3.4.1 基本不等式的证明学案3 高中数学 必修五 苏教版 Word版

数学·必修5(苏教版)3.4基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)3．4.1基本不等式的证明情景导入：如下图所示，以线段a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD′与AB的关系如何？由此你得到怎样的不等式？►基础巩固一、选择题1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么ab＋ba的值是()A．大于2 B．小于－2或大于2 C．小于等于2 D．大于－2或小于2解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2. 答案：B2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b解析：由a－a＋b2＝a－b2＞0，ab－b＝b(a－b)＞0，再结合基本不等式a＋b2＞ab.答案：B3．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈R ＋，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈R ＋，∴lg x ＋lg y ≥2lg x·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①由于a ，b ∈R ＋，∴b a ，ab∈R ＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x ，y ∈R ＋，但当x ∈(0,1)和y ∈(0,1)时，lg x 和lg y 都是负数，∴②的推导过程是错误的；③由a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥2 4a·a ＝4是错误的． ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．答案：D4．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5解析：y ＝1a ＋4b ＝12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92.答案：C5．下列结论正确的是()A．当x＞0且x≠1时，lg x＋1lg x≥2B．当x＞0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当0＜x≤2时，x－1x无最大值解析：当0＜x＜1时，lg x＋1lg x＜0，∴A错误；当x＞0时，x＋1x≥2x·1x＝2，∴B正确；当x≥2时，x＋1x的最小值为52，∴C错误．当0＜x≤2时，x－1x是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．答案：B二、填空题6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与a＋b2的大小关系是________．解析：因A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A2+++⎛⎫⎪⎝⎭1a1b2＝A2++⎛⎫⎪⎝⎭a b12，∴x≤a＋b2.答案：x≤a＋b 27．给出下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a 2＋4≥4a ；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2；④2a 2b 2a 2＋b 2≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________．解析：当a ＝1时，①不成立；当ab ＜0时，④不成立． 答案：②③ 8．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4|a|＋|a|b ≥a4|a|＋1，显然当a ＜0且b ＝2|a|时，上式等号成立，此时b ＝－2a 与a ＋b ＝2联立即得a ＝－2.答案：－2三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.解析：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2＝4， 当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”号， ∴ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.10．设x1，x2，…，x n都是正整数，求证：x21 x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x1＋x2＋…＋x n.解析：∵x1，x2，…，x n都是正整数．∴由基本不等式得x21x2＋x2≥2x1，x22x3＋x3≥2x2，…x2nx1＋x1≥2x n.将以上n个式子相加命题即得证．►能力升级一、选择题11．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：∵a＞b＞0，a2＋1ab＋1a(a－b)＝a2＋a－b＋bab(a－b)＝a2＋1b(a－b)≥a2＋+-⎛⎫⎪⎝⎭21b a b 2＝a2＋4a2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)，故.答案：D12．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x ＝5，∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x ×3x y ＝15(13＋12)＝5. 答案：C13．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋a b ≥2解析：令a ＝b ＝1可知A ，C 不成立； 令a ＝b ＝－1可知B 不成立． 答案：D二、填空题14．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：①项，∵a ＞0，b ＞0,2＝a ＋b ，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，即ab ≤1；②项，∵a ＋b 2－2+⎛⎫⎪⎝⎭a b 2＝(a －b )24≥0，∴a ＋b 2≤ a ＋b 2，∴a ＋b ≤2(a ＋b )，故a ＋b ≤2；③项，∵a 2＋b 22≥2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b 2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22. 又∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2≥2；④项，∵a 3＋b 3＝(a ＋b)3－3a 2b －3ab 2＝8－3ab(a ＋b)＝8－6ab ≥8－6＝2(由①ab ≤1)；⑤项，1a ＋1b ≥2ab≥2.答案：①③⑤15．(2013·云南玉溪检测题)若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋1|x|≥2，当且仅当x ＝±1时取“＝”号，∴要使不等式恒成立，必须且只需|2a －1|≤2即－2≤2a －1≤2⇒－12≤a ≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32三、解答题 16．(2013·全国卷)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥1.解析：(1)由a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b ＋c)2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1， 而a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)∵a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2c ，c 2a ＋a ≥2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥(a ＋b ＋c)＝1.。

3.4.1 基本不等式的证明课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b 2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤_____________________________________.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、填空题1．已知a >b >0，则a ，b ，a ＋b 2，ab ，2aba ＋b， a 2＋b 22这六个代数式用不等号“<”连结起来是__________________________________________________________________．2．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．3．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是________．4．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________．5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是________． 7．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，则12，b,2ab ，a 2＋b 2按从大到小的顺序排列为______________．8．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为________．9．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．10．已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________．二、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b )表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b )表示a ，b 中的较大的数，则有min(a ，b )≤21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b )．当且仅当a ＝b 时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .§3.4 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3．4.1 基本不等式的证明答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝ 基本 a ＋b2ab 3.(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥作业设计1．b <2aba ＋b<ab <a ＋b 2<a 2＋b 22<a . 2．大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.3．a ＋b解析 因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0<b <1， 所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大． 4．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)．5．3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．6．m >n解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4，n ＝222x －<22＝4.∴m >n .7．b >a 2＋b 2>12>2ab解析 ∵ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12. ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2， ∴b >a 2＋b 2>12>2ab .8．－2解析 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立ax ≥－x 2－1a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2. 9.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3. ∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 10.⎝⎛⎦⎤－∞，94 解析 ∵x ＋y ＝4， ∴1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y＝14⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥14⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝94， 1x ＋4y ≥m 恒成立，只要⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ≥m ，即94≥m .11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 12．解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c .∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －c a －b ＋a －bb －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c)＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4. 13．4解析 只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可， 又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋yx＋a ≥a ＋1＋2 a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4. 14．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ， 1b ＋1c ≥2 1bc ＝2a ， 1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。

3.4.1基本不等式的证明【学习目标】理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．【课前预习】1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab b a ≥+2成立， 该不等式取符号的条件是____________________________________．2．算术平均数的定义：3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系（1）基本公式：2b a ab +≤及语言叙述 （2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件（4）基本不等式的变形【课堂研讨】例1.设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+b a a b ； （2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较ba ab +与2；a a 1+与2-的大小．例2若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例3.若b a ，都是正整数，求证：22b a b a ab +≤+．例4.利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等． 已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．例5求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例6.（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求yx 11+的最小值； （2）已知+∈R y x ，，且191=+yx ，求y x +的最小值．【学后反思】。

课题:2a b + 扬州中学树人学校 颜俊【教材分析】 该内容是苏教版必修五第三章第四课时，在本章的前三节中学生学习了不等关系，一元二次不等式解法，和简单的线性规划，这些为本节课提供了坚实的基础。

基本不等式是高中数学中的一个重要的知识点，它在不等式证明和求函数最值方面起着非常重要的作用。

【教学目标】1、学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握不等号“≥”取等号的条件；2、能够运用基本不等式求简单函数的最值；3、通过本节的学习，体会数学【教学重点与难点】2a b +≤的证明过程。

难点：利用基本不等式求最值。

【教学过程】一、问题情境1、 创设情境，提出猜想某人在金店买了金子回来发现重量有误，经仔细观察发现，问题出在老板的天平上，臂长不等。

思考：要求店主分别把金子放于左右两盘各称一次，分别称得a 和b ，然后把两次称得重量的算术平均数2a b +作为金子的重量，这样行吗？利用该天平能否得出物体的实际质量？思考：如何求出物体的实际质量？这个同学的猜想相比实际质量是高了还是低了？2a b + 的大小关系。

2、证明命题、返璞归真思考：你能对刚才的猜想进行证明吗3、几何验证，加深理解已知AB 是圆O 的直径，C 是AB 上一个动点，过点C 作垂直于AB 的弦CD,,AC a CB b ==。

你能根据该图给出猜想的几何解释吗？二、知识生成1、(),2a b a b a b +≤=如果当且仅当时取等号。

称为这两个正数的几何平均数，2a b + 称为这两个正数的算术平均数。

2、()0,02a b a b +≤≥≥称为基本不等式。

注意：（1）基本不等式成立的条件；（2）等号成立的条件。

三、简单应用()12a b b a +≥ ()122a a +≥1x思考1：若x>0,如何求y=x+的最小值。

()162,0,,2y x x x ∈+∞+思考：已知函数=+求此函数最小值。

1[6,),2x y x x ∈+∞=++探究：求函数的最小值。

3．4.1 基本不等式的证明明目标、知重点 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．1．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .2．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．3．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．[情境导学]把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造的的两臂长不等，那么a 并非物体的实际质量．可将物体调换在另一托盘再称一次，质量为b ，那么如何合理的表示物体的质量呢？ 探究点一 基本不等式的证明思考1 观察下列实验数据，你能得出两个正数a ，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？答 当a ≠b 时，ab <2.当a ＝b 时，ab ＝2，所以ab ≤2. 思考2 要证明a <b ，可以采用比较大小的方法，即做差、变形后看差的正负，这种证明不等式的方法称为比较法，如何用比较法证明ab ≤a ＋b2？答 a ＋b 2－ab ＝12[(a )2＋(b )2－2a b ]＝12(a －b )2≥0. 思考3 还有一种证明ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)，①只要证：a ＋b ≥________，②要证②，只要证a ＋b －________≥0，③ 要证③，只要证(________－________)2≥0.④显然，④是成立的，当且仅当a ＝b 时，④的等号成立． 答 2ab 2abab思考4 证明不等式还有一种和思考3中的证明步骤相反的方法，叫做综合法．即从已知条件或已知结论出发，逐步推出要证明的结论．如何用综合法证明ab ≤a ＋b2？答 对于正数a ，b ，有(a －b )2≥0， ⇒a ＋b －2ab ≥0， ⇒a ＋b ≥2ab ， ⇒a ＋b 2≥ab .小结 如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．我们把不等式ab≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)称为基本不等式．思考5 如果把ab 看作是正数a ，b 的等比中项，a ＋b2看作是正数a ，b 的等差中项，该定理如何叙述？答 两个正数的等比中项不大于它们的等差中项． 例1 设a ，b 为正数，证明下列不等式： (1)a b ＋b a ≥2；(2)a ＋1a≥2. 证明 (1)因为a ，b 为正数，所以b a ，ab也为正数，由基本不等式，得b a ＋a b ≥2 b a ·ab ＝2，所以原不等式成立．(2)因为a ，1a 均为正数，由基本不等式，得a ＋1a ≥2 a · 1a ＝2，所以原不等式成立．反思与感悟 证明中把b a ，ab ，分别看作基本不等式中的a ，b 从而能够应用基本不等式；在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .例2 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．反思与感悟 使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立．跟踪训练2 设b >a >0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是________．答案 b解析 由a ＋b ＝1，b >a >0，得1>b >12，0<a <12，∵b －(a 2＋b 2)＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0， ∴b >a 2＋b 2≥2ab ，即b 最大．探究点二 基本不等式的应用例3 已知函数y ＝x ＋16x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．解 因为x >－2，所以x ＋2>0，由基本不等式，得x ＋16x ＋2＝(x ＋2)＋16x ＋2－2 ≥2(x ＋2)16x ＋2－2＝6.当且仅当x ＋2＝16x ＋2，即x ＝2时，取“＝”．因此，当x ＝2时，函数有最小值6.反思与感悟 应用基本不等式求函数的最值应满足的条件：(1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积为定值)；(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)；(4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到．跟踪训练3 已知函数y ＝x ＋1x，x ∈(－∞，0)，求函数的最大值．解 因为x <0，所以1x <0，则－x >0，1(－x )>0，x ＋1x ＝－[(－x )＋1(－x )](由基本不等式得) ≤－2(－x )1(－x )＝－2.当且仅当－x ＝1(－x )，即x ＝－1时，取“＝”．因此当x ＝－1时，函数有最大值－2.1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是______．答案 42．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 ∵x >0，y >0，且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号．3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是______． 答案 42 解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2.4．设a >2，则a ＋1a －2的最小值是________．答案 4解析 ∵a >2，∴a －2>0.∴a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4.当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，等号成立．[呈重点、现规律]1．两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2.2．证明不等式的常用方法有：比较法、分析法、综合法． 3．在不等式a 2＋b 2≥2ab和a ＋b 2≥ab 中，“当且仅当…时，取‘＝’号”的含义：一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .4．由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)；(3)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (4)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4(a ，b 均为正实数)； (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .5．基本不等式的应用：证明不等式及解决简单的最大(小)值问题．一、基础过关1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________． ①a 2＋b 2>2ab ②a ＋b ≥2ab ③1a ＋1b >2ab ④b a ＋a b ≥2 答案 ④解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴①错误． 对于②③，当a <0，b <0时，明显错误． 对于④，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 2．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是________．①x ＋y ≥2 2 ②1x ＋1y ≥1③xy ≥2 ④1xy ≥1答案 ②解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为______．答案 3解析 ∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3， ∴y min ＝3.4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 4解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为____________________．答案 大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.6．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．答案 a ≤2解析 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立．⇔a ≤x ＋1x，x ∈(0,1]恒成立∵x ∈(0,1]，x ＋1x≥2，∴a ≤2.7．已知函数y ＝x 2－2x ＋5x －1，x ∈(1，＋∞)，求函数的最小值．解 因为x >1，所以x －1>0，则1x －1>0，x 2－2x ＋5x －1＝(x 2－2x ＋1)＋4x －1＝(x －1)2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1(由基本不等式得)≥2(x －1)4x －1＝4.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取“＝”．因此当x ＝3时，函数有最小值4. 二、能力提升8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是________．①a ＋b ＋1ab ≥2 2 ②(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 ③a 2＋b 2ab ≥2ab ④2ab a ＋b >ab答案 ④解析 ∵a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，①成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·2 1ab ＝4，②成立； a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，③成立； a ＋b ≥2ab ，∴2aba ＋b≤1，不等式两边同乘ab ，得2aba ＋b ≤ab ，所以④不成立．9．设0<a <1<b ，则下列各式一定成立的是________． ①log a b ＋log b a ≥2 ②log a b ＋log b a ≥－2 ③log a b ＋log b a ≤－2 ④log a b ＋log b a >2 答案 ③解析 ∵0<a <1<b ，∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x＋3.∵x >0，x ＋1x ＋3≥2 x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理，1＋1b ＝2＋ab ，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. 三、探究与拓展13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．。

3.4.1 基本不等式的证明教学目标：1．探索并了解基本不等式的证明；2．体会证明不等式的基本思想方法；3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题．教学重点：基本不等式的证明．教学难点：基本不等式的证明．教学过程：一、问题情境，导入新课口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？问题1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题？珠宝放左边称砝码显示重量为a ，放右边称砝码显示重量为b ，假设天平的左杠杆长为l 1，右杠杆长l 2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是ab b a 与2+ 哪个大？） 问题2 ab b a 与2+ 哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）二、学生活动问题3 如何证明(0,0)2a b ab a b +≥≥≥呢？ 请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）．证法一（比较法）：2a b ab +-=221[()()2]2a b a b +-=21()02a b -≥， 当a b a b =时，取“=”．证法二：要证 2a b ab +≤， 只要证 2ab a b ≤+，只要证 02a ab b ≤-+，只要证 20()a b ≤-因为最后一个不等式成立，所以 2a b ab +≤成立，当且仅当a b =，即a b =时，取“＝”．证法三：对于正数,a b ，有2()0a b -≥，20a b ab ⇒+-≥，2a b ab ⇒+≥，2a b ab +⇒≥． 先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件；证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法．（看来珠宝商还是多赚钱的，只有a ＝b 时才是一个守法的商人啊．）三、建构数学定理：如果b a ,是实数且)0,0(≥≥b a ，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“＝”）． 问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？）（上式中2a b +称为,a b 的算术平均数，ab 称为,a b 的几何平均数，两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成ab b a 2≥+）．要用这个定理首先两个数必须都是非负数．当a b =时，取“＝”，并且只有当a b =时，取“＝”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当．四、数学运用例1 设b a ,是正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b +≥ （2）12a a+≥ （3）ab b a 222≥+（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有什么别的思路？）点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明什么时候取等号？师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？有线段AB 长为a ，线段BC 长为b ，你能找到2a b +和ab 吗？（一个学生讲完了可以让另一个学生再解释一下）b a F A O B C例2 （1）已知函数)0(,1>+=x xx y ，求此函数的最小值． 点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗？（2）已知函数)0(,1<+=x x x y ，求此函数的最大值； （3）已知函数)1(,112->++=x x x y ，求此函数的最小值． 五、回顾小结回顾本节课，你对基本不等式有哪些认识？北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。

3.4.1基本不等式的证明【学习目标】理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．【课前预习】1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab b a ≥+2成立， 该不等式取符号的条件是____________________________________．2．算术平均数的定义：3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系（1）基本公式：2b a ab +≤及语言叙述 （2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件（4）基本不等式的变形【课堂研讨】例1.设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+b a a b ； （2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较b a a b +与2；a a 1+与2-的大小．例2若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例3.若b a ，都是正整数，求证：22b a b a ab +≤+．例4.利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等． 已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．例5求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例6.（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求yx 11+的最小值； （2）已知+∈R y x ，，且191=+y x ，求y x +的最小值．【学后反思】。

基本不等式的证明学习目标：1理解基本不等式的内容及证明．重点2能运用基本不等式证明简单的不等式．重点3能用基本不等式求解简单的最大小值问题．难点问题引入：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。

如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。

不过，我们可做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。

那么如何合理地表示物体的质量呢？简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=2ba+表示物体的质量。

这样的做法合理吗？设天平的两臂长分别为l1,l2，物体实际质量为M，根据力学原理（当物体处于平衡状态时，动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂）有。

由此可知，物体的实际质量是。

对于正数a,b，我们把2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

两个正数的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？我们先取一些数作试验:算结果表明ab≤2。

也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等。

[自主预习·探新知]思考如何证明不等式错误!≤错误!a>0，b>01．算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．2．基本不等式如果a，b是正数，那么错误!错误!当且仅当a＝b时取“＝”，我们把不等式称为基本不等式．[合作探究·攻重难]，b为正数，证明下列不等式成立：1ba ab≥2;2 a1a≥2.=16，∈(−2,+∞),求此函数的最小值。

x+2变式：求函数＝错误!>－1的最小值，并求相应的值．应用基本不等式应注意的问题：1．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”成立吗？为什么？2．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”,∈[4,+∞)成立吗？为什么？[当堂达标·固双基] 1．a＋1≥2错误!a>0中等号成立的条件是________．__2．函数f＝2＋错误!>0有最小值为______．3．已知>0，则函数f＝7－－错误!的最大值为________．4．已知a，b，c，d都是正实数．求证：错误!＋错误!≥45当>－1时，求＝错误!的最大值，并求相应的值．总结提炼：。

执笔人：夏文秀 审核人： 2009 年 11 月 日基本不等式的证明（1） 第 30 课时一、学习目标 1.探索并了解基本不等式的证明过程。

2.体会证明不等式的基本思想方法。

3. 理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等二、学法指导1.理解基本不等式的三种证明方法并总结各种证法的思路与步骤。

2.注意基本不等式成立的条件以及等号成立的条件。

三．课前预习：1.设b a ,是正数，则它们的算术平均数为________________,几何平均数为___________.2.基本不等式的表达式：___________________,其中等号成立的条件是_______________.3.一个重要的不等式：______________________________四、课堂探究：1.重要不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）．2.由引例和实验探索两个正数b a ,的算术平均数和几何平均数之间的大小关系。

3.如何证明基本不等式，每种方法的思路和步骤是什么？证法1：证法2：证法3：4.基本不等式的几何意义是什么？五．例题讲解例1. 设,a b 为正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b+≥； （2）12a a +≥例 2.已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222例3（选做）已知,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．六．当堂练习：P88练习1，2，3七．反思总结。

3.4.1 基本不等式的证明学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均数与几何平均数思考 如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，AQ ＝a ，BQ ＝b ，过点Q 作PQ 垂直于AB 且交圆O 于点P ，连结AP ，PB .如何用a ，b 表示PO ，PQ 的长度？答案 PO ＝AB 2＝a ＋b 2.易证Rt△APQ ∽Rt△PBQ ，那么PQ 2＝AQ ·QB ，即PQ ＝ab .梳理 一般地，对于正数a ，b ，a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤a ＋b2.知识点二 基本不等式及其常见推论ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)．当对正数a ，b 赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．1．对于任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．(×) 2.1＋22≥2.(√) 3．若a >0，b >0，则ab ≤a ＋b2恒成立．(×)类型一 常见推论的证明例1 证明不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab . 引申探究证明不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．证明 由例1，得a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ，两边同除以4，即得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，取等号． 反思与感悟 作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为任意的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ；b 2＋c 2≥2bc ；c 2＋a 2≥2ca ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 类型二 用基本不等式证明不等式 例2 已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 考点 基本不等式证明不等式 题点 运用基本不等式证明不等式 证明 (1)∵x ，y 都是正数， ∴x y >0，y x>0，∴y x ＋x y ≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2，当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数， ∴x ＋y ≥2xy >0，x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3) ≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3， 即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3， 当且仅当x ＝y 时，等号成立．反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项：(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a ，b ，c 都是正实数，求证：(a ＋b )(b ＋c )·(c ＋a )≥8abc . 考点 基本不等式证明不等式 题点 运用基本不等式证明不等式 证明 ∵a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 类型三 用基本不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则x 与a ＋b2的大小关系为________．考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 x ≤a ＋b2解析 第二年产量为A ＋A ·a ＝A (1＋a )，第三年产量为A (1＋a )＋A (1＋a )·b ＝A (1＋a )(1＋b )． 若平均增长率为x ，则第三年产量为A (1＋x )2. 依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，x ＞0， ∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋a )＋(1＋b )22，∴1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．反思与感悟 基本不等式a ＋b2≥ab 一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝lg a ＋lg b2，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是____________．考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 P <Q <R解析 ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0， ∴lg a ＋lg b2＞lg a ·lg b ，即Q ＞P .① 又a ＋b2＞ab >0，∴lga ＋b2＞lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R ＞Q .② 综合①②，有P <Q <R .1．若0<a <b ，则a ，a ＋b2，ab ，b 的大小关系由小到大是______________．考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 a <ab <a ＋b2<b解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a . ∵b >a >0，∴a ＋b2>ab .故b >a ＋b2>ab >a .2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是______． ①lg(x 2＋1)≥lg(2x ); ②x 2＋1>2x ； ③1x 2＋1≤1; ④x ＋1x≥2. 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 ③解析 对于①，当x ≤0时，无意义，故①不恒成立；对于②，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故②不成立；对于④，当x <0时，不成立；对于③，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立． 3．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d2与bc 中的较小者为______．考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案bc解析 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .4．lg9×lg11与1的大小关系是______________． 考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 lg9×lg11<1 解析 ∵lg9>0，lg11>0， ∴lg9×lg11≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg9＋lg1122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg (9×11)22＝⎝⎛⎭⎪⎫lg9922<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg10022＝1，即lg9×lg11<1.5．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________．(填序号) 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 ①②③解析 由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故②恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立． 综上，恒成立的是①②③.1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．一、填空题1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是____________． 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解答案 a 2＋b 2≥2|ab |解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是______． ①a 2＋b 2>2ab; ②a ＋b ≥2ab ； ③1a ＋1b>2ab；④b a ＋a b≥2.考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 ④解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴①错误； 对于②，③，当a <0，b <0时，显然错误； 对于④，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则1x ＋1y的最小值为______．考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 1解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14×(2＋2)＝1，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立．4．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么ab ________c ＋d .(填≥，≤) 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 ≤解析 因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4.又因为cd ≤(c ＋d )24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立． 5．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p ，q ，r 的大小关系是________． 考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 p ＝r <q解析 因为0<a <b ，所以a ＋b2>ab .又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q .而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln(ab )＝ln ab ， 所以r ＝p ，故p ＝r <q .6．若a >1,0<b <1，则log a b ＋log b a 的取值范围是______． 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 答案 (－∞，－2] 解析 ∵a >1,0<b <1， ∴log a b <0，－log a b >0.∴－log a b －log b a ＝－log a b －1log a b≥2(－log a b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log a b ＝2.∴log a b ＋log b a ≤－2.当且仅当log a b ＝log b a ，即ab ＝1时，取等号． ∴log a b ＋log b a ∈(－∞，－2]．7．设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)， ∴y ＝log a x 是增函数， 又t ＋12≥t ，∴log at ＋12≥log a t ＝12log a t . 8．设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥aba ＋b ； ④a b ＋b a≥2.其中恒成立的不等式是________． 考点 基本不等式的理解 题点 基本不等式的理解 答案 ①②解析 由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确． 9．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是______________________________．考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 答案(a －b )(b －c )≤a －c2解析 因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0， 所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．10．设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________．(用“＞”连接) 考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n . 二、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 考点 基本不等式证明不等式 题点 运用基本不等式证明不等式 证明 ∵a ，b ，c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc 也都是正数，∴bc a ＋ca b≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ，三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a＋ca b＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.考点 基本不等式证明不等式 题点 运用基本不等式证明不等式证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)． 方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab. 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 考点 基本不等式证明不等式题点 运用基本不等式证明不等式证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．三、探究与拓展14．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为______． 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 2 2解析 由已知得1a ＋2b ＝b ＋2a ab ＝ab ，且a >0，b >0， ∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.当且仅当b ＝2a ＝254时，等号成立． 15．设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则x ＋y 的最小值为____________． 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 2(2＋1)解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号．。