离散数学中关系的等价类划分方法

离散数学等价类
离散数学是一门研究离散结构及其运算规律的数学学科，其中一个重要的概念是等价关系。

等价关系是一种对集合中元素进行分类的方法，将具有相同性质的元素划分到同一个等价类中。

在离散数学中，等价类是以等价关系划分出的子集。

对于一个给定的等价关系R，对于集合A中的元素a和b，如果a和b满足R关系，即aRb，那么a和b属于同一个等价类。

等价类的定义要满足三个性质：自反性、对称性和传递性。

举个例子来说明等价类的概念。

考虑一个集合A表示所有人的集合，定义一个等价关系R表示两个人的年龄相同。

那么对于A中的每个人，他们可以被划分到不同的等价类中，每个等价类中的人年龄相同。

例如，如果集合A中有三个人a、b和c，其中a和b的年龄相同，b和c的年龄相同，那么a、b和c分别属于两个等价类。

等价类在离散数学中有广泛的应用。

它们可以用于表示相似关系，例如在图像处理中用于图像的分割和识别。

此外，在数据库的设计和查询过程中，等价类的概念也扮演了重要的角色。

等价类的划分可以将数据集合划分成更小的、具有相似特性的子集，从而方便进行数据的管理和查询。

总之，离散数学中的等价类是根据等价关系将集合划分成具有相同性质的子集。

它们在不同领域中都有重要的应用，帮助我们理解和处理具有相似特性的元素。

等价类：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。

设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。

等价类应用十分广泛，如在编程语言中，我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。

定义：在离散数学中，等价关系是指定义在集合A上的关系，满足自反的、对称的和传递的等性质。

设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。

A的关于R的等价类记作。

当只考虑一个关系时，我们省去下表R并把这个等价类写作[a]。

在软件工程中，是把所有可能输入的数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例，从而减少了数据输入量从而提高了效率，称之为等价类方法，该方法是一种重要的、常用的黑盒测试用例设计方法。

分类：在离散数学中，等价类的划分基于以下定理：设R是定义在集合A上的等价关系。

那么R的等价类构成S的划分。

反过来，给定集合S的划分{ |i∈I},则存在一个等价关系R，它以集合作为它的等价类。

因为等价关系的a 在a 中和任何两个等价类要么相等要么不交集不相交的性质。

得出X 的所有等价类的集合形成X 的集合划分划分: 所有X 的元素属于一且唯一的等价类。

反过来，X 的所有划分也定义了在X 上等价关系。

在软件工程中等价类划分及标准如下：划分等价类等价类是指某个输入域的子集合。

在该子集合中，各个输入数据对于揭露程序中的错误都是等效的，并合理地假定：测试某等价类的代表值就等于对这一类其他值的测试，因此，可以把全部输入数据合理划分为若干等价类，在每一个等价类中取一个数据作为测试的输入条件就可以用少量代表性的测试数据取得较好的测试结果。

等价类划分有两种不同的情况：有效等价类和无效等价类。

1）有效等价类是指对于程序的规格说明来说是合理的、有意义的输入数据构成的集合。

利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明所规定的功能和性能。

等价关系(4学时)【教学目的】了解、掌握等价关系及相应的等价类与集合划分的基本概念及例子【教学要求】正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；给定A上的等价关系R，会求所有的等价类和商集A/R，或者求与R相对应的划分；反之给定集合A上的划分兀，求对应于兀的等价关系【教学重点】等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明；【教学难点】如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系【教学方法】讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

【教学手段】传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

【课型】新授课教学过程4.1 一种特殊的二元关系 -- 等价关系(Equivalence Relation).一、等价关系(Equivalence Relation)1、定义4.18设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A 上的等价关系.设R是一个等价关系，若<x, y>eR,称x等价于y,记作:x ~ y.例4.17设A = { 1, 2,…,8 ),如下定义A上的关系R:R = { <x, y> | x, yeA A x=y (mod 3) }其中x三y (mod 3)是x与y模3.不难验证R为A上的等价关系，因为：VxeA ,有:x三x (mod 3)Vx,yeA,若x=y (mod 3),贝U有：y=x (mod 3)Vx,y,zeA,若x三y (mod 3) , y三z (mod 3),则有：x三z. (mod 3)该关系的关系图如右图所示.不难看到，上述关系图被分为三个互不连通的部分.每部分中的数两两都有关系,不同部分中的数则没有关系，每一部分中的所有的顶点构成一个等价类.4.2等价关系与划分2、定义4.19设R为非空集合A上的等价关系,VxeA,令[x]R = {y I yeAAxRy }称[x]R为x关于R的等价类(Equivalent Class),简称为x的等价类，简记为[x]. 从以上定义可以知道,x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合.例4.17中的等价类是：[1]= [4] = [7] = {1,4,7}[2]= [5] = [8]={2,5,8}[3]= [6] = {3,6}关于等价类，有如下性质：定理4.8设R为非空集合A上的等价关系，则(1)V XG A,[X]^ A的非空子集；⑵ Dx,ywA,若vx,y>wR,则[x] = [y];(3)Vx,yeA,若vx,y>任R,则[x]与[y]不交；(4)U{[X]I XG A}=A.证⑴ 由等价类的定义可知,V XG A,有:[x]c A.由“等价关系的自反性”可知:XG[X],即：[x俳空.⑵任取z,则有ZG[X] <x, z>eR <z, x>eR (因为R 是对称的)因此有<z, X>G RA<X, y>eR f <z, y>eR (因为R 是传递的)fvy,zxR (因为R是对称的)从而证明了zw[y].综合上述，必有：[x]q[y].同理可证:[x]c [y].这就得到了：[x] = [y].(3)假设:[x] A [y] w 6由假设可知：3ze[x]n[y],即：ze[x]Aze[y].所以,<x, Z>G R和vy, Z>G R.由“R的对称性”和“<y,可知：<z, y>eR.再由R的对称性可得:<x, y>eR.这就与“已知条件:<x, y>任R”相矛盾.所以，命题成立，BP： [x] A [y] =(|).(4)先证：U{ [x] I xeA }G A证：(4.(1)y,yeU{[x]lxGA}n 3x(xeAAye[x])=>yeA从而有：U{ [x] I xeA }G A再证:Ac U { [x] I XG A}.(4.(2)y,yeA^yG[y]AyeAye U{ [x] I xeA }从而有:Ac U { [x] I XG A }成立.综合上述得：U{ [x] I xeA } = A.3、定义4.20设R为非空集合A上的等价关系,R所有等价类所组成集合称为A关于R的商集，记作A/R,即:A/R = {[x]R| (一切x£A) } 例 4.17 中的商集为:{{1, 4, 7 }, { 2, 5, 8 }, { 3, 6 } ).和等价关系及商集有密切联系的概念是集合的划分.定义7.18设A为非空集合，若A的子集族很兀q P(A)),是A的子集构成的集合)满足下面的条件:(1)樨兀(2)VxVy(x, yKG A x 丰 y。

离散数学是一门涉及离散对象的数学学科，其中关系理论是离散数学的重要内容之一。

而二元关系和等价关系则是在关系理论中最为基础和重要的概念之一。

二元关系是指两个集合之间的关系。

在离散数学中，一个二元关系R可以定义为：对于一个集合A中的元素a和集合B中的元素b，如果二元组(a, b)满足某个条件，则称a和b具有关系R。

例如，关系“等于”的集合可以表示为R = {(a, b) | a = b, a ∈ A, b ∈ B}。

在二元关系中，我们可以根据不同的条件来描述集合中元素之间的关系。

常见的二元关系包括等于、不等于、小于、大于等等。

除此之外，二元关系还可以进一步深化为函数关系、序关系、等价关系等等。

等价关系是二元关系的一种特殊形式，具有自反性、对称性和传递性。

具体来说，对于一个集合A和关系R，如果关系R满足以下条件：1.自反性：对于集合A中的任意元素a，(a, a) ∈ R；2.对称性：对于集合A中的任意元素a和b，如果(a, b) ∈ R，则(b, a)∈ R；3.传递性：对于集合A中的任意元素a、b和c，如果(a, b) ∈ R且(b, c)∈ R，则(a, c) ∈ R。

那么我们称关系R为集合A上的等价关系。

等价关系刻画了集合中元素之间的等同关系。

例如，对于集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，我们可以定义等价关系R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3)}。

这里的等价关系表示了集合A中的元素在某种意义下的相等关系。

等价关系在离散数学中有着广泛的应用。

在集合的划分中，等价关系可以将集合分割为不相交的等价类。

等价类是具有相同关系的元素组成的子集，每个元素只能属于一个等价类。

例如，在整数集合Z中，可以将等价关系“模n同余”定义为一个等价关系，对于整数a和b，如果a与b模n同余，则称(a, b) ∈ R。

离散数学一、逻辑和证明命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。

联接词：∧、∨、→、↔、¬。

记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。

记住“q除非p”意思是“¬p→q”。

会考察条件语句翻译成汉语。

构造真值表语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。

命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。

证逻辑等价是通过p推导出q，证永真式是通过p推导出T。

量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如∀x>0P(x)。

当论域中的元素可以一一列举，那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。

同理，∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。

两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如∀x（P(x)∧Q(x))和(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。

量词表达式的否定：¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)，¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。

量词嵌套我们采用循环的思考方法。

量词顺序的不同会影响结果。

语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。

嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。

推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。

但有效论证不代表结论正确，因为也许有的前提是假的。

命题和量化命题的组合使用。

二、集合、函数、序列、与矩阵集合∈说的是元素与集合的关系，⊆说的是集合与集合的关系。

常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。

A和B相等当仅当∀x(x∈A↔x∈B)；A是B的子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∉A∧x∈B)。

“离散数学”中的等价关系本文阐述了离散数学课程中的一个非常重要的概念即等价关系以及各种具体的等价关系和等价关系在计算机领域中的应用，并运用认识论中的同一性原理和联系与发展的观点，分析了各种等价关系间的联系，说明了对等价关系的概念以及各种具体的等价关系及其应用的教学对促进学生抽象思维能力和逻辑推理能力提高的重要性。

关键词：离散数学；等价关系；认识论；教学“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。

通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。

由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。

因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。

1离散数学课程中的等价关系1.1离散数学课程中等价关系的概念定义1 设R为非空集合A上的二元关系。

如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。

定义2 设R为非空集合A上的等价关系，x∈A，令[ x ]R={ y | y ∈A ∧xRy }，则称[ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。

定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。

根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。

下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。

1.2离散数学课程中各种具体的等价关系数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B 为永真式。