Q } Ni tds q y
6.1 等参元的基本概念 等参数单元（Isoparametric elements）简称等参元，是根据特 定方法设定的一大类单元，不一定具有相同的几何形状。因为等参 元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有限 元理论中占有重要的地位。采用等参元，一方面能够很好地适应曲 线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，等参元一般 具有高阶位移模式，能够较好地反映结构的复杂应力分布情况，即 使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。 等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系（Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系）的规整形状的单 元（母单元）的高阶位移模式，然后利用形函数多项式进行坐标变 换，得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单元 （子单元），其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换 的节点数相等，位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同的 形函数与节点参数，这样的单元称为等参元。
x N i , xi , y Ni , yi
i 1 i 1 8 8
(6.11)
将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程，将会 得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式
6.2 等参元的单元分析
u x x v e ε y Bδ B1 B2 y xy u v y x
5.1.15.1等参数单元及空间问题分析
注：等参单元的刚度积分一般很难有解析式，必须进行数值积分，目前普 遍采用高斯数值积分法（略）。
5.1.2等参单元小结
1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0
为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有 内角大于或等于或接近180度情况。
2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容 易用很少的单元去逼近曲线边界。
4
Ni
,
1 4
1
i
1i
i = 1,2,3,4
同矩形单元位移形函数
2） 单元应变
将位移表达式代入几何方程得等参单元的应变
u
0
0
x ε 0 u
x
v y
0
v
N1 ,
y
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N4 N3 0
0
u1
N4能很好地适应曲线边界和准确地模拟结构形状，又能具 有较高次的位移模式，
等参单元（iso-parametric element）的概念：等参数 单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型 单元。
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形， 由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。
。
5.1.1 平面4节点等参单元 1）等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
已知：
xi yi
f
ii
（i=
1,2,3,4）求， ：
x y
f
解法：插值 x 1 2 3 4
5.1.2等参单元小结
1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0
为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有 内角大于或等于或接近180度情况。
2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容 易用很少的单元去逼近曲线边界。
4
Ni
,
1 4
1
i
1i
i = 1,2,3,4
同矩形单元位移形函数
2） 单元应变
将位移表达式代入几何方程得等参单元的应变
u
0
0
x ε 0 u
x
v y
0
v
N1 ,
y
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N4 N3 0
0
u1
N4能很好地适应曲线边界和准确地模拟结构形状，又能具 有较高次的位移模式，
等参单元（iso-parametric element）的概念：等参数 单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型 单元。
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形， 由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。
。
5.1.1 平面4节点等参单元 1）等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
已知：
xi yi
f
ii
（i=
1,2,3,4）求， ：
x y
f
解法：插值 x 1 2 3 4
第05讲 等参单元-09_891907157
结构分析与CAE研究室
汽车工程系
6.2 平面四结点四边形等参单元
6.2.3 单元应变与应力 记
[ J ] = ⎡ Jˆ ⎤ ⎣ ⎦
−1
则：
⎧ ∂u ⎫ ⎧ ∂u ⎫ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ˆ ⎪ ∂y ⎪ ⎡ ⎡ J ⎤ 0 ⎤ ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ˆ ⎪ ∂v ⎪ ⎢ 0 ⎡ J ⎤ ⎥ ⎪ ∂v ⎪ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂η ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
(6-9)
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.2 平面四结点四边形等参单元
6.2.3 单元应变与应力
4 ⎧ ∂u ⎫ ⎧ ∂N i ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∑ ∂ξ i =1 ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ∑ ∂η ⎪ ⎪ i =1 =⎨ 4 ⎨ ⎬ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∑ ∂ξ i =1 ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ∑ ∂η ⎩ ⎭ ⎩ i =1
由几何方程：
式中（u, v）是中间变量（x, y）的函数， 而（x, y）又是（ξ, η）的函数, 由复合求导：
⎧ ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ⎪ ∂ξ = ∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ ⎪ , ⎨ ⎪ ∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y ⎪ ⎩ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ⎧ ∂v ∂v ∂x ∂v ∂y ⎪ ∂ξ = ∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ ⎪ ⎨ ⎪ ∂v = ∂v ∂x + ∂v ∂y ⎪ ⎩ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η
汽车工程系
6.2 平面四结点四边形等参单元
6.2.3 单元应变与应力 记
[ J ] = ⎡ Jˆ ⎤ ⎣ ⎦
−1
则：
⎧ ∂u ⎫ ⎧ ∂u ⎫ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ∂u ⎪ ˆ ⎪ ∂y ⎪ ⎡ ⎡ J ⎤ 0 ⎤ ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ˆ ⎪ ∂v ⎪ ⎢ 0 ⎡ J ⎤ ⎥ ⎪ ∂v ⎪ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂η ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
(6-9)
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.2 平面四结点四边形等参单元
6.2.3 单元应变与应力
4 ⎧ ∂u ⎫ ⎧ ∂N i ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∑ ∂ξ i =1 ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ∂u ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ∑ ∂η ⎪ ⎪ i =1 =⎨ 4 ⎨ ⎬ ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂ξ ⎪ ⎪ ∑ ∂ξ i =1 ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ∂v ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂η ⎪ ⎪ ∑ ∂η ⎩ ⎭ ⎩ i =1
由几何方程：
式中（u, v）是中间变量（x, y）的函数， 而（x, y）又是（ξ, η）的函数, 由复合求导：
⎧ ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ⎪ ∂ξ = ∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ ⎪ , ⎨ ⎪ ∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y ⎪ ⎩ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η ⎧ ∂v ∂v ∂x ∂v ∂y ⎪ ∂ξ = ∂x ∂ξ + ∂y ∂ξ ⎪ ⎨ ⎪ ∂v = ∂v ∂x + ∂v ∂y ⎪ ⎩ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η
第4章 平面问题的等数参单元√ 有限元
2
2
变换到母单元上的单元刚度矩阵为
[ K ]e h [ B]T [ D][ B] J dd
1 1
(10' )
这个式子中包含雅可比矩阵的逆矩阵，使上式的解析积分相当困 难，因此，通常用数值积分法进行积分。
（见沈永欢：实用数学手册，科学出版社；王勖成：有限单元法，清华大学出 版社）
４单元的等效荷载 体积力的等效荷载 考虑单元内任一点的体积力为
i 1,2,3,4 (11) j 5,6,7,8
实际单元中任一点坐标可用下式表示
x N i ( , ) xi，y N i ( , ) yi
i 1 i 1
8
8
２单元刚度矩阵 几何方程为 u x x x v { } y 0 y xy v u x y y 其中
u 1 2 3 4 2 5 6 2 7 2 8 2 2 2 2 2 v 9 10 11 12 13 14 15 16
(8)
应变可写为
{ } [ B]{ }e
其中应变矩阵为
(6' )
N r x 0 N r y N s x 0 N s y 0 N s y N s x
N i 0 x x [ B] 0 [N ] 0 y N i y x y
1 形函数与坐标变换 在母单元上，取位移函数为 u 1 2 3 4 v 5 6 7 y 8
按照上一章求插值函数的方法，得
第04章 等参数单元
7.1 注意事项
(1) 选择 位移插 值函数 时，自 然坐标系中的形函数 表达式 必须满足满足完备协调条件。 课 本上介绍的各 类等参元都是 完备协调单元。
等参元的 收敛性 (4) 为 了 确保等参元坐标变换 ，在每 一个单元上能 确定整 体坐标与自然坐标之间 的一一 对应关系，使变换真 正能够 进 行 ，必须 使变换 行列式 在 J 整个单元上均 不等于 零。 (5) 实 践证明 ，一般 等参元计算精度最高的所谓 应力佳 点 都在高 斯积分点上， 各边中间节点 其次，角节点 处精度 最 差。 如 果 想得到 节点处 的应力，可以在计算 出高斯积分应 力 后，再 用形函 外插到 节点上 去，这样做可以提高计算精 度。
注意：形函数表达式是自然坐标的函数。两种坐标之
间 的变换一般只 能按上式作正 变换， 逆变换 不存在。
等参元的 基本概 念
形 函数
2 形函数
1.2.2 等参数单元的定义
由于 两坐标系的坐标系变 换与位移插值 采用的 是同一 形状 函 数，亦 即进行 坐标变 换采用的节点数与插 值单元位移所 用的 节 点数相 等，故称此类单元为等参数单元， 简称等参元。 以 一维结构为例加以说明： 考虑 单元内 x 方向位移。令 ui 表示节 点位移， xi 表示节 点 坐标， 则插值公式为
七 等参元的收敛性
详细讲 述有限 元的收敛性、 收敛速 度和收敛精度，需要 涉 及一些专门的数学知识，而且在某些动力 问题和非线性 问题中， 收敛性 问题仍 是有待 解决的有限元高级课 题。 对 于 线性平面问题 ， 有 限元分 析的收敛性和 收敛精度主 要 取决于 位移插 值函数的性质 、单元 剖分的数量和 质量。
4.3 二维高斯积分公式
单元等效节点载荷
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5．等参单元本章包括以下内容： 5.1等参单元的基本概念 5.2四边形八节点等参单元 5.3等参单元的单元分析 5.4六面体等参单元5.1等参单元的基本概念在进行有限元分析时，单元离散化会带来计算误差，主要采用两种方法来降低单元离散化产生的误差：1）提高单元划分的密度，被称为h 方法（h-method ）；2）提高单元位移函数多项式的阶次，被称为p 方法（p-method ）。
在平面问题的有限单元中，我们可以选择四结点的矩形单元，如图5-1所示，该矩形单元在x 及y 方向的边长分别为2a 和2b 。
图5-1 四结点矩形单元同第三章的方法类似，将单元的位移模式选为，xy a y a x a a u 4321+++= xy a y a x a a v 8765+++=（5-1）可得到，p p m m j j i i u N u N u N u N u +++=p p m m j j i i v N v N v N v N v +++=（5-2）形态函数为， )1)(1(41b y a x N i --=)1)(1(41b y a x N j -+=)1)(1(41b y a x N m ++= )1)(1(41by ax N p +-=（5-3）上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求： 1）反映了单元的刚体位移和常应变， 2）单元在公共边界上位移连续。
在矩形单元的边界上，坐标x 和y 的其中一个取常量，因此在边界上位移是线性分布的，由两个结点上的位移确定。
与三结点三角形单元相比，四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数，能够提高计算精度，但也有显著的缺点，两种单元的比较如下。
表5-1 三结点三角形单元与四结点矩形单元比较如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模式，则在公共边界上不满足位移连续性条件。
为了既能得到较高的计算精度，又能适应复杂的边界形状，可以采用坐标变换。
图5-2任意四结点四边形单元图5-3四结点正方形单元在图5-2所示的任意四边形单元上，用等分四条边的两族直线分割四边形，以两族直线的中心为原点，建立局部坐标系),(ηξ，沿ξ及η增大的方向作为ξ轴和η轴，并令四条边上的ξ及η值分别为1±。
为了求出位移模式，以及局部坐标与整体坐标之间的变换式，在局部坐标系中定义一个四结点正方形单元，如图5-3所示。
参照矩形单元，四结点正方形单元的位移模式为，44332211u N u N u N u N u +++=44332211v N v N v N v N v +++=（5-4）其中， )1)(1(411ηξ--=N )1)(1(412ηξ-+=N )1)(1(413ηξ+-=N )1)(1(414ηξ++=N（5-5）四个结点的坐标为),(i i ηξ，定义新的变量， ξξξi =0，ηηηi =0 (i=1，2，3，4) (5-6)形态函数表示为，)1)(1(4100ηξ++=i N（i=1，2，3，4） （5-7）把ξ及η作为任意四边形单元的局部坐标，把（5-4）的位移模式和（5-7）的形态函数用于任意形状的四边单元，可得：1）在四个结点处可以得到结点的位移；2）在单元的四条边上，位移线性变化，保证了单元公共边界上位移的连续性。
因此给出任意四边形单元的结点位移就能得到整个单元上的位移，（5-4）的位移模式就是所要找的正确的位移模式。
把局部坐标与整体坐标的变换式也取为，44332211x N x N x N x N x +++=44332211y N y N y N y N y +++=（5-8）将坐标变换式用于任意四边形单元，可得： 1）在四个结点处给出结点的整体坐标，2）在四条边上的整体坐标是线性变化的。
只要给出任意四边形单元四个结点的整体坐标，用（5-8）式就可以建立局部坐标系中的正方形单元和整体坐标系中的任意四边形单元之间的坐标变换关系。
把图5-3中的局部坐标系中的正方形单元称为基本单元。
把图5-2中的在整体坐标系中的任意四边形单元看作由基本单元通过坐标变换得来的，称为实际单元。
单元几何形状和单元内的未知量采用相同数目的结点参数以及相同的插值函数进行变换，称为等参变换。
采用等参变换的单元，称为等参单元。
由于形态函数i N ，正好反映了单元形状的变化，也称为形函数（Shape function ）。
采用等参单元，使我们可以在局部坐标系中的规则单元上进行单元分析，然后在映射到实际单元上。
等参单元同时具有计算精度高和适用性好的特点，是有限元程序中主要采用的单元形式。
5.2四边形八节点等参单元为了更好地反映物体内的应力变化，适应曲线边界，在弹性力学平面问题的分析中经常使用四边形八节点等参单元。
如图5-4所示，由于每条边上增加了一个结点，单元的边是一条二次曲线，可以更好地适应曲线边界，图5-4四边形八结点单元图5-5 八结点基本单元对于等参单元，先在图5-5所示的八结点基本单元上进行分析。
八结点单元一共有16个已知的结点位移分量，基本单元中取如下的位移模式： 282726524321ξηηξηξηξηξa a a a a a a a u +++++++=282726524321ξηηξηξηξηξb b b b b b b b v +++++++=（5-9）该位移模式实际上是一个双二次函数，待定系数由结点位移分量确定。
在单元的每条边上，局部坐标1±=ξ或1±=η，位移是局部坐标ξ或η的二次函数，完全由边上的三个结点的位移值确定，所以这个位移模式满足位移连续性条件。
实际单元内的位移用形函数表示为，i i i u N u ),(81ηξ∑==i i i v N v ),(81ηξ∑==（5-10）其中的形函数为： )1)(1)(1(411-----=ηξηξN)1)(1)(1(413---+=ηξηξN)1)(1)(1(415-+++=ηξηξN )1)(1)(1(417-+-+-=ηξηξN )1)(1(2122ηξ--=N )1)(1(2126ηξ+-=N )1)(1(2124ξη+-=N)1)(1(2128ξη--=N将形函数归纳为，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+++=)8,4()1)(1(21)6,2()1)(1(21)7,5,3,1())(1)(1(41),(22i i i N i i i i i i i ξξηηηξηηξξηηξξηξ （5-11）形函数),(ηξi N 在单元的i 结点上的值为1，在其它结点上的值均为0。
坐标变换式采用如下相似的公式，ii i ii i y N y x N x ),(),(8181ηξηξ∑∑====（5-12）将1=ξ代入公式（5-12），可以得到单元345边在整体坐标下的参数方程： fe d y c b a x ++=++=ηηηη22（5-13）可见在整体坐标系中，单元的边是一条抛物线或退化为一条直线。
图5-6 ANSYS提供的Plane82单元如图5-6所示，ANSYS提供的PLANE82单元是一个四边形八结点等参单元，局部坐标定义为s和t，如图5-7所示。
PLANE82单元可以退化为三角形六结点单元。
图5-7 Plane82的基本单元ANSYS理论手册中给出的PLANE82单元的位移模式如图5-8所示，位移模式与公式（5-10）展开后是一样的。
图5-8 Plane82单元位移模式5.3等参单元的单元分析在本节，以平面问题的四边形八结点等参单元为例，介绍构造等参单元的单元刚度矩阵的基本过程。
弹性力学平面问题的单元刚度矩阵为，[]⎰⎰=tdxdy B D B K Te]][[][单元的应变为，eB }]{[}{δε=单元的结点位移，{}Tev u v u v u ]...[882211=δ将形函数代入后，可以得到应变的矩阵表达式，{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=8811882211821821........0...0v u v u xN yN xN yN xN yNy N yN y N xN xN x Nε （5-14）可得应变矩阵的分块矩阵，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=xN yNyN xNB i ii ii 00][ （5-15）由于等参单元的形函数是局部坐标),(ηξ的函数，因此应变矩阵[B]也是局部坐标),(ηξ的函数。
形成等参单元的单元刚度矩阵需要在整体坐标系中对局部坐标的函数进行积分，包括以下三个基本步骤：1）计算用局部坐标表示的形函数),(ηξi N 对整体坐标x 、y 的偏导数；2）将整体坐标系中的面积积分转换为在局部坐标系中的面积积分；3）用数值积分计算出单元刚度矩阵中的元素。
（一）计算形函数对整体坐标x ，y 的偏导数由于局部坐标与整体坐标之间存在坐标转换关系，因此形函数N i是局部坐标的函数，同时也可以看作是整体坐标的函数。
由复合函数求导法则可得：ηηηξξξ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y N x x N N y y N x x N N i i i i i i（5-16）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂yN x N y x y xN N iii i ηηξξηξ 定义，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=ηηξξy x y xJ ][ （5-17）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂y Nx N J N N iii i][ηξ （5-18）矩阵[J]称为雅可比矩阵（Jacobian Matrix ），单元的整体坐标可以形函数来表示，因此用坐标变换公式可以计算雅可比矩阵。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=882211821821............][y x y x y x N N N N N N J ηηηξξξ （5-19）由（5-18）可得， ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂-ηξii ii N N J yNx N 1][ （5-20）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂-∂∂==-ξηξηx xy yJ J J J 1][][*1（5-21）将（5-21）代入（5-20）得到， ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂ηξξηηξξηi ii i iiN x N x N y N y J yNx N 1 （5-22）（二）将整体坐标系中的面积积分转换为在局部坐标系中的面积积分 []⎰⎰=tdxdy B D B K Te]][[][（5-23）在整体坐标系中，面积微元为x 方向和y 方向微矢量的叉乘的模量，y d x d dA⨯= （5-24）ηηξξd x d x x d ∂∂+∂∂=ηηξξ d y d y y d ∂∂+∂∂=ηξξηηξηηξξηηξξd d y x y x d x d y d x d x dA )()()(∂∂∂∂-∂∂∂∂=∂∂+∂∂⨯∂∂+∂∂=ηξd d J dA = （5-25）代入（5-23），得到单元刚度矩阵在局部坐标系中的积分公式：[]ηξd d J t B B B D B B B K Te]...][[]...[8218211111⎰⎰--=（5-26）单元刚度矩阵中的任意一个分块矩阵的积分公式为，ηξd d J t B D B K s Tr rs ]][[][][1111⎰⎰--=（5-27）（三）用数值积分计算出单元刚度矩阵中的元素等参单元刚度矩阵的每个元素都是局部坐标的函数，在有限元程序中不用解析的办法来计算局部坐标系中的积分，而采用数值积分方法。