材料力学-附录 截面的几何性质

是面积与它到轴的距离的平方之积。
∫ I x= y2dA
y
A
∫ I y = x2dA
x dA
A
二、极惯性矩：
y
ρ
是面积对极点的二次矩。
x
∫ I ρ = ρ 2dA=I x +I y
A
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
∫ I xy = xydA
A
y 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
x dA
附录I 截面的几何性质
附录I§1–1 面积矩与形心位置 附录I§1–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 附录I§1–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 附录I§1–4 惯性矩和惯性积的转轴定理*
截面的主惯性轴和主惯性矩
附录 I§1-1 面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)
是面积与它到轴的距离之积。
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
y1
x1=xcosα + ysinα y1=− xsinα + ycosα
y

x x1
dA y y1
α
x1 x
I
x1
=
I
x
+I 2
y
+
I
x
−I 2
y
cos2α
−I
xy
sin2α
I
y1
=
I
x
+I 2
y
−
I
x
−I 2
y
cos2α
−I
xy
sin2α
I
x1
y1
=
I
x
−I 2
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
x
∑ x = xi Ai = x1 A1+x2 A2
A
A1+ A2
= 5×(−70×110) =−20.3 120×80−70×110
图(b)
附录 I§1-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩：(与转动惯量类似）
tg
2α
0
=−
2I xCyC I xC −I yC
主惯性矩：I x0 = I x +I y ± I y0 2
(
I
x
−I 2
y
)2
+I
2 xy
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之
惯性矩，称为形心主惯性矩
tg
2α
0
=−
2I I xC
xC yC
−I yC
形心主惯性矩：
I I
xC0 yC0
=
I
xC
+I 2
yC
±
(
I
xC
+I 2
yC
)2
+I
2 xCyC
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系
②计算面积和面积矩
③求形心位置
∑
x=
Sy A
=
xi Ai A
∑
y=
Sx A
=
yi Ai A
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC
⑤求形心主轴方向 — α0
y
sin2α
+I
xy
cos2α
I x1 +I y1 =I x +I y
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到α= α0 时；恰好有
I
x0
y0
=(
I
x
−I 2
y
sin2α
0
+I
xy
cos2α
0
)=0
与 α0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩主惯性矩。
y
σ
max
=
N max A
;
θ= Mn
GI P
;
τ max =
M n max WP
x
dA
y
x
dSx =dA⋅y
dS y =dA⋅x
S x =∫dS x =∫ ydA
A
A
Sy =∫dSy =∫xdA
A
A
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
质心： y
x = ∫mxdm
m 等厚
∫ ydm 均质
y= m m
y
ρ
x
附录 I§1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
y
yC
x
dA
a
ρ
bC y
I x =I xC +b2 A
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
的坐标轴如图
x=a+xC y=b+ yC
xC
∫ I x =
y 2dA
A
x
∫=
(
A
yC
+b)
2
dA
SxC =AyC =0
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。 y
C2
C1(0,0)
1.用正面积法求解，图形分割及坐标
C2(-35,60)
如图(a)
120 10
C1 80
∑ x =
xi
Ai
=
x 1
A1+x
2
A2
x
A
A1+ A2
图(a)
= −35×10×110 =−20.3 10×110+80×10
y= 60×10×110 =34.7 10×110+80×10
tg
2α
0
=−
2I I xC
xCyC
−I yC
⑥求形心主惯性矩
I
xC0
=
I
xC
+I
yC
±
I yC0
2
(
I
xC
−I 2
yC
)2
+I
2 xCyC
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d) y
d
yC
x1
解： ①建立坐标系如图。
2d
O
x
xC
b
②求形心位置。
∑
x=
xi Ai = 0 =0
∫ ∫ xtρdA
A
=
xtdA A=
S
y
tρA A A
等于形心坐标
∫ ∫ ytρdA
A
=
A
ytdA =
S
x
tρA
AA
x dA
x yy
∑ 累加式:x=
∑
y=
xi Ai A (正负面积法公式) yi Ai A
∑ S y =Ax= Ai xi
x
∑ Sx =Ay= Ai yi
例1 试确定下图的形心。
10
d O
一是按定义直接积分；
x
二是用平行移轴定理等知识求。
A
B
建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
I
x
=I
y
=
IP 2
=πd 4
64
I
ρ
=πd 4
32
=I
x
+I
y
圆
⇒2
I
x
I
AB
=I
x
+d
2
A=πd 4
64
+πd
4
4
=5πd
64
4
附录 I§1-4 惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩
∫=
(
A
yC2
+2byC
+b
2
)dA
=I xC +2bSxC +b2 A
I x =I xC +b2 A I y =I yC +a2 A I xy =I xCyC +abA I ρ =I ρC +(a+b)2 A
注意: C点必须为形心
例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
y
解 ：求解此题有两种方法：
12
64 4
y
I
yC
=I
矩xC
−I圆xC
=
(1.5d )3×2d 12
−πd 4
64
=0.513d
4
d
yC
x1
2d
I xCyC =0
O
x
∴ xC yC轴便是形心主轴
xC
I xC、I yC便是形心主惯性矩
b
AA
∑
y=
yi A
Ai
−d ×πd 2
=
2 3d 2
4
−πd
2
=−0.177d
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
I xC =I矩xC −I圆xC =I矩x +A矩 y 2−[I圆x1+A圆 (0.5d−y)2 ]
=1.5d×(2d )3 +3d 2 (−0.177d )2−[πd 4 +πd 2 (0.5d+0.177d )2 ]=0.685d 4