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工具变量估计与两阶段最小二乘法

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第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法

第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
对此也没有合理的解释。
15.2 多元回归模型中的IV估计
简单回归模型IV估计很容易延伸到多元回归
y1 0 1 y2 2 z1 L k zk1 u1
借用联立方程模型的形式和术语，此方程称 为结构方程（structural equation）。 z1, z2 ,L , zk1是外生变量，y2 被怀疑是内生的， 即可能与u相关。需要找到其工具变量
具体的IV估计量可从k+1个矩条件对应的样本 方程求出：
Eu 0, Ez1u 0,L , E zk1u 0, E zku 0
15.3 两阶段最小二乘法
如果一个内生解释变量有多个工具变量，如 何有效运用多个工具变量？以下面结构模 型为例： y1 0 1y2 2z1 u1
如果内生解释变量 y2有两个被排斥的外生变 量 z2 , z3，且都与 y2相关，则不仅其中任何 一个可作为IV，而且它们的任何线性组合也 是有效的IV。为了找到最好的IV，需选择与 y2
最高度相关的线性组合，这要求估计约简型 方程： y2 0 1z1 2 z2 3z3 v2
有效的工具变量 zk 需满足：（1）是未包含的 外生变量，即它不在结构方程中且与u不相 关。
15.2 多元回归模型中的IV估计
（2）zk 与 y2 存在某种偏相关，即约简型方程
y2 0 1z1 L k1zk1 k zk v
的系数满足： k 0
同样要求（1）不能检验，只能寄希望于经济 逻辑和反思。要求（2）可对约简型方程估 计后直接检验。
15.1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
要求（2）容易检验，只需x对z简单回归，检 验斜率系数的显著性。
内生解释变量和工具变量也可以是二值变量

工具变量法二阶段回归模型

工具变量法二阶段回归模型

工具变量法二阶段回归模型是一种用于处理内生性问题的统计方法，主要通过两个阶段的最小二乘法（Two Stage Least Square，2SLS或TSLS）来实现。

在第一阶段，该方法使用工具变量（iv）去做解释变量（x）的回归。

然后在第二阶段，它用工具变量对解释变量的估计值（x'）去对被解释变量（y）做回归。

此方法的逻辑是将内生解释变量分解为两部分，一部分是由工具变量造成的外生部分，另一部分是与扰动项相关的内生部分。

这样的分解能够“治疗”内生性问题，从而得到更加准确的估计结果。

在实际应用中，工具变量的回归操作可以通过多种统计软件实现，例如Stata，其基本操作代码有：ivregress, ivreg2, ivreghdfe, xtivreg, xtivreg2等。

这些工具和方法使得工具变量法二阶段回归模型在处理内生性问题时具有广泛的应用价值。

第15章-工具变量讲解

第15章-工具变量讲解

这样一来 , 我们便把 abil 放人误差项中，而 只留下简单回归模型： Log（wage） =β 0+β 1educ+u （15.1 ） 其中，u 包含 abil。当然，如果用 OLS 估计 方程 (15.1) ，若 educ 与 abil 相关，则得到 的结果将是 1 的有偏而又不一致估计量。
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
在本章中，我们进一步研究多元回归模型中的 内生解释变量 (endogenous explanatory Variables） 问题。在第 3 章中，我们推导出遗漏一个重要变 量时 OLS 估计量的偏误，在第 5 章中，我们说明 了在遗漏变量(omitted variables)的情况下，OLS 通 常是不一致的。
举例来说，考虑成年劳动者的工资方程中存 在无法观测之能力因素的问题。一个简单的 模型为： log（wage）=β 0+β 1educ+β 2abil+e 其中，e 是误差项。
在第 9 章中，我们证明了在某些假定下，如 何用诸如 IQ 的代理变量代替能力，从而通过 以下回归可得到一致估计量 log(wage)对 educ，IQ 回归 然而假定不能得到适当的代理变量（或它不 具备足以获取 1 一致估计量所需的性质）。
我们一开始先说明，在存在遗漏变量的情况 下，如何用 IV 法获得一致估计量。此外， IV 至少能在某些假定下用于解决变量误差 (errors-in-variables)问题。下一章将证明运 用 IV 法如何估计联立方程模型。
我们对工具变量估计的论述严格遵照我们在 第 1 篇中对普通最小二乘的推导，其中假定 我们有一个来自潜在总体的随机样本。这个 起点很合人意，因为除了简化符号之外，它 还强调用潜在总体来表述对 IV 估计所做的重 要假定 (正如用 OLS 时一样)。

计量学-联立方程组模型的参数估计

计量学-联立方程组模型的参数估计
8
因此第一个结构式方程参数的间接最小二乘估
计，与简约式参数的最小二乘估计的关系为：
βˆ1 Πˆ Γˆ 1
也就是
ˆ11 ˆ12
ˆ1K1
0
0
XX
1
XY
1
ˆ12
ˆ1g1
0
0
9
分别由分块矩阵 和
Y Y1 Y11 Y12
Yi XΠi ui , i 2,, g1
对它们分别作最小二乘估计，得：
Πˆ i XX1XYi , i 2,, g1
因此这些内生变量的估计量为：
Yˆi XΠˆ i XXX1XYi , i 2,, g1
29
它们可以合并为：
Yˆ10 Yˆ 2 Yˆ 3 Yˆ g1
XXX1 X Y2 Y3 Yg1
以简约式的第l个方程为例：
Ylt l1 X1t l 2 X 2t lK X Kt ult
该方程的系数构成行向量 Πl l1,,lK
，它的最小二乘估计量为：
Πˆ l XX1XYl
6
这些参数估计向量可以合并成下列简约式 模型参数的估计量矩阵：
Πˆ
Πˆ 1Πˆ 2 Πˆ g
ˆˆ 1211
X X11 X12
表示 Y 和X 。
X11
X12 X11
ˆ11
X12
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆ1K1
0
X11
0
X12 Y1
Y11
1
ˆ12
Y12
ˆ1g1
0
0
10
X11X11
X12X11
ˆ11
X11X12
ˆ1K1
X11Y1
X12X12

工具变量两阶段最小二乘

工具变量两阶段最小二乘
估计结果与前面相差很大，检验工具变量与内生 变量的相关性，发现用三个工具变量时相关性大 大提升，故应采用mothedu,fathedu,husedu一起 做工具变量。 • 工具变量的好坏直接影响估计结果，实际应用中， 寻找合适的工具变量是解决问题的关键，也是困 难所在。
两阶段最小二乘法：TSLS
点击选择按钮（Op>ons）对参数估计协方差矩 阵的估计方法进行选择，本例采用的是横截面数据， 因此采用怀特异方差一致的协方差矩阵估计。
6.2 工具变量估计方法
6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量
Y = β0 + β1X1 + β2 X 2 + β3 X3 + u X1 为内生变量， X2 和X 3 为外生变量，Z1 、Z2 X为1 的工具变量。 两阶段最小二乘步骤：
原假设： H0 : α1 = α2 = 0
• 用第五章构造的Tr 统计量进行F检验，若 Tr值够大， 通常大于10则认为相关性足够，可做工具变量。
• 若接受原假设，则表明工具变量与内生变量相关 性太弱，其不适宜做工具
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量
EViews实现两阶段最小二乘： 例子6.2 已婚女性小时工资（续）
• 不相干变量引入不会影响参数估计的无偏性和一 致性，但是会影响参数估计的有效性。
6.2 工具变量估计方法
6.2.1 工具变量估计法 6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS
6.2 工具变量估计方法
6.2.1 工具变量估计法
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1X + u
Ø 定义1：如果存在变量Z

工具变量法IV两阶段最小二乘法TSLS

工具变量法IV两阶段最小二乘法TSLS

YY12
b12Y2 b23Y3
c11 X1 c12 X 2 c23 X 3 u2
u1
Y3 b31Y1 b32Y2 c33 X 3 u3
其中：Y1,Y2 ,Y3 为内生变量， X1, X 2 , X 3为外生变量。
Dongbei University Of Finance & Economics
2）方程组系统估计法 包括：三阶段最小二乘法（3SLS）、完全信息最
大似然估计法（FIML）等。这些方法是对模型中所有 结构方程的参数同时进行估计，从而获得模型全部参 数的估计值。它利用了模型的全部方程信息，称为完 全信息方法。
Dongbei University Of Finance & Economics
/ ˆ23 bˆ12ˆ21
cˆ12 ˆ12 bˆ12ˆ22
若已知πij，即可解出惟一的cij，第一个结构方程得以 估计。这样，结构方程的参数估计值用传统的OLS就 得到了。
Dongbei University Of Finance & Economics
ILS的步骤
一、先对模型作识别判断，找出恰好识别的方程； 二、利用简约式和结构式参数的关系式 B
Y1 11 X1 12 X 2 13 X 3 v1 Y2 21 X1 22 X 2 23 X 3 v2 Y3 31 X1 32 X 2 33 X 3 v3
Dongbei University Of Finance & Economics
第一阶段是对结构方程右端所包含的所有内生变量（作为解 释变量）所对应的简化式方程进行OLS估计,得到内生变量的估计 （回归)值；

heckmann两步法和二阶段最小二乘法

heckmann两步法和二阶段最小二乘法
Heckman 两步法和二阶段最小二乘法都是统计学中常用的方法。

其中，Heckman 两步法是一种用于解决选择性样本偏误问题的统计方法，也被称为 Heckman 校正模型。

而两阶段最小二乘法是指一种计量经济学方法，简称2SLS或者TSLS，是用于解决内生性问题的一种方法。

Heckman 两步法可以通过建立一个选择模型和一个结果模型的联合模型，来解决选择性样本偏误问题。

该方法的核心思想是通过选择模型对样本进行校正，从而得到更加准确的结果模型估计值。

二阶段最小二乘法的原理是将模型分为两个阶段进行估计：第一阶段是利用工具变量法估计出所有解释变量（包括内生解释变量和外生解释变量）对因变量的影响；第二阶段则是将第一阶段估计出的内生解释变量的值代入原方程，再次进行回归估计。

需要注意的是，这两种方法的使用都需要注意样本的有效性和数据的可靠性，同时需要进行模型的验证和检验，以确保模型的准确性和可靠性。

2sls工具变量法

2sls工具变量法2SLS工具变量法是一种常用的计量经济学方法，用于解决内生性问题。

本文将介绍2SLS工具变量法的基本原理、应用场景以及优缺点。

一、2SLS工具变量法的基本原理2SLS全称为Two-Stage Least Squares，即两阶段最小二乘法。

它主要应用于当存在内生性问题时，通过引入工具变量来解决内生性问题。

内生性问题指的是自变量与误差项之间存在相关性，导致OLS估计结果偏误。

2SLS工具变量法的基本原理是通过两个阶段的回归来解决内生性问题。

第一阶段，使用工具变量对内生变量进行回归得到预测值；第二阶段，将预测值作为自变量，与因变量进行回归得到最终估计结果。

二、2SLS工具变量法的应用场景2SLS工具变量法适用于存在内生性问题的经济学研究。

常见的应用场景有以下几种：1. 自变量的测量误差：当自变量存在测量误差时，可以使用与自变量高度相关但与误差项不相关的工具变量进行修正。

2. 隐藏变量：当存在未观测到但影响自变量的隐藏变量时，可以使用与隐藏变量相关但与误差项不相关的工具变量进行估计。

3. 同时方程系统：当存在同时方程系统时，通过引入工具变量来解决内生性问题。

三、2SLS工具变量法的优缺点2SLS工具变量法的优点在于可以通过引入工具变量来解决内生性问题，得到无偏的估计结果。

同时，由于2SLS方法是基于回归的，因此可以利用回归分析的相关性、显著性等统计检验方法来评估模型的拟合程度和推断。

然而，2SLS工具变量法也存在一些缺点。

首先，工具变量的选择是关键，如果选择不当可能会引入其他问题，如工具变量无效性等。

其次，2SLS方法可能会损失一部分样本，导致样本量减小。

此外，2SLS方法要求模型的误差项符合一定的假设条件，如无异方差性、正态分布等，否则估计结果可能失效。

四、总结2SLS工具变量法是一种解决内生性问题的常用方法。

通过引入与内生变量相关但与误差项不相关的工具变量，可以得到无偏的估计结果。

工具变量 两阶段最小二乘

1 IV
n−2
∑
n
i =1 i n
ˆ Z ,X = ρ
∑
i =1
( X i − X )(Z i − Z )
2 ( Z − Z ) ∑i=1 i n
2 ( X − X ) ∑i=1 i
ˆ −β ˆ X ˆi = Yi − β u 0 IV 1IV i
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
内生性影响图示：
X
Y
u
dY / dX = β + du / dX
ˆ 是对 β + du / dX 的估计。 β
6.1 内生性
6.1.2 内生性产生的原因
模型设定错误、测量误差和联立性
• 模型设定错误是导致内生性最常见的原因，模型 设定错误往往表现为相关变量的缺失，缺失变量 成为错误设定模型误差项的一部分，当缺失变量 和模型中其他变量相关时，就会导致这些变量的 内生性。（工资与教育、能力）、 • 不相干变量引入不会影响参数估计的无偏性和一 致性，但是会影响参数估计的有效性。
??模型设定错误是导致内生性最常见的原因模型设定错误往往表现为相关变量的缺失缺失变量成为错误设定模型误差项的一部分当缺失变量和模型中其他变量相关时就会导致这些变量的内生性
第6章
内生性和工具变量估计方法
内生性和工具变量估计方法
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性 6.1.2 内生性产生的原因
fathedu 作工具变量：
ln(wage) = − 0.441+ 0.059 educ
( 0.989 ) (1.686 )
工具变量估计法
多元线性回归模型

两阶段最小二乘法 尔斯比率

两阶段最小二乘法尔斯比率
两阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares，简称2SLS）是一种用于处理内生性（endogeneity）问题的统计方法。

在经济学和其他社会科学中，内生性是一个常见问题，它可能导致OLS（普通最小二乘法）估计量有偏且不一致。

当解释变量与误差项相关时，就会出现内生性问题。

两阶段最小二乘法通常用于估计一个模型，其中一个或多个解释变量是内生的。

这种方法的基本思想是通过找到一个或多个工具变量（instrumental variables）来“净化”或“转换”这些内生解释变量，从而消除它们与误差项之间的相关性。

两阶段最小二乘法的过程如下：
第一阶段：使用工具变量对内生解释变量进行回归。

这个回归的目的是得到内生解释变量的预测值（或称为“拟合值”）。

第二阶段：使用第一阶段得到的预测值作为解释变量，对原模型进行OLS回归。

关于“尔斯比率”（我猜测你可能是指“F-statistic”或“F值”），在统计和回归分析中，
F-statistic用于检验模型的一个或多个解释变量是否对被解释变量有显著影响。

在两阶段最小二乘法中，F-statistic也可以用于检验工具变量的有效性。

如果F-statistic的值很大，那么我们可以拒绝工具变量与误差项不相关的原假设，从而认为工具变量是有效的。

需要注意的是，两阶段最小二乘法并不总是解决内生性问题的最佳方法。

在某些情况下，其他方法（如广义方法矩估计GMM、极大似然估计MLE等）可能更为合适。

此外，工具变量的选择也是至关重要的，因为不恰当的工具变量可能导致估计结果仍然有偏。

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检验的策略： y 0 1 z 2 X ei H 0 : 1 0 x 0 1z v H0 : 1 0 参数的识别： Cov z , y 1Cov z , x Cov z , u Cov z , y 1 ; Cov z , x ˆ z z y y i 1 i
2 0.014 n 428, R 0.118
edu 10.24 0.269 fatheduc n 428, R 2 0.173 n 428, R 2 0.093 log wage 0.441 0.059educ
0.446 0.035
ˆ u2 SSTx Rx2, z
ˆ 的方差越小； n，或 ，或 越大， 1
2 x 2 x,z
在高斯-马尔科夫假定下，OLS估计量的方差：
ˆ Var 1 SSTx

2
例1 估计已婚女性的教育回报
log wage 0.185 0.109educ
0.185 0.28 0.029
IV 0.132 （0.055） 0.108 （0.024） -0.0023 （0.0003）
Black
Smsa South 观测数 R2
-0.199 （0.018）
0.136 （0.02） -0.148 （0.026） 3010 0.300
-0.147 （0.054）
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0
i1

z y
i 1 i2
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0 ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0

z y
i1

2 多元回归模型的IV估计
工具变量相关性假定检验： Cov z2 , x 0, 从偏相关角度理解 y2 0 1 z1 2 z2 v2 约简型方程 （用外生变量表述内生变量） E v2 0, Cov z1 , v2 0和Cov z2 , v2 0 关键的识别条件是： 2 0
i 1 n n
z z x x
i 1 i i
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
用IV估计量做统计推断： 在工具外生、工具相关、同方差性假定下， IV估计量的渐进方差：
2 u ˆ = Var ; 1 2 2 n x x , z

ˆ se 1

例2 估计对男性的教育回报
educ 14.14 0.228sibs
0.11 0.030 n 935, R log wage 5.13 0.122educ 0.36 0.026 n 935
2
0.057
IV估计的两个例子
• 以出生的季节作为educ的IV： --年初出生的学生往往入学较晚，他们到达 义务教育年龄（16岁）时，所受的教育略 少于入学较早的学生。 • 以征兵抽签号作为是否参加越战的IV： --征兵抽签号是随机发放的，因此与u无关。
例4 用临近大学作为教育的IV
educ 16.64 0.320nearc 4 0.413exp er
0.24 0.088
解释变量 Educ Exper Exper2 OLS 0.075 （0.003） 0.085 （0.007） -0.0023 （0.0003）
0.034
1,OLS
corr z , x x
u
corr z , x 0, corr z , x 0, Corr z , u 0; OLS 估计量：向上偏误； IV估计量：向下偏误。
u 1 corr z , x x
IV估计后计算R2
Y=0+ 1*x+u 当x与u相关时，y的方差无法分解成下式： 12Var(x)+Var(u)，因此对R2没有合理的解 释。 R2=1-SSR/SST SSR是IV残差的平方和；x*=0+ 1*z+v y= 0+ 1x*+u= 0 + 0 1 + 1z+v+u SST是y的总平方和。
低劣工具变量条件下IV的性质
• 当z与x弱相关时，IV估计值的标准误可能很大。
2 u ˆ = Var 1 2 2 n x x, z

• 当z与u只是适度相关，IV估计量的渐进偏误可 能很大。 corr z , u
ˆ p lim 1, IV 1 ˆ p lim
工具变量估计与两阶段最小二乘法
OUTLINE
动机：简单回归模型中的遗漏变量 多元回归模型的IV估计 两阶段最小二乘法 变量误差问题的IV解决办法 内生性检验与检验过度识别约束 异方差条件下的2SLS 2SLS应用于时间序列方程 2SLS应用于混合截面和面板数据
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
Hale Waihona Puke 2 多元回归模型的IV估计
y1 0 1 y2 2 z1 u1
内生变量 外生变量
结构方程
寻找外部工具变量z2 , 并满足如下假定：
E u1 0; Cov z1 , u1 0和Cov z2 , u1 0
n i 1 n i1
y
i 1 n i1
遗漏变量偏误 yi 0 1educi 2 abilityi ei yi 0 1educi ui
i 1 2 * 1
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
工具变量的两个要件：
1 Cov z, u 0 z与u无关，即z对y无偏效应：工具外生性； 2 Cov z, x 0 z与x相关：工具相关性；