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第二十二章一元二次方程教案22.1 一元二次方程学习目标知识与技能目标1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程过程与方法目标：会根据实际问题列一元二次方程情感与态度目标：1．培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．学习重、难点重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”学习过程：一、情境创设1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
二、探索活动上述问题可用方程解决：问题1中可设宽为x米，则可列方程：x（x+10）= 900问题2中可设这两年的平均增长率为x，则可列方程：5（1＋x）2 = 7.2问题3中可设这个正方形的连长为x，则可列方程：2x2 = 15问题4中可设较小的一个数为x，则可列方程：x（x＋3）= 10观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax2＋bx＋c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫二次项系数和一次项系数。
三、例题教学例1 根据题意，列出方程：（1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。
《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么什么样的教案才是好的呢？这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案，希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。
元二次方程教案篇一一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。
本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。
2、教学目标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。
难点：发现问题中的等量关系。
二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。
教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。
还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。
同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。
2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。
因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。
三．教学流程分析：本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
新世纪教育网版权所有 单位租用个人充值 QQ:448966300 22.2.3因式分解法解一元二次方程教学目的：（1）理解因式分解法解一元二次方程；（2）灵活应用因式分解法解一元二次方程；（3）进一步体会降次法解方程的思想；教学重点：正确运用因式分解法解一元二次方程。
教学难点：正确运用因式分解法解一元二次方程教学过程：一、 复习：1。
什么叫因式分解？因式分解有哪些方法？答：把一个多项式写成乘积的形式叫因式分解。
方法有：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。
2．分解因式：（1）x x 632-； （2）3)3(22+--m m ；（3）92-x ；（4）25102+-x x ； （5）822--x x ； （6）2322-+x x 。
二．引入新课：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度竖直上抛，那么经过xs 物体离地面的高度（单位：米）为29.410x x -，你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s ）？ 分析：设物体经过xs 落回地面，这时它离地面的高度为0，即：29.410x x -=0。
除配方法或公式法外，能否找到更简单的方法解这个方程？上面方程的右边是0，的左边可以因式分解变形得0)9.410(=-x x于是得x=0或10-4.9x=001=x ，04.29.41002≈=x 所以，04.22≈x 表示物体约在2.04秒时落回地面，而01=x 表示物体被上抛离开地面的时刻，此时高度为0m 。
思考：解上面方程是怎样把二次方程降次为一次方程的？三．新课：因式分解法：将一个一元二次方程右边等于0，左边分解因式（写成两个一次因式的乘积的形式），那么每个一次因式分别等于0，从而达到降次的目的，这种解方程的方法叫做因式分解法。
如上面例题中29.410x x -=0变为0)9.410(=-x x ，再得到x=0或10-4.9x=0，从而达到解方程的方法叫做因式分解法。
22.1一元二次方程（1）教学目的：（1）理解一元二次方程的概及项、各项系数的含义；（2）知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，并能正确指出二次项、一次项、常数项，二次项系数、一次项系数；（3）通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：（1）一元二次方程的有关概念；（2）会把一元二次方程化成一般形式。
教学难点：一元二次方程的含义教学过程设计：一、 引入新课引例1：剪一块面积是150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm 、这块铁片应该怎样剪?分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决?(间接计算即列方程解应用题)。
3．让学生自己列出方程 x （x 十5）＝1504．化简得：x 2+5x-150=05．你能解这个方程吗？引例2：如图，有一块矩形铁皮，长100㎝，宽50㎝，在它的四个角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm 2,那么切去的正方形的边长应该是多少？分析：设切去的正方形的边长为xcm ，则盒底的长为(100-2x)cm ，宽为(50-2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm 2得：(100-2x)(50-2x)=3600整理得:4x 2-300x+1400=0化简得：x 2-75x+350=0你能解这个方程吗？引例3：要组织一次邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地时间和条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？分析：全部比赛共4×7=28场设应邀请x 个队参加比赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛属于同一场比赛，所以全部比赛共)1(21-x x 场。
列方程得：)1(21-x x =28 整理得：x 2-x-56=0二、 新课：1． 观察上面三个方程：（1） x 2+5x-150=0（2） x 2-75x+350=0（3） x 2-x-56=0它的等式两边都是整式，方程中只含一个未知数，未知数的最高次数是2。
22.3一元二次方程的应用（4）教学目的：（1）能够对生活中的实际问题进行用数学建模解决，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；（2）通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力；；（3）让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力（4）学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心教学重点：利用分式方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。
教学难点：根据实际问题建立方程模型．教学过程：一．复习：1．什么叫分式方程？解分式方程的一般方法是什么？在不同的解法过程中应分别注意什么二、新课：今天我们学习利用分式方程解应用题例1。
一辆汽车以20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车。
（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行15m 时用了多少时间？（精确到0.1s ）分析：（1）已知刹车后汽车滑行了25m 。
如果知道滑行的平均速度。
则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间。
为使问题简单化。
不妨假设汽车从20m/s 到0m/s 是随时间均匀变化。
这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即102025=+（m/s ） 于是从刹车到停车的时间为：行驶路程÷行驶速度=25÷10=2.5（s ）（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为（初速度-末速度）÷车速变化时间即85.2020=-（m/s ） （3）设刹车后汽车行驶到15m 用了xs ，由（2）可知，这时车速为（20-8x ）m/s ，这段路程内的平均车速为x x 4202)820(20-=-+（m/s ），由速度×时间=路程得： 15)420(=-x x解方程得2105±=x 21051+=x （不符题意，舍去），21052-=x 思考：汽车刹车后行驶到20m 时约用了多少时间？（精确到0.1s ）。
22.3一元二次方程方程的应用（1）教学目的：（1）学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对实际生活中的简单问题会用数学建模来解决，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；（2）通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力；（3）让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力；（4）学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
教学重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题教学难点：根据实际问题建立方程模型。
教学过程设计：一．复习：列方程解应用题的一般步骤是什么？二．新课：例1． 某人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了多少人？ 分析：设每轮传染中平均一人传染了x 人开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x 个人，则第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 个人，则第二轮传染了__________个人，两轮共有__________________________人患了流感。
答案：1+x ，x(1+x)，1+x+x(1+x)根据“两轮传染后共有121人患了流感”得方程：1+x+x(1+x)=121整理得：012022=-+x x解得：101=x ，122-=x （不符题意，舍去）答：每轮传染中平均一人传染了10人。
拓展：第三轮传染后有多少人患了流感？总结：通过对这个问题的研究，你对反复传播问题有什么新的认识？例2． 两个连续奇数的积是323，求这两个数。
分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2（2）设元（几种设法）．设较小的奇数为x ，则另一奇数为x+2， 设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数2x+1。
初中数学(人教版)第二十二章一元二次方程教案1000字
一、教学目标
1.了解一元二次方程的概念及特征。
2.学会解一元二次方程，掌握常用解法。
3.掌握应用一元二次方程解决实际问题的方法。
4.发扬实验探究科学精神，培养探究和创新能力。
二、教学重难点
1.重点：一元二次方程的解法及问题应用。
2.难点：运用一元二次方程解决实际问题。
三、教学内容及方法
1.内容：一元二次方程
2.方法：实验探究法、讲练结合法、归纳总结法。
四、教学过程
（一）热身阶段
通过学生简单生活例子引入，旨在让学生了解一元二次方程的学习目的。
（二）学习阶段
1.学生进行实验探究，探究一元二次方程和一元二次方程的特征。
2.通过教师讲解和学生自主探究，学习一元二次方程的解，并更深入地了解一元二次方程的解法。
3.学习如何选取合适的解法，提高解决问题的能力。
（三）巩固阶段
1.教师提供一些实际问题，让学生进行解决。
2.通过真实场景展示，引导学生应用所学知识，将数学与现实联系起来。
（四）拓展阶段
对于已掌握知识的学生，教师可以提供更复杂的问题，以扩展知识面。
五、教学手段
1.教师讲解
2.实验探究
3.讨论交流
4.试题分析
六、教学评价
1.学生的课堂参与情况。
2.学生的问题解决能力。
3.学生的实际应用能力。
22.2.2用公式法解一元二次方程教学目的：（1）使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程；（2）使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力；（3）在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点；教学重点：正确运用公式法解一元二次方程。
教学难点：求根公式的推导过程；准确运用公式解方程。
教学过程：一、 引入新课：用配方法解下列方程：2x 2-6x -1=0移项得： 1622=-x x ， 二次项系数化为1得：2132=-x x 配方得： 222)23(21)23(3+=+-x x总结：配方法解一元二次方程的一般步骤问题：用配方法解一元二次方程，计算比较繁琐，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、 新课：引导学生讨论：用配方法求一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)的解解：移项得：c bx ax -=+2二次项系数化为1得：ac x a b x -=+2配方得：222)2()2(ab ac a b x a b x +-=++ 即：22244)2(a ac b a b x -=+ 因为a ≠0，所以24a ＞0，当ac b 42-≥0时，2244a ac b -≥0（ac b 42-用△表示） 所以aac b a b x 2422-±=+ aac b b x 242-±-= a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= 由此可知，一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 确定。
因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式02=++c bx ax ，当ac b 42-≥0时，将a ，b ，c 代入aac b b x 242-±-=就得到方程的根，这个式子叫一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫公式法。
显然一元二次方程最多有两个根。
初中数学(人教版)第二十二章-一元二次方程教案第二十二章一元二次方程主备人：刘鸿智教材内容本单元教学的主要内容：1.一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.2.本单元在教材中的地位和作用：教学目标1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。
2.根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.3.经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。
教学重点、难点重点：1．一元二次方程及其有关概念22.一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。
难点：1.一元二次方程及其有关概念2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3.一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用课时安排本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）22．1 一元二次方程1课时22．2 降次7 课时22．3 实际问题与一元二次方程3 课时教学活动、习题课、小结22.1 一元二次方程教学目的1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．32．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式．教学重点、难点重点：一元二次方程的定义．难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．教学过程复习提问1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？(l)3x+4=l； (2)6x-5y=7；43．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”．引入新课1．方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）学过的几类方程是没学过的方程有x2-70x+825=0， x(x+5)=150．这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”据此得出复习中学生未学过的方程是(4)一元二次方程：x2-70x+825=0， x(x+5)=150．同时指导学生把学过的方程分为两大类：52．一元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，可化为：x2+5x-150=0．从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．课堂练习 P27 1、2题归纳总结1．方程分为两大类：6判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零．布置作业：习题22.1 1、2题．达标测试1.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-x5 +4=0,4+6=0⑤x2-(2+1)x+2=0,⑥3x2-xA.1个B.2个C.3个D.4个2.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是( )7A.3,-5,-2B.3,-5x,2C.3,5x,-2D.3,-5,23.方程(m+2)m x+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m ≠±24.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是5.方程4x2=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是课后反思：22.2解一元二次方程第一课时直接开平方法教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．82．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课9我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课例1 解方程 x2-4=0．解：先移项，得x2=4．即x1=2，x2=-2．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．例2 解方程 (x+3)2=2．练习：P28 1、2归纳总结1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．布置作业：习题22.1 4、6题达标测试1.方程x2-0.36=0的解是1011±6 D.±0.62.解方程:4x 2+8=0的解为 A.x 1=2 x 2=-2 B.2,221-==x xC.x 1=4 x 2=-4D.此方程无实根 3.方程(x+1)2-2=0的根是 A.21,2121-=+=x xB. 21,2121+-=+=x xC. 21,2121+=--=x xD. 21,2121--=+-=x x4.对于方程(ax+b)2=c 下列叙述正确的是 A.不论c 为何值,方程均有实数根 B.方程的根是abc x -= C.当c ≥0时,方程可化为:cb axc b ax -=+=+或D.当c=0时,a b x = 5.解下列方程:①.5x 2-40=0 ②.(x+1)2-9=0 ③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0 课后反思第二课时配方法教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．教学重点、难点重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程复习过程用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；引入新课我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，12我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．新课我们研究方程x2+6x+7=0的解法：将方程视为：x2+2·x·3=-7，即 x2+2·x·3+32=32-7，∴ (x+3)2=2，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．例1 解方程x2-4x-3=0．配方法解之．在解的过程中，注意介绍配方的法则．例2 解方程2x2+3=7x．练习：P34 1、2题归纳总结13应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要点是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式.布置作业：习题22.2 1、3题达标测试1.方程x2-a2=(x-a)2(a≠0)的根是A.aB.0C.1或 aD.0或a2.已知关于x的方程(m+3)x2+x+m2+2m-3=0一根为0,另一根不为0,则m的值为A.1B.-3C.1或-3D.以上均不对1是一个完全平方式,则m=3.若x2-mx+41415A.1B.-1C.±1D.以上均不对4.方程x 2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是5.①+-x x212=(x- )2 ②++x x252=(x+ )2 课后反思：第三课时求根公式法教学目的1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力． 2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法． 教学重点、难点重点：要求学生正确运用求根公式解一元二次方程． 难点：1.求根公式的推导过程．2.含有字母参数的一元二次方程的公式解法．教学过程复习提问提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？练习：用配方法解下列一元二次方程(1)x2-8x=20； (2)2x2-6x-1=0．引入新课我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？新课(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤．解：∵a≠0，两边同除以a，得把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得16(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式．例1 解方程x2-3x+2=0.例2 解方程2x2+7x=4.例5 解关于x的方程 x2-m(3x-2m+n)-n2=0．练习P37 1题归纳总结1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式，即1718要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b 2-4ac ≥0． 2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解． 布置作业：习题22.2 5、8、10题 达标测试1.若代数式4x 2-2x-5与2x 2+1的值互为相反数,则x 的值为A.1或23-B.1或32-C.-1或32D.1或23 2.对于一元二次方程ax 2+bx+c=0,下列叙述正确的是A.方程总有两个实数根B.只有当b 2-4ac ≥0时,才有两实根C.当b 2-4ac<0时,方程只有一个实根 D.当b 2-4ac=0时,方程无实根3.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x 2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是19A.4B.214C.4或214 D.不存在4.如果分式3322---x x x 的值为0,则x 值为A.3或-1B.3C.-1D.1或-35.把2)3(32x x +=+化成ax 2+bx+c=0(a ≠0)的形式后,则a= ,b= ,c=6.若分式222---x xx 的值为0,则x=7.已知x=-1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根,则aca b -=__________. 8.若a 2+b 2+2a-4b+5=0,则关于x 的方程ax 2-bx+5=0的根是___________. 课后反思：第四课时因式分解法教学目的使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．教学重点、难点重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．教学过程复习提问1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？2．方程x2=4的解是多少？引入新课方程x2=4还有其他解法吗？新课众所周知，方程x2=4还可用公式法解．此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．我们仍以方程x2=4为例．20移项，得 x2-4=0，对x2-4分解因式，得 (x+2)(x-2)=0．我们知道：∴ x+2=0，x-2=0．即 x1=-2，x2=2．由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．例1 解下列方程：(1)x2-3x-10=0； (2)(x+3)(x-1)=5．在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．例2 解下列方程：(1)3x(x+2)=5(x+2)； (2)(3x+1)2-5=0．在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；21再利用平方差公式因式分解后求解．注意：在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．例3 解下列方程：(1)3x2-16x+5=0 ；(2)3(2x2-1)=7x．练习：P40 1、2题归纳总结对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是1．将方程化为一般形式；2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根．布置作业：习题22.2 6、10题达标测试1.对方程(1)(2x-1)2=5,(2)x2-x-1=0,(3)x)3-3(x=x-2223选择合适的解法是A.分解因式法、公式法、分解因式法B.直接开平方法、公式法、分解因式法C.公式法、配方法、公式法D.直接开平方法、配方法、公式法2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根为 A.25=x B.x=3 C.3,2521==x xD.52=x3.若x 2-5∣x ∣+4=0,则所有x 值的和是A ．1 B.4 C.0 D.1或45.若方程x 2+ax-2a=0的一根为1,则a 的取值和方程的另一根分别是A.1,-2B.-1,2C.1,2D.-1,-25．已知3x 2y 2-xy-2=0，则x 与y 之积等于 6．关于x 的一元二次方程(m+2)x 2+x-m 2-5m-6=0有一根为0，则m= 。
第二十二章一元二次方程22．1 一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+b x+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型,•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）古算趣题:“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。
借问竿长多少数,谁人算出我佩服.如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，长为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果,那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1,AC=x，那么BC=________,根据题意,得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________,宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次？(3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子?老师点评:（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3)•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x—1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x—1）=5（x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等．解:略注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
22.2.3可化为一元二次方程的分式方程教学目的：（1）使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解；（2）使学生了解解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法；（3）结合教学对学生进行化归转化思想的培养；教学重点：将分式方程转化为一元二次方程。
教学难点：熟练解可化为一元二次方程的分式方程．教学过程：一、复习1．我们学过分式方程，同学们还记得怎样解分式方程吗？2．请同学们解下列方程：方程两边同乘以(x+2)，约去分母得2-(2-x)=3(x+2)．解这个方程得x=-3．检验：把x=-3代入(x+2)，它不等于零．∴原方程的根是x=-3．方程两边同时乘以x(x-1)，约去分母得3(x-1)+6x=x+5．解这个方程得x=1．检验：把x=1代入x(x-1)，它等于零．所以x=1是原方程的增根，故原方程无解．3．请同学们结合上面两个题，回答下列问题：(1)什么是分式方程？解分式方程的一般方法与步骤是什么？(2)在解分式方程过程中，容易犯的错误是什么？应当怎样避免？(3)解分式方程为什么必须验根，应当怎样验根？教师指出：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程的一般思路是化分式方程为整式方程，解分式方程的一般步骤是：(1)把方程中各分式的分母因式分解，确定各分式的最简公分母．(2)用最简公分母去乘方程两边，约去分母，使分式方程化为整式方程．(3)解这个整式方程，得到此整式方程的根．(4)检验．解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．根据方程同解原理：方程两边都乘以不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解．而我们在解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母，它是一个整式，当此整式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此最后整式方程的根就不一定是原方程的根，所以解分式方程必须验根．验根的一般方法是：把最后整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根为原方程的增根，必须舍去，否则是原方程的根．二、新课我们一起再解一个分式方程．解：原方程就是：方程两边同时乘以(x+2)(x -2)，约去分母，得：(x -2)+4x -2(x+2)=(x+2)(x -2)．整理后得x 2-3x+2=0．解这个方程得x 1=1，x 2=2．检验：把x=1代入(x+2)(x -2)≠0所以x=1是原方程的根；把x=2代入(x+2)(x -2)=0，所以x=2是增根．∴原方程的根是x=1．请同学比较例题与引课中两题，在求解过程中，有什么不同之处．这个方程左边两个分式中112++x x 与112++x x 互为倒数，根据这个特点可以用换元法来解．方程两边都乘以y ，约去分母得2y 2-7y+6=0，x2-2x-1=0．去分母并整理得：2x2-3x-1=0，所以它们都是原方程的根．∴原方程的根是：三、练习1．解下列方程：四、小结1．分式方程的定义．2．分式方程的一般解法及解方程步骤．3．用换元法解分式方程时，方程具备的特点，验根的方法．五、作业1．解下列方程：2．用换元法解下列方程：3*．解下列关于x的方程：。
第二十二章一元二次方程全章教案第二十二章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标 1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解a_+b_+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b-4ac>0，b-4ac=0，b-4ac （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论．122223．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需16课时，具体分配如下： 22．1 一元二次方程2课时 22．2 降次──解一元二次方程 7课时 22．3 实际问题与一元二次方程 4课时教学活动、习题课、小结 3课时22．1 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式a_+b_+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．态度、情感、价值观4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，?两隅相去适一丈，问户高、广各几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，?那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为_?尺，?那么，?这个门的宽为_______?尺，?根据题意，?得________．整理、化简，得：__________．22问题（2）如图，如果ACCB?，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． ABACAwww.czs_CB 如果假设AB=1，AC=_，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为_，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数_；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）?都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于_的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式a_+b_+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a_+b_+c=0（a≠0）后，其中a_是二次项，a是二次项系数；b_是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2_）（5-2_）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是a_+b_+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2_）?（?5-2_）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得： 40-16_-10_+4_=18 移项，得：4_-26_+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（_+1）+（_-2）（_+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（_+1）+（_-2）（_+2）=1化成a_+b_+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：_+2_+1+_-4=1 移项，合并得：2_+2_-4=0其中：二次项2_，二次项系数2；一次项2_，一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习322222222222222教材P32 练习1、2 四、应用拓展例3．求证：关于_的方程（m-8m+17）_+2m_+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m-8m+17?≠0即可．证明：m-8m+17=（m-4）+1 ∵（m-4）≥0 ∴（m-4）+1>0，即（m-4）+1≠0 ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式a_+b_+c=0（a≠0）?和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P34 习题22．1 1、2． 2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3_+7=0 ②a_+b_+c=0 ③（_-2）（_+5）=_-1 ④3_- A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．方程2_=3（_-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．p_-3_+p-q=0是关于_的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3_-3=2_+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于_的方程（a-1）_+3_=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于_的方程a（_+_）=2m+122222222222222222225=0 _3_-（_+1）是一元二次方程？2．关于_的方程（2m+m）_+3_=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，?是这样做的：设铁片的长为_，列出的方程为_（_-3）=1，整理得：_-3_-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：422_ 21 2 3 4 _-3_-1 -3 -3 所以，________第二步：_ 23.1 3.2 3.3 3.4 _-3_-1 -0.96 -0.36 所以，________ （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．答案: 一、1．A 2．B 3．C二、1．3，-2，-4 2．a_+b_+c=0（a≠0） 3．a≠1 三、1．化为：a_+（a- 2．可能，因为当?23+1）_+1=0，所以，当a≠0时是一元二次方程．?m?1?2，∴当m=1时，该方程是一元二次方程． 2?2m?m?0 3．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，322．1 一元二次方程第二课时教学内容1．一元二次方程根的概念；2．?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根；2．?难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？5810。
22.2.3一元二次方程根的判别式(1)教学目的：（1）使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；（2）使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。
教学重点：一元二次方程的根的判别式的运用。
教学难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解教学过程：一．复习：1．请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步？为什么要先写这两步？例.用求根公式法解方程2x2＋10x－7＝0 (教师把这个过程写在黑板上)解：因为a＝2，b＝10，c＝－7，①b2－4ac＝102－4×2×(－7)＝156＞0，②2．为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步？答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下a，b，c的取值，这是要先写①式的原因；因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b2－4ac的值，如果b2－4ac 的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写②式的原因。
二．新课：1．先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为∵a≠0，∴4a2＞0由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是0（3）当b2－4ac＜0时，方程右边是一个负数，而方程左边不可能是一个负数，因此方程没有实根。
2．从上面的解释可见，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数式b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即：3．教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么？注意：根据课本的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是：显然，定理1与定理4，互为逆定理．定理2与定理5，互为逆定理．定理3与定理6，互为逆定理。
第二十二章一元二次方程22．1 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．态度、情感、价值观4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果AC CBAB AC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习教材P32练习1、2四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P34习题22．1 1、2．2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：所以，________<x<__________第二步：所以，________<x<__________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．22．1 一元二次方程第二课时教学内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根；2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？108设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为___________．整理，得_________．列表：问题2．一个面积为120m的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得________．整理，得________．列表：老师点评（略）二、探索新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解．（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解．为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：（1）移项得x2=64根据平方根的意义，得：x=±8即x1=8，x2=-8（2）移项、整理，得x2=2根据平方根的意义，得x=即x1x2（3）因为x2-3x=x（x-3）所以x2-3x=0，就是x（x-3）=0所以x=0或x-3=0即x1=0，x2=3三、巩固练习教材P33思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为（x-5）cm列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：（3）你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．（2）（3）铁片长x=15cm五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．六、布置作业1．教材P34复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．3．方程（x+1）2（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21 xx-）2-2x21xx-+1=0，•令21xx-=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程． 教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s •的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？BCAQ P老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ²2x=8 x 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1x 2可以验证，12x ²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以PBQ 的面积等于8cm 2． 二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即方程的两根为t 112，t 212例1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2 解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 三、巩固练习 教材P 36 练习． 四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ． 那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31 把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56 x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%． 五、归纳小结 本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=六、布置作业1．教材P45复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13±3B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23+3，x2=23D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？22.2.2 配方法第1课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（18x）2+12整理得：x2-64x+768=0问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500 整理，得：x2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2-64x+768=0 移项→x=2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024左边写成平方形式→（x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．学生活动：例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=，或x1≈34，x2≈2．可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．例2．解下列关于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6x-1=6，x-1=-6x1=7，x2=-5可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．（2）x2-2x-12=0 x2-2x=12x2-2x+12=12+1 （x-1）2=32x-1=±2x-1=2，x-1=-2x1x2可以验证：x1x2三、巩固练习教材P38讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P39练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ •的面积为Rt △ACB 面积的一半．C AQ P分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12³12³8³6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P 45 复习巩固2．2．选用作业设计．一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________． 3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2，求（xy）z的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？22.2.2 配方法第2课时教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9x-4=±3即x1=7，x2=1（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22（x+2）2=3即x+2=x1，x2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：（1）移项，得：x2+6x=-5配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5 （2）移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1配方x2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=±2x1=2-32，x2=-2-32（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0移项，得x2+4x=1配方，得（x+2）2=5x+2=x1，x2三、巩固练习教材P39练习2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53五、归纳小结本节课应掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．六、布置作业1.教材P 45 复习巩固3．2.作业设计一、选择题1．配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-13）2=89 B ．（x-23）2=0 C ．（x-13）2=89 D ．（x-13）2=109 2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（12x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）．A ．1B ．2C ．-1D ．-2二、填空题1．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．2．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数．3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 22．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值．3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．22.2.3 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52（老师点评） （1）移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为1，得：x 2-76x=-16配方，得：x 2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512 x 1=512+712=7512+=1 x 2=-512+712=7512-=16 （2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -+，x 2=2b a- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a-≥0直接开平方，得：x+2b a =即x=2b a-∴x 1=2b a -+，x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a- （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4³2³（-1）=24>0x=(4)422242--±±±==⨯∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4³3³（-2）=49>0x=(5)57236--±±=⨯x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b 2-4ac=（-11）2-4³3³9=13>0∴=∴x 1x 2 （3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4³4³1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．三、巩固练习教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5）四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4³2³（-1）=1+8=9x=(1)13224--±=⨯ x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m2+1=0，m不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-1 3因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13．五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业1．教材P45复习巩固4．2．选用作业设计:一、选择题1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．A．B．C．D．22的根是（）．A．x1x2B．x1=6，x2C．x1x2D．x1=x23．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）（2根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？22.3 实际问题与一元二次方程(1)教学内容由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．重难点关键1．重点：用“倍数关系”建立数学模型2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型教学过程一、复习引入（学生活动）问题1：列方程解应用题下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x 、y 张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x 或y 乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．解：设这人持有的甲、乙股票各x 、y 张．。
