【高考数学】集合与函数典型例题整合

集合与函数基本概念例题和知识点总结在数学的学习中，集合与函数是非常重要的基础知识。

它们不仅是后续数学学习的基石，也在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。

下面我们将通过一些例题来深入理解集合与函数的基本概念，并对相关知识点进行总结。

一、集合的基本概念集合是把一些确定的、不同的对象作为一个整体来考虑。

集合中的对象称为元素。

例如，“所有小于 10 的正整数”就可以构成一个集合，记为 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 。

集合的表示方法通常有列举法、描述法和图示法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，如上面的例子。

描述法是用集合中元素所具有的共同特征来描述集合，比如 B ＝｛x ｜ x 是大于 5 小于 15 的整数} 。

图示法常用的有韦恩图，能直观地表示集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集、相等。

如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B 。

如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A ，则 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B 。

如果 A 和 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B 。

来看一个集合的例题：已知集合 A ＝｛1, 2, 3} ，集合 B ＝｛x ｜x² 6x ＋ 8 ＝ 0} ，判断 A 和 B 的关系。

首先求解集合 B 中的方程 x² 6x ＋ 8 ＝ 0 ，即（x 2)（x 4) ＝ 0 ，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 4 ，所以集合 B ＝｛2, 4} 。

可以看出集合 A 中的元素 1 和 3 不在集合 B 中，集合 B 中的元素 2 和 4 也不在集合 A 中，所以 A 和 B 没有包含关系。

二、函数的基本概念函数是一种特殊的对应关系。

设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

高中集合的题型和例题有很多种，以下是一些常见的类型和示例：
1. 集合的表示方法
例题：用列举法表示下列集合：
（1）｛x|x是小于10的正整数｝
（2）｛y|y是5的正整数倍｝
（3）｛x|x是4除以3的余数｝
（4）｛y|y是9的平方数｝
2. 集合之间的关系
例题：已知集合A=｛x|x=2k+1，k∈Z｝，B=｛x|x=4k+1，k∈Z｝，求证：A∩B=
｛x|x=8k+1，k∈Z｝。

3. 集合的运算
例题：已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛3，4，5，6｝，求：
（1）A∪B；
（2）A∩B；
（3）A-B；
（4）B-A。

4. 集合的元素与集合的关系
例题：已知集合A=｛a，b，c，d｝，B=｛e，f｝，且集合C满足A∩C≠∅，B∩C≠∅，求C的可能情况。

5. 集合的子集与真子集
例题：已知集合A=｛1，2，3｝，求A的所有子集和真子集。

6. 集合的交集、并集、补集运算
例题：已知集合A=｛1，2，3｝，集合B=｛2，3，4｝，求：
（1）A∩B；
（2）A∪B；
（3）C∪A；
（4）C∪B。

7. 含参数的集合问题
例题：已知集合A=｛x|ax+b=0｝，若A=∅时a、b应满足什么条件？如果A≠∅时a、b 应满足什么条件？。

高中数学必修1 集合与函数 1.2.2 函数解析式知识点+例题+练习题1.常见函数解析式：(1)一次函数: ；(2)反比例函数: ；(3)二次函数: .2.抽象函数解析式：f(ax+b)=g(x)；步骤：第一步：；第二步：；第三步：；第四步： .【例1】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)=2x＋9，求f(x).【例2】已知f(x＋1)=x2＋4x＋1，求f(x)的解析式.【例3】已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x＋3，则f(x)= .【例4】求下列函数解析式.(1)已知2f(x1)＋f(x)=x(x ≠0)，求f(x)； (2)已知f(x)＋2f(－x)=x 2＋2x ，求f(x).【例5】设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，且f(x)=0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式.1.已知函数f(2x ＋1)=3x ＋2，且f(a)=2，则a 的值等于( )A.8B.1C.5D.－1 2.已知f(x ＋1)=x 2－4，那么f(6)的值是( )A.32B.21C.12D.45 3.已知f(x －1)=x 2＋4x －5，则f(x ＋1)=( )A.x 2＋6x B.x 2＋8x ＋7 C.x 2＋2x －3 D.x 2＋6x －10 4.已知f(121-x )=2x －5，且f(a)=6，则a 等于( ) A.－47 B.47 C.34 D.－34 5.如果f(x 1)=xx-1，则当x ≠0,1时，f(x)等于( ) A.x 1 B.11-x C.x -11 D.x1－1 6.若函数f(x)满足f(2x-1)=x+1，则f(x)=_______________. 7.若f(2x ＋1)=4x 2＋4x ，则f(x)的解析式为____________. 8.已知f(x)=x 2＋1，g(x)=2x ＋1，则f[g(x)]=________. 9.已知f(x －x 1)=x 2＋21x，则函数f(x ＋1)的表达式为________________. 10.已知f(x)=ax 2+bx+c ，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)的表达式.11.求下列函数解析式.(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)=2x ＋17，求f(x)； (2)已知f(x)满足2f(x)＋f(x1)=3x ，求f(x)12.设二次函数f(x)=ax 2＋bx+c ，当x=3时取得最大值10，并且它的图象在x 轴上截得的线段长为4，求a 、b 、c 的值.1.已知f(x x +-11)=2211xx +-，则f(x)的解析式可能为( ) A.21x x + B.-212x x + C.212x x + D.-21xx+ 2.若g(x)=1-2x,f[g(x)]=221xx -,则f(0.5)的值为( ) A.1 B.15 C.4 D.30 3.已知f(x-1)=2x 2-1,则f(x)= ,f(x)=x 2+2x,则f(2x+1)= . 4.若f(x)=ax 2－2，a 为一个正的常数，且f(f(2))=－2，则a=________.5.已知f(x ＋1)=x ＋2x ，则f(x)的解析式为______________________.6.已知函数f(x ＋1)=x 2－2. (1)求f(2)的值； (2)求函数f(x)的解析式.7.若3f(x －1)＋2f(1－x)=2x ，求f(x).8.设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x ，y ，有f(x －y)=f(x)－y(2x －y ＋1)，求f(x)的解析式.9.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.知识点 参考答案 1.(1)y=kx+b ；(2)y=kx-1；(3)y=ax 2+bx+c. 2.设t=ax+b ；注意t 的取值范围;求出x(用含t 的代数式表示出x);将含t 的代数式代入到g(x)中; 整理并将t 转化为x ，即可得到f(x)的表达式.例题参考答案例1.解：由题意，设函数为f(x)=ax ＋b(a ≠0)，∵3f(x ＋1)－f(x)=2x ＋9，∴3a(x ＋1)＋3b －ax －b=2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b=2x ＋9， 由恒等式性质，得2a=2,3a+2b=9,∴a=1，b=3. ∴所求函数解析式为f(x)=x ＋3.例2.解：设x ＋1=t ，则x=t －1，f(t)=(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f(t)=t 2＋2t －2.∴所求函数为f(x)=x 2＋2x －2. 例3.答案为：2x ＋1或－2x －3.解析：设f(x)=ax ＋b(a ≠0)，则f[f(x)]=f(ax ＋b)=a(ax ＋b)＋b=a 2x ＋ab ＋b=4x ＋3，∴a 2=4,ab+b=3解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.故所求的函数为f(x)=2x ＋1或f(x)=－2x －3.例4.解：(1)∵f(x)＋2f(x 1)=x ，将原式中的x 与1x 互换，得f(x 1)＋2f(x)=x1.于是得关于f(x)的方程组,解得f(x)=332xx (x ≠0). (2)∵f(x)＋2f(－x)=x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f(－x)＋2f(x)=x 2－2x ， ∴将以上两式消去f(－x)，得3f(x)=x 2－6x ，∴f(x)=31x 2－2x. 例5.解：∵f(2+x)=f(2-x)，∴f(x)的图象关于直线x=2对称.于是，设f(x)=a(x-2)2+k(a ≠0)，则由f(0)=3，可得k=3-4a ，∴f(x)=a(x-2)2+3-4a=ax 2-4ax+3.∵ax 2-4ax+3=0的两实根的平方和为10， ∴10=x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=16-a6. ∴a=1. ∴f(x)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. 课堂练习 参考答案1.答案为：B2.答案为：B ；3.答案为：B ；解析：令x －1=t ，∴x=t ＋1，∴f(t)=(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5=t 2＋6t ，∴f(x)=x 2＋6x.∴f(x ＋1)=(x ＋1)2＋6(x ＋1)=x 2＋8x ＋7. 4.答案为：B ； 5.答案为：B ；6.答案为：0.5x+1.5；7.答案为：f(x)=x 2－1；8.答案为：4x 2＋4x ＋2；9.答案为：f(x ＋1)=x 2＋2x ＋3；10.解：∵f(0)=0，∴c=0.又∵f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)=ax 2+2ax+a+bx+b ，f(x)+x+1=ax 2+bx+x+1，∴ax 2+2ax+a+bx+b=ax 2+bx+x+1.解得2ax+a+b=x+1.∴2a=1,a+b=1,得a=0.5,b=0.5.∴f(x)的解析式为f(x)=0.5x 2+0.5x.11.解：(1)设f(x)=ax ＋b(a ≠0)，则3f(x ＋1)－2f(x －1)=3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b=ax ＋b ＋5a=2x ＋17，∴a=2，b=7，∴f(x)=2x ＋7.(2)2f(x)＋f(x 1)=3x,①把①中的x 换成1x ，得2f(x 1)＋f(x)=x3,②①×2－②得3f(x)=6x －x 3，∴f(x)=2x －x1. 12.解：当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成：f(x)=a(x-3)2＋10，且a ＜0.因为抛物线的对称轴是x=3，又因为图象在x 轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图象与x 轴交点的横坐标分别是1、5.因此，二次函数又可写成f(x)=a(x-1)(x-5)的形式，从而a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)，a=-2.5，所以f(x)=- 2.5(x-3)2+10=-2.5x 2+15x-12.5. 因此，a=-2.5,b=15,c=-12.5.课后练习 参考答案1.答案为：C ；2.答案为：B ；3.答案为：2x 2-4x+1，4x 2+6x+1. 4.答案为：22; 解析:f(2)=a(2)2－2=2a －2， ∴f(f(2))=f(2a －2)=a(2a －2)2－2=－2，∴a(2a －2)2=0.∵a>0，∴2a －2=0，即a=22.5.答案为：f(x)=x 2－1(x ≥1) 解析：∵f(x ＋1)=x ＋2x =(x )2＋2x ＋1－1=(x ＋1)2－1，∴f(x)=x 2－1.由于x ＋1≥1，所以f(x)=x 2－1(x ≥1).6.解：(1)令x=1，则f(2)=12－2=－1.(2)令x ＋1=t ，∴x=t －1.∴f(t)=(t －1)2－2=t 2－2t －1.∴f(x)=x 2－2x －1. 7.解：令t=x －1，则1－x=－t ，原式变为3f(t)＋2f(－t)=2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f(－t)＋2f(t)=2(1－t)，② 由①②消去f(－t)，得f(t)=2t ＋0.4.即f(x)=2x ＋0.4. 8.解:因为对任意实数x ，y ，有f(x －y)=f(x)－y(2x －y ＋1)，所以令y=x ，有f(0)=f(x)－x(2x －x ＋1)， 即f(0)=f(x)－x(x ＋1).又f(0)=1，∴f(x)=x(x ＋1)＋1=x 2＋x ＋1.9.解：(1)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0,得ax 2-(2+4a)x+9a=0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ=［-(2+4a)］2-4a\59a=0，即5a 2-4a-1=0. 解得a=1或a=-0.2.由于a<0,舍去a=1.将a=-0.2代入①得f(x)的解析式为f(x)=-0.2x 2-1.2x-0.6.(2)由f(x)=ax 2-2(1+2a)x+3a=a(x-a a 21+)2-aa a 142++及a<0,可得f(x)的最大值为-aa a 142++.由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-0142a a a a , 解得a<-2-3或-2+3<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(-∞,-2-3)∪(-2+3,0).。

《集合》常考题型题型一．通过集合的关系求参数范围1．已知集合2{|320}A x x x =−+=，22{|2(1)(5)0}B x x a x a =−++−=，A B A =，实数a 的取值范围是 ． 2．已知全集U R =，集合{|25}A x x =−，{|121}B x a x a =+−，且U A B ⊆，实数a 的取值范围是 ． 3．已知集合2{|10}A x R x ax =∈++=和{1B =，2}，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 题型二．子集个数问题4．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合22{|()(1)0}A x x ax x ax =−−+=，{0B =，1}，且|d （A ）d−（B ）|1=．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()(d M = )A ．3B ．2C ．1D ．4 题型三．集合与元素的关系5．设A 是非空数集，0A ∉，1A ∉，且满足条件：若a A ∈，则11A a∈−． 证明：（1）若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；（2）集合A 不可能是单元素集；（3）集合A 中至少有三个不同的元素．参考答案1．已知集合2{|320}A x x x =−+=，22{|2(1)(5)0}B x x a x a =−++−=，AB A =，求实数a 的取值范围．【解答】解：由2320x x −+=解得1x =，2．{1A ∴=，2}．A B A =，B A ∴⊆． 1B ︒=∅，△8240a =+<，解得3a <−．2︒若{1}B =或{2}，则△0=，解得3a =−，此时{2}B =−，不符合题意．3︒若{1B =，2}，∴2122(1)125a a +=+⎧⎨⨯=−⎩，此方程组无解． 综上：3a <−．∴实数a 的取值范围是(,3)−∞−．2．已知全集U R =，集合{|25}A x x =−，{|121}B x a x a =+−，且U A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【解答】解：{|121}B x a x a =+−，且U A B ⊆，B ∴=∅，或211a a −>+，解得2a >， ①{|1U B x x a =<+，或21}x a >−，∴251a a ⎧⎨<+⎩或2212a a ⎧⎨−<−⎩， 解得4a >或a ∈∅．此时实数a 的取值范围为4a >．②当B =∅，U B R =，满足U A B ⊆，121a a ∴+>−，解得2a <．综上可得：实数a 的取值范围为4a >或2a <．3．已知集合2{|10}A x R x ax =∈++=和{1B =，2}，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是[2−，2)． 【解答】解：因为A B ⊆，所以A =∅或{1}A =，{2}A =或{1A =，2}． 若A =∅，则△240a =−<，解得22a −<<．若{1}A =应有△240a =−=且110a ++=，解得2a =−．若{2}A =时，应有△240a =−=且4210a ++=，此时无解． 若{1A =，2}，则1，2是方程210x ax ++=的两个根，所以由根与系数的关系得121⨯=，显然不成立．综上满足条件的实数a 的取值范围是22a −<．故答案为：[2−，2)．4．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合22{|()(1)0}A x x ax x ax =−−+=，{0B =，1}，且|d （A ）d−（B ）|1=．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()(d M = )A ．3B ．2C ．1D ．4【解答】解：由题意，d （B ）2=，|d （A ）d −（B ）|1=，d ∴（A ）1=或3， 方程22()(1)0x ax x ax −−+=可化为20x ax −=或210x ax −+=， 即0x =或x a =或210x ax −+=，①若d （A ）1=，则方程22()(1)0x ax x ax −−+=有且只有一个解，故0a =，此时方程22(1)0x x +=有且只有一个解；②若d （A ）3=，则方程22()(1)0x ax x ax −−+=有三个不同的解，则2040a a ≠⎧⎨−=⎩，解得，2a =±， 经检验，2a =±时，方程22()(1)0x ax x ax −−+=有三个不同的解，综上所述，{0M =，2−，2}，故()3d M =， 故选：A ．5．设A 是非空数集，0A ∉，1A ∉，且满足条件：若a A ∈，则11A a ∈−． 证明：（1）若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；（2）集合A 不可能是单元素集；（3）集合A 中至少有三个不同的元素．【解答】解：（1）若2A ∈，则1112A =−∈−，于是()11112A =∈−−， 故集合A 中还含有1−，12两个元素． （2）若A 为单元素集，则11a a =−，即210a a −+=，此方程无实数解，∴11a a≠−， ∴a 与11a−都为集合A 的元素，则A 不可能是单元素集． （3）由A 是非空集合知存在1111111a a A A A a a a−∈⇒∈⇒=∈−−−−． 现只需证明a 、11a −、1a a−−三个数互不相等． ①若21101a a a a =⇒−+=−，方程无解，∴11a a≠−； ②若2110a a a a a −=⇒−+=−，方程无解；∴1a a a−≠−； ③若211101a a a a a −=⇒−+=−−，方程无解，∴111a a a −≠−−， 故集合A 中至少有三个不同的元素．。

集合与函数综合练习一、填空题：1．设函数x xx f =+-)11(，则)(x f 的表达式为 2．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 3. 函数f(x)=)24(log 122x x -+-的定义域为4．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 .5．函数||2x x y +-=，单调递减区间为6．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为0； .7．=+34-3031-]2-[54-0.064）（）（___________ ____； 8．已知)(x f ＝x x +1，则111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++= 。

9．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，(2)(3)f f ---=_______ 10．)(x f ＝21(0)2(0)x x x x ⎧+≤⎨->⎩，若)(x f ＝10，则x ＝ ．11．若f （x ）是偶函数，其定义域为R 且在[0，＋∞）上是减函数，则f （－43）与f （a 2－a ＋1）的大小关系是____．12．log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x等于= 13．函数y=log 21(x 2-5x+17)的值域为 。

14．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-∞，1），则a= 。

二、解答题：15．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-。

（1）若3a =-，求出A 中其它所有元素；（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素？16．已知函数[]5,5,22)(2-∈++=x ax x x f .（1）求实数a 的范围，使)(x f y =在区间[]5,5-上是单调递增函数。

高中数学高考总复习-集合与函数概念知识点及习题第一章 集合与函数概念知识网络第一讲 集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系： 文字语言 符号语言属于 ∈不属于∉4.常见集合的符号表示数集 自然数集正整数集整数集有理数集实数集 复数集符号N *N 或+NZQR C集合 集 合 表 示 法 集 合 的 运 算集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法包 含 相 等 子集与真子集交 集 并 集 补 集函数函数 及其表示 函数基本性质单调性与最值 函数的概念函数 的 奇偶性函数的表示法映射 映射的概念集合与函数概念表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同BA⊆且A⊆B⇔BA=子集A中任意一元素均为B中的元素BA⊆或AB⊇真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A⊆φ，φB（φ≠B）三：集合的基本运算①两个集合的交集:A BI= {}x x A x B∈∈且;②两个集合的并集: A BU={}x x A x B∈∈或;③设全集是U,集合A U⊆,则UC A={}x x U x A∈∉且交并补I U{|,}A B x x A x B=∈∈I且{|,}A B x x A x B=∈∈U或UC A={}x x U x A∈∉且方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，{})(x fyx=如、{})(x fyy=、{})(),(xfyyx=等的差别，如果对集合中代表元素认识不清， 将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M xN y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法， 在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

第一章集合一、选择题1.（2012·湖南高考理科·Ｔ1）设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=( )(A){0} (B){0,1} (C){-1,1} (D){-1,0,1}【解题指南】求出集合N中所含有的元素，再与集合M求交集.【解析】选B. 由…2x x,得…2x x0-，…x(x1)0-，剟0x1,所以N=剟{x0x1}，所以M I N={0,1},故选B.2．（2012·浙江高考理科·Ｔ1）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B ={x|x2-2x-3≤0}, 则A∩（C R B）=（）(A)(1,4) (B)(3,4) (C)(1,3) (D)(1,2)∪（3,4）【解题指南】考查集合的基本运算.【解析】选B.集合B ={x|x2-2x-3≤0}={}13x x-≤≤，{}1,3RB x x x=<->或ð,∴A∩（C R B）=(3,4)3.（2012·江西高考理科·Ｔ1）若集合{}{}1,1,0,2A B=-=，则集合{}|,,z z x y x A y B=+∈∈中的元素的个数为（）(A)5 (B)4 (C)3 (D)2【解题指南】将x y+的可能取值一一列出，根据元素的互异性重复元素只计一次，可得元素个数.【解析】选C.由已知得，{}|,,z z x y x A y B=+∈∈{}1,1,3=-，所以集合{}|,,z z x y x A y B=+∈∈中的元素的个数为3.4.（2012·新课标全国高考理科·T1）已知集合{}1,2,3,4,5A=，(){},|,,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈则B 中所含元素的个数为（ ）(A)3 (B)6 (C)8 (D)10【解题指南】将x y -可能取的值列举出来，然后与集合A 合到一起，根据元素的互异性确定元素的个数.【解析】选D.由,x A y A ∈∈得0x y -=或1x y -=±或2x y -=±或3x y -=±或4x y -=±，故集合B 中所含元素的个数为10个.5. （2012·广东高考理科·Ｔ2）设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4 }，则=ðU M （ ）(A)U (B){1,3,5} (C){3,5,6} (D){2,4,6}【解题指南】掌握补集的定义：{|,}U M x x U x M =∈∉且ð，本题易解.【解析】选C. {3,5,6}U M =ð.6.（2012·山东高考文科·Ｔ2）与（2012·山东高考理科·Ｔ2）相同 已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U (A)B ð为（ ） （A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4【解题指南】 先求集合A 关于全集U 的补集，再求它与集合B 的并集即可.【解析】选C.{}{}{}U (A)B 0,42,40,2,4==ð. 7.（2012·广东高考文科·Ｔ2）设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,3,5}，则U M ð=（ ）(A){2,4,6} (B){1,3,5} (C){1,2,4} (D)U【解题指南】根据补集的定义：{|,}U M x x U x M =∈∉且ð求解即可.【解析】选A. {2,4,6}U M =ð.8.（2012·辽宁高考文科·Ｔ2）与（2012·辽宁高考理科·Ｔ1）相同 已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则()()U U A B ⋂=痧(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【解题指南】据集合的补集概念，分别求出,痧U U A B ，然后求交集.【解析】选B. 由已知C U A={2,4,6,7,9},U B ð={0,1,3,7,9}，则(U A ð)⋂(U B ð)={2,4,6,7,9}⋂{0,1,3,7,9}={7,9}.9.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ1）已知集合A={x|x 2－x －2<0}，B={x|-1<x<1}，则（ ）（A ）A B Ü （B ）B A Ü （C ）A=B （D ）A ∩B=∅【解题指南】解不等式x 2－x －2<0得集合A ，借助数轴理清集合A 与集合B 的关系.【解析】选B. 本题考查了简单的一元二次不等式的解法和集合之间的关系,由题意可得{}|12A x x =-<<，而{}|11B x x =-<<，故B A Ü.10.（2012·安徽高考文科·Ｔ2）设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=（ ）（A ）（1，2） （B ）[1，2] （C ）[ 1，2） （D ）（1，2 ]【解题指南】先求出集合,A B ，再求交集.【解析】选D .∵{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-，(1,)(1,2]=+∞=B A B ，∴.11.（2012·福建高考文科·Ｔ2）已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是（ ）(A)N M ⊆ (B)M N M = (C)M N N = (D){2}M N =【解题指南】通过观察找出公共元素，即得交集，结合子集，交、并、补各种概念进行判断和计算.【解析】选D .N 中元素-2不在M 中，因此，A 错，B 错； {2}M N N =≠，因此C错，故选D .12.（2012·浙江高考文科·Ｔ1）设全集U={1，2，3，4，5，6} ，集合P={1，2，3，4} ，Q={3，4，5}，则P∩（ðU Q）=（）(A){1，2，3，4，6} (B){1，2，3，4，5}(C){1，2，5} (D){1,2}【解题指南】考查集合的基本运算.【解析】选D. C U Q={}1,2,6，则P∩（CU Q）={}1,2.13.（2012·北京高考文科·Ｔ1）与（2012·北京高考理科·Ｔ1）相同已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}，则A∩B=（）（A）（-∞，-1）（B）（-1，-23）（C）（-23,3）（D）(3,+∞)【解题指南】通过解不等式先求出A，B两个集合，再取交集.【解析】选D.集合A=2{|}3x x>-，{|13}B x x x=<->或，所以{|3}A B x x=>.14.（2012·湖南高考文科·Ｔ1）设集合M={-1,0,1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（）(A){-1，0，1} (B){0,1} (C){1} (D){0}【解题指南】先求出集合N中的元素，再求集合M，N的交集.【解析】选B. N={0,1}，∴M∩N={0,1}，故选B.15. （2012·江西高考文科·Ｔ2）若全集U=｛x∈R|x2≤4}，则集合 A=｛x∈R||x+1|≤1}的补集C u A为( )(A){x∈R |0＜x＜2} (B){x∈R |0≤x＜2}(C){x∈R |0＜x≤2} (D){x∈R |0≤x≤2}【解题指南】解不等式得集合U和A，在U中对A取补集.【解析】选C.{|22}U x x =-≤≤，{|20}A x x =-≤≤，则ðU A={|02}U C A x x =<≤. 16.（2012·湖北高考文科·Ｔ1）已知集合A={x|2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为(A) 1 (B)2 (C) 3 (D)4【解题指南】根据集合的性质,先化简集合A,B.再结合集合之间的关系求解.【解析】选D. 由题意知:A= {1,2} ,B={1,2,3,4}.又A C B ⊆⊆,则集合C 可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 二、填空题17.（2012·上海高考理科·T2）若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .【解题指南】本题考查集合的交集运算知识，此类题的易错点是临界点的大小比较. 【解析】集合1{2+10}{|}2A x x x x =>=>-，集合{}{12}{|212}13B x x x x x x =-<=-<-<=-<<，所以1{|3}2A B x x =-<<. 【答案】1{|3}2x x -<< 18.（2012·江苏高考·Ｔ1）已知集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==，则A B = .【解题指南】从集合的并集的概念角度处理.【解析】{1,2,4,6}=A B .【答案】{1,2,4,6}。

高考数学集合与逻辑知识点与典型例题
一、集合与逻辑
1.考察集合问题，一定要弄清楚集合所研究的对象，把握集合的实质，如{}x y x lg =——函数的定义域；{}x y y lg =——函数的值域；{}
x y y x lg ),(=——函数图像上的点集，特别注意括号中的附加条件，如N x Z x ∈∈,等。

【例】已知，(){
}______________;__________,,,=⋂=⋂∈==C A B A R x x y y x C 则。

【答案】 [0,3],φ{}(){}R x x y y B R x x x y x A ∈+==∈-+==,1lg ,,2322
2.区间[]b a ,的隐含条件是b a <。

3.若条件为B A ⊆,在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

【例】{}{}φ=⋂>==--=B A x x B x ax x A 若,0,0122,求a 的取值范围。

【答案】0≤a
4.进行集合运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和文氏图进行求解，特别注意边界值的验证。

求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域），你按要求写成集合的形式了吗？
5.补集思想常用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

【例】设全集为R ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=11x x
A ，则________=A C R . 【答案】[0,1]
运用反证法时，注意弄清命题的否定是全称命题还是存在性命题。

6．充要条件的概念记住了吗？
判断方法：①区分条件P 和结论 q; ②判断P 能否推出q ；③判断q 能否推出p; ④下结论。

高一数学集合与函数的概念试题答案及解析1. 设集合，，则（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，，，∴，故选A.【考点】1.解一元二次不等式；2.集合的交集.2. 下列命题正确的是（ ） A ．∁U （∁U P ）={P}B ．若M={1，∅，{2}}，则{2}⊆MC ．∁R Q=QD ．若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，则N ∈S【答案】D【解析】根据集合的定义和补集运算法则，集集合子集的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断；解：A 、∁U （∁U P ）=p ，∵{P}，∴p ∈{P}，故A 错误；B 、集合M 中的元素，有1和，∅，{2}，知1是数，∅，{2}是集合，∴1和，∅，{2}，不能构成集合B ，故B 错误；C 、∵∁R Q 为无理数集，而Q 为有理数集，故C 错误；D 、∵N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，∴N 的所有子集构成集合S ，∴N ∈S ，故D 正确； 故选D ．点评：此题主要考查集合的定义及其元素与集合的关系，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．3. 已知M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}，则M∩N=（ ） A ．{0，1} B ．{（0，1）} C ．{1} D ．以上均不对【答案】C【解析】根据函数值域求得集合M=[1，+∞），N}=（﹣∞，1]，根据集合交集的求法求得M∩N ． 解；集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}=[1，+∞）， N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}=（﹣∞，1]， ∴M∩N={1} 故选C ．点评：此题是个基础题．考查交集及其运算，以及函数的定义域和圆的有界性，同时考查学生的计算能力．4. 集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={a ，b ，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】考虑集合A 1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A 相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值．当A 1为A 时，A 2可取A 的任何子集，此时A 2有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法． 解：当A 1=φ时，A 2=A ，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁AA1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．5.已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2﹣5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+（a+1）x﹣3，1}：求（1）A={2，3，4}的x值；（2）使2∈B，B⊊A，求a，x的值；（3）使B=C的a，x的值．【答案】（1）x=2或x=3；（2）当x=2时，a=﹣；当x=3时，a=﹣；（3）{x|x=﹣1或3} {a|a=﹣6或﹣2}．【解析】（1）解方程x2﹣5x+9=3即可求得x值；（2）由x2+ax+a=2与x2﹣5x+9=3联立即可求得a，x的值；（3）x2+（a+1）x﹣3=3与x2+ax+a=1即可求得a，x的值．解：（1）依题意，x2﹣5x+9=3，∴x=2或x=3；（2）∵2∈B，B⊊A，∴x2+ax+a=2且x2﹣5x+9=3，当x=2时，a=﹣；当x=3时，a=﹣；（3）∵B={3，x2+ax+a}=C={x2+（a+1）x﹣3，1}，∴整理得：x=5+a，将x=5+a代入x2+ax+a=1得：a2+8a+12=0，解得a=﹣2或a=﹣6．当a=﹣2时，x=3或﹣1；当a=﹣6时，x=﹣1或x=7（当a=﹣6，x=7时代入x2+（a+1）x﹣3="3" 不成立所以舍去）．综上所述{x|x=﹣1或3} {a|a=﹣6或﹣2}．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，考查方程思想运算能力，属于中档题．6.若，则的值为A．0B．1C．D．1或【答案】C【解析】由已知得，则有，又，。